Sur la longueur de la fraction continue de

(1)

LXXIV.2 (1996)

Sur la longueur de la fraction continue de α ⁿ

par

Guillaume Grisel (Caen)

I. Introduction. Soit x un nombre rationnel. Notons d(x) le nombre de termes de la fraction continue de longueur paire de x. Y. Pourchet dans une lettre à M. Mendès France d’une part et G. Choquet dans une série de comptes rendus à l’Académie des Sciences [2] d’autre part, ont démontré que si x n’est ni un entier ni l’inverse d’un entier, alors sup d(x ⁿ ) = ∞. La démonstration de Y. Pourchet, non publiée, est résumée dans l’article de A. J. van der Poorten [7].

Nous nous intéressons à un problème similaire portant sur les nombres quadratiques réels. Si α est un nombre quadratique réel, son développement en fraction continue est périodique, de longueur de période primitive l(α).

En Novembre 1992, lors d’un congrés à Tokyo, M. Mendès France posait la question suivante ([5], problème n ô 6) : pour tout nombre quadratique réel α, est-il vrai que

lim sup

n→∞ l(α ⁿ ) = ∞?

Une première réponse, à mettre en parallèle avec le cas des entiers dans le problème sur les nombres rationnels, peut déjà être faite : R. Paysant-Le Roux et E. Dubois remarquent dans [6] que si α est une unité quadratique, alors l(α) ≤ 2. La question doit donc être reformulée en ne considérant plus que les nombres quadratiques réels qui ne sont pas des unités quadratiques.

L’existence du nombre l(α ⁿ ) pour tout n ≥ 1 est équivalente à α ² 6∈ Q, il est donc bien entendu que si ce n’est pas le cas, n désignera un nombre impair.

Nous montrons que, pour une large classe de nombres réels quadratiques, la réponse à la question de M. Mendès France est non seulement positive mais que l(α ⁿ ) tend vers l’infini avec n et ceci de manière explicite. Nous

´etablissons :

Th´ eor` eme. Soit α = (a + b √

d)/c, a ∈ Z, b ∈ Z ^∗ , c ∈ N ^∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e. Posons f ₂ = pgcd(a ² + b ² d, 2ab, c ² ), c ₂ = c ² /f 2 et N 2 = (a ² − b ² d) ² /f ₂ ² . Supposons que α v´erifie l’une des conditions suivantes :

[161]

(2)

(i) N 2 6≡ 0 (mod c 2 ), (ii) pgcd(a, b) > 1, (iii) pgcd(a, d) > 1,

(iv) a ² − b ² d pair et c impair.

Alors il existe une constante effectivement calculable K strictement positive et ind´ependante de n, telle que pour tout n ≥ 2,

l(α ⁿ ) > K 2 ⁿ n .

La preuve de ce théorème consiste en la détermination, pour tout n ≥ 1, d’un générateur de O _n l’anneau des stabilisateurs du module Z + Zα ⁿ , en fonction de conditions sur α. Plus précisément, il s’agit de faire apparaˆıtre des grandes puissances d’entiers dans le conducteur de O n . Deux minora- tions, l’une de l(α ⁿ ) (proposition 5) due à E. P. Golubeva [4] et faisant in- tervenir l’unité fondamentale et le discriminant de O _n , et l’autre de l’indice du groupe des unités de O n dans le groupe des unités du corps Q(α) (propo- sition 6), reposant sur un lemme de H. Cohen [3], sont à la base de cette démonstration.

II. La forme canonique de α ⁿ . Consid´erons α = (a + b √

d)/c, o` u a ∈ Z, b ∈ Z ^∗ , c ∈ N ^∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e, et posons N = a ² − b ² d. Notons, pour tout n ≥ 1,

α ⁿ =

a + b √ d c

_n

= a n + b n

√ d

c _n , avec pgcd(a _n , b _n , c _n ) = 1 et c _n > 0.

D´efinissons, pour tout n ≥ 1, les entiers a ⁰ _n et b ⁰ _n par (a+b √

d) ⁿ = a ⁰ _n +b ⁰ _n √ d, et posons f _n = pgcd(a ⁰ _n , b ⁰ _n , c ⁿ ).

Proposition 1. Pour tout n ≥ 1, f n = 2 ^l

⁰ⁿ

(pgcd(a, d, c)) ^l

ⁿ

, avec : (i) l _n = [n/2];

(ii) Si l’un des nombres a ² − b ² d ou c est impair , alors l ⁰ _n = 0;

(iii) Si les deux nombres a ² − b ² d et c sont tous les deux pairs, alors

l ⁰ _n =

 

 



 

 

0 si d ≡ 2 (mod 4), [n/2] si d ≡ 3 (mod 4), n − 1 si d ≡ 1 (mod 8),

n − 1 si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 ne divise pas n, n si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 divise n.

D é m o n s t r a t i o n. Le cas a = 0 est trivial : comme pgcd(b, c) = 1 et d est sans facteur carré on a alors f _2n+1 = pgcd(b ²ⁿ⁺¹ d ⁿ , c ²ⁿ⁺¹ ) = (pgcd(c, d)) ⁿ . Nous supposons donc a 6= 0 dans la suite de la démonstration.

Posons, pour tout n ≥ 1, δ n = pgcd(a ⁰ _n , b ⁰ _n ). Nous explicitons dans un

premier temps les diviseurs premiers de δ _n , puis nous d´eterminons les puis-

(3)

sances avec lesquelles ils divisent δ n . Nous en d´eduisons alors f n . Les facteurs communs `a a et b divisent δ _n , mais ne divisent pas f _n car pgcd(a, b, c) = 1.

On peut donc supposer, pour l’´etude de f _n , δ ₁ = pgcd(a, b) = 1.

Lemme 1. Supposons δ 1 = 1. Pour tout n ≥ 1, si p premier divise δ n

alors p = 2 ou p divise pgcd(a, d).

D ´e m o n s t r a t i o n. On a, pour tout n ≥ 1,

(1) a ⁰ _n+1 = a ⁰ _n a + b ⁰ _n bd, b ⁰ _n+1 = a ⁰ _n b + b ⁰ _n a.

