I. Wst¦pne de nicje
Konwencja Podstawow¡ jednostk¡ czasu w nansach b¦dzie rok, wi¦c je±li nie poda- jemy jednostki czasu np. podaj¡c okres stopy, domy±lnie jest to rok. Dla uproszczenia rachunków b¦dziemy stosowa¢ tzw. szacunkow¡ reguª¦ bankow¡, tj. zakªada¢, »e ka»dy miesi¡c ma 30 dni (a w konsekwencji rok ma 360 dni), mimo, »e jednocze±nie zakªada si¦, »e rok ma 52 tygodnie (do rachunku weksli).
De nicja 1. Lokat¡ terminow¡ nazywamy umow¦ zawart¡ z innym podmiotem gospo- darczym (najcz¦±ciej z bankiem, wi¦c w dalszej cz¦±ci tak w uproszczeniu ten podmiot b¦dziemy nazywa¢) na podstawie której klient powierza swój kapitaª bankowi na zadany okres czasu w zamian za okre±lony zysk zwany odsetkami, wynikaj¡cy z warunków opro- centowania lokaty. Po upªywie terminu lokaty, bank zobowi¡zuje si¦ wypªaci¢ klientowi wpªacone przez niego ±rodki wraz z odsetkami.
Mo»na tak¡ umow¦ interpretowa¢ jako po»yczk¦ udzielon¡ przez klienta bankowi na okre-
±lony czas w zamian za wspomniane odsetki. Przez kapitaª, oznaczany najcz¦±ciej przez K (ewentualnie z indeksem sugeruj¡cym czas jego zaistnienia), b¦dziemy rozumie¢ pewien zasób (tutaj najcz¦±ciej nansowy), którego warto±¢ podlega procesowi zmiany warto±ci w czasie. Zysk z lokaty kapitaªu K na okres ∆t nazywamy odsetkami (I), a procedur¦
wyznaczania odsetek - oprocentowaniem. Zestaw reguª, wedªug których kapitaª na danej lokacie podlega oprocentowaniu nazywamy modelem oprocentowania.
De nicja 2. Nominalna stopa procentowa (najcz¦±ciej oznaczana przez r) jest to (do- my±lnie roczny tj. w jednostkach 1/rok) koszt odroczenia pªatno±ci o jednostkowej warto±ci na ustalony okres, lub, patrz¡c z przeciwnej strony: roczny przychód z tytuªu wzrostu war- to±ci nominalnej kapitaªu o jednostkowej warto±ci przez ustalony okres, przy zaªo»eniu,
»e odsetki naliczamy tylko raz w trakcie tego okresu, na jego ko«cu. Najcz¦±ciej podawana w procentach, acz w obliczeniach pro±ciej korzysta¢ z postaci uªamka dziesi¦tnego.
Zawsze razem ze stop¡ podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym warto±¢
kapitaªu ro±nie o warto±¢ stopy. Je±li z jakich± przyczyn (za chwil¦ je poznamy) potrze- bujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu ni» jest podany w zadaniu - mo»emy w bardzo prosty sposób go zmieni¢ (razem ze stop¡). Je±li mamy dan¡ stop¦ nominaln¡ r o okresie OS1 i chcemy si¦ dowiedzie¢, jakiej stopie nominalnej o okresie OS2 jest ona równa, obliczamy tzw. stop¦ wzgl¦dn¡ (¯r).
Twierdzenie 1. Je±li zde niujemy iloraz m = OSOS12 to:
¯ r = r
m.
Jako, »e okresy ró»nych stóp potrzebnych w trakcie rozwi¡zywania ka»dego zadania s¡
ró»ne, po obliczeniu (lub wypisaniu) nowej stopy procentowej zawsze zalecam obok zapi- sa¢ jej okres, »eby si¦ potem nie pomyli¢.
De nicja 3. Najlepsz¡ miar¡ opªacalno±ci lokaty (i wi¦kszo±ci innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (rz, czasem ref, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opªata za odroczenie pªatno±ci o jednostkowej warto±ci na ustalony okres, wyra»ona uªam- kiem lub w procentach przez czas. Mo»na j¡ obliczy¢ jako stosunek caªo±ci odsetek uzy- skanych w danym okresie do warto±ci pocz¡tkowej tej kwoty.
