1b. Lokaty - równoważność i porównywanie
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Matematyka finansowa
1 Motywacje i definicje
2 Stopa efektywna (równoważna)
3 Przypadek kapitalizacji ciągłej
4 Przypadek kapitalizacji prostej
5 Uwagi - kapitalizacja z góry i podatki
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat.
Co to oznacza? Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa. Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach
kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej.
W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa. Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach
kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa. Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach
kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową.
Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa. Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach
kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa.
Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa.
Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Motywacja
W tej części wykładu przejdziemy do naszego głównego celu:
porównania opłacalności dwóch dowolnych lokat. Co to oznacza?
Mając dane dwie lokaty, chcemy powiedzieć, na której z nich klient może zarobić więcej. W tym celu nauczymy się dla każdej lokaty wyznaczać stopę zwrotu o zadanym okresie.
Oczywiście, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza będzie lokata która ma wyższą nominalną roczną stopę procentową. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych różnych okresów stóp, jest łatwa.
Dlatego jedyny problem możemy mieć przy różnych okresach kapitalizacji.
Zanim zaczniemy ustalać rozmaite kryteria i wzory związane z porównywaniem lokat, doprecyzujmy, co dokładnie oznacza
„zarabianie więcej na lokacie”. Ponadto przypomnę, że domyślnie mówimy o kapitalizacji złożonej.
Potencjalny problem
Potencjalny problem może wyjaśnić następujące pytanie:
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Przykładowo, klient zainwestował w każdą lokatę 1000 PLN. Po 3 miesiącach, na lokacie pierwszej znajdzie się
1070 PLN, a na lokacie drugiej będzie nadal 1000 PLN. Z kolei po 4 miesiącach, na lokacie kwartalnej będzie nadal 1070 PLN, a na lokacie 4-miesięcznej 1100 PLN, czyli więcej. Z kolei po 6 miesiącach, znów lokata 3-miesięczna w dochodowości „wyprzedzi” 4-miesięczną, bo znajdzie się na niej około 1145 PLN... Zatem wygląda, że nie można powiedzieć, która lokata jest lepsza ogólnie, bo w różnych momentach raz lepsza jest pierwsza, a raz druga.
Potencjalny problem
Potencjalny problem może wyjaśnić następujące pytanie:
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Przykładowo, klient zainwestował w każdą lokatę 1000 PLN. Po 3 miesiącach, na lokacie pierwszej znajdzie się 1070 PLN, a na lokacie drugiej będzie nadal 1000 PLN.
Z kolei po 4 miesiącach, na lokacie kwartalnej będzie nadal 1070 PLN, a na lokacie 4-miesięcznej 1100 PLN, czyli więcej. Z kolei po 6 miesiącach, znów lokata 3-miesięczna w dochodowości „wyprzedzi” 4-miesięczną, bo znajdzie się na niej około 1145 PLN... Zatem wygląda, że nie można powiedzieć, która lokata jest lepsza ogólnie, bo w różnych momentach raz lepsza jest pierwsza, a raz druga.
Potencjalny problem
Potencjalny problem może wyjaśnić następujące pytanie:
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Przykładowo, klient zainwestował w każdą lokatę 1000 PLN. Po 3 miesiącach, na lokacie pierwszej znajdzie się 1070 PLN, a na lokacie drugiej będzie nadal 1000 PLN. Z kolei po 4 miesiącach, na lokacie kwartalnej będzie nadal 1070 PLN, a na lokacie 4-miesięcznej
1100 PLN, czyli więcej. Z kolei po 6 miesiącach, znów lokata 3-miesięczna w dochodowości „wyprzedzi” 4-miesięczną, bo znajdzie się na niej około 1145 PLN... Zatem wygląda, że nie można powiedzieć, która lokata jest lepsza ogólnie, bo w różnych momentach raz lepsza jest pierwsza, a raz druga.
Potencjalny problem
Potencjalny problem może wyjaśnić następujące pytanie:
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Przykładowo, klient zainwestował w każdą lokatę 1000 PLN. Po 3 miesiącach, na lokacie pierwszej znajdzie się 1070 PLN, a na lokacie drugiej będzie nadal 1000 PLN. Z kolei po 4 miesiącach, na lokacie kwartalnej będzie nadal 1070 PLN, a na lokacie 4-miesięcznej 1100 PLN, czyli więcej.
Z kolei po 6 miesiącach, znów lokata 3-miesięczna w dochodowości „wyprzedzi” 4-miesięczną, bo znajdzie się na niej około 1145 PLN... Zatem wygląda, że nie można powiedzieć, która lokata jest lepsza ogólnie, bo w różnych momentach raz lepsza jest pierwsza, a raz druga.
Potencjalny problem
Potencjalny problem może wyjaśnić następujące pytanie:
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Przykładowo, klient zainwestował w każdą lokatę 1000 PLN. Po 3 miesiącach, na lokacie pierwszej znajdzie się 1070 PLN, a na lokacie drugiej będzie nadal 1000 PLN. Z kolei po 4 miesiącach, na lokacie kwartalnej będzie nadal 1070 PLN, a na lokacie 4-miesięcznej 1100 PLN, czyli więcej. Z kolei po 6 miesiącach, znów lokata 3-miesięczna w dochodowości „wyprzedzi” 4-miesięczną, bo znajdzie się na niej
Potencjalny problem - rozwiązanie
Oczywiście, prawdą jest, że jeśli wiemy, że pieniądze z lokaty będą potrzebne za dokładnie 6 miesięcy, albo za dokładnie 5 miesięcy, to musimy to uwzględnić w naszych rachubach - i takich osobistych uwarunkowań nie da się uchwycić jedną matematyczną teorią.
Jednakże, możemy te lokaty porównać w aspekcie długoterminowego wzrostu, jeśli dla klienta nie jest kluczowa płynność jego inwestycji w konkretnym momencie.
Sprzeczności w porównywaniu lokat stwarzały problem przez to, że momenty kapitalizacji na obu lokatach były różne. Dlatego
porównania lokat były niesprawiedliwe w dowolnym rozważanym na poprzednim slajdzie momencie, gdyż kapitały zapisane na lokacie były
„nierówno skapitalizowane”. Dlatego, by porównać te dwie lokaty należy obliczyć kapitał na nich w momencie, w którym obie się kapitalizują, czyli we wspólnej całkowitej wielokrotności okresów kapitalizacji - w tym wypadku, po roku (całkowita wielokrotność zarówno 3, jak i 4 miesięcy)
Potencjalny problem - rozwiązanie
Oczywiście, prawdą jest, że jeśli wiemy, że pieniądze z lokaty będą potrzebne za dokładnie 6 miesięcy, albo za dokładnie 5 miesięcy, to musimy to uwzględnić w naszych rachubach - i takich osobistych uwarunkowań nie da się uchwycić jedną matematyczną teorią.
Jednakże, możemy te lokaty porównać w aspekcie długoterminowego wzrostu, jeśli dla klienta nie jest kluczowa płynność jego inwestycji w konkretnym momencie.
Sprzeczności w porównywaniu lokat stwarzały problem przez to, że momenty kapitalizacji na obu lokatach były różne. Dlatego
porównania lokat były niesprawiedliwe w dowolnym rozważanym na poprzednim slajdzie momencie, gdyż kapitały zapisane na lokacie były
„nierówno skapitalizowane”. Dlatego, by porównać te dwie lokaty należy obliczyć kapitał na nich w momencie, w którym obie się kapitalizują, czyli we wspólnej całkowitej wielokrotności okresów kapitalizacji - w tym wypadku, po roku (całkowita wielokrotność zarówno 3, jak i 4 miesięcy)
Potencjalny problem - rozwiązanie
Oczywiście, prawdą jest, że jeśli wiemy, że pieniądze z lokaty będą potrzebne za dokładnie 6 miesięcy, albo za dokładnie 5 miesięcy, to musimy to uwzględnić w naszych rachubach - i takich osobistych uwarunkowań nie da się uchwycić jedną matematyczną teorią.
Jednakże, możemy te lokaty porównać w aspekcie długoterminowego wzrostu, jeśli dla klienta nie jest kluczowa płynność jego inwestycji w konkretnym momencie.
Sprzeczności w porównywaniu lokat stwarzały problem przez to, że momenty kapitalizacji na obu lokatach były różne. Dlatego
porównania lokat były niesprawiedliwe w dowolnym rozważanym na poprzednim slajdzie momencie, gdyż kapitały zapisane na lokacie były
„nierówno skapitalizowane”.
Dlatego, by porównać te dwie lokaty należy obliczyć kapitał na nich w momencie, w którym obie się kapitalizują, czyli we wspólnej całkowitej wielokrotności okresów kapitalizacji - w tym wypadku, po roku (całkowita wielokrotność zarówno 3, jak i 4 miesięcy)
Potencjalny problem - rozwiązanie
Oczywiście, prawdą jest, że jeśli wiemy, że pieniądze z lokaty będą potrzebne za dokładnie 6 miesięcy, albo za dokładnie 5 miesięcy, to musimy to uwzględnić w naszych rachubach - i takich osobistych uwarunkowań nie da się uchwycić jedną matematyczną teorią.
Jednakże, możemy te lokaty porównać w aspekcie długoterminowego wzrostu, jeśli dla klienta nie jest kluczowa płynność jego inwestycji w konkretnym momencie.
Sprzeczności w porównywaniu lokat stwarzały problem przez to, że momenty kapitalizacji na obu lokatach były różne. Dlatego
porównania lokat były niesprawiedliwe w dowolnym rozważanym na poprzednim slajdzie momencie, gdyż kapitały zapisane na lokacie były
„nierówno skapitalizowane”. Dlatego, by porównać te dwie lokaty
Rozwiązanie problemu
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Na pierwszej lokacie po roku znajdzie się:
KI = 1000 · (1 + 0,284 )4 = 1310, 7960 PLN,
a na drugiej:
KII = 1000 · (1 + 0,33 )3 = 1331 PLN, więc na drugiej lokacie tempo wzrostu kapitału jest wyższe. Dlatego możemy powiedzieć, że pod względem stopy zwrotu druga lokata jest lepsza dla klienta.
Rozwiązanie problemu
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Na pierwszej lokacie po roku znajdzie się:
KI = 1000 · (1 + 0,284 )4 = 1310, 7960 PLN, a na drugiej:
KII = 1000 · (1 + 0,33 )3 = 1331 PLN,
więc na drugiej lokacie tempo wzrostu kapitału jest wyższe. Dlatego możemy powiedzieć, że pod względem stopy zwrotu druga lokata jest lepsza dla klienta.
Rozwiązanie problemu
Problem
Czy bardziej opłacalna dla klienta jest lokata na 28% rocznie przy kapitalizacji kwartalnej, czy na 30% rocznie przy kapitalizacji 4-miesięcznej?
Na pierwszej lokacie po roku znajdzie się:
KI = 1000 · (1 + 0,284 )4 = 1310, 7960 PLN, a na drugiej:
KII = 1000 · (1 + 0,33 )3 = 1331 PLN, więc na drugiej lokacie tempo wzrostu kapitału jest wyższe. Dlatego możemy powiedzieć, że pod względem stopy zwrotu druga lokata jest lepsza dla klienta.
Stopa zwrotu jako miara opłacalności
Na podstawie wcześniejszych obliczeń, możemy obliczyć i porównać procentowe roczne stopy zwrotu z obydwu lokat.
Na lokacie pierwszej, stopa zwrotu wyniesie rzI = 1310,7960−1000
1000 = 31, 0796%, zaś ma drugiej
rzII = 1331−10001000 = 33, 1% - i to jest prawdziwe tempo przyrostu kapitału na rok na tych lokatach. W szczególności, warto zauważyć, że stopy zwrotu są różne od nominalnych, gdy kapitalizacja jest niezgodna.
Stopa zwrotu w danym okresie czasowym jest zatem najlepszą miarą opłacalności lokaty. W dalszej części wykładu przedstawimy sposób jej obliczania dla dowolnej lokaty.
Stopa zwrotu jako miara opłacalności
Na podstawie wcześniejszych obliczeń, możemy obliczyć i porównać procentowe roczne stopy zwrotu z obydwu lokat.
Na lokacie pierwszej, stopa zwrotu wyniesie rzI =
1310,7960−1000
1000 = 31, 0796%, zaś ma drugiej
rzII = 1331−10001000 = 33, 1% - i to jest prawdziwe tempo przyrostu kapitału na rok na tych lokatach. W szczególności, warto zauważyć, że stopy zwrotu są różne od nominalnych, gdy kapitalizacja jest niezgodna.
Stopa zwrotu w danym okresie czasowym jest zatem najlepszą miarą opłacalności lokaty. W dalszej części wykładu przedstawimy sposób jej obliczania dla dowolnej lokaty.
Stopa zwrotu jako miara opłacalności
Na podstawie wcześniejszych obliczeń, możemy obliczyć i porównać procentowe roczne stopy zwrotu z obydwu lokat.
Na lokacie pierwszej, stopa zwrotu wyniesie rzI = 1310,7960−1000
1000 = 31, 0796%, zaś ma drugiej rzII =
1331−1000
1000 = 33, 1% - i to jest prawdziwe tempo przyrostu kapitału na rok na tych lokatach. W szczególności, warto zauważyć, że stopy zwrotu są różne od nominalnych, gdy kapitalizacja jest niezgodna.
Stopa zwrotu w danym okresie czasowym jest zatem najlepszą miarą opłacalności lokaty. W dalszej części wykładu przedstawimy sposób jej obliczania dla dowolnej lokaty.
Stopa zwrotu jako miara opłacalności
Na podstawie wcześniejszych obliczeń, możemy obliczyć i porównać procentowe roczne stopy zwrotu z obydwu lokat.
Na lokacie pierwszej, stopa zwrotu wyniesie rzI = 1310,7960−1000
1000 = 31, 0796%, zaś ma drugiej
rzII = 1331−10001000 = 33, 1% - i to jest prawdziwe tempo przyrostu kapitału na rok na tych lokatach.
W szczególności, warto zauważyć, że stopy zwrotu są różne od nominalnych, gdy kapitalizacja jest niezgodna.
Stopa zwrotu w danym okresie czasowym jest zatem najlepszą miarą opłacalności lokaty. W dalszej części wykładu przedstawimy sposób jej obliczania dla dowolnej lokaty.
Stopa zwrotu jako miara opłacalności
Na podstawie wcześniejszych obliczeń, możemy obliczyć i porównać procentowe roczne stopy zwrotu z obydwu lokat.
Na lokacie pierwszej, stopa zwrotu wyniesie rzI = 1310,7960−1000
1000 = 31, 0796%, zaś ma drugiej
rzII = 1331−10001000 = 33, 1% - i to jest prawdziwe tempo przyrostu kapitału na rok na tych lokatach. W szczególności, warto zauważyć, że stopy zwrotu są różne od nominalnych, gdy kapitalizacja jest niezgodna.
Stopa zwrotu w danym okresie czasowym jest zatem najlepszą miarą opłacalności lokaty. W dalszej części wykładu przedstawimy sposób
Przypadek równych stóp
Zanim przejdziemy do ogólnego rozwiązania problemu, dla wyrobienia intuicji, zajmiemy się szczególnym przypadkiem.
Załóżmy, że mamy dwie lokaty o kapitalizacji złożonej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r , lecz mają one różne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opłacalna dla klienta? Okazuje się, że w tej sytuacji bardziej opłacalna jest lokata o
krótszym okresie kapitalizacji (czyli o częstszej kapitalizacji). Dowód jest dość elementarny, ale żmudny, więc nie będziemy go tu
przedstawiać. Zainteresowani mogą go znaleźć np. w książce prof. E.Smagi „Arytmetyka finansowa”.
Przypadek równych stóp
Zanim przejdziemy do ogólnego rozwiązania problemu, dla wyrobienia intuicji, zajmiemy się szczególnym przypadkiem. Załóżmy, że mamy dwie lokaty o kapitalizacji złożonej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r , lecz mają one różne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opłacalna dla klienta?
Okazuje się, że w tej sytuacji bardziej opłacalna jest lokata o
krótszym okresie kapitalizacji (czyli o częstszej kapitalizacji). Dowód jest dość elementarny, ale żmudny, więc nie będziemy go tu
przedstawiać. Zainteresowani mogą go znaleźć np. w książce prof. E.Smagi „Arytmetyka finansowa”.
Przypadek równych stóp
Zanim przejdziemy do ogólnego rozwiązania problemu, dla wyrobienia intuicji, zajmiemy się szczególnym przypadkiem. Załóżmy, że mamy dwie lokaty o kapitalizacji złożonej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r , lecz mają one różne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opłacalna dla klienta?
Okazuje się, że w tej sytuacji bardziej opłacalna jest lokata o krótszym okresie kapitalizacji (czyli o częstszej kapitalizacji).
Dowód jest dość elementarny, ale żmudny, więc nie będziemy go tu
przedstawiać. Zainteresowani mogą go znaleźć np. w książce prof. E.Smagi „Arytmetyka finansowa”.
Przypadek równych stóp
Zanim przejdziemy do ogólnego rozwiązania problemu, dla wyrobienia intuicji, zajmiemy się szczególnym przypadkiem. Załóżmy, że mamy dwie lokaty o kapitalizacji złożonej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r , lecz mają one różne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opłacalna dla klienta?
Okazuje się, że w tej sytuacji bardziej opłacalna jest lokata o
krótszym okresie kapitalizacji (czyli o częstszej kapitalizacji). Dowód jest dość elementarny, ale żmudny, więc nie będziemy go tu
przedstawiać. Zainteresowani mogą go znaleźć np. w książce prof.
E.Smagi „Arytmetyka finansowa”.
Przypadek równych stóp
Zanim przejdziemy do ogólnego rozwiązania problemu, dla wyrobienia intuicji, zajmiemy się szczególnym przypadkiem. Załóżmy, że mamy dwie lokaty o kapitalizacji złożonej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r , lecz mają one różne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opłacalna dla klienta?
Okazuje się, że w tej sytuacji bardziej opłacalna jest lokata o
krótszym okresie kapitalizacji (czyli o częstszej kapitalizacji). Dowód jest dość elementarny, ale żmudny, więc nie będziemy go tu
przedstawiać. Zainteresowani mogą go znaleźć np. w książce prof.
E.Smagi „Arytmetyka finansowa”.
Równoważność i porównywanie lokat - definicje
Równoważność lokat
Mówimy, że warunki oprocentowania lokaty I są równoważne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II są
równoważne) w czasie T , będącym wspólną wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat, jeśli po czasie T ten sam kapitał
umieszczony na lokacie I osiągnie tę samą wartość co na lokacie II.
Porównywanie lokat
Mówimy, że warunki oprocentowania lokaty I są lepsze (bardziej opłacalne) niż warunki oprocentowania lokaty II w czasie T , będącym wspólną wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat, jeśli po czasie T ten sam kapitał umieszczony na lokacie I osiągnie większą wartość niż na lokacie II.
Równoważność i porównywanie lokat - definicje
Równoważność lokat
Mówimy, że warunki oprocentowania lokaty I są równoważne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II są
równoważne) w czasie T , będącym wspólną wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat, jeśli po czasie T ten sam kapitał
umieszczony na lokacie I osiągnie tę samą wartość co na lokacie II.
Porównywanie lokat
Mówimy, że warunki oprocentowania lokaty I są lepsze (bardziej opłacalne) niż warunki oprocentowania lokaty II w czasie T , będącym wspólną wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat, jeśli po czasie T ten sam kapitał umieszczony na lokacie I osiągnie większą wartość niż na lokacie II.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
Definicja równoważności/opłacalności lokat teoretycznie zależy od czasu T .
Okazuje się jednak, że tak nie jest. Na przykład, jeśli lokata I jest bardziej opłacalna niż lokata II i jeśli w czasie T lokata I
kapitalizuje się m1 razy ze stopą zgodną r1, a lokata II kapitalizuje się m2 razy ze stopą zgodną r2 to wiemy, że:
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
Definicja równoważności/opłacalności lokat teoretycznie zależy od czasu T . Okazuje się jednak, że tak nie jest.
Na przykład, jeśli lokata I jest bardziej opłacalna niż lokata II i jeśli w czasie T lokata I
kapitalizuje się m1 razy ze stopą zgodną r1, a lokata II kapitalizuje się m2 razy ze stopą zgodną r2 to wiemy, że:
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
Definicja równoważności/opłacalności lokat teoretycznie zależy od czasu T . Okazuje się jednak, że tak nie jest. Na przykład, jeśli lokata I jest bardziej opłacalna niż lokata II i jeśli w czasie T lokata I
kapitalizuje się m1 razy ze stopą zgodną r1, a lokata II kapitalizuje się m2 razy ze stopą zgodną r2 to wiemy, że:
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2 ⇒ (1 + r1)m1 > (1 + r2)m2. Każdy inny czas będący wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat można przedstawić jako kT , k > 0.
W takim razie, po czasie kT , lokata I kapitalizuje się km1 razy, a lokata II km2 razy i wtedy:
KI = K0(1 + r1)km1 = K0[(1 + r1)m1]k > K0[(1 + r2)m2]k =
= K0(1 + r2)km2 = KII,
czyli opłacalność lokaty I jest lepsza nie tylko dla czasu T , ale też każdego innego.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2 ⇒ (1 + r1)m1 > (1 + r2)m2. Każdy inny czas będący wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat można przedstawić jako kT , k > 0. W takim razie, po czasie kT , lokata I kapitalizuje się km1 razy, a lokata II km2 razy i wtedy:
KI = K0(1 + r1)km1 =
K0[(1 + r1)m1]k > K0[(1 + r2)m2]k =
= K0(1 + r2)km2 = KII,
czyli opłacalność lokaty I jest lepsza nie tylko dla czasu T , ale też każdego innego.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2 ⇒ (1 + r1)m1 > (1 + r2)m2. Każdy inny czas będący wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat można przedstawić jako kT , k > 0. W takim razie, po czasie kT , lokata I kapitalizuje się km1 razy, a lokata II km2 razy i wtedy:
KI = K0(1 + r1)km1 = K0[(1 + r1)m1]k
> K0[(1 + r2)m2]k =
= K0(1 + r2)km2 = KII,
czyli opłacalność lokaty I jest lepsza nie tylko dla czasu T , ale też każdego innego.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2 ⇒ (1 + r1)m1 > (1 + r2)m2. Każdy inny czas będący wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat można przedstawić jako kT , k > 0. W takim razie, po czasie kT , lokata I kapitalizuje się km1 razy, a lokata II km2 razy i wtedy:
KI = K0(1 + r1)km1 = K0[(1 + r1)m1]k > K0[(1 + r2)m2]k =
=
K0(1 + r2)km2 = KII,
czyli opłacalność lokaty I jest lepsza nie tylko dla czasu T , ale też każdego innego.
Niezależność równoważności i opłacalności od czasu
K0(1 + r1)m1 > K0(1 + r2)m2 ⇒ (1 + r1)m1 > (1 + r2)m2. Każdy inny czas będący wielokrotnością okresów kapitalizacji obydwu lokat można przedstawić jako kT , k > 0. W takim razie, po czasie kT , lokata I kapitalizuje się km1 razy, a lokata II km2 razy i wtedy:
KI = K0(1 + r1)km1 = K0[(1 + r1)m1]k > K0[(1 + r2)m2]k =
= K0(1 + r2)km2 = KII,
czyli opłacalność lokaty I jest lepsza nie tylko dla czasu T , ale też każdego innego.
Stopa efektywna - definicja
Stopa efektywna (równoważna)
Stopa efektywna (równoważna) ref dla danej lokaty (lub innej inwestycji) to średnia stopa zwrotu uzyskiwana długoterminowo w zadanym okresie stopy OS przy danej kapitalizacji o okresie OK (niekoniecznie zgodnej). Jest to jednocześnie stopa, dla której lokata o okresie kapitalizacji równym OS z poprzedniego zdania jest
równoważna danej lokacie.
Czasem pojęcia stopy efektywnej i równoważnej się rozdziela: przedstawiony powyżej obiekt nazywa się stopą efektywną, gdy OS > OK , a równoważną, gdy OS < OK .
Stopa efektywna - definicja
Stopa efektywna (równoważna)
Stopa efektywna (równoważna) ref dla danej lokaty (lub innej inwestycji) to średnia stopa zwrotu uzyskiwana długoterminowo w zadanym okresie stopy OS przy danej kapitalizacji o okresie OK (niekoniecznie zgodnej). Jest to jednocześnie stopa, dla której lokata o okresie kapitalizacji równym OS z poprzedniego zdania jest
równoważna danej lokacie.
Czasem pojęcia stopy efektywnej i równoważnej się rozdziela:
przedstawiony powyżej obiekt nazywa się stopą efektywną, gdy OS > OK , a równoważną, gdy OS < OK .
Stopa efektywna - zastosowanie
Obliczanie stopy efektywnej różnych lokat dla zadanego okresu stopy np. roku pozwala nam natychmiast porównać te lokaty ze względu na opłacalność.
Warunki oprocentowania I i II są równoważne (I lepsze niż II) wtedy i tylko wtedy, gdy refI = refII (refI > refII) i okresy obu stóp efektywnych są takie same. Zatem, by porównać dwie lokaty (lub więcej) wystarczy wybrać jakiś okres stopy (np. rok), przeliczyć ich nominalne stopy na stopy efektywne z tym samym okresem i porównać ich wartości.
Ponadto, obliczenie stopy efektywnej przydaje się w zadaniach w których chcemy zmienić okres kapitalizacji lokaty, nie zmieniając jej opłacalności.
Stopa efektywna - zastosowanie
Obliczanie stopy efektywnej różnych lokat dla zadanego okresu stopy np. roku pozwala nam natychmiast porównać te lokaty ze względu na opłacalność. Warunki oprocentowania I i II są równoważne (I lepsze niż II) wtedy i tylko wtedy, gdy refI = refII (refI > refII) i okresy obu stóp efektywnych są takie same.
Zatem, by porównać dwie lokaty (lub więcej) wystarczy wybrać jakiś okres stopy (np. rok), przeliczyć ich nominalne stopy na stopy efektywne z tym samym okresem i porównać ich wartości.
Ponadto, obliczenie stopy efektywnej przydaje się w zadaniach w których chcemy zmienić okres kapitalizacji lokaty, nie zmieniając jej opłacalności.
Stopa efektywna - zastosowanie
Obliczanie stopy efektywnej różnych lokat dla zadanego okresu stopy np. roku pozwala nam natychmiast porównać te lokaty ze względu na opłacalność. Warunki oprocentowania I i II są równoważne (I lepsze niż II) wtedy i tylko wtedy, gdy refI = refII (refI > refII) i okresy obu stóp efektywnych są takie same. Zatem, by porównać dwie lokaty (lub więcej) wystarczy wybrać jakiś okres stopy (np. rok), przeliczyć ich nominalne stopy na stopy efektywne z tym samym okresem i porównać ich wartości.
Ponadto, obliczenie stopy efektywnej przydaje się w zadaniach w których chcemy zmienić okres kapitalizacji lokaty, nie zmieniając jej
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK .
Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie? Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef. Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef. Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + ref)k ⇒ ref = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK . Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie?
Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef. Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef. Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + ref)k ⇒ ref = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK . Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie? Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef.
Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef. Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + ref)k ⇒ ref = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK . Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie? Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef. Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef.
Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + ref)k ⇒ ref = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK . Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie? Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef. Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef. Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + ref)k ⇒
ref = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - obliczanie
Załóżmy, że mamy lokatę ze stopą r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK . Chcemy ją zmienić na równoważną jej lokatę o danym okresie stopy OSef i okresie kapitalizacji OKef. Jaka będzie stopa ref na tej lokacie? Zakładamy, że na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OSef = OKef) i ustalamy m = OKOKef. Wtedy, z definicji równoważności lokat, wybieramy czas T - całkowitą wielokrotność OKef i OK np. T = k · OKef. Wtedy dla dowolnego kapitału K :
Stopa efektywna
K (1 + r )mk = K (1 + r )k ⇒ r = (1 + r )m− 1.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym. Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc
refA= (1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc refA= (1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r =
0, 56, m = 12, więc refA= (1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m =
1 2, więc refA= (1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc refA=
(1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc
1
Dla lokaty B, oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc refA= (1 + 0, 56)12 − 1 = 0, 2490.
Dla lokaty B,
oczywiście refB = 0, 27 (gdyż kapitalizacja jest zgodna).
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Żeby porównać opłacalność tych lokat wystarczy dla każdej z nich obliczyć stopę efektywną o tym samym okresie, np. rocznym.
Dla lokaty A, ¯r = 0, 56, m = 12, więc
1
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769. Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r =
0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769. Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m =
2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769. Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC =
(1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769. Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r =
0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m =
4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD =
(1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744. Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m =
12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
(1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
Dla lokaty E , ¯r = 0, 02, m = 12, więc refE = (1 + 0, 02)12− 1 = 0, 2682.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Dla lokaty C , ¯r = 0, 13, m = 2, więc refC = (1 + 0, 13)2− 1 = 0, 2769.
Dla lokaty D, ¯r = 0, 0625, m = 4, więc refD = (1 + 0, 0625)4− 1 = 0, 2744.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Podsumowując, refC > refD > refB > refE > refA.
Odp: Uporządkowanie lokat od najbardziej do najmniej opłacalnej: C,D,B,E,A.
Stopa efektywna - przykład
Zadanie
Uporządkować w kolejności opłacalności lokaty o następujących modelach oprocentowania i kapitalizacji: A - OK= 2 lata, r = 28%/rok; B - OK= rok, r = 27%/rok , C - OK= 12 roku, r = 26%/rok, D - OK= 3 miesiące, r = 25%/rok, E - OK=miesiąc r = 24%/rok.
Podsumowując, refC > refD > refB > refE > refA.
Odp: Uporządkowanie lokat od najbardziej do najmniej opłacalnej:
C,D,B,E,A.
Stopa efektywna - przykład 2
Zadanie
Klient założył lokatę z kapitalizacją roczną i nominalną roczną stopą procentową 20%. Wpłacił na nią 1000 PLN. Niestety, zmarł wkrótce po jej założeniu. W wyniku postępowania spadkowego, aby rzetelnie podzielić majątek między spadkobierców, należy ustalić wartość lokaty po 7 miesiącach bez jej zrywania. Jak to zrobić?
Formalnie, na lokacie wciąż jest 1000 PLN, bo nie odbyła się żadna kapitalizacja. Jednak do tego, by na lokacie było 1200 brakuje tylko 5 miesięcy, a nie 12 (gdy lokata niewątpliwie była warta 1000 PLN). Zatem wartość lokaty musi być gdzieś pomiędzy 1000 PLN, a 1200 PLN. Pojęcie lokat równoważnych pomaga wycenić takie kwestie - wystarczy wybrać lokatę, która jest równoważna danej, ale której kapitalizacja wypada po 7 miesiącach.
Stopa efektywna - przykład 2
Zadanie
Klient założył lokatę z kapitalizacją roczną i nominalną roczną stopą procentową 20%. Wpłacił na nią 1000 PLN. Niestety, zmarł wkrótce po jej założeniu. W wyniku postępowania spadkowego, aby rzetelnie podzielić majątek między spadkobierców, należy ustalić wartość lokaty po 7 miesiącach bez jej zrywania. Jak to zrobić?
Formalnie, na lokacie wciąż jest 1000 PLN, bo nie odbyła się żadna kapitalizacja. Jednak do tego, by na lokacie było 1200 brakuje tylko 5 miesięcy, a nie 12 (gdy lokata niewątpliwie była warta 1000 PLN).
Zatem wartość lokaty musi być gdzieś pomiędzy 1000 PLN, a 1200 PLN. Pojęcie lokat równoważnych pomaga wycenić takie kwestie - wystarczy wybrać lokatę, która jest równoważna danej, ale której kapitalizacja wypada po 7 miesiącach.
Stopa efektywna - przykład 2
Zadanie
Klient założył lokatę z kapitalizacją roczną i nominalną roczną stopą procentową 20%. Wpłacił na nią 1000 PLN. Niestety, zmarł wkrótce po jej założeniu. W wyniku postępowania spadkowego, aby rzetelnie podzielić majątek między spadkobierców, należy ustalić wartość lokaty po 7 miesiącach bez jej zrywania. Jak to zrobić?
Formalnie, na lokacie wciąż jest 1000 PLN, bo nie odbyła się żadna kapitalizacja. Jednak do tego, by na lokacie było 1200 brakuje tylko 5 miesięcy, a nie 12 (gdy lokata niewątpliwie była warta 1000 PLN).
Zatem wartość lokaty musi być gdzieś pomiędzy 1000 PLN, a 1200 PLN.
Pojęcie lokat równoważnych pomaga wycenić takie kwestie - wystarczy wybrać lokatę, która jest równoważna danej, ale której kapitalizacja wypada po 7 miesiącach.
Stopa efektywna - przykład 2
Zadanie
Klient założył lokatę z kapitalizacją roczną i nominalną roczną stopą procentową 20%. Wpłacił na nią 1000 PLN. Niestety, zmarł wkrótce po jej założeniu. W wyniku postępowania spadkowego, aby rzetelnie podzielić majątek między spadkobierców, należy ustalić wartość lokaty po 7 miesiącach bez jej zrywania. Jak to zrobić?
Formalnie, na lokacie wciąż jest 1000 PLN, bo nie odbyła się żadna kapitalizacja. Jednak do tego, by na lokacie było 1200 brakuje tylko 5 miesięcy, a nie 12 (gdy lokata niewątpliwie była warta 1000 PLN).
Zatem wartość lokaty musi być gdzieś pomiędzy 1000 PLN, a 1200
Stopa efektywna - przykład 2
Zadanie
Klient założył lokatę z kapitalizacją roczną i nominalną roczną stopą procentową 20%. Wpłacił na nią 1000 PLN. Niestety, zmarł wkrótce po jej założeniu. W wyniku postępowania spadkowego, aby rzetelnie podzielić majątek między spadkobierców, należy ustalić wartość lokaty po 7 miesiącach bez jej zrywania. Jak to zrobić?
Na przykład, możemy obliczyć stopę efektywną miesięczną dla danej lokaty. Mamy m = 121 , więc ref = (1 + 0, 2)121 − 1 = 0, 0153/miesiąc. Jest to stopa miesięczna obowiązująca na równoważnej lokacie miesięcznej. Wartość takiej lokaty po 7 miesiącach to
K7 = 1000(1 + ref)7 = 1112, 2158 PLN, więc taka jest i wartość lokaty wyjściowej.