Donc si p divise δ _n , il divise aussi δ _n+1 . Alors quitte `a changer n en n + 1, on peut supposer n pair. En posant n = 2m, on a alors

a ⁰ _n = a ⁰² _m + b ⁰² _m d, b ⁰ _n = 2a ⁰ _m b ⁰ _m .

On en d´eduit que ou p = 2, ou p divise δ _m , ou p divise pgcd(a ⁰ _m , d).

Si m = 1, comme on a suppos´e pgcd(a, b) = 1, alors p = 2 ou p divise pgcd(a ⁰ ₁ , d) = pgcd(a, d).

Si m > 1, alors ou p = 2, et c’est fini, ou p divise pgcd(a ⁰ _m , d), ou p divise δ _m .

(a) Si p divise pgcd(a ⁰ _m , d), alors par (1), il divise pgcd(a, d) ou il divise pgcd(a ⁰ _m−1 , d) et on obtient par r´ecurrence descendante jusqu’`a m = 1, p divise pgcd(a, d).

(b) Si p divise δ _m , alors soit [(m + 1)/2] = 1, soit [(m + 1)/2] > 1.

Dans ce second cas, on a alors ou p = 2 et c’est fini, ou p divise pgcd(a ⁰ _[(m+1)/2] , d) et on effectue (a), ou p divise δ _[(m+1)/2] et on recom- mence (b).

On s’arrˆete donc en entrant dans (a), ou lorsque [(m + 1)/2] = 1. Il suit donc p = 2 ou p divise pgcd(a, d).

Comme d est sans facteur carré, on peut écrire pgcd(a, d, c) = p 1 . . . p s o` u les p _i sont premiers et tous distincts. Or il est facile de voir, en développant (a + b √

d) ⁿ par la formule du binôme, que pour tout n ≥ 2, le pgcd(a, d, c) divise δ n , et que par conséquent il divise f n . On en déduit donc par le lemme 1,

f _n = 2 ^l

⁰ⁿ

p ^l ₁

^1,n

. . . p ^l _s

^s,n

, l _i,n ≥ 1.

• Montrons le point (i) de la proposition 1. Pour tout i compris entre 1 et s, comme par hypoth`ese pgcd(a, b, c) = 1, p i ne divise pas b, et puisque d est sans facteur carr´e, p _i divise exactement N = a ² − b ² d. D’o` u, si v _p

_i

(x) d´esigne la valuation p _i -adique de l’entier x, v _p

_i

(N ⁿ ) = v _p

_i

(a ⁰² _n − b ⁰² _n d) = n.

On a alors :

• soit v _p

_i

(a ⁰ _n ) ≤ v _p

_i

(b ⁰ _n ), et alors v _p

_i

(N ⁿ ) = v _p

_i

(a ⁰² _n ), d’o` u n est pair et v _p

_i

(δ _n ) = v _p

_i

(a ⁰ _n ) = n/2;

• soit v p

_i

(b ⁰ _n ) < v p

_i

(a ⁰ _n ), et alors v p

_i

(N ⁿ ) = v p

_i

(b ⁰² _n d) = n; il suit que n

est impair et v _p

_i

(δ _n ) = v _p

_i

(b ⁰ _n ) = (n − 1)/2.

(4)

Comme v p

_i

(c ⁿ ) ≥ n, on obtient donc l i,n = l n = [n/2].

• Le point (ii) de la proposition 1 est imm´ediat.

On d´eduit le point (iii) de la proposition 1 `a partir de la valuation 2- adique de δ n , qui fait l’objet du lemme suivant :

Lemme 2. Si v ₂ (δ ₁ ) = 0 et N = a ² − b ² d pair , alors pour tout n ≥ 1,

v 2 (δ n ) =

 



 

[n/2] si d 6≡ 1 (mod 4), n − 1 si d ≡ 1 (mod 8),

n − 1 si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 ne divise pas n, n si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 divise n.

D é m o n s t r a t i o n. Si d ≡ 2 (mod 4) et N = a ² − b ² d pair, alors pgcd(a, d) est pair. Il existe donc un indice i tel que p _i = 2, et d’après la démonstration du point (i) de la proposition 1, v ₂ (δ _n ) = l _n = [n/2].

Si d ≡ 3 (mod 4), comme δ ₁ = 1 et N pair, alors v ₂ (N ) = 1. En reprenant la d´emonstration du point (i) avec v 2 (N ⁿ ), on obtient pour tout n ≥ 1, v ₂ (δ _n ) = [n/2].

Partant de (1), on peut ´ecrire, pour tout n ≥ 1,

(2) a ⁰ _n+2 = 2aa ⁰ _n+1 − N a ⁰ _n , b ⁰ _n+2 = 2ab ⁰ _n+1 − N b ⁰ _n .

Comme δ 1 = 1, de N pair et d ≡ 1 (mod 4), on a v 2 (a ⁰ ₁ ) = v 2 (b ⁰ ₁ ) = 0 et v ₂ (a ⁰ ₂ ) = v ₂ (b ⁰ ₂ ) = 1. On raisonne alors par r´ecurrence sur n.

Si d ≡ 1 (mod 8), alors v ₂ (N ) ≥ 3. Supposons que v ₂ (a ⁰ _n ) = v ₂ (b ⁰ _n ) = n−

1 et v ₂ (a ⁰ _n+1 ) = v ₂ (b ⁰ _n+1 ) = n, et montrons que v ₂ (a ⁰ _n+2 ) = v ₂ (b ⁰ _n+2 ) = n+1.

Par (2), on a v ₂ (a ⁰ _n+2 ) = min{v ₂ (2aa ⁰ _n+1 ), v ₂ (N a ⁰ _n )} = min{n + 1, n + 2 + k} avec k = v 2 (N ) − 3. D’o` u v 2 (a ⁰ _n+2 ) = n + 1. De la mˆeme mani`ere, on obtient v ₂ (b ⁰ _n+2 ) = n + 1.

