CCCXII (ROZPRAWYMATEMATYCZNE) DISSERTATIONESMATHEMATICAE

D I S S E R T A T I O N E S M A T H E M A T I C A E

(ROZPRAWY MATEMATYCZNE)

K O M I T E T R E D A K C Y J N Y

B O G D A N B O J A R S K I redaktor W I E S L A W ˙Z ELAZKO zaste

pca redaktora

A N D R Z E J B I A L Y N I C K I - B I R U L A, Z B I G N I E W C I E S I E L S K I, J E R Z Y L O ´ S, Z B I G N I E W S E M A D E N I

CCCXII

B E R N A D E T T E D E S H O M M E S

Puissances binomiales dans un corps cubique

W A R S Z A W A 1991

Published by the Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences Typeset in TEX at the Institute

Printed and bound by

P R I N T E D I N P O L A N D

Copyright by Instytut Matematyczny PAN, Warszawa 1991 c

ISBN 83-85116-14-1 ISSN 0012-3862

Introduction . . . . 5

§1. R´ esultat principal . . . . 7

§2. Solutions modulo deux . . . . 19

§3. Solutions modulo trois : “F

n’a pas la propri´ et´ e P(R)” . . . . 22

§4. Solutions modulo trois : “F

a la propri´ et´ e P(R)” et (aS, Q) 6= δ . . . . 30

§5. Diviseurs de F

et de R/δ . . . . 36

§6. Solutions modulo trois : “F

a la propri´ et´ e P(R)” et (aS, Q) = δ . . . . 38

§7. Cas particulier : U

= 0 . . . . 44

§8. Cas particulier : U

= 0 . . . . 48

Conclusion . . . . 52

Bibliographie . . . . 56

1991 Mathematics Subject Classification : 11R16, 11B37, 11S10.

Introduction

Soit ρ un ´ el´ ement primitif d’un corps cubique K de discriminant n´ egatif.

Consid´ erons les puissances binomiales de ρ d´ efinies par l’´ equation

(i) ρ ⁿ = xρ + y ,

o` u n ∈ Z et x, y ∈ Q, et posons f (X) = X <sup>3</sup> − SX <sup>2</sup> − QX − R, o` u f d´ esigne le polynˆ ome minimal de ρ. Dans cet article nous montrons (Thm. 1), sous l’hypoth` ese que S ou Q est non nul, que le nombre de solutions en n de l’´ equation (i) est au plus ´ egal ` a quatre, sauf dans trois cas o` u il y a cinq ou six solutions. A titre d’illustration, nous pr´ esentons dans la Table 3 une liste de seize exemples o` u l’´ equation (i) a au moins quatre solutions.

Il n’est pas possible de dire si cette liste est exhaustive ou non; Cor. 6 et Cor. 7 apportent quelques pr´ ecisions relatives ` a l’existence et ` a la forme des solutions non triviales.

Le Th´ eor` eme 1 ´ etend les r´ esultats de Nagell et de Delone et Faddeev, [10, §75] sur les unit´ es binomiales d’un ordre cubique. D’apr` es (i), chaque couple (x, y) est solution d’une ´ equation de Thue–Mahler de degr´ e trois, Norm _K/Q (xρ + y) = R ⁿ ; en degr´ e r ≥ 3, voir l’article de Bombieri et Schmidt [7].

Dans Cor. 1, nous obtenons, via D´ ef. 1 et Rem. 1, que la z´ ero-multiplicit´ e d’une suite r´ ecurrente lin´ eaire cubique de nombres rationnels, non-d´ eg´ en´ er´ ee et poss´ edant deux z´ eros cons´ ecutifs, est ´ egale ` a quatre, avec trois exceptions.

D’apr` es Rem. 1, les r´ esultats de ce travail s’adaptent, en se simplifiant, au cas o` u le polynˆ ome f n’est pas irr´ eductible, en supposant que f est non-d´ eg´ en´ er´ e et R non nul. Les questions de multiplicit´ e des r´ ecurrences lin´ eaires, d’ordre r ≥ 2, sont analys´ ees dans le rapport de van der Poorten [31, §5], voir aussi Tijdeman [29]. Dans un article ` a paraˆıtre, Beukers [4] r´ esoud une conjecture fameuse de Ward [37] et de Kubota [15, p. 99], en d´ emontrant que la z´ ero- multiplicit´ e d’une r´ ecurrence ternaire non-d´ eg´ en´ er´ ee de nombres rationnels est ´ egale ` a six; l’historique de cette conjecture est rappel´ e dans [31, §5.3].

Les suites poss´ edant quatre z´ eros et plus faisant figure d’exception, on peut

´

etudier la forme et le nombre des z´ eros en fonction des coefficients de la r´ ecurrence ou des premiers termes de la suite.

A une translation pr` es, la connexion est imm´ ediate entre les solutions en

n de l’´ equation (i) et les z´ eros d’une suite r´ ecurrente lin´ eaire qui s’annule deux fois cons´ ecutives. Pour n ∈ N, les suites coordonn´ees de ρ ⁿ dans la base ρ ² , ρ, 1 du corps K sont d´ efinies par une relation de r´ ecurrence et chaque z´ ero de la premi` ere coordonn´ ee U n est une solution de l’´ equation (i), la r´ eciproque ´ etant vraie dans les conditions de Cor. 2. Bien auparavant, Lucas [18, §173], a mis en ´ evidence l’int´ erˆ et que pr´ esentent les fonctions r´ ecurrentes fondamentales. Les propri´ et´ es de la suite U n sont d´ etaill´ ees dans Prop. 1, le terme d’indice n + 2 est la ni` eme fonction sym´ etrique compl` ete des racines ρ, ρ <sup>0</sup> , ρ <sup>00</sup> du polynˆ ome f , que Ward [35, 36] d´ esigne sous le nom de somme des produits homog` enes de poids n des racines de f ; d’apr` es D´ ef. 2,

(ii) U n+2 = X

i+j+k=n

ρ ⁱ ρ ^0j ρ ^00k .

Lorsque les trois racines de f sont r´ eelles, il est bien connu que les r´ ecurrences ternaires et, en particulier, la suite U n , ont au plus trois z´ eros, voir Smiley [28], Scott [27], Ward [34], Picon [25], Beukers [4], et dans le cas o` u les racines de f sont des entiers rationnels, Ward [37] conjecture que l’´ equation diophantienne U n+2 = 0 n’a pas de solutions pour tout n > 1 et pour tout polynˆ ome f . Des progr` es r´ ecents sur cette question difficile sont dˆ us

`

a Apostol [1] et ` a Turnwald [30]. Lorsque le polynˆ ome f a des racines complexes conjug´ ees, le terme g´ en´ eral de la suite U n s’exprime d’une part sous la forme d’une somme d’exponentielles, d’apr` es (4), d’autre part sous une forme diophantienne, d’apr` es (13),

(iii) U n+2 = X

i+2j+3k=n

(i + j + k)!

i!j!k! S ⁱ Q ^j R ^k ;

pour raison de congruences, nous utilisons cette derni` ere expression. Au vu des r´ esultats de Lewis et Turk [17], de Beukers et Tijdeman [5] et de Beukers [4], on peut se demander si la z´ ero-multiplicit´ e de la suite U n ou d’une suite quelconque de nombres rationnels d´ efinie par la relation (2) n’est pas ´ egale

`

a trois, avec une liste exhaustive d’exceptions (voir Rem. 6).

Dans le paragraphe 1, apr` es avoir ´ enonc´ e le r´ esultat principal, Thm. 1 et son corollaire, et introduit les notations et d´ efinitions utilis´ ees dans la suite, nous d´ emontrons Thm. 1. Dans les paragraphes suivants, nous ´ etablissons les r´ esultats interm´ ediaires dans l’ordre o` u ils apparaissent dans la preuve de Thm. 1. Le probl` eme ayant ´ et´ e r´ eduit aux conditions de l’hypoth` ese 2, nous supposons que ρ est un entier primitif du corps K et que ρ et ρ ³ /R ne sont pas des unit´ es alg´ ebriques, ces deux cas ´ etant trait´ es dans [10, §75]

et dans [11]. Nous discutons alors la forme et le nombre des solutions en n de l’´ equation (i), en fonction des diviseurs premiers de deux indices reli´ es

`

a f (D´ ef. 5), l’indice F 2 = −(QS + R) pour les solutions modulo deux,

et l’indice F 3 = Q ² (S ² + Q) − RS ³ pour les solutions modulo trois. Pour

1. R´ esultat principal 7

chaque diviseur premier p de F 2 , respectivement de F 3 , qui ne divise pas R, nous ´ etudions l’´ equation (i) par une m´ ethode p-adique, d’apr` es Mahler [21]

et Robba [26]. Voir le livre de Cassels, [8, chap. 4 et 5]. Nous ´ etendons ainsi

`

a des unit´ es semi-locales (D´ ef. 6) un proc´ ed´ e que Delone et Faddeev utilisent avec des unit´ es alg´ ebriques (voir [10] et [12]). Pour les diviseurs communs de R et F 2 ou de R et F 3 , nous ´ etudions au moyen de congruences, via (iii), l’´ equation diophantienne U n = 0 (Prop. 3 et Prop. 8). Les deux derniers paragraphes traitent des ´ equations (i) poss´ edant au moins trois solutions en n : 0, 1, 4 ou 0, 1, 3, et qui n´ ecessitent une ´ etude particuli` ere mettant en œuvre les r´ esultats des paragraphes pr´ ec´ edents (crit` eres F 2 et F 3 , Cor. 3 et Cor. 5). Les remarques 1, 3 et 5 concernent le cas o` u f n’est pas irr´ eductible.

D’apr` es un argument de Ward [33], si une suite non-d´ eg´ en´ er´ ee de nom- bres rationnels, d´ efinie par la relation (2), s’annule en 0 et n alors, via (10), n v´ erifie l’´ equation

(iv) ρ ⁿ = xθ + y ,

o` u θ d´ epend des premiers termes de la suite. On peut ´ etudier la forme et le nombre des solutions en n de l’´ equation (iv), en fonction des indices F k et de l’indice de θ relatif ` a ρ, et en utilisant les r´ esultats de Beukers [4].