Twierdzenie 2. Je±li kapitaª pocz¡tkowy na jakiej± lokacie wynosiª K0, kapitaª ko«cowy wynosiª Kk, a czas trwania tej lokaty to T (i wykluczamy dopªaty b¡d¹ wypªaty z lokaty w trakcie jej trwania), to:
rz = I
K0 = Kk− K0
K0 ; i okres tej stopy zwrotu wynosi T .
1
Ró»nica mi¦dzy de nicjami nominalnej stopy procentowej i procentowej stopy zwrotu jest taka, »e procentowa stopa zwrotu uwzgl¦dnia, jak cz¦sto i wjaki sposób dopisujemy odsetki do kapitaªu (czyli model kapitalizacji), a stopa nominalna nie. Dlatego tak na- prawd¦ zazwyczaj interesuje nas stopa zwrotu, ale tradycyjnie w ofertach takich jak lokata bankowa podawana jest stopa nominalna (najcz¦±ciej roczna).
II. Kapitalizacja: mechanizm, rodzaje i przyj¦te konwencje
De nicja 4. Kapitalizacj¡ nazywamy faktyczne dodawanie odsetek do kapitaªu. Dla danej lokaty (czy innej inwestycji), czas po którym odsetki si¦ dopisuje do kapitaªu nazy- wamy okresem kapitalizacji (OK).
Warto zwróci¢ uwag¦, »e okres stopy jest konstruktem abstrakcyjnym, który mo»emy dostosowa¢ do warunków zadania (za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej), ale okres kapitalizacji jest faktem, którego nie mo»emy zmienia¢, je±li tre±¢ zadania na to nie pozwala.
Konwencja. Je±li np. OK=miesi¡c (2 miesi¡ce, kwartaª) mówimy w skrócie, »e kapita- lizacja jest miesi¦czna (odpowiednio: dwumiesi¦czna, kwartalna itp.).
Je±li odsetki s¡ naliczane na ko«cu okresu kapitalizacji, mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z doªu. Je±li odsetki s¡ naliczane na pocz¡tku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z góry. Dzi± na lokatach bankowych (jak i w innych inwestycjach) znacznie rzadziej u»ywa si¦ kapitalizacji z góry, która dodatkowo jest dzi- waczna w zaªo»eniach i do±¢ niepraktyczna w obliczeniach wi¦c w ramach tego kursu od tej pory b¦dziemy domy±lnie zakªada¢, »e mamy do czynienia z kapitalizacj¡ z doªu.
De nicja 5. Je±li dla danej nominalnej stopy procentowej r OK = OS to mówimy, »e kapitalizacja jest zgodna. Je±li OK 6= OS to kapitalizacja jest niezgodna.
Zmieniaj¡c okres stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej mo»emy ka»de zagadnienie sprawadzi¢
do kapitalizacji zgodnej.
Wa»na konwencja. Wszystkie wzory jakie odt¡d podaj¦ s¡ prawdziwe tylko dla kapi- talizacji zgodnej. Dlatego, by ich u»y¢, zawsze rozpoczynamy jakiekolwiek obliczenia od wyznaczenia stopy wzgl¦dnej dla uzgodnionego z okresem kapitalizacji okresu stopy.
Je±li podczas danego czasu obowi¡zywania lokaty, kapitalizacja nast¦puje wielokrotnie, mo»emy mówi¢ o dwóch modelach naliczania odsetek: prostym i zªo»onym, czyli ka- pitalizacji prostej i zªo»onej. Te modele ró»ni¡ si¦ w jednej podstawowej kwestii: w wypadku kapitalizacji prostej odsetki, które uzyskali±my w ramach jednej kapitalizacji nie s¡ ju» pó¹niej kapitalizowane. Z kolei w wypadku kapitalizacji zªo»onej raz uzyskane odsetki podlegaj¡ kolejnym kapitalizacjom.
Konwencja. Je±li nie b¦dzie wyra¹nie napisane inaczej, w ramach tego kursu domy±lnie zakªadamy model kapitalizacji zªo»onej.
De nicja 6. Oprocentowanie proste kapitaªu jest to powi¦kszenie warto±ci kapitaªu na zako«czenie kolejnego okresu kapitalizacji o odsetki naliczone od kapitaªu pocz¡tko- wego. Odsetki uzyskane pomi¦dzy rozpocz¦ciem lokaty a danym okresem kapitalizacji nie podlegaj¡ oprocentowaniu.