Si d ≡ 5 (mod 8), alors v ₂ (N ) = 2. Supposons que v ₂ (a ⁰ _3k+1 ) = v ₂ (b ⁰ _3k+1 )

= 3k et v ₂ (a ⁰ _3k+2 ) = v ₂ (b ⁰ _3k+2 ) = 3k + 1. Montrons alors que v ₂ (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1), v 2 (a ⁰ _3(k+1)+1 ) = v 2 (b ⁰ _3(k+1)+1 ) = 3(k + 1) et v 2 (a ⁰ _3(k+1)+2 ) = v 2 (b ⁰ _3(k+1)+2 ) = 3(k + 1) + 1.

On a

v ₂

2aa ⁰ _3k+2

2 ^3k+2 − N a ⁰ _3k+1 2 ^3k+2

≥ 1,

et par (2), v ₂ (a ⁰ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1). Avec les mêmes arguments, on déduit v ₂ (b ⁰ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1), et donc v ₂ (δ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1). En utilisant de nouveau les inégalités (2), on obtient

v ₂ (a ⁰ _3(k+1)+1 ) = v ₂ (b ⁰ _3(k+1)+1 ) = v ₂ (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1).

Or, d’apr`es (1), si un entier divise δ _n alors il divise δ _n+1 . Il en suit donc

v 2 (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1). On obtient finalement, par (2), v 2 (a ⁰ _3(k+1)+2 ) =

v 2 (b ⁰ _3(k+1)+2 ) = v 2 (δ _3(k+1)+2 ) = 3(k + 1) + 1.

(5)

• Montrons le point (iii) de la proposition 1. Si N et c sont pairs, alors v ₂ (f _n ) = min{v ₂ (δ _n ), v ₂ (c ⁿ )}. Or d’apr`es le lemme 2, v ₂ (f _n ) ≤ n ≤ v ₂ (c ⁿ ).

Si d ≡ 2 (mod 4), comme pgcd(a, b) = 1 et d est sans facteur carr´e, alors v ₂ (pgcd(a, d, c)) = 1. Or, pour tout n ≥ 1, on a, f _n = 2 ^l

⁰ⁿ

(pgcd(a, d, c)) ^[n/2]

et d’apr`es le lemme 2, v 2 (f n ) = [n/2]. Il suit donc l ⁰ _n = 0.

Si d 6≡ 2 (mod 4), alors pgcd(a, d, c) est impair, et donc pour tout n ≥ 1, l ⁰ _n = v 2 (δ n ) donn´e par le lemme 2, ce qui termine la d´emonstration de la proposition 1.

III. Etude de l’anneau des stabilisateurs. Pour tout n ≥ 1, soit O _n l’anneau des stabilisateurs du module Z+Zα ⁿ , i.e. l’ensemble des γ ∈ Q( √

d) tels que γ(Z+Zα ⁿ ) ⊂ Z+Zα ⁿ . Nous nous proposons dans ce paragraphe de donner, au travers de trois propositions, une description de O _n en fonction de α.

Consid´erons, pour tout n ≥ 1, l’´equation minimale de α ⁿ : ω ₁ (n)X ² + ω ₂ (n)X + ω ₃ (n) = 0,

avec (ω 1 (n), ω 2 (n), ω 3 (n)) ∈ Z ³ , ω 1 (n) > 0 et pgcd(ω 1 (n), ω 2 (n), ω 3 (n)) = 1.

On peut ´ecrire, en reprenant les notations du paragraphe II, ω ₃ (n)

ω ₁ (n) = a ² _n − b ² _n d

c ² _n et ω ₂ (n) ω ₁ (n) = 2a _n

c _n . En posant γ _n = pgcd(2a _n c _n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ), il suit alors

(3) ω ₁ (n) = c ² _n /γ _n .

Remarquons que de mani`ere plus simple, on a γ n = pgcd(2c n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ).

En effet, pgcd(2c _n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ) divise γ _n . Réciproquement, tous les di- viseurs de γ _n divisent pgcd(2c _n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ) sauf peut être s’ils divisent a _n . Or, si un premier p divise a n et γ n , il divise b ² _n d. Il ne divise pas b n , car pgcd(a _n , b _n , c _n ) = 1 et par suite il divise d. Or comme d est sans facteur carré, il divise exactement a ² _n − b ² _n d et par conséquent, il divise exactement γ n . Mais alors, comme il divise c ² _n , il divise aussi pgcd(2c n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ).

D’apr`es Z. I. Borevitch et I. R. Chafarevitch [1], p. 152, on a O _n = Z[ω ₁ (n)α ⁿ ] = Z + Zω ₁ (n)α ⁿ .

Pour tout n ≥ 1, posons N _n = a ² _n − b ² _n d. En consid´erant les trois cas suivants : c n ne divise pas N n , c n divise N n mais c ² _n ne divise pas N n , et c ² _n divise N _n , on d´etermine alors c ² _n /γ _n et donc O _n en fonction de a _n , b _n , c _n et d. On obtient :

Proposition 2. Pour tout n ≥ 1, l’ordre O n est égal à Z[ξ n ], où l’entier

quadratique ξ _n est donn´e par le tableau suivant :

(6)

Tableau 1

N n ≡ 0 (mod c n )

N n ≡ 0 (mod c ² _n ) et N n 6≡ 0 (mod c n ) N n 6≡ 0 (mod c ² n )

d ≡ 2, 3 (mod 4), ou

d ≡ 1 (mod 4) et c n impair ξ n = k n

√ d ξ n = k n

√ d

ξ n = (1 + k n

√ d)/2 ξ n = (1 + k n

√ d)/2 d ≡ 1 (mod 4) si v ₂ (N n ) > v ₂ (c n ) si v ₂ (N n ) > v ₂ (c n )

et ξ n = 1 + k n

√ d

c n pair 2 ξ n = k n

√ d ξ n = k n

√ d si v ₂ (N n ) = v ₂ (c n ) si v ₂ (N n ) ≤ v ₂ (c n )

avec k _n entier v´erifiant : (i) k _n =

|c n b n /γ n | si O n ⊂ Z[ √ d],

|2c _n b _n /γ _n | si O _n 6⊂ Z[ √ d];

(ii) k _n > |b _n | si et seulement si N _n 6≡ 0 (mod c _n ).