§ 1. R´ esultat principal

Hypoth` ese 1. Soient ρ un ´ el´ ement primitif d’un corps cubique K de discriminant n´ egatif et f le polynˆ ome minimal de ρ. Posons f (X) = X ³ − SX ² − QX − R, S ou Q ´ etant non nul. Notations : Soit F la forme cubique binaire telle que F (X, −1) = f (X). Posons F (X, Y ) = RY ³ − QY ² X + SY X ² + X ³ et g(X) = R ⁻¹ F (−R, X); ω = R/ρ d´ esigne une racine du polynˆ ome g. Les nombres ρ et ω sont des racines, respectivement gauche et droite, de la forme F .

Th´ eor` eme 1. Sous l’hypoth` ese 1, le nombre de solutions en n de l’´ equa- tion

(1) ρ ⁿ = xρ + y ,

o` u n ∈ Z et x, y ∈ Q, est au plus ´egal `a quatre, avec trois exceptions. Il y a cinq solutions si ρ/λ, avec λ ∈ Q ^∗ , est une racine de X ³ + X ² − 1 ou de X ³ + 2X ² − 4, et six solutions dans le cas de X ³ − 2X ² + 4X − 4. Voir Table 3. La relation n + m = 1 donne trivialement les solutions en m de l’´ equation ω ^m = xω + y.

Le paragraphe 1 s’ach` eve par la preuve de Thm. 1. Il existe une ´ etroite

connexion entre les solutions en n de l’´ equation (1) et les z´ eros de certaines

suites r´ ecurrentes, qui est ` a la base de ce travail (voir Ward [33]).

D´ efinition 1. Soit u n une suite de nombres rationnels d´ efinie par la donn´ ee de u 0 , u 1 , u 2 non tous nuls, et par la relation de r´ ecurrence

(2) u n+3 = Su n+2 + Qu n+1 + Ru n , n ∈ N ,

o` u (S, Q, R) est un triplet fix´ e de nombres rationnels, avec R non nul. La suite u n est une suite r´ ecurrente lin´ eaire cubique, non triviale. Un z´ ero de la suite u n est un indice k tel que u k = 0. La z´ ero-multiplicit´ e de la suite u n est le nombre maximum de ses z´ eros. Posons f (X) = X ³ −SX ² −QX −R; f est le polynˆ ome auxiliaire de la r´ ecurrence. Un polynˆ ome est non-d´ eg´ en´ er´ e si le rapport de deux quelconques de ses racines n’est pas une racine de l’unit´ e.

La suite u n est non-d´ eg´ en´ er´ ee, ainsi que la r´ ecurrence, lorsque le polynˆ ome f est non-d´ eg´ en´ er´ e; dans ce cas la suite a un nombre fini de z´ eros, d’apr` es un th´ eor` eme de Mahler [20, p. 48]. Les “indices” de la r´ ecurrence sont les nombres rationnels F k dont le carr´ e est ´ egal au rapport des discriminants de ρ ^k et de ρ pour k ≥ 1, ρ ´ etant une racine de f et discr(ρ) = discr(f ).

Corollaire 1. Si une suite r´ ecurrente lin´ eaire cubique, non triviale, de nombres rationnels, a deux z´ eros cons´ ecutifs : k, k + 1, et si f , le polynˆ ome auxiliaire de la r´ ecurrence, v´ erifie l’hypoth` ese 1, alors la z´ ero-multiplicit´ e de la suite est ´ egale ` a quatre, avec trois exceptions. Dans deux cas, la suite a cinq z´ eros, lorsque k ≥ 2 :

k − 2, k, k + 1, k + 5, k + 14 pour f (X) = X ³ + λX ² − λ ³ , k − 2, k, k + 1, k + 6, k + 22 pour f (X) = X ³ + 2λX ² − 4λ ³ ; et dans le cas de la r´ ecurrence de Berstel et Mignotte, la suite a six z´ eros : k, k + 1, k + 4, k + 6, k + 13, k + 52 pour f (X) = X ³ − 2λX ² + 4λ ² X − 4λ ³ . L’´ enonc´ e est analogue lorsque g est le polynˆ ome auxiliaire de la r´ ecurrence.

P r e u v e. Soit u n la suite r´ ecurrente. L’hypoth` ese u k = u k+1 = 0 et les r´ esultats de Prop. 1 montrent que u k+m = u k+2 U m et R <sup>m+2</sup> u k−m = u k+2 W <sub>m+2</sub> <sup>0</sup> , d’apr` es (10) avec W _m+2 ⁰ = R ² U _m+1 ⁰ . Les z´ eros de la suite u n de la forme k ± m correspondent aux z´ eros des suites U m ou U _m+1 ⁰ , c’est-` a-dire, aux solutions en ±m de l’´ equation (1), d’apr` es les formules (3) et (7).

D´ efinition 2. D’apr` es Macdonald [19, p. 14], pour n ≥ 0, la n-i` eme fonction sym´ etrique compl` ete des variables x, y, z est la somme de tous les monˆ omes de degr´ e total n, P

i+j+k=n x ⁱ y ^j z ^k .

Proposition 1. Sous l’hypoth` ese 1, soient ρ, ρ ⁰ , ρ ⁰⁰ les racines du poly- nˆ ome f .

(i) Le polynˆ ome f est non-d´ eg´ en´ er´ e. Pour k ∈ N ^∗ , les nombres ρ ^k et ω ^k ,

avec ω = R/ρ, sont des ´ el´ ements primitifs du corps K v´ erifiant l’hypoth` ese 1.

1. R´ esultat principal 9

(ii) Pour n ∈ N, les suites-coordonn´ees de ρ ⁿ dans la base {ρ ² , ρ, 1} du corps K v´ erifient la relation de r´ ecurrence (2). Posons

(3) ρ ⁿ = U n ρ ² + V n ρ + W n .

Alors le terme g´ en´ eral de la suite U n a l’expression suivante : (4) δ f U n = (ρ ⁰ − ρ ⁰⁰ )ρ ⁿ + (ρ ⁰⁰ − ρ)(ρ ⁰ ) ⁿ + (ρ − ρ ⁰ )(ρ ⁰⁰ ) ⁿ ,

o` u δ f = −(ρ ⁰ − ρ ⁰⁰ )(ρ ⁰⁰ − ρ)(ρ − ρ ⁰ ) et δ ² _f = disc(f ) = Q ² S ² − 18QRS + 4Q ³ − 4RS ³ − 27R ² .

(iii) Soit g le polynˆ ome minimal de ω = R/ρ, g(X) = X ³ + QX ² + RSX −R ² . Pour n ∈ N, les suites-coordonn´ees de ω ⁿ dans la base {ω ² , ω, 1}

du corps K v´ erifient la relation de r´ ecurrence ayant g comme polynˆ ome auxiliaire. Posons

(5) ω ⁿ = U _n ⁰ ω ² + V _n ⁰ ω + W _n ⁰ .

Pour n ∈ N, l’expression de ρ ⁿ dans cette base et celle de ρ ⁻ⁿ dans la base {ρ ² , ρ, 1} sont donn´ ees par

ρ ⁿ = (1/R)(U n+1 ω ² + V n+2 ω + W n+3 ) , (6)

ρ ⁻ⁿ = (1/R ⁿ )(U _n+1 ⁰ ρ ² + (1/R)V _n+2 ⁰ ρ + (1/R ² )W _n+3 ⁰ ) . (7)

(iv) Soit u n une suite de nombres rationnels v´ erifiant la relation (2). Les deux expressions suivantes sont ´ equivalentes :

u n = u 2 U n + u 1 V n + u 0 W n , (8)

u n = Aρ ⁿ + A ⁰ (ρ ⁰ ) ⁿ + A ⁰⁰ (ρ ⁰⁰ ) ⁿ , (9)

o` u A = (u 0 ρ ² + (u 1 − Su ₀ )ρ + (u 2 − Su ₁ − Qu ₀ ))/f ⁰ (ρ) et A ⁰ , A ⁰⁰ ont des expressions analogues en termes de ρ ⁰ , ρ ⁰⁰ . Plus g´ en´ eralement , on a pour m ∈ N,

( u k+m = u k+2 U m + u k+1 V m + u k W m , k ∈ N,

u k+2−m = (1/R ^m )(u k R ² U _m ⁰ + u k+1 RV _m ⁰ + u k+2 W _m ⁰ ) , k + 2 − m ∈ N;

(10)

u km+r = u 2k+r U m + u k+r V m + u r W m , k, r ∈ N , (11)

o` u U m , V m , W m sont les coordonn´ ees de ρ ^km dans la base {ρ ^2k , ρ ^k , 1} du corps K.

(v) Suivant D´ ef. 2, U n+2 est la n-i` eme fonction sym´ etrique compl` ete des racines de f , et pour tout λ ∈ Q,

(12) U n+2 (λρ) = λ ⁿ U n+2 (ρ) .

La suite U n est alors d´ efinie explicitement en fonction des coefficients S, Q, R de f , par U 0 = U 1 = 0 et pour n ≥ 2,

(13) U n = X

i+2j+3k=n−2

(i + j + k)!

i!j!k! S ⁱ Q ^j R ^k .

P r e u v e. (i) Soit N = Q(ρ, ρ ⁰ , ρ ⁰⁰ ). N est une extension galoisienne sur Q, de degr´e six et de groupe de Galois S 3 , qui contient trois corps cu- biques distincts, l’un r´ eel et les deux autres complexes conjugu´ es, et une extension quadratique Q(δ f ) o` u δ <sup>2</sup> <sub>f</sub> = disc(f ). Supposons que le polynˆ ome f est d´ eg´ en´ er´ e (D´ ef. 1), et montrons que S = Q = 0. Soit ζ une racine de l’unit´ e ´ egale ` a l’un des rapports ρ ⁰ /ρ, ρ ⁰⁰ /ρ ou ρ ⁰ /ρ ⁰⁰ . ζ n’est pas ´ egale ` a

±1, les corps cubiques contenus dans N ´ etant distincts. ζ est une racine primitive de l’unit´ e, d’ordre h, Q(ζ) est une extension ab´elienne sur Q, con- tenue dans N et de degr´ e ϕ(h) (ϕ fonction d’Euler). Pour h > 2, ϕ(h) est pair et divise 6; le groupe S 3 n’´ etant pas ab´ elien, Q(ζ) ne peut ˆetre

´

egale ` a N , ϕ(h) est donc ´ egal ` a 2. ζ appartient ` a l’extension quadratique Q(δ f ), invariante par le groupe A 3 des permutations circulaires. La con- dition σ(ζ) = ζ pour tout σ ∈ A 3 se traduit par ρ ³ = R, (ρ ⁰ ) ³ = R et (ρ ⁰⁰ ) ³ = R, le polynˆ ome f est donc de la forme X ³ − R, et on a bien S = Q = 0; le corps K est un corps cubique pur, ainsi que chacun des corps cubiques conjugu´ es.