De nicja 7. Oprocentowanie zªo»one (lub skªadane) to okre±lenie warto±ci przyszªej kapitaªu jako warto±ci pocz¡tkowej powi¦kszonej o skapitalizowane odsetki. W momencie kapitalizacji, oprocentowaniu podlegaj¡ zarówno kapitaª, jak i dotychczas uzyskane odsetki.
Twierdzenie 3. Je±li zaªo»ymy, »e K0 jest kapitaªem pocz¡tkowym i mamy do czynie- nia z kapitalizacj¡ zgodn¡, prost¡, przy stopie procentowej r, to po ka»dej kapitalizacji dopisujemy do K0 odsetki w wysoko±ci I = K0r. Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwot¦:
KN = K0(1 + N r).
Twierdzenie 4. Je±li zaªo»ymy, »e K0 jest kapitaªem pocz¡tkowym i mamy do czynienia z kapitalizacj¡ zgodn¡, zªo»on¡, przy stopie procentowej r, to ka»da kapitalizacja polega
w tym modelu na przemno»eniu kapitaªu posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany wspóªczynnikiem akumulacji). Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwot¦:
KN = K0(1 + r)N.
Wzór powy»szy jest centralnym wzorem dla lokat (i ogólnie akumulacji kapitaªu) - na nim opiera si¦ wi¦kszo±¢ tego kursu.
Kapitalizacja zªo»ona jest bardziej naturaln¡ form¡ w wi¦kszo±ci inwestycji, które nie s¡
zale»ne od skali tzn. mo»na w nie zainwestowa¢ dowoln¡ kwot¦ - takich wªa±nie jak lokaty.
Wynika to z faktu, »e nie tylko wyj±ciowy kapitaª, ale i zysk po danym okresie kapitalizacji mo»na zainwestowa¢ w t¦ sam¡ inwestycj¦. Kapitalizacja prosta jest cz¦sto u»ywana w wypadku inwestycji, które si¦ nie skaluj¡ tj. mo»na w nie inwestowa¢ tylko okre±lonej wielko±ci kwoty. Tak wi¦c, o ile kapitaª wyj±ciowy mo»na z powrotem zainwestowa¢ w taki sam instrument nansowy, to niekoniecznie b¦dzie to prawd¡ w przypadku odsetek od wcze±niejszej inwestycji. Najlepszym przykªadem s¡ inwestycje w ró»ne papiery dªu»ne (które b¦dziemy omawia¢) o ustalonej z góry warto±ci - takie jak obligacje, weksle, czy bony skarbowe.
W kontek±cie lokat, kapitalizacja prosta jest najcz¦±ciej u»ywana w wypadku przedtermi- nowanego zerwania lokaty. W wielu bankach klient mo»e te» wybra¢ sposób przedªu»ania lokaty po zako«czeniu. W±ród opcji s¡ przedªu» z odsetkami - co odpowiada modelowi kapitalizacji zªo»onej i przedªu» bez odsetek - co powoduje, »e kapitaª wzrasta wedle reguª kapitalizacji prostej.
Przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), je±li tylko lokata trwa wi¦cej ni» jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja zªo»ona jest dla klienta bardziej opªacalna ni» prosta.
Konwencja W zadaniach tego typu b¦dziemy zakªada¢ dla uproszczenia (o ile nie b¦dzie napisane inaczej), »e w wypadku zerwania lokaty pomi¦dzy momentami kapitalizacji nie otrzymuje si¦ »adnej dodatkowej rekompensaty za czas od ostatniej kapitalizacji.
Co by si¦ staªo, gdyby odsetki od kapitaªu byªy naliczane przez caªy czas, w niesko«czenie maªych odst¦pach - czyli formalnie, gdyby okres kapitalizacji d¡»yª do zera? W takiej sytuacji mówimy o kapitalizacji ci¡gªej.
Twierdzenie 5. Je±li K0 jest kapitaªem ulokowanym na lokacie o kapitalizacji ci¡gªej, nominalnej stopie procentowej r z OS = 1, to po czasie t na lokacie znajdzie si¦:
Kt= K0ert. III. Porównywanie lokat
Maj¡c dane dwie lokaty, chcemy powiedzie¢, na której z nich klient mo»e zarobi¢ wi¦- cej. W tym celu chcemy dla ka»dej lokaty wyznacza¢ stop¦ zwrotu o zadanym okresie.