La divisibilité de N _n par c _n joue un rôle important dans la forme de ξ _n . Nous allons en déterminer des conditions équivalentes.

Proposition 3. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe n ≥ 2 tel que c _n divise N _n .

(ii) c divise N , pgcd(a, d, c) = 1, 0 < v ₂ (c) ≤ v ₂ (N ) − 1 ou v ₂ (c) = 0.

(iii) Pour tout n ≥ 1, c _n divise N _n . (iv) c ₂ divise N ₂ .

D ´e m o n s t r a t i o n. (iii)⇒(iv) et (iv)⇒(i) sont claires. Nous allons mon- trer que (i)⇒(ii) et que (ii)⇒(iii).

Pour tout n ≥ 1, on a c _n = c ⁿ /f _n et N _n = N ⁿ /f _n ² , o` u f _n est le pgcd d´efini au paragraphe II. On peut donc ´ecrire

(c _n divise N _n ) ⇔ (c ⁿ divise N ⁿ /f _n ).

D’apr`es la proposition 1, f _n est de la forme f _n = 2 ^l

⁰ⁿ

(pgcd(a, d, c)) ^l

ⁿ

. Posons comme précédemment pgcd(a, d, c) = p 1 . . . p s avec les p i premiers et tous distincts. Alors c _n divise N _n si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

1) c divise N ;

2) pour tout i = 1, . . . , s, v p

_i

(c ⁿ ) ≤ v p

_i

(N ⁿ ) − v p

_i

(f n );

3) v 2 (c ⁿ ) ≤ v 2 (N ⁿ ) − v 2 (f n ).

(i)⇒(ii). D’apr`es 1), c divise N . D´eduisons de 2) que pgcd(a, d, c) = 1.

Raisonnons par l’absurde, et supposons que pgcd(a, d, c) 6= 1. D’apr`es la

proposition 1, on a l _n = [n/2]. Donc, il existe un indice i, 1 ≤ i ≤ s,

(7)

tel que v p

_i

(f n ) = [n/2] ≥ 1, car n ≥ 2. De plus, comme par hypoth`ese pgcd(a, b, c) = 1, p _i ne divise pas b. Il suit alors que v _p

_i

(N ) = v _p

_i

(d) = 1, car d est sans facteur carr´e. De 2) on obtient donc nv _p

_i

(c) ≤ n − 1, d’o` u v p

_i

(c) = 0, ce qui est une contradiction.

Reste `a montrer 0 < v ₂ (c) < v ₂ (N ) ou v ₂ (c) = 0. Si v ₂ (f _n ) ≥ 1, alors v 2 (c) > 0, et la condition 3) implique

0 < v ₂ (c) ≤ v ₂ (N ) − v ₂ (f _n )/n ≤ v ₂ (N ) − 1/n < v ₂ (N ).

Si v ₂ (f _n ) = 0, 3) devient v ₂ (c) ≤ v ₂ (N ), et d’apr`es la proposition 1, on a v ₂ (c) = 0 ou v ₂ (N ) = 0.

(ii)⇒(iii). Si (ii) est vraie alors, pour tout n ≥ 1, 1) et 2) sont v´erifi´ees.

Si v ₂ (c) = 0 alors pour tout n ≥ 1, v ₂ (f _n ) = 0 et 3) est v´erifi´ee. Si 0 <

v 2 (c) < v 2 (N ), comme d’après la proposition 1, v 2 (f n ) ≤ n, on a alors 0 < v ₂ (c) ≤ v ₂ (N ) − 1 ≤ v ₂ (N ) − v ₂ (f _n )/n et 3) est vérifiée.

Nous d´eterminons maintenant la forme de ξ n en fonction de conditions sur α.

Proposition 4. (i) Si d 6≡ 1 (mod 4), alors pour tout n ≥ 1, ξ n = k n

√ d.

(ii) Si d ≡ 1 (mod 4) et ξ 1 = k 1

√ d, alors pour tout n ≥ 1, ξ n = k n

√ d.

(iii) Si d ≡ 1 (mod 8) et ξ ₁ = (1 + k ₁ √

d)/2, alors pour tout n ≥ 1, ξ n = (1 + k n

√ d)/2.

(iv) Si d ≡ 5 (mod 8), et ξ ₁ = (1 + k ₁ √

d)/2, alors ξ n =

k _n √

d si 3 divise n, (1 + k n

√ d)/2 si 3 ne divise pas n.

D ´e m o n s t r a t i o n. (i) Si d 6≡ 1 (mod 4), alors pour tout n ≥ 1, l’anneau O _n est inclus dans Z[ √

d].

(ii) Si d ≡ 1 (mod 4) et ξ 1 = k 1

√ d, alors d’apr`es le tableau 1, on a v ₂ (c) = 0 ou v ₂ (N ) ≤ v ₂ (c).

Si v 2 (c) = 0, alors pour tout n ≥ 1, v 2 (c n ) = nv 2 (c) − v 2 (f n ) = 0, et grˆace au tableau 1, ξ _n = k _n √

d.

Si v 2 (N ) ≤ v 2 (c), on peut ´ecrire, pour tout n ≥ 1, v ₂ (N ) ≤ v ₂ (c) + v ₂ (f _n )/n,

c’est-`a-dire v 2 (N n ) ≤ v 2 (c n ), et d’apr`es le tableau 1, ξ n = k n

√ d.

(iii) De ξ ₁ = (1+k ₁ √

d)/2 il suit, d’apr`es le tableau 1, v ₂ (N ) > v ₂ (c) > 0.

Si d ≡ 1 (mod 8), on en d´eduit alors, par la proposition 1, que pour tout n ≥ 1, v ₂ (f _n ) = n − 1, et on peut ´ecrire

0 < v ₂ (c) < v ₂ (N ) − v ₂ (f _n )/n,

qui équivaut à v ₂ (c _n ) < v ₂ (N _n ). D’o` u, grâce au tableau 1, ξ _n = (1+k _n √

d)/2.

(8)

(iv) De ξ 1 = (1 + k 1

√ d)/2 on a, comme pr´ec´edemment, v 2 (N ) > v 2 (c) >

0. Si d ≡ 5 (mod 8), il suit alors par la proposition 1, pour tout n ≥ 1,

(4) v 2 (f n ) =

n si 3 divise n,

n − 1 si 3 ne divise pas n.

Si 3 ne divise pas n, en reprenant la d´emonstration du point (iii), on a ξ n = (1 + k n

√ d)/2.

Reste à étudier le cas 3 divise n. On a, par hypothèse, pgcd(a, b, c) = 1.

Donc, de v 2 (c) > 0, il suit que pgcd(a, b) est impair. On déduit alors de v ₂ (N ) > 0 et de d ≡ 5 (mod 8), v ₂ (N ) = 2. On a donc v ₂ (c) = v ₂ (N ) − 1 = 1. Les égalités (4) impliquent alors, si 3 divise n,

v 2 (c n ) = nv 2 (c) − v 2 (f n ) = 0.

D’o` u, d’apr`es le tableau 1, ξ _n = k _n √ d.

IV. Une in´ egalit´ e utile. Pour tout n ≥ 1, soit (α _i (n)) _i≥0 la suite des quotients complets du développement en fraction continue de α ⁿ . No- tons h1, α i (n)i le Z-module Z + Zα i (n). En utilisant l’algorithme des frac- tions continues, on montre que pour tout i ≥ 0 et n ≥ 1, h1, α _i+1 (n)i = α _i+1 (n)h1, α _i (n)i. On en déduit que pour tout i et j, h1, α _i (n)i et h1, α _j (n)i sont des modules semblables et admettent donc le même anneau des stabili- sateurs, O _n . Une minoration de l(α ⁿ ) en découle :

Proposition 5 (E. P. Golubeva [4]). Soient ϕ _n l’unit´e fondamentale plus grande que 1 du groupe des unit´es de O _n et D _n le discriminant de O _n . Alors, pour tout n ≥ 1,

(5) l(α ⁿ ) > log ϕ n

log 2 √ D _n .

D ´e m o n s t r a t i o n. Posons, pour tout n ≥ 1 et i ≥ 0, α i (n) = a i (n) + b i (n) √

d

c _i (n) , pgcd(a i (n), b i (n), c i (n)) = 1 et c i (n) > 0.

Soit i n le plus petit indice i tel que α i (n) soit r´eduit, i.e. α i (n) > 1 et

−1 < α _i (n) < 0. On peut alors ´ecrire, pour tout i ≥ i _n , (6) α _i (n) < α _i (n) − α _i (n) = 2b _i (n) √

d c i (n) .

Or, d’apr`es [1], si O est l’anneau des stabilisateurs du module M = Z + Zβ, o` u β non rationnel est racine du polynˆome λ ₁ X ² +λ ₂ X +λ ₃ avec (λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ )

∈ Z ³ premiers entre eux et λ 1 6= 0, alors D, le discriminant de O, est égal à D = λ ² ₂ − 4λ ₁ λ ₃ . On en déduit b _i (n) ² d ≤ D _n , et par (6), pour tout i ≥ i _n ,

α _i (n) < 2 p

D _n .

(9)

On a, par p´eriodicit´e de la fraction continue de α ⁿ , h1, α _i

_n

(n)i = h1, α _i

_n

_+l(α

n

) (n)i.

Or

h1, α _i

_n

_+l(α

n

) (n)i = α _i

_n

_+l(α

n

) (n) . . . α _i

_n

₊₁ (n)h1, α _i

_n

(n)i,

et d’apr`es la th´eorie des fractions continues, α _i

_n

_+l(α

n

) (n) . . . α _i

_n

₊₁ (n) = α _i

_n

_+l(α

n

)−1 (n) . . . α _i

_n

(n) est l’unit´e fondamentale strictement plus grande que 1 de l’anneau des stabilisateurs de h1, α i

_n

(n)i, c’est-`a-dire ϕ n . Mais α _i (n) est r´eduit pour tout i ≥ i _n . On a alors, pour tout n ≥ 1,

ϕ _n = α _i

_n

_+l(α

n

) (n) . . . α _i

_n

₊₁ (n) < (2 p

D _n ) ^l(α

ⁿ

⁾ . Il suit finalement

l(α ⁿ ) > log ϕ _n log 2 √

D _n .

L’utilisation de l’inégalité (5) nécessite une majoration du discriminant D _n , qui fait l’objet du lemme suivant :

Lemme 3. Pour tout n ≥ 1, log 2 √

D n ≤ n/A, o`u A ⁻¹ = log (|a| + |b| √ d) + log c + log 4.

D é m o n s t r a t i o n. En reprenant les valeurs de ξ _n données par la propo- sition 2, on a pour tout n ≥ 1, D n ≤ 4c ² _n b ² _n d. Comme c n est toujours inférieur ou égal à c ⁿ , il nous suffit alors de majorer |b _n |, pour tout n.

Considérons à nouveau les entiers a ⁰ _n et b ⁰ _n définis au paragraphe II par (a + b √

d) ⁿ = a ⁰ _n + b ⁰ _n √

d. On peut alors ´ecrire, pour tout n ≥ 1,

|b _n | √

d ≤ |b ⁰ _n | √

d ≤ |a ⁰ _n | + |b ⁰ _n | √

d = (|a| + |b| √ d) ⁿ . On en d´eduit

log 2 p

D _n ≤ log (4|c _n b _n | √ d) ≤ n

log (|a| + |b| √

d) + log c + log 4 n

. La minoration (5) donnée dans la proposition 5 ne devient donc effective que si l’on peut minorer de fa¸con non triviale l’unité ϕ _n . Désignons alors par G le groupe des unités de Z[ √

d] si O n ⊂ Z[ √

d], ou de Z[(1 + √ d)/2]

si O _n 6⊂ Z[ √

d]. Si G _n est le groupe des unit´es de O _n , on d´efinit, pour tout n ≥ 1, l’entier µ _n par

µ _n = [G : G _n ].

Soit alors ε ₀ l’unit´e fondamentale plus grande que 1 de G. Remarquons que ε ₀ est l’unit´e fondamentale plus grande que 1 du corps Q( √

d), sauf si d ≡ 5 (mod 8) et O n ⊂ Z[ √

d], o` u ε 0 peut éventuellement être le cube de l’unité fondamentale plus grande que 1 du corps Q( √

d). On a alors ϕ _n = ε ^µ ₀

ⁿ

. Nous obtenons alors par la minoration (5) et le lemme 2 l’in´egalit´e

(7) l(α ⁿ ) > A µ n

n log ε 0 .

(10)

Notre problème se ramène donc à la détermination d’une minoration de l’indice de groupe d’unités µ _n , ce qui fait l’objet du paragraphe suivant.

V. Etude de l’indice µ _n . Soit, pour tout n ≥ 1, ξ _n le générateur de O _n donné par la proposition 2. Posons ω = √

d si ξ _n = k _n √

d, et ω = (1 + √ d)/2 si ξ n = (1 + k n

√ d)/2.

Désignons, pour tout s ≥ 0, par P s /Q s les réduites de la fraction continue de ω, et pour tout n ≥ 1 et par P s ⁽ⁿ⁾ /Q ⁽ⁿ⁾ s les réduites de la fraction continue de ξ _n . Définissons encore π = l(ω) et, pour tout n ≥ 1, π _n = l(ξ _n ). D’après la théorie des fractions continues, on peut, pour tout n ≥ 1, exprimer ϕ n à par- tir des réduites et de la longueur de la période de la fraction continue de ξ _n :

ϕ _n = P _π ⁽ⁿ⁾

_n

₋₁ + Q ⁽ⁿ⁾ _π

_n

₋₁ ξ _n .

De même, les puissances de ε 0 s’expriment en fonction des réduites et de la longueur de la période de la fraction continue de ω :

(8) ε ^ν ₀ = P νπ−1 + Q νπ−1 ω, ν ≥ 1.

Or comme ϕ _n = ε ^µ ₀

ⁿ

, on obtient

P _π ⁽ⁿ⁾

_n

₋₁ + Q ⁽ⁿ⁾ _π

_n

₋₁ ξ n = P µ

_n

π−1 + Q µ

_n

π−1 ω.

En rempla¸cant ξ _n et ω par leurs valeurs, il suit alors (9) k _n Q ⁽ⁿ⁾ _π

_n

₋₁ = Q _µ

_n

_π−1 .

On déduit de ces égalités une minoration de l’indice µ _n = [G : G _n ].

Proposition 6 (Minoration de l’indice). Soit k _n = Q _s

_n

i=1 t ^e _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ la d´e- composition de k n en facteurs premiers, et pour tout i = 1, . . . , s n ,

ν _i (n) = min{m ≥ 1 : t _n,i | Q _mπ−1 }, e ⁰ _i (n) = max{e ≥ 1 : t ^e _n,i | Q _ν

_i

_(n)π−1 }, δ _i (n) =

0 si e ⁰ _i (n) ≥ e _i (n), e _i (n) − e ⁰ _i (n) si e ⁰ _i (n) < e _i (n).

Alors µ _n ≥ Q _s

_n

i=1 t ^δ _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ .

D ´e m o n s t r a t i o n. La preuve s’articule autour du lemme suivant : Lemme 4 (H. Cohen [3]). Soit σ un nombre premier. Supposons que σ ^m divise exactement Q _γπ−1 , m ≥ 1, γ ≥ 1. Alors σ ^m+1 divise exactement Q _σγπ−1 et σ ^m+1 ne divise pas Q _uγπ−1 , 1 ≤ u < σ.

D ´e m o n s t r a t i o n. D’apr`es (8), pour tout u ∈ N ^∗ , P uγπ−1 + Q uγπ−1 ω

est une unit´e de G, et P _uγπ−1 + Q _uγπ−1 ω = (P _γπ−1 + Q _γπ−1 ω) ^u . Par la

(11)

formule du binˆome, on a alors

Q _uγπ−1 =

[(u−1)/2] X

j=0

C _u ^2j+1 P _γπ−1 ^u−2j−1 Q ^2j+1 _γπ−1 d ^j si ω = √ d

resp. Q _uγπ−1 = 1 2 ^u−1

[(u−1)/2] X

j=0

C _u ^2j+1 (2P _γπ−1 − Q _γπ−1 ) ^u−2j−1 Q ^2j+1 _γπ−1 d ^j ,

si ω = 1 + √ d 2

. Or par hypoth`ese, σ ^m divise exactement Q _γπ−1 . Alors σ ^2m divise tous les membres de la somme, sauf peut ˆetre

C _u ¹ P _γπ−1 ^u−1 Q γπ−1 = uP _γπ−1 ^u−1 Q γπ−1 si ω = √

d,

resp. C _u ¹

2 ^u−1 (2P _γπ−1 − Q _γπ−1 ) ^u−1 Q _γπ−1

= u

2 ^u−1 (2P _γπ−1 − Q _γπ−1 ) ^u−1 Q _γπ−1

. Si σ 6= 2, alors σ ne divise pas P _γπ−1 car sinon, comme P _γπ−1 ² −Q ² _γπ−1 d =

±1 (resp. (2P _γπ−1 − Q _γπ−1 ) ² − Q ² _γπ−1 d = ±4), alors σ divise 1 (resp.

σ divise 4), ce qui est absurde. On voit alors que σ est le plus petit en- tier u tel que σ ^m+1 divise uP _γπ−1 ^u−1 Q _γπ−1 (resp. σ ^m+1 divise ₂

_u−1

^u (2P _γπ−1 − Q _γπ−1 ) ^u−1 Q _γπ−1 ). σ est alors le plus petit u tel que σ ^m+1 divise Q _uγπ−1 , et de plus, σ ^m+1 divise exactement Q σγπ−1 .

Montrons que si σ = 2, alors ω = √

d. Raisonnons par l’absurde, et supposons ω = (1 + √

d)/2. On a alors d ≡ 1 (mod 4), et 2 divise 2P _γπ−1 − Q _γπ−1 si m > 1 ou 4 divise 2P _γπ−1 − Q _γπ−1 si m = 1. D’o` u, (2P _γπ−1 − Q γπ−1 ) ² − Q ² _γπ−1 d est impair, ce qui est absurde.

Donc si σ = 2 alors ω = √

d, et avec les mêmes arguments que précédem- ment, 2 est le plus petit entier u tel que 2 ^m+1 divise Q uγπ−1 et 2 ^m+1 divise exactement Q _2γπ−1 .

D´esignons alors par µ _i (n), i = 1, . . . , s _n , le plus petit entier positif m tel

que t ^e _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ divise Q mπ−1 , son existence ´etant assur´ee par (9). En reprenant

la d´emonstration du lemme 4 en rempla¸cant σ ^m par t ^e _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ , on voit que pour

tout u ≥ 1, t ^e _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ divise Q _uµ

_i

_(n)π−1 . Donc si µ ⁰ _n est le plus petit entier positif

m tel que k n divise Q mπ−1 , on a µ ⁰ _n = ppcm(µ i (n)). Or, t ^e _n,i

⁰ⁱ

⁽ⁿ⁾ divise exacte-

ment Q _ν

_i

_(n)π−1 . On en d´eduit donc, grˆace au lemme 4, µ _i (n) = ν _i (n)t ^δ _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ .

(12)

Et comme les t n,i sont premiers entre eux, µ ⁰ _n = ppcm(ν i (n))

s

_n

Y

i=1

t ^δ _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ , c’est-`a-dire,

µ ⁰ _n ≥

s

_n

Y

i=1

t ^δ _n,i

ⁱ

⁽ⁿ⁾ .

Mais par la d´efinition de µ ⁰ _n et (8), ε ^µ ₀

⁰ⁿ

est une unit´e de O n . Comme ε ^µ ₀

ⁿ

est l’unit´e fondamentale de O _n , il suit alors que µ _n divise µ ⁰ _n . Or, par (9), µ ⁰ _n ≤ µ _n , d’o` u µ _n = µ ⁰ _n , ce qui termine la d´emonstration de la proposition 6.

On en d´eduit le corollaire suivant :

Corollaire. Si λ est un entier plus grand que 1 et si λ ^m divise k n , il existe un entier r ind´ependant de m tel que µ _n ≥ λ ^m−r .

VI. Minoration de l(α ⁿ ). Il apparaˆıt que la minoration donnée par le corollaire de la proposition 6 est intéressante si k _n est divisible par une puis- sance élevée d’un nombre entier. L’ensemble des nombres réels quadratiques pour lesquels l’application de ce résultat permet de conclure est donné par le théorème suivant.

Th´ eor` eme. Soit α = (a + b √

d)/c, a ∈ Z, b ∈ Z ^∗ , c ∈ N ^∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carré. Désignons par ε ₀ l’unité fondamentale plus grande que 1 du corps Q( √

d) ou son cube. Posons A ⁻¹ = log (|a| + |b| √ d)+

log c + log 4 et % = pgcd(a, d, c). Supposons que α v´erifie au moins l’une des conditions suivantes :

(i) N ₂ 6≡ 0 (mod c ₂ );

(ii) pgcd(a, b) > 1;

(iii) pgcd(a, d) > 1;

(iv) a ² − b ² d pair et c impair.

Alors il existe une constante effectivement calculable r ne d´ependant que de α et deux entiers λ ≥ 2 et f (n) ≥ [n/2] tels que pour tout n ≥ 2,

l(α ⁿ ) ≥ A log ε ₀ λ ^{f (n)−r}

n ,

o`u l’on peut prendre comme valeurs de λ et f (n) :

• si α v´erifie (i), celles donn´ees par le tableau 2;

• si α v´erifie (ii), λ = pgcd(a, b) et f (n) = n;

• si α v´erifie (iii), λ = pgcd(a, d) et f (n) = [n/2];

• si α v´erifie (iv), λ = 2 et f (n) = v ₂ (δ _n ) donn´e par le lemme 2.

(13)

Tableu 2 ξ n = k n

√ d ξ n = k n

√ d

et et ξ n = (1 + k n

√ d)/2 c/γ 1 entier c/γ 1 non entier

N 6≡ 0 (mod c) λ = (c/γ 1 ), f (n) = n avec c/γ 1 > 1

λ = (2c/γ 1 ), f (n) = n avec 2c/γ 1 > 1

λ = (2c/γ 1 ), f (n) = n avec 2c/γ 1 > 1 N ≡ 0 (mod c)

et v 2 (c) < v 2 (N )

ou v 2 (c) = 0

λ = %, f (n) = [n/2]

avec % > 1

λ = %, f (n) = [n/2]

avec % > 1

λ = %, f (n) = [n/2]

avec % > 1

N ≡ 0 (mod c) et

v ₂ (c) = v ₂ (N ) > 0

λ = 2 et f (n) = l _n ⁰ impossible impossible

Nous justifions dans la remarque suivante les situations impossibles du tableau 2.

R e m a r q u e. Par hypothèse, pour tout n ≥ 1, pgcd(a _n , b _n , c _n ) = 1, et les entiers γ n et b n n’ont pas de facteur commun. On en déduit donc, puisque par définition k 1 est entier, que si c/γ 1 n’est pas entier, alors k 1 = |2cb/γ 1 |, et par la proposition 2, ξ ₁ = (1 + k ₁ √

d)/2. D’o` u, d’apr`es le tableau 1, 0 < v 2 (c) < v 2 (N ).

Par cons´equent, avoir c/γ 1 non entier et v 2 (c) ≥ v 2 (N ) est impossible. De mˆeme, si ξ _n = (1+k _n √

d)/2, grˆace `a la proposition 4, on a ξ ₁ = (1+k ₁ √ d)/2, et par suite 0 < v ₂ (c) < v ₂ (N ).

Afin de dégager des puissances élevées de nombres entiers dans les di- viseurs de k _n , nous allons, dans le lemme 6, donner une factorisation de l’entier k _n . D’après la proposition 2, on a k _n = |c _n b _n /γ _n | avec c _n /γ _n ∈ N ^∗ si ξ n = k n

√ d, et k n = |2c n b n /γ n | avec 2c n /γ n ∈ N ^∗ si ξ n = (1 + k n

√ d)/2.

Il est alors n´ecessaire de d´eterminer l’entier γ _n en fonction de α, ce qui fait l’objet du lemme 5.

Lemme 5. Si pour tout n ≥ 1 γ n = pgcd(2c n , a ² _n − b ² _n d, c ² _n ), alors γ ₁ ⁿ = γ _n f _n ² .

D ´e m o n s t r a t i o n. Soit, pour tout n ≥ 1, ω ₁ (n)X ² + ω ₂ (n)X + ω ₃ (n)

= 0 l’équation minimale de α ⁿ introduite au paragraphe III. Posons, pour alléger l’écriture, ω ₁ = ω ₁ (1), ω ₂ = ω ₂ (1) et ω ₃ = ω ₃ (1). On montre par récurrence sur n que l’équation minimale de α ⁿ est ω ₁ ⁿ X ² +ω ₂ (n)X +ω ₃ ⁿ = 0.

De (ω 1 α ² + ω 3 ) ² = ω ² ₂ α ² , on obtient ω ² ₁ α ⁴ + (2ω 1 ω 3 − ω ₂ ² )α ² + ω ₃ ² = 0, ce

qui montre la propriété pour n = 2. Supposons la propriété vraie jusqu’au

(14)

rang n. On peut ´ecrire

(ω ₁ ⁿ α ²ⁿ + ω ⁿ ₃ )(ω ₁ α ² + ω ₂ α + ω ₃ ) = 0.

En d´eveloppant, on obtient

ω ⁿ⁺¹ ₁ α ²ⁿ⁺² + ω ⁿ⁺¹ ₃ + (ω ₁ ⁿ ω ₂ α ²ⁿ⁺¹ + ω ₁ ⁿ ω ₃ α ²ⁿ + ω ₃ ⁿ ω ₁ α ² + ω ₃ ⁿ ω ₂ α) = 0.

Or,

ω ₁ ⁿ ω ₂ α ²ⁿ⁺¹ + ω ⁿ ₃ ω ₂ α = −ω ₂ ω ₂ (n)α ⁿ⁺¹ et

ω ₁ ⁿ ω 3 α ²ⁿ + ω ⁿ ₃ ω 1 α ² = −ω 3 ω 1 ω 2 (n − 1)α ⁿ⁺¹ . On en d´eduit alors

ω ₁ ⁿ⁺¹ α ²ⁿ⁺² − (ω ₁ ω ₃ ω ₂ (n − 1) + ω ₂ ω ₂ (n))α ⁿ⁺¹ + ω ⁿ⁺¹ ₃ = 0.

Si p > 1 premier divise pgcd(ω ₁ , ω ₃ ), alors il ne divise le coefficient de α ⁿ⁺¹ que s’il divise ω 2 , car d’après l’hypothèse de récurrence p ne divise pas ω 2 (n).

Or pgcd(ω ₁ , ω ₂ , ω ₃ ) = 1. La propriété est donc vérifiée au rang n + 1.

D’apr`es (3), on a pour tout n ≥ 1, ω ₁ (n) = c ² _n /γ _n . Il en suit ω ₁ (n) = ω ⁿ ₁ = c ² _n

γ n

=

c ² γ 1

_n . De c ⁿ = c n f n , on d´eduit alors γ ₁ ⁿ = γ n f _n ² .

Lemme 6. Posons % = pgcd(a, d, c). Alors pour tout n ≥ 1, une factori- sation de k _n est donn´ee par le tableau suivant :

Tableau 3 ξ n = k n

√ d ξ n = k n

√ d

et et ξ n = (1 + k n

√ d)/2 c/γ ₁ entier c/γ ₁ non entier

k n (c/γ 1 ) ⁿ % ^[n/2] 2 ^l

⁰ⁿ

|b n | (2c/γ 1 ) ⁿ % ^[n/2] |b n | (2c/γ 1 ) ⁿ % ^[n/2] |b n |

D ´e m o n s t r a t i o n. Si ξ _n = k _n √

d, alors d’apr`es la proposition 2, k _n =

|c n b n /γ n |, et si de plus c/γ 1 est entier, de l’égalité c ⁿ = c n f n et du lemme 4, on écrit

k n = (c/γ 1 ) ⁿ f n |b n |.

Et, d’apr`es la proposition 1, on a f n = 2 ^l

⁰ⁿ

% ^[n/2] . Si ξ n = k n

√ d, alors k n = |c n b n /γ n |, et si c/γ 1 n’est pas un entier, alors par d´efinition de γ _n , 2c/γ ₁ est un entier. D’o` u, grˆace au lemme 4,

k _n = (2c/γ ₁ ) ⁿ (f _n /2 ⁿ )|b _n | = (2c/γ ₁ ) ⁿ % ^[n/2] 2 ^l

⁰ⁿ

⁻ⁿ |b _n |.

Mais de c/γ 1 non entier, on d´eduit, comme dans la remarque du tableau 2, ξ ₁ = (1 + k ₁ √

d)/2. Il suit, par le tableau 1, v ₂ (N ) > v ₂ (c) > 0. De plus,

(15)

comme ξ n = k n

√ d, on obtient, grâce à la proposition 4, d ≡ 5 (mod 8) et 3 divise n, d’o` u finalement, d’après la proposition 1, l ⁰ _n = n.

Si ξ _n = (1 + k _n √

d)/2, alors k _n = |2c _n b _n /γ _n |. Par définition, 2c/γ ₁ est un entier, et on écrit grâce au lemme 4,

k _n = (2c/γ ₁ ) ⁿ f _n |b _n | = (2c/γ