Lorsque S ou Q est non nul, s’il existait k ≥ 1 tel que ρ ^k ou ω ^k ap- partienne ` a Q, avec ω = ρ ⁰ ρ ⁰⁰ , alors, Q ´etant invariant par S 3 , chacun des rapports ρ ⁰ /ρ, ρ ⁰⁰ /ρ et ρ ⁰ /ρ ⁰⁰ serait une racine de l’unit´ e d’ordre k, ce qui est impossible, le polynˆ ome f ´ etant non-d´ eg´ en´ er´ e.

(ii) Par d´ efinition, f est le polynˆ ome caract´ eristique de l’endomorphisme m ρ de la multiplication par ρ dans le corps K, f (X) = det(X1 _K − ρ). Soit M la matrice de m _ρ dans la base {ρ ² , ρ, 1} du corps K. Pour n ∈ N, les puissances de ρ sont d´ efinies par

Mρ ⁿ = ρ ⁿ⁺¹ avec M =





S 1 0

Q 0 1

R 0 0



 .

Les suites-coordonn´ ees de ρ ⁿ , d´ efinies par la formule (3), v´ erifient la relation de r´ ecurrence (2). Fixons un plongement du corps K dans C ³ , en posant ρ = (ρ, ρ b ⁰ , ρ ⁰⁰ ), et soit V la matrice ayant pour colonnes les vecteurs b ρ ² , ρ, b b 1.

Le d´ eterminant de cette matrice est ´ egal ` a δ f , donn´ e dans l’´ enonc´ e; δ f

est non nul par hypoth` ese. Chacune des racines du polynˆ ome f v´ erifie la formule (3) :

(14) c ρ ⁿ = U n ρ b ² + V n ρ + W b n b 1 .

Le terme g´ en´ eral de la suite U n est le quotient de deux d´ eterminants : δ f U n = det(c ρ ⁿ , ρ, b b 1), ce qui donne la formule (4), et δ _f ² = disc(ρ), par d´ efinition du discriminant de ρ. La description des suites V n et W n est analogue.

(iii) Par d´ efinition, g(X) = det(X1 K − ω). L’assertion se d´ eduit de (ii)

1. R´ esultat principal 11

en rempla¸ cant ρ par ω, puis en utilisant les formules de changement de bases :

(15)







ω = ρ ² − Sρ − Q et ω ² = −Qρ ² + (QS + R)ρ + (Q ² − RS) , ρ = (1/R)(ω ² + Qω + RS) et

ρ ² = (1/R)(Sω ² + (QS + R)ω + R(S ² + Q)) .

(iv) La s´ erie g´ en´ eratrice de la suite u n est une fraction rationnelle : X

n≥0

u n X ⁿ = X ² (u 2 − Su ₁ − Qu ₀ ) + X(u 1 − Su ₀ ) + u 0

(1 − Xρ)(1 − Xρ ⁰ )(1 − Xρ ⁰⁰ ) .

La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de cette fraction donne l’expression classique (9) du terme g´ en´ eral de la suite u n , sous la forme d’une somme d’exponentielles. Les constantes complexes A, A ⁰ , A ⁰⁰ sont d´ etermin´ ees par les premiers termes de la suite : (A, A ⁰ , A ⁰⁰ )V = (u 2 , u 1 , u 0 ), o` u V est la matrice d´ efinie ci-dessus. Le d´ eterminant de V ´ etant non nul, les expressions (8) et (9) sont ´ equivalentes, via (14). La premi` ere formule de (10) s’obtient

`

a partir de (3) et de (8), en utilisant la d´ ecomposition de ρ ^k+m en ρ ^k ρ ^m , ρ ^k+m = U m ρ ^k+2 + V m ρ ^k+1 + W m ρ ^k

⇔

( U k+m = U k+2 U m + U k+1 V m + U k W m , V k+m = V k+2 U m + V k+1 V m + V k W m , W k+m = W k+2 U m + W k+1 V m + W k W m . Formons une combinaison lin´ eaire de ces trois identit´ es en multipliant la premi` ere par u 2 , la seconde par u 1 et la troisi` eme par u 0 ; le premier membre de cette expression est ´ egal ` a u k+m d’apr` es (8), tandis que le second membre est ´ egal ` a u k+2 U m +u k+1 V m +u k W m , en appliquant (8) trois fois. La seconde formule de (10) s’obtient de la mˆ eme fa¸ con ` a partir de (3), (5), (8) et de la d´ ecomposition suivante :

R ^m ρ ^k+2−m = ρ ^k+2 ω ^m = R ² U _m ⁰ ρ ^k + RV _m ⁰ ρ ^k+1 + W _m ⁰ ρ ^k+2 .

Pour ´ etablir la formule (11), consid´ erons les coordonn´ ees de ρ ^km dans les deux bases de K, {ρ ^2k , ρ ^k , 1} et {ρ ² , ρ, 1}; d’apr` es (3), elles sont d´ efinies par (16)

 ρ ^km = U m ρ ^2k + V m ρ ^k + W m

ρ ^km = U km ρ ² + V km ρ + W km

⇔







 U km

V km



=  U 2k U k

V 2k V k

  U m

V _m

 , W km = W 2k U _m + W k V _m + W m . D’apr` es (10), u km+r = u r+2 U km + u r+1 V km + u r W km ; apr` es substitution, via (16), u km+r = (u r+2 U 2k + u r+1 V 2k + u r W 2k )U m + (u r+2 U k + u r+1 V k + u r W k )V m + u r W _m , et la formule (10) appliqu´ ee deux fois donne le r´ esultat.

Voir Bell [2].

(v) Effectuons le produit des s´ eries g´ eom´ etriques figurant au second mem- bre de la s´ erie g´ en´ eratrice de la suite u n (voir (iv)). Dans le cas de la suite U n , U 0 = U 1 = 0 et U 2 = 1, une simple v´ erification montre que U n+2

est la ni` eme fonction sym´ etrique compl` ete des racines de f et la formule (12) se d´ eduit de D´ ef. 2. D’apr` es Macdonald [19, p. 20] ou Lascoux [16], U n+2 = det(e 1−i+j ) 1≤i,j≤n o` u e 0 = 1, e 1 = S, e 2 = −Q, e 3 = R et e k = 0 autrement. La formule (13) provient du d´ eveloppement de ce d´ eterminant.

R e m a r q u e 1. La validit´ e des r´ esultats de Prop. 1 est inchang´ ee lorsque le polynˆ ome f n’est pas irr´ eductible, en supposant que f est non-d´ eg´ en´ er´ e et R non nul; c ρ ⁿ ´ etant d´ efini par (ρ ⁿ , (ρ ⁰ ) ⁿ , (ρ ⁰⁰ ) ⁿ ), les vecteurs b ρ ² , ρ, b b 1 forment une base de C ³ et U n , V n , W n sont les coordonn´ ees de c ρ ⁿ dans cette base, [10, §1]. L’´ equation (1) est remplac´ ee par l’´ equation

(17) ρ c ⁿ = x ρ + yb b 1 .

Posons f (X) = (X − ρ)(X ² − AX + B) et consid´ erons la suite a n d´ efinie par a 0 = 1, a 1 = ρ, et par la relation de r´ ecurrence binaire a n+2 = Aa n+1 −Ba _n . D’apr` es (4),

U n = 0 ⇔ a n = a ⁿ ₁ , avec a n = (ρ ⁰ ) ⁿ (a 1 − ρ ⁰⁰ ) − (ρ ⁰⁰ ) ⁿ (a 1 − ρ ⁰ )

ρ ⁰ − ρ ⁰⁰ .

Apr` es normalisation, en posant b n = a n /a <sup>n</sup> <sub>1</sub> , la z´ ero-multiplicit´ e de la suite U n est ´ egale ` a la 1-multiplicit´ e de la suite b n telle que b 0 = b 1 = 1 et b n ∈ Q(ρ). Voir Kubota [15], Beukers [3, 4], Beukers et Tijdeman [5], Lewis et Turk [17].

D´ efinition 3. Soit (S, Q, R) un triplet d’entiers rationnels, avec R non nul. Le triplet est “r´ eduit ” si R est positif et si pour chaque λ ∈ Z ^∗ tel que λ | S et λ ² | Q on a λ ³ - R.

D´ efinition 4. Soient A et B deux entiers rationnels, “A a la propri´ et´ e P(B)” si tout diviseur premier de A est un diviseur de B.

Proposition 2. Soient (S, Q, R) un triplet “r´ eduit” v´ erifiant l’hypo- th` ese 1, δ le pgcd de Q et de R, U n et U _n ⁰ les suites d´ efinies dans Prop. 1.

(i) Il existe des entiers positifs a, b, χ tels que δ = a ² bχ, o` u a et b sont premiers entre eux et sans facteurs carr´ es, (χ, S) = 1, ab | S et (a, R/δ) = 1.

Si “δ a la propri´ et´ e P(S)” alors χ = 1.

On suppose maintenant que “δ a la propri´ et´ e P(S)”.

(ii) La suite U n n’a pas de z´ eros de la forme n = 3m + 2 ` a moins que (aS, Q) = δ et δ ² divise R.

(iii) Si R ne divise pas Q alors, pour n 6= 0 et n 6= 1, la suite U _n ⁰ n’a pas

de z´ eros.

1. R´ esultat principal 13

P r e u v e. (i) Le triplet ´ etant “r´ eduit”, si p est un diviseur premier de (δ, S), avec δ = (Q, R), alors p ³ - δ. Posons a = Q p tels que p ² k δ et p | S, et b = Q p tels que p k δ et p | S. Alors δ = a ² bχ et les propri´ et´ es de l’´ enonc´ e sont v´ erifi´ ees.

(ii) Supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p|(aS, Q) et p - R/δ. Le triplet (S, Q, R) est alors de la forme (up ^α+β+t , vp ^2α+β+t , wp ^2α+β ) avec p - (u, v) et p - w, α et β ´etant des entiers tels que α + β = 1 si t = 0 et 0 ≤ α + β ≤ 1 sinon. D’apr` es la formule (13), pour m ≥ 0

p ^−m(2α+β) U 3m+2

= X

0≤k≤m

w ^k p ^α(m−k)  X

i+2j=3(m−k)

(i + j + k)!

i!j!k! u ⁱ v ^j p t(i+j)+β(i+j+k−m)  , avec i + j + k − m ≥ 1 et i + j ≥ 2 d` es que k < m. Nous en d´ eduisons que p ^−m(2α+β) U 3m+2 ≡ w ^m (mod p ^α+β+2t ); comme p - w et α + β + 2t ≥ 1, alors U 3m+2 6= 0 pour m ∈ N.

(iii) Soit p un diviseur premier de R/δ, lorsque R 6= δ. Le triplet (S, Q, R) est de la forme (p ^e u, p ^e v, p ^e+t w), avec p - vw, t ≥ 1 entier, e = 1 si p | δ et e = 0 sinon. D’apr` es la formule d´ eduite de (13), en rempla¸ cant le triplet (S, Q, R) par (−Q, −RS, R ² ), on obtient pour n ≥ 0

p ^−en U _n+2 ⁰ = X

i+2j+3k=n

(i + j + k)!

i!j!k! (−v) ⁱ (−u) ^j w ^j+2k p ^tj+(2t−e)k , avec j + k ≥ 1 d` es que n − i ≥ 2, et 2t − e ≥ t. Nous en d´ eduisons que p ^−en U _n+2 ⁰ ≡ (−v) ⁿ (mod p ^t ); comme p - v et t ≥ 1, alors U n+2 ⁰ 6= 0 pour n ∈ N.

Hypoth` ese 2. Soient ρ un entier alg´ ebrique d’un corps cubique K de discriminant n´ egatif et f le polynˆ ome minimal de ρ, f (X) = X ³ − SX ² − QX − R. On suppose que le triplet (S, Q, R) est “r´ eduit”, que R ne divise pas Q avec R ≥ 2 et que le pgcd δ de Q et de R “a la propri´ et´ e P(S)”.

Notations : posons δ = a ² b o` u a et b sont des entiers positifs, premiers entre eux et sans facteurs carr´ es; le triplet est alors de la forme (abs, δq, δr) o` u s, q, r sont des entiers rationnels tels que (aq, r) = 1 et r ≥ 2.

Corollaire 2. Sous l’hypoth` ese 2, l’´ equation (1) est ´ equivalente ` a l’´ equation U n = 0, o` u U n est la suite d´ efinie dans Prop. 1. Les solutions sont de la forme n = 3m ou n = 3m + 1 et il n’existe pas de solution de la forme n = 3m + 2 ` a moins que a = 1, b | r et (q, s) = 1.

P r e u v e. L’´ equation (1) n’a pas de solutions avec n n´ egatif, d’apr` es (7)

et Prop. 2(iii), et d’apr` es (3), chaque solution de l’´ equation (1) avec n ∈ N

correspond ` a un z´ ero de la suite U n . Les conditions (aS, Q) = δ et δ ² | R de

Prop. 2(ii) se traduisent, via l’hypoth` ese 2, par (q, s) = 1, ab | r et (a, r) = 1.

Lorsque ρ est un entier alg´ ebrique, nous ´ etudions les solutions de l’´ equa- tion (1) par des m´ ethodes p-adiques classiques, en choisissant pour p certains diviseurs premiers des indices F 2 et F 3 (D´ ef. 1). Dans le cas g´ en´ eral o` u ρ est un entier alg´ ebrique de degr´ e r, Dubou´ e [13] ´ etudie les propri´ et´ es arithm´ etiques d’indices analogues.

D´ efinition 5. Soient {ϕ, ρ, 1} et {γ, θ, 1} deux bases du corps K, ρ = aγ + bθ + c et ϕ = a ⁰ γ + b ⁰ θ + c ⁰ . Le d´ eterminant a ⁰ b − ab ⁰ est “l’indice” de la premi` ere base (ou de ρ si ϕ = ρ <sup>2</sup> ) relativement ` a la seconde base. Lorsque ρ est un entier du corps K v´ erifiant l’hypoth` ese 1, pour k ∈ N <sup>∗</sup> , F k (ρ) ou simplement F k d´ esigne “l’indice” de ρ <sup>k</sup> dans la base {ρ <sup>2</sup> , ρ, 1}. Avec les notations de Prop. 1(ii), F k = U 2k V k −U <sub>k</sub> V 2k , en particulier F 2 = −(QS+R) et F 3 = Q <sup>3</sup> + Q <sup>2</sup> S <sup>2</sup> − RS <sup>3</sup> . D’apr` es Delone et Faddeev [10, p. 102], l’entier F k est alors l’indice de l’ordre Z[ρ ^k ] dans l’ordre Z[ρ], un ordre du corps K

´ etant un Z-module qui est un sous-anneau de K contenant le nombre 1.

Lemme 1. La suite des indices F k est une suite de divisibilit´ e et pour k ≥ 1, disc(ρ ^k ) = F _k ² disc(ρ) et F k = Norm(−(ρ − S)U k + V k ), o` u Norm d´ esigne le produit pris sur les racines du polynˆ ome f .

Dans le cas g´ en´ eral, voir l’article de B´ ezivin, Peth¨ o et van der Poorten [6].

P r e u v e. Le polynˆ ome f est non-d´ eg´ en´ er´ e d’apr` es Prop. 1(i), donc F k

est non nul pour tout k ∈ N ^∗ . D’apr` es Dubou´ e [13, p. 208], la suite v´ erifie les relations de divisibilit´ e : F km (ρ) = F k (ρ)F m (ρ ^k ) = F m (ρ)F k (ρ ^m ), pour k, m ∈ N ^∗ , que l’on peut d´ eduire aussi de (16). Par d´ efinition,

δ f = det( b ρ ² , ρ, b b 1) , δ f F _k = det( c ρ ^2k , c ρ ^k , b 1) ,

o` u b est le plongement utilis´ e dans la preuve de Prop. 1; la premi` ere ´ egalit´ e en d´ ecoule. D’apr` es (3), l’identification de ρ ^2k et de (ρ ^k ) ² entraˆıne que

U 2k = (S ² + Q)U _k ² + 2SU k V k + V _k ² + 2U k W k , V 2k = (QS + R)U _k ² + 2QU k V k + 2V k W k .

Un calcul simple montre alors l’´ egalit´ e de U 2k V k − U _k V 2k et de la norme : Norm(−(ρ − S)U k + V k ) = −(QS + R)U _k ³ + (S ² − Q)U _k ² V k + 2SU k V _k ² + V _k ³ .

Pour r´ esoudre l’´ equation ε ⁿ = xθ + y, lorsque ε est une unit´ e alg´ ebrique d’un ordre cubique Z[θ], de discriminant n´egatif, Delone et Faddeev [10, §75]

utilisent un algorithme de mont´ ee, dont le principe est de substituer ` a cette

´

equation une ´ equation analogue

ε ⁿ ₁

= x 1 θ 1 + y ,

1. R´ esultat principal 15

o` u x = px 1 , avec p premier, et d’´ epuiser les diviseurs de x en r´ ep´ etant cette op´ eration. Plus pr´ ecis´ ement, p est un diviseur premier de l’indice de l’ordre Z[ε] dans l’ordre Z[θ], θ 1 = pθ, ε 1 = ε <sup>µ</sup> et n = µn 1 , o` u µ est d´ etermin´ e par le “Petit Th´ eor` eme” de Fermat dans le corps Q(θ). Voir Nagell [24, p. 48]. Lorsque ρ n’est pas une unit´ e alg´ ebrique, l’algorithme de mont´ ee ne s’applique ` a l’´ equation (1) que dans le cas o` u ρ est une unit´ e semi-locale pour p.

D´ efinition 6. Soient ζ et θ des ´ el´ ements primitifs d’un corps cubique K avec θ entier, et h le polynˆ ome minimal sur Q de ζ. Posons h(X) = X ³ − sX ² − qX − r. Soit p un nombre premier fix´ e; Z (p) d´ esigne l’anneau local de Z en p, Z (p) = {(u/v) ∈ Q | p - v}. ζ est un entier semi-local du corps K, dans le sens de Cassels [8, p. 170], si s, q, r ∈ Z (p) , et ζ est une unit´ e semi-locale si de plus r / ∈ pZ (p) . Le nombre premier p est appel´ e un

“diviseur ” de l’unit´ e semi-locale ζ dans l’anneau Z (p) [θ] si ζ a l’expression suivante :

ζ = p ^α Aθ ² + p ^β Bθ + C ,

o` u α et β sont des entiers positifs, C est une unit´ e de Z (p) et si A ou B est non nul alors chacun d’eux est une unit´ e de Z (p) .

Th´ eor` eme 2 [12, p. 155]. Supposons que ζ soit une unit´ e semi-locale du corps K, ayant p comme “diviseur” dans l’anneau Z (p) [θ]. Pour n 6= 0, l’´ equation

ζ ⁿ = (p ^α Aθ ² + p ^β Bθ + C) ⁿ = xθ + y ,

avec n ∈ Z et x, y ∈ Q, n’a pas de solutions sous les conditions suivantes : (i) pour p 6= 2, si α ≤ β ou si β ≤ α < 2β,

(ii) pour p = 2, si 2 ≤ α ≤ β ou si β ≤ α < 2β − 1.

Quand ces conditions ne sont pas satisfaites, l’´ equation a au plus deux solutions, sauf dans le cas sp´ ecial o` u p = 3, α ≥ 2, β = 1 et p ne divise pas la trace de θ; le nombre de solutions est alors au plus ´ egal ` a trois.

P r e u v e d u T h ´ e o r ` e m e 1. Chaque solution n de l’´ equation (1) est

un z´ ero d’une suite r´ ecurrente lin´ eaire (D´ ef. 1), un z´ ero de la suite U n si

n est positif ou nul d’apr` es (3), ou un z´ ero de la suite U _h+1 ⁰ si n = −h

est n´ egatif, d’apr` es (7). Ces deux suites sont des fonctions sym´ etriques

compl` etes (D´ ef. 2 et Prop. 1(v)); chacune d’elles ´ etant non-d´ eg´ en´ er´ ee d’apr` es

Prop. 1(i), leur z´ ero-multiplicit´ e est finie. Pour tout λ ∈ Q ^∗ , les suites

U n (λρ) et U n (ρ) ont les mˆ emes z´ eros d’apr` es (12), ainsi que les suites

U _h+1 ⁰ (λω) et U _h+1 ⁰ (ω), o` u ω = R/ρ. Nous pouvons supposer que ρ est un

entier primitif du corps K v´ erifiant l’hypoth` ese 1 et que le triplet (S, Q, R)

est “r´ eduit” (D´ ef. 3). Si k est une solution de l’´ equation (1) alors 1 − k

est solution de l’´ equation ω ^m = xω + y. Quitte ` a ´ echanger ces ´ equations,

supposons que k ≥ 3. Alors U k = 0 et d’apr` es (13), S <sup>k−2</sup> ≡ 0 (mod δ), o` u δ est le pgcd de Q et de R. Chaque diviseur premier de δ ´ etant un diviseur de S, d’apr` es D´ ef. 4, “δ a la propri´ et´ e P(S)”, ce que nous sup- posons.

Dans le cas o` u R = 1, ρ est une unit´ e alg´ ebrique du corps K. D’apr` es un Th´ eor` eme de Nagell figurant dans le livre de Delone et Faddeev [10, p. 398], l’´ equation (1) a deux ou trois solutions si disc(ρ) < −44, quatre solutions si disc(ρ) est ´ egal ` a −44 ou ` a −31, et cinq solutions lorsque disc(ρ) = −23, ρ ´ etant l’unit´ e fondamentale de l’ordre cubique Z[ρ]. Une d´ emonstration p-adique du r´ esultat de Nagell est donn´ ee dans [12, Cor. 2].

De plus, Delone et Faddeev d´ eterminent les unit´ es binomiales d’un ordre cu- bique de discriminant n´ egatif, en utilisant un algorithme de mont´ ee dont le principe est bri` evement ´ evoqu´ e dans ce paragraphe. Voir [10, §75 et Table, p. 417].

Nous supposons maintenant que R ≥ 2. Dans [11], nous traitons le cas o` u δ = R. Le corps cubique K ´ etant caract´ eris´ e par la relation ρ <sup>3</sup> = Rε o` u ε est une unit´ e alg´ ebrique, les solutions modulo trois de l’´ equation (1) correspondent ` a des unit´ es binomiales en ρ ou en ω. Nous montrons [11, Thm. 3.4] que le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est au plus ´ egal

`

a quatre, sauf dans deux cas o` u il y a cinq ou six solutions. Ce r´ esultat est obtenu par l’application de certains crit` eres d’arrˆ et de l’algorithme de mont´ ee, ´ etablis par Delaunay [10, p. 410], et par Gordon et Mohanty [14].

Voir [11, Table, p. 42]. Nous retrouvons ainsi [11, p. 30] les six z´ eros de la suite de Berstel et Mignotte (voir Cerlienco, Mignotte et Piras [9, p. 99], Mignotte [22]). Dans [12], nous ´ etendons ces crit` eres d’arrˆ et ` a des unit´ es semi-locales (D´ ef. 6) par des techniques p-adiques, pour l’essentiel : Th´ eor` eme de Strassmann et s´ eries d’interpolation de Mahler [21, pp. 122 et 224]; le r´ esultat principal [12, Thm. 1] est rappel´ e dans ce paragraphe (Thm. 2). Comme application, nous ´ etudions les solutions modulo deux de l’´ equation (1), c’est-` a-dire, les puissances de ρ ² binomiales en ρ ou en ω, lorsque “l’indice F 2 n’a pas la propri´ et´ e P(R)” (D´ ef. 4 et D´ ef. 5) avec F 2 = −(QS + R). Cette hypoth` ese entraˆıne l’existence d’un diviseur pre- mier de F 2 pour lequel ρ est une unit´ e semi-locale et nous montrons [12, Thm. 2] que le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est alors au plus

´

egal ` a quatre; en particulier, lorsque R = δ avec R ≥ 2 [12, Cor. 3], le nombre de solutions est ´ egal ` a deux ou trois, sauf dans huit cas. Dans le paragraphe 2, apr` es avoir rappel´ e ce r´ esultat (Thm. 3), nous le compl´ etons par le crit` ere F 2 (Thm. 4), qui donne sous les mˆ emes hypoth` eses des con- ditions n´ ecessaires pour que l’´ equation (1) ait une ou deux solutions non triviales.

Dans la suite R et δ sont distincts. Chaque solution en n de l’´ equation (1)

est un z´ ero de la suite U n (Cor. 2). Nous supposons d´ esormais que le triplet

1. R´ esultat principal 17

(S, Q, R) v´ erifie l’hypoth` ese 2, o` u sont r´ eunies les conditions pr´ ec´ edentes. Il reste ` a ´ etudier les solutions modulo deux de l’´ equation (1) lorsque “l’indice F 2 a la propri´ et´ e P(R)”, donc en fonction des diviseurs de F 2 et de R.

Dans Prop. 3, nous consid´ erons le diviseur d, o` u d est le pgcd de S et de R/δ; pour chaque diviseur premier de d, les congruences obtenues via la formule (13) font apparaˆıtre des conditions n´ ecessaires pour que la suite U n ait des z´ eros distincts de 0 et 1. Le paragraphe 2 s’ach` eve par une caract´ erisation des indices F 2 , lorsque l’´ equation (1) a plus de deux solutions (Cor. 3).

Nous ´ etudions ensuite les solutions modulo trois de l’´ equation (1), via le syst` eme ´ equivalent des ´ equations (20), (22) et (23), en fonction des diviseurs premiers de l’indice F 3 , o` u F 3 = Q ² (S ² + Q) − RS ³ . Dans le paragraphe 3, nous supposons que “l’indice F 3 n’a pas la propri´ et´ e P(R)”; cette hypoth` ese entraˆıne l’existence d’un diviseur premier p de F 3 pour lequel ρ est une unit´ e semi-locale. Nous montrons (Thm. 5) que dans ce cas, le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est au plus ´ egal ` a quatre et le crit` ere F 3 donne des conditions n´ ecessaires pour que deux solutions soient congrues modulo trois.

Dans la preuve de Thm. 5, nous d´ eterminons d’abord le plus petit entier positif µ tel que p soit un “diviseur” de ρ ^3µ relativement ` a ρ et ` a ω (D´ ef. 6), puis la forme des solutions en fonction de µ. Les solutions des ´ equations (20) et (23) correspondent ` a des puissances de ρ <sup>3µ</sup> binomiales en ρ ou en ω, tandis que les solutions de l’´ equation (22) sont de la forme n = 3µm + 3ν + 2 o` u ν est fix´ e (Prop. 4). Cependant, Thm. 2 ne s’applique pas ` a l’´ equation (22); nous montrons que cette ´ equation a au plus deux solutions (Prop. 5), par extension scalaire ` a Q p de la premi` ere relation (10), o` u k et m sont remplac´ es par 3ν + 2 et 3µm. Par contre, Thm. 2 s’applique ` a chacune des

´

equations (20) et (23) avec ζ = ρ ^3µ ; le cas o` u p = 2 ´ etant trait´ e ` a part (Prop. 6). La compatibilit´ e de ces trois ´ equations est ensuite discut´ ee. Il ressort de la discussion que l’´ equation (1) a deux ou trois solutions lorsque l’´ equation (22) n’en a aucune. Dans Prop. 2(ii) et Prop. 8(ii), nous donnons des conditions n´ ecessaires pour que l’´ equation (22) ait au moins une solution.

Dans le cas particulier o` u une premi` ere solution de cette ´ equation est donn´ ee, la seconde solution correspond ` a une puissance de ρ <sup>3µ</sup> binomiale en φ, o` u φ s’exprime en fonction de la premi` ere solution, et Thm. 2 peut encore s’appliquer (Cor. 4).

Lorsque “l’indice F 3 a la propri´ et´ e P(R)”, nous ´ etudions les solutions de l’´ equation (1) en fonction des diviseurs premiers de F 3 et de R. Dans le paragraphe 5, nous consid´ erons les diviseurs premiers de F 3 et de δ pour lesquels ε = ρ ³ /δ est une unit´ e semi-locale, l’´ equation (1) ´ etant ´ equivalente au syst` eme des deux ´ equations (30) et (31), via Prop. 7; cette situation est l’analogue semi-local de celle de [11] o` u ε est une unit´ e alg´ ebrique.

Pour chaque diviseur premier de (aS, Q)/δ, Thm. 2 s’applique ` a chacune

des ´ equations (30) et (31), sauf dans des cas particuliers qui rel` event des Lemmes 3 et 4, via (35). Nous montrons ainsi (Thm. 6) que le nom- bre de solutions en n de l’´ equation (1) est ´ egal ` a deux ou trois, lorsque (aS, Q) 6= δ, et le crit` ere F <sub>3</sub> <sup>0</sup> donne des conditions n´ ecessaires pour que deux solutions soient congrues modulo trois. On pourrait envisager de traiter le cas o` u (aS, Q) = δ en adaptant les r´ esultats de [11, §4.1] et en utilisant la m´ ethode d’extension scalaire lorsque Thm. 2 ne s’applique pas; mais nous allons proc´ eder autrement.

Dans le paragraphe 6, nous d´ efinissons D, un diviseur de F 3 et de R/δ, par δD = (S ² + Q, R). Nous ´ etablissons Prop. 8 et Cor. 5, qui sont les analogues, pour D et F 3 , de Prop. 3 et Cor. 3 pour d et F 2 . Dans le paragraphe 7 (Thm. 7), nous montrons, sous l’hypoth` ese que “l’indice F 3

a la propri´ et´ e P(R)” et (aS, Q) = δ, que le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est au plus ´ egal ` a trois, sauf pour les triplets du type (40) ou du type (41). La preuve de Thm. 7 est ´ el´ ementaire. Nous pouvons en effet supposer que chacun des indices F 2 et F 3 est de la forme indiqu´ ee dans Cor. 3 et Cor. 5, et que le triplet (S, Q, R) est solution du syst` eme (42), qui comporte deux ´ equations par d´ efinition des indices. Nous discutons alors l’existence des solutions de ce syst` eme avec les r´ esultats suivants : lorsque QS = 0, les triplets sont du type (41) et n = 3 est solution de l’´ equation (1); lorsque QS < 0 et QS 6= −4R, l’´ equation (43), d´ eduite du syst` eme (42), est quadratique en −Q ³ et son discriminant est n´ egatif, sous l’hypoth` ese 2, ` a moins que le triplet ne soit du type (40) et n = 4 est solution de l’´ equation (1); lorsque QS > 0 ou QS = −4R, il y a trois triplets solutions pour lesquels l’´ equation (1) a deux ou trois solutions, d’apr` es le Lemme 6.

Dans les paragraphes 8 et 9, nous traitons les cas non r´ esolus de Thm. 7.

Si le triplet est du type (40) alors, pour n 6= 0, les solutions en n de l’´ equation (1) correspondent aux puissances de ρ ³ binomiales en ρ ³ ((48)). Les crit` eres F <sub>2</sub> et F 3 , et Cor. 3 permettent de dresser une liste de dix-huit triplets (Ta- ble 1), et pour chaque triplet l’´ equation (1) a trois ou quatre solutions. On v´ erifie (Table 2) que pour deux triplets seulement il y a quatre solutions (Thm. 8). Lorsque le triplet est du type (41), pour n 6= 0, les solutions en n de l’´ equation (1) correspondent aux puissances de ρ <sup>2</sup> binomiales en ρ <sup>2</sup> , (51). D’apr` es Thm. 9, l’´ equation (1) a trois ou quatre solutions en n lorsque S = 0, et dans deux cas au moins il y a quatre solutions. Cor. 6 et Cor. 7 donnent des conditions n´ ecessaires ` a l’existence de solutions non triviales.

D’apr` es Rem. 1, les r´ esultats pr´ ec´ edents s’appliquent ` a l’´ equation (17), dans

le cas o` u f n’est pas irr´ eductible (voir Rem. 3 et Rem. 5). Un exemple

reli´ e ` a l’´ equation de Ramanujan–Nagell est trait´ e par cette m´ ethode. La

Table 3 donne seize exemples o` u l’´ equation (1) a au moins quatre solutions.

2. Solutions modulo deux 19

§ 2. Solutions modulo deux

Nous ´ etudions les solutions de l’´ equation (1) suivant leur parit´ e, en fonc- tion des diviseurs premiers de l’indice F 2 , lorsque ρ est un entier alg´ ebrique du corps K. Le cas o` u “F 2 n’a pas la propri´ et´ e P(R)” (D´ ef. 4) est trait´ e dans [12]; nous rappelons ce r´ esultat.

Th´ eor` eme 3 [12, Thm. 2]. Soit ρ un entier alg´ ebrique v´ erifiant l’hypo- th` ese 1. S’il existe un nombre premier p tel que p | F 2 et p - R, avec F 2 =

−(QS + R), alors le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est ´ egal ` a deux ou trois si p ≥ 5 ou si p ² | F ₂ ; sinon il y a au plus quatre solutions.

Th´ eor` eme 4 (Crit` ere F ² ). Soit p un nombre premier v´ erifiant les hypoth` eses de Thm. 3. D´ esignons par µ le plus petit entier positif tel que p soit un “diviseur” de ρ ^2µ dans l’ordre Z[ρ]. Suivant D´ef. 6, posons

ρ ^2µ = p ^α Aρ ² + p ^β Bρ + C .

Si p - disc(ρ) alors µ est la plus petite solution de la congruence (S ² /Q) ^µ ≡ 1 (mod p); sinon µ = p. Les solutions de l’´ equation (1) sont alors de la forme n = 2µl ou n = 2µl + 1, avec l ∈ Z. La condition C ⁰ ci-dessous, respectivement la condition C 1 , est n´ ecessaire pour que l’´ equation (1) ait deux solutions paires, respectivement deux solutions impaires (au plus trois solutions dans le cas sp´ ecial ).

cas sp´ ecial

p = 2 p = 3, µ = 2, p k F

p ≥ 3

C

α ≥ 2β − 1 3

| (S

+ Q) α ≥ 2β

β = 1

α = β et C

β ≥ 2 , α = β et 3

| (S

+ 2QS + R) p

| (AS + B)

2

| (S

+ 2QS + R)

Le crit` ere F 2 est utilis´ e dans les paragraphes 7 et 8. Deux exemples extraits de [11, Table, p. 42], illustrent le cas o` u p k F 2 , avec p = 2 ou p = 3 et µ = 2 : les solutions de l’´ equation (1) sont ´ egales ` a 0, 1, 4, 12 pour S = 2, Q = −4, R = 2 et ` a 0, 1, 4, 9 pour S = 3, Q = −9, R = 9.

P r e u v e. Suivant le signe et la parit´ e de n, l’´ equation (1) est ´ equivalente

`

a l’une des ´ equations suivantes :

(18) ρ ^±2m = xρ + y ou ρ ^±2m+1 = xρ + y ,

ce qui ressort de la formule (3) pour U 2m = 0 ou U 2m+1 = 0, avec m ∈ N, et de la formule (7) pour U _2m+1 ⁰ = 0 ou U _2m ⁰ = 0, avec m ∈ N ^∗ . D’apr` es (5) et (6), le syst` eme (18) est ´ equivalent ` a

(19) ρ ^±2m = xρ + y ou ρ ^±2m = x + yω/R .

Par hypoth` ese, p est un nombre premier tel que p | F 2 et p - R. Pour h ≥ 2, la relation V h = QV h−2 − F ₂ U h−2 implique V 2m+1 ≡ Q ^m et V 2m ≡ 0 (mod p). De mˆ eme, pour h ≥ 1, la relation U h = SU h−1 + V h−1 implique U 2m+1 ≡ SU _2m et U 2m ≡ S ² U 2m−2 + Q ^m−1 (mod p); ce qui donne deux formules pour U 2m modulo p :

U 2m ≡ (S ^2m − Q ^m )/(S ² − Q) si S ² 6≡ Q et U 2m ≡ mQ ^m−1 si S ² ≡ Q . Des congruences analogues s’obtiennent en rempla¸ cant le triplet (S, Q, R) par (−Q, −RS, R ² ) : U _2m+1 ⁰ ≡ −Q ^m U 2m ; U _2m ⁰ ≡ Q ^m−1 U 2m ; V _2m+1 ⁰ ≡ S ^2m V 2m+1 et V _2m ⁰ ≡ 0 (mod p). La condition µ divise m, o` u µ est d´ efini dans l’´ enonc´ e, est donc n´ ecessaire pour que l’une des suites U 2m , U 2m+1 , U <sub>2m</sub> <sup>0</sup> ou U <sub>2m+1</sub> <sup>0</sup> ait un z´ ero. Les coordonn´ ees de ρ <sup>2µ</sup> figurant dans (3), re- spectivement dans (6), v´ erifient alors les congruences suivantes modulo p : U 2µ ≡ V <sub>2µ</sub> ≡ 0 et W <sub>2µ</sub> 6≡ 0; U <sub>2µ+1</sub> ≡ V <sub>2µ+2</sub> ≡ 0 et W <sub>2µ+3</sub> 6≡ 0, puisque W h = RU h−1 = V h+1 −QU <sub>h</sub> . Ainsi, p est un “diviseur” de ρ <sup>2µ</sup> dans l’anneau Z[ρ], respectivement Z (p) [ω] (D´ ef. 6). Alors, Thm. 2 appliqu´ e ` a ζ = ρ ^2µ , avec θ = ρ, puis avec θ = ω, montre que chacune des ´ equations de (19) a au plus deux solutions (au plus trois dans le cas sp´ ecial). La compatibilit´ e de ces

´

equations est discut´ ee dans la preuve de [12, Thm. 2], sur la base des rela- tions : U 2µ+1 = SU 2µ + V 2µ ; V 2µ+2 = −F 2 U 2µ + QV 2µ . Les conditions C 0 et C ₁ r´ esultent de cette discussion.

Proposition 3. Soient (S, Q, R) un triplet v´ erifiant l’hypoth` ese 2, δ le pgcd de Q et de R, d le pgcd de S et de R/δ. Posons F 2 = δdF <sub>2</sub> <sup>00</sup> o` u F ₂ = −(QS + R).

(i) Le triplet ´ etant de la forme (abs, δq, δr) avec δ = a ² b, alors d = (bs, r).

Posons d = cd 1 o` u c = (b, r) et d 1 = (s, r/c), puis b = cb 1 , s = d 1 s 1 et r = cd 1 r 1 ; alors R = δdr 1 , F ₂ ⁰⁰ = ab 1 qs 1 + r 1 avec (ab 1 qs 1 , r 1 ) = 1, et (R, F ₂ ⁰⁰ ) = 1 lorsque (d, F ₂ ⁰⁰ ) = 1. Si “F 2 a la propri´ et´ e P(R)” alors “F ₂ ⁰⁰ a la propri´ et´ e P(d)”.

(ii) Soit U n la suite d´ efinie dans Prop. 1. Pour n 6= 0, la suite U n n’a pas de z´ eros pairs si d 6= 1 et pour n 6= 1, elle n’a pas de z´ eros impairs si (d, F ₂ ⁰⁰ ) 6= 1.

P r e u v e. (i) Les d´ efinitions de d, c, d 1 et l’hypoth` ese (aq, r) = 1 en- traˆınent que d = (abs, r) = (bs, r), (b 1 s 1 , r 1 ) = 1, (aq 1 , r 1 ) = 1 et (b 1 , cd 1 ) = 1, b ´ etant sans facteurs carr´ es; les expressions de R et de F ₂ ⁰⁰ s’en d´ eduisent ainsi que les ´ egalit´ es suivantes : (R, F ₂ ⁰⁰ ) = (δd, F ₂ ⁰⁰ ) = (cd, F ₂ ⁰⁰ ) avec c | d, en particulier, (R, F ₂ ⁰⁰ ) = 1 lorsque (d, F ₂ ⁰⁰ ) = 1. Si “F 2 a la propri´ et´ e P(R)”

alors chaque diviseur premier de F 2 est un diviseur de δd = (R, F 2 ); comme

F ₂ ⁰⁰ | F ₂ , chaque diviseur premier de F ₂ ⁰⁰ est aussi un diviseur de δd, mais

d’apr` es ce qui pr´ ec` ede, c’est un diviseur de cd, donc de d, ainsi “F ₂ ⁰⁰ a la

propri´ et´ e P(d)”.

2. Solutions modulo deux 21

(ii) Soit p un diviseur premier de d, lorsque d 6= 1. Le triplet (S, Q, R) est de la forme (up ^e+t , vp ^e , wp ^2e+t ), avec p - v, p ^e k c et p ^t k d ₁ , e = 0 ou e = 1 et e + t ≥ 1; F 2 = −(uv + w)p ^2e+t avec p - (uv, w). L’expression de U ^2h+2 , respectivement celle de U 2h+3 , est donn´ ee par la formule combinatoire (13), pour h ≥ 1

X

i+2j+3k=2h (resp. 2h+1)

(i + j + k)!

i!j!k! u ⁱ v ^j w ^k p e(i+j+2k)+t(i+k) .

Dans le cas de U 2h+2 , les entiers non n´ egatifs i, j, k v´ erifient la relation i + 2j + 3k = 2h. Nous montrons que i + k ≥ 2 et i + j + 2k ≥ h + 1 d` es que 0 ≤ j ≤ h − 1 : la relation i + 3k = 2(h − j) entraˆıne que i + 3k ≥ 2 avec i + k pair et non nul, l’in´ egalit´ e i + k ≥ 2 implique i + 2k + 2h ≥ 2(h + 1) avec i + 2k + 2h = 2(i + j + 2k). Nous d´ eduisons alors de la congruence

p ^−eh U 2h+2 ≡ v ^h (mod p ^e+2t )

que U 2h+2 6= 0 pour h ≥ 1, avec U ₂ = 1. Dans le cas de U 2h+3 , on v´ erifie de mˆ eme que i + k ≥ 3 et i + j + 2k ≥ h + 2 pour 0 ≤ j ≤ h − 2. Nous en d´ eduisons que

p ^−(eh+e+t) U 2h+3 ≡ (uv + h(uv + w))v ^h−1 (mod p ^e+2t ) .

L’hypoth` ese p | F ₂ ⁰⁰ implique p | (uv + w) et p - uvw. Dans ce cas, la congru- ence p ^−(eh+e+t) U 2h+3 ≡ uv ^h (mod p) montre que U 2h+3 6= 0 pour h ≥ 1, avec U 3 = S.

R e m a r q u e 2. Si U 3 = S = 0 alors d = r et F ₂ ⁰⁰ = −1, avec r ≥ 2.

L’´ equation (1) a trois solutions en n : 0, 1, 3, et toute solution suppl´ ementaire est impaire (voir §8).

R e m a r q u e 3. Le polynˆ ome f est irr´ eductible lorsque ab 6= c, d’apr` es le crit` ere d’Eisenstein appliqu´ e ` a f si b 6= c o` u ` a g si b = c [11, p. 21].

Lorsque ab = c, le triplet est de la forme (cd 1 s 1 , cq, cd 1 r 1 ) avec les notations de Prop. 3. Si le polynˆ ome f a une racine dans Z et deux racines complexes conjugu´ ees alors f (X) = (X − cd 1 k)(X ² − Xcd ₁ (s 1 − k) + cr ⁰ ₁ ), en posant r 1 = kr ₁ ⁰ , o` u k ∈ N <sup>∗</sup> et 4r <sup>0</sup> <sub>1</sub> > cd <sup>2</sup> <sub>1</sub> (s 1 − k) <sup>2</sup> . L’indice F 2 est alors ´ egal ` a c ² d 1 (s 1 − k)(r ₁ ⁰ + cd ² ₁ ks 1 ).

Corollaire 3. Sous les hypoth` eses et avec les notations de Prop. 3,

l’´ equation (1) a deux solutions en n lorsque “l’indice F 2 a la propri´ et´ e

P(R)”, ` a moins que F <sub>2</sub> <sup>00</sup> ne soit ´ egal ` a ±1, et elle poss` ede deux ou trois

solutions en n lorsque “l’indice F 2 n’a pas la propri´ et´ e P(R)”, ` a moins

d’avoir F ₂ ⁰⁰ = λ avec λ ∈ {±2, ±3} et (λ, R) = 1. Dans ce cas le nombre de

solutions est au plus ´ egal ` a quatre, et s’il existe deux solutions, distinctes de

0 et de 1, alors elles ont la mˆ eme parit´ e si λ = ±3 et des parit´ es diff´ erentes

si λ = ±2, et d = 1 lorsque λ = ±2.

P r e u v e. D’apr` es Cor. 2, l’´ equation (1) est ´ equivalente ` a l’´ equation U n = 0. D’apr` es Prop. 3(i), F 2 = δdF ₂ ⁰⁰ et la condition (d, F ₂ ⁰⁰ ) = 1 est n´ ecessaire pour que la suite U n ait un z´ ero non trivial; dans ce cas (R, F ₂ ⁰⁰ ) = 1, ce que nous supposons dans la suite. Lorsque “F 2 a la propri´ et´ e P(R)”

alors “F ₂ ⁰⁰ a la propri´ et´ e P(d)”, chaque diviseur premier de F ₂ ⁰⁰ est un diviseur de (d, F ₂ ⁰⁰ ), donc F ₂ ⁰⁰ = ±1. Dans le cas o` u “F 2 n’a pas la propri´ et´ e P(R)”, comme (R, F <sub>2</sub> <sup>00</sup> ) = 1, chaque diviseur premier de F <sub>2</sub> <sup>00</sup> v´ erifie les hypoth` eses de Thm. 3, et le r´ esultat se d´ eduit du crit` ere F 2 appliqu´ e avec p = 2 ou p = 3 dans le cas sp´ ecial.

§ 3. Solutions modulo trois :

“F ₃ n’a pas la propri´ et´ e P(R)”

Sous l’hypoth` ese 2, chaque solution en n de l’´ equation (1) est un z´ ero de la suite U n (Cor. 2). Suivant que n est congru ` a 0, 1 ou 2 modulo 3, l’´ equation (1) est ´ equivalente, via (3) et (6), ` a l’une des ´ equations suivantes :



 

 

(20) ρ ^3h = V 3h ρ + W 3h

(21) ρ ^3h+1 = V 3h+1 ρ + W 3h+1

(22) ρ ^3h+2 = V 3h+2 ρ + W 3h+2

⇔ (23) ρ ^3h = (1/R)(V 3h+2 ω + W 3h+3 ) .

Th´ eor` eme 5. Soit (S, Q, R) un triplet v´ erifiant l’hypoth` ese 2, F 3 = Q ² (S ² + Q) − RS ³ . Si “l’indice F 3 n’a pas la propri´ et´ e P(R)” alors le nombre de solutions en n de l’´ equation (1) est au plus ´ egal ` a quatre.

Crit` ere F 3 . Supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p | F 3

et p - R. Si S = 0 alors l’´equation (1) a exactement trois solutions en n : 0, 1, 3. Lorsque S est non nul , d´ esignons par µ le plus petit entier positif tel que p soit un “diviseur” de ρ ^3µ dans l’ordre Z[ρ]; avec les conventions de D´ ef. 6, posons

ρ ^3µ = p ^α Aρ ² + p ^β Bρ + C .

Si p | QS alors µ = 1 sauf dans le cas sp´ ecial (∗) (voir ci-dessous). Si p = 3 et p - QS alors µ = 2 et on peut utiliser le crit`ere F 2 . Si p ≥ 5 et p - QS, ν

´

etant le plus petit entier positif et inf´ erieur ` a µ tel que U 3ν+2 ≡ 0 (mod p), alors µ et ν sont d´ efinis dans Prop. 4. Posons

ρ ^3ν+2 = Eρ ² + F ρ + G .

Les solutions modulo trois de l’´ equation (1) sont alors de la forme n =

3µm, n = 3µm + 1 ou n = 3µm + 3ν + 2. Chacune des ´ equations (20),

(21) et (22) a au plus deux solutions, deux d’entre elles ont au plus trois

solutions et elles ont ensemble au plus quatre solutions. Les conditions C 0 ,

C ₁ et C ₂ ² ci-dessous sont n´ ecessaires pour que respectivement chacune de ces

3. Solutions modulo trois : “F

n’a pas la propri´ et´ e P(R)” 23

´

equations ait deux solutions; tandis que la condition C ₂ ¹ est n´ ecessaire pour que l’´ equation (22) ait une solution.

p - ^QS p | QS et p 6= 2 p | QS et p = 2

C

α ≥ 2β α ≥ 2β − 1

α = β et µ = 1 β ≥ 2α − 1

C

β ≥ 2α

p

| (AS + B) µ = 2 β = α + 1 et 2

| (AS + B)

(∗) Dans le cas sp´ ecial o` u p = 2, µ = 1, α = β = 1, prendre µ = 2.

α = β α 6= β

C

0 ≤ λ < α p

k ((AS + B)F + AG) et p

| E p

| E C

p

| ((AS + B)F + AG) et p

| E

P r e u v e. Pour d´ eterminer le nombre maximum de solutions de l’´ equa- tion (1), nous ´ etudions le syst` eme ´ equivalent form´ e des ´ equations (20), (22), et (23). Supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p | F 3 et p - R;

par d´ efinition de F 3 , si p | QS alors p | Q et p | S. Nous distinguons deux cas suivant que p divise ou non QS.

P r e m i e r c a s : p | F 3 et p - QSR. L’indice F 3 est impair lorsque S, Q et R sont impairs, donc p 6= 2. Dans le cas o` u p = 3, la congruence Q <sup>2</sup> (S <sup>2</sup> + Q) ≡ RS <sup>3</sup> (mod 3) implique (1 + Q) ≡ RS, Q ≡ 1 et R ≡ −S (mod 3); donc F 2 = −(QS + R) ≡ 0 (mod 3). D’apr` es le crit` ere F 2 , l’une des conditions (3 k F 2 et 3 <sup>2</sup> | (S <sup>2</sup> + Q)) ou bien (3 k F 2 et 3 <sup>2</sup> | (S <sup>3</sup> + 2QS + R)) est n´ ecessaire pour que l’´ equation (1) ait quatre solutions. Comme S <sup>2</sup> + Q ≡ −1 et S <sup>2</sup> + 2Q ≡ 0 (mod 3), aucune de ces conditions n’est satisfaite. Nous d´ eduisons du crit` ere F 2 que l’´ equation (1) a dans ce cas deux ou trois solutions, de la forme n = 6m ou n = 6m + 1.

Nous supposons que p ≥ 5. D’apr` es Prop. 4, les solutions en h de chacune des ´ equations (20) et (23) sont de la forme h = µm avec m ∈ N, o` u µ est le plus petit entier positif tel que p soit un “diviseur” de ρ ^3µ dans les anneaux Z[ρ] et Z (p) [ω], via les formules (3) et (6). Avec les conventions de D´ ef. 6, posons

ρ ^3µ = p ^α Aρ ² + p ^β Bρ + C , ρ ^3µ = (1/R)(p ^α

A 1 ω ² + p ^β

B 1 ω + C 1 ) ; et les relations suivantes se d´ eduisent de (15) :

(24) p ^α

A 1 = p ^α AS + p ^β B , p ^β

B 1 = p ^α

A 1 Q + p ^α AR .

D’apr` es Thm. 2, appliqu´ e ` a ζ = ρ ^3µ pour p ≥ 5, avec θ = ρ puis avec

θ = ω, chacune des ´ equations (20) et (23) a au plus deux solutions. Nous

montrons que ces deux ´ equations ont ensemble deux ou trois solutions. Pour

que l’´ equation (20) ait deux solutions il faut que α ≥ 2β, ce qui entraˆıne

d’apr` es (24), α 1 = β et β 1 = β. Comme α 1 = β 1 , l’´ equation (23) a une seule solution. De mˆ eme, pour que l’´ equation (23) ait deux solutions il faut que α 1 ≥ 2β 1 ; d’apr` es (24) cette condition est ´ equivalente ` a

α = β et p ^α | (AS + B) ,

et dans ce cas l’´ equation (20) a une seule solution. Dans Prop. 4 nous montrons que les solutions de l’´ equation (22) sont de la forme n = 3µm + 3ν + 2 o` u ν est le plus petit entier positif, avec ν < µ, tel que U 3ν+2 ≡ 0 (mod p). D’apr` es Prop. 5, les conditions

α = β , p ^2α | U _3ν+2 et p ^α | ((AS + B)V _3ν+2 + AW 3ν+2 )

sont n´ ecessaires pour que l’´ equation (22) ait deux solutions et dans ce cas, chacune des ´ equations (20) et (23) a une seule solutions d’apr` es les r´ esultats qui pr´ ec` edent. Nous avons ainsi montr´ e que l’´ equation (1) poss` ede au plus quatre solutions lorsque p | F 3 et p - QRS.

S e c o n d c a s : p | (Q, S) et p - R. D’apr`es Prop. 2(ii), la suite U n

n’a pas de z´ eros de la forme n = 3h + 2, l’´ equation (22) n’a donc pas de solutions. Lorsque ρ est un entier de trace nulle, montrons que l’´ equation (1) a exactement trois solutions en n : 0, 1, 3. S ´ etant nul, les ´ equations (20) et (23) sont de la forme suivante :

ρ ^3h = (Qρ + R) ^h , ρ ^3h = R ^−h (Qω ² + Q ² ω + R ² ) ^h ,

avec p | Q et p - R. Nous appliquons Thm. 2 `a ζ = ρ <sup>3</sup> , d’une part avec θ = ρ pour p ≥ 2, alors l’´ equation (20) a exactement deux solutions (pour p = 3, la trace de ρ est un multiple de 3), d’autre part avec θ = ω, pour p ≥ 3 ou bien pour p = 2 et Q un multiple de 4, alors l’´ equation (23) a une seule solution. Lorsque 2 k Q, d’apr` es (13), on a U 3h+1 ≡ hQR ^h−1 (mod 16). Les solutions de l’´ equation (23) sont de la forme ρ ^6m avec m ∈ N et ρ ⁶ = 2Qω ² + 3Q ² ω + Q ³ + R ² , cette ´ equation a une seule solution, d’apr` es Thm. 2 appliqu´ e ` a ζ = ρ ⁶ avec θ = ω, pour p = 2. Nous supposons que S n’est pas nul; il existe alors des entiers positifs α et β tels que S = p ^α A et Q = p ^β B avec p - AB, et d’apr`es (3) et (6),

ρ ³ = Sρ ² + Qρ + R , ρ ³ = (1/R)(U 4 ω ² + V 5 ω + W 6 ) .

Comme U 4 = S ² + Q et V 5 = QU 4 + RS, les relations (24) se mettent sous la forme

(25) U 4 = p ^2α A ² + p ^β B = p ^α

A 1 , V 5 = p ^β+α

BA 1 + p ^α AR = p ^β

B 1 .

Donc, ρ ³ admet p comme “diviseur” dans Z[ρ] et aussi dans Z (p) [ω]. Nous

appliquons alors Thm. 2 ` a ζ = ρ ³ avec θ = ρ puis avec θ = ω, pour p ≥ 3

ou pour p = 2 lorsque 4 divise (Q, S). Remarquons que pour p = 3, les

traces de ρ et de ω sont des multiples de 3. Pour que l’´ equation (20) ait

deux solutions il faut que α ≥ 2β pour p 6= 2 ou que α ≥ 2β − 1 pour p = 2;

3. Solutions modulo trois : “F

n’a pas la propri´ et´ e P(R)” 25

les relations (25) impliquent dans ce cas α 1 = β et β 1 ≥ 2β pour p 6= 2, α 1 = β et β 1 ≥ 2β − 1 pour p = 2. Comme α ₁ < β 1 , avec 2 ≤ α 1 pour p = 2, l’´ equation (23) a une seule solution. De mˆ eme, pour que l’´ equation (23) ait deux solutions il faut que α 1 ≥ 2β ₁ pour p 6= 2 ou que α 1 ≥ 2β ₁ − 1 pour p = 2; via (25), ces conditions sont ´ equivalentes ` a β ≥ 2α pour p 6= 2 ou ` a β ≥ 2α − 1 pour p = 2. Comme α < β, avec 2 ≤ α pour p = 2, l’´ equation (20) a une seule solution. Le cas o` u p = 2 et 2 k (Q, S) est trait´ e dans Prop. 6. Nous avons ainsi montr´ e que l’´ equation (1) a deux ou trois solutions lorsque p | (Q, S) et p - R.

Proposition 4. Soient (S, Q, R) un triplet v´ erifiant l’hypoth` ese 2, p un nombre premier tel que p ≥ 5, p | F 3 et p - QSR, avec F ³ = Q ² (S ² + Q) − RS ³ , et U n la suite d´ efinie dans Prop. 1. Les z´ eros modulo trois de la suite U n sont alors de la forme n = 3µm, n = 3µm + 1 ou n = 3µm + 3ν + 2, µ et ν ´ etant des entiers positifs tels que

(i) si p - (QS + 3R) alors µ est la plus petite solution de la congruence (1 + S ² /Q) ^3µ ≡ 1 (mod p), et ν est l’unique solution, si elle existe, de la congruence (1 + S ² /Q) ^3ν+2 ≡ −(2 + S ² /Q) (mod p), avec 1 ≤ ν ≤ µ − 1;

(ii) si p | (QS + 3R) alors 3 | (p − 1), µ = p et ν est le reste modulo p de S ² /(3Q).

Les coordonn´ ees de ρ ^3µ et celles de ρ ^3ν+2 dans l’ordre Z[ρ] v´erifient alors les congruences : U 3µ ≡ V _3µ ≡ 0 et W _3µ 6≡ 0 ; U _3ν+2 ≡ 0 et QV _3ν+2 ≡ SW 3ν+2 6≡ 0 (mod p).

P r e u v e. Le polynˆ ome minimal et le discriminant de ρ sont donn´ es par

 disc(ρ) = 4F 3 − 3(QS + 3R) ² ,

f (X) = (X − (S ² + Q)/S)(X ² + X(Q/S) + (Q/S) ² ) + F 3 /S ³ . Rappelons que, suivant la d´ ecomposition de f modulo p, le polynˆ ome f a trois racines distinctes ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 dans Q p ou dans une extension quadratique de Q p . D’apr` es la formule (4), U n a l’expression suivante :

δ f U n = (ρ 2 − ρ ₃ )ρ ⁿ ₁ + (ρ 3 − ρ ₁ )ρ ⁿ ₂ + (ρ 1 − ρ ₂ )ρ ⁿ ₃ ,

avec δ f = −(ρ 2 − ρ ₃ )(ρ 3 − ρ ₁ )(ρ 1 − ρ ₂ ) et δ _f ² = disc(ρ). Si f a une seule racine modulo p alors p + 1 est un multiple de 3. D’apr` es le Lemme de Hensel (voir le livre de Cassels [8, p. 49]), l’une des racines de f est dans Z p , l’anneau des entiers p-adiques, les deux autres racines appartiennent ` a Z p [j] = Z p + jZ p , o` u j est une racine cubique de l’unit´ e, distincte de 1. Nous avons dans ce cas les congruences

(26)  ρ 1 ≡ (S ² + Q)/S (mod pZ p ) ,

ρ 2 ≡ jQ/S , ρ ₃ ≡ j ² Q/S (mod pZ p [j]) .