Oczywi±cie, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza b¦dzie lokata która ma wy»sz¡
nominaln¡ roczn¡ stop¦ procentow¡. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych ró»nych okresów stóp, jest ªatwa. Dlatego jedyny problem mo»emy mie¢ przy ró»nych okresach kapitalizacji.
Zaªó»my, »e mamy dwie lokaty o kapitalizacji zªo»onej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r, lecz maj¡ one ró»ne okresy kapitalizacji.
Która z nich jest bardziej opªacalna dla klienta? Okazuje si¦, »e w tej sytuacji bardziej opªacalna jest lokata o krótszym okresie kapitalizacji (czyli o cz¦stszej kapitalizacji).
De nicja 8. Mówimy, »e warunki oprocentowania lokaty I s¡ równowa»ne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II s¡ równowa»ne) w czasie T , b¦d¡cym wspóln¡ wielokrotno±ci¡ okresów kapitalizacji obydwu lokat, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi¡gnie t¦ sam¡ warto±¢ co na lokacie II.
De nicja 9. Mówimy, »e warunki oprocentowania lokaty I s¡ lepsze (bardziej opªacalne) ni» warunki oprocentowania lokaty II w czasie T , b¦d¡cym wspóln¡ wielokrotno±ci¡ okre- sów kapitalizacji obydwu lokat, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi¡gnie wi¦ksz¡ warto±¢ ni» na lokacie II.
Okazuje si¦, »e dla kapitalizacji zªo»onej równowa»no±¢/wi¦ksza opªacalno±¢ której± z lokat nie zale»y od czasu T (dla prostej mo»e zale»e¢!). Je±li jedna z tych wªasno±ci jest speªniona dla pewnego wielokrotno±ci OK tych lokat, jest te» speªniona dla wszystkich innych.
De nicja 10. Stopa efektywna (równowa»na) ref dla danej lokaty (lub innej in- westycji) to ±rednia stopa zwrotu uzyskiwana dªugoterminowo w zadanym okresie stopy OS przy danej kapitalizacji o okresie OK (niekoniecznie zgodnej). Jest to jednocze±nie stopa, dla której lokata o okresie kapitalizacji równym OS z poprzedniego zdania jest równowa»na danej lokacie.
Obliczanie stopy efektywnej ró»nych lokat dla zadanego okresu stopy np. roku pozwala nam natychmiast porówna¢ te lokaty ze wzgl¦du na opªacalno±¢. Warunki oprocentowania I i II s¡ równowa»ne (I lepsze ni» II) wtedy i tylko wtedy, gdy ref I = ref II (ref I > ref II) i okresy obu stóp efektywnych s¡ takie same. Zatem, by porówna¢ dwie lokaty (lub wi¦cej) wystarczy wybra¢ jaki± okres stopy (np. rok), przeliczy¢ ich nominalne stopy na stopy efektywne z tym samym okresem i porówna¢ ich warto±ci.
Ponadto, obliczenie stopy efektywnej przydaje si¦ w zadaniach w których chcemy zmieni¢
okres kapitalizacji lokaty, nie zmieniaj¡c jej opªacalno±ci.
Zaªó»my, »e mamy lokat¦ ze stop¡ r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK. Chcemy j¡
zmieni¢ na równowa»n¡ jej lokat¦ o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka b¦dzie stopa ref na tej lokacie? Zakªadamy, »e na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef.
Twierdzenie 6. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach:
ref = (1 + r)m− 1.
Jak kwestia wygl¡da w przeliczaniu stopy efektywnej pomi¦dzy dyskretn¡ i ci¡gª¡ kapi- talizacj¡?
De nicja 11. Mówimy, »e warunki oprocentowania lokaty I z kapitalizacj¡ ci¡gª¡ s¡
równowa»ne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II s¡ równo- wa»ne) w czasie T , b¦d¡cym wielokrotno±ci¡ okresu kapitalizacji lokaty II, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi¡gnie t¦ sam¡ warto±¢ co na lokacie II.
Mówimy, »e warunki oprocentowania lokaty I z kapitalizacj¡ ci¡gª¡ s¡ lepsze ( bardziej opªacalne) ni» warunki oprocentowania lokaty II w czasie T , b¦d¡cym wielokrotno±ci¡
okresu kapitalizacji lokaty II je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi¡gnie wi¦ksz¡ warto±¢ ni» na lokacie II.
Jak w przypadku kapitalizacji dyskretnej, równowa»no±¢/opªacalno±¢ nie zale»y od wy- boru T .
Zaªó»my, »e mamy lokat¦ ze stop¡ r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK = OS.
Chcemy j¡ zmieni¢ na równowa»n¡ jej lokat¦ kapitalizacji ci¡gªej. Jaka b¦dzie stopa ref
o tym samym okresie stopy OS na lokacie z kapitalizacj¡ ci¡gª¡?
Twierdzenie 7. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach:
ref = ln(1 + r).
Zaªó»my na odwrót, »e mamy lokat¦ ze stop¡ r o okresie OS i kapitalizacji ci¡gªej.
Chcemy j¡ zmieni¢ na równowa»n¡ jej lokat¦ o okresie kapitalizacji OK = OS. Jaka b¦dzie stopa ref na lokacie z kapitalizacj¡ dyskretn¡?
Twierdzenie 8. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach:
ref = er− 1.
Zauwa»my, wzory z dwóch ostatnich twierdze« s¡ swoimi odwrotno±ciami.
Z praktyki wynika, »e najtrudniejsze jest zrozumienie, kiedy u»y¢ stopy wzgl¦dnej, a kiedy efektywnej. Ogólna zasada jest taka: je±li w ramach zadania nale»y zmieni¢ okres kapitalizacji, nie zmieniaj¡c jej opªacalno±ci (czy to dlatego, »e w tre±ci zadania jest mowa o takiej zmianie, czy te» dlatego, »e chcemy porówna¢ dwie ró»ne lokaty) to obliczamy stop¦ efektywn¡ (lub równowa»n¡). Je±li za± chcemy zmieni¢ TYLKO okres stopy (a okres kapitalizacji ma zosta¢ ten sam lub ma si¦ zmieni¢, lecz z dopuszczeniem zmiany opªacalno±ci), obliczamy stop¦ wzgl¦dn¡.
Ponadto, stopy zwrotu (które porz¡dnie zde niujemy na nast¦pnych wykªadach) s¡ w sposób domy±lny stopami efektywnymi, wi¦c nie nale»y ich nigdy przelicza¢ przez stopy wzgl¦dne.
IV. Uwagi dodatkowe
Okre±lenie stopy zwrotu z lokaty z kapitalizacj¡ prost¡ nie jest mo»liwe bez doprecyzo- wania jej czasu trwania. Dlatego nie de niujemy czego± takiego jak stopy efektywne dla kapitalizacji prostej.
Zdarza si¦, »e umowa, jak¡ jest lokata, zawiera w sobie jakie± inne opªaty ponoszone przez jedn¡ ze stron, niewliczone w warunki oprocentowania (np. premie staªego klienta, opªata za ubezpieczenie). S¡ one tak ró»ne, »e nie b¦dziemy si¦ nimi zajmowa¢, z wyj¡tkiem jednej kwestii - podatku od zysków kapitaªowych (w Polsce - 19%).
Konwencja Generalnie, w zadaniach b¦dziemy zakªada¢ brak opodatkowania.
S¡ dwa typowe sposoby opodatkowania lokaty: albo zyski z niej s¡ opodatkowane na- tychmiast po ka»dej kapitalizacji (wi¦kszo±¢ lokat w Polsce) - model I, albo dopiero po zako«czeniu lokaty (niektóre konta oszcz¦dno±ci emerytalnych) - model II.
W obydwu wypadkach b¦dzie nas interesowa¢ stopa zwrotu netto (czyli po uwzgl¦dnieniu podatków) z danej lokaty. Zaªó»my, »e stopa zwrotu brutto (czyli przed uwzgl¦dnieniem podatków) z lokaty w jednym okresie kapitalizacji (czyli zgodna) wynosi rz. Wtedy, je±li stopa opodatkowania wynosi p i zaªo»ymy model opodatkowania I, to stopa zwrotu netto (rzn) mo»e by¢ obliczona ze wzoru:
rzn = (1 − p)rz.
Je±li za± zaªo»ymy model opodatkowania II, to przy tych samych oznaczeniach, co na poprzednim slajdzie stopa zwrotu netto zale»y od N - liczby okresów kapitalizacji przed likwidacj¡ lokaty i wynosi:
rzn = ((1 + rz)N − 1)(1 − p)N1 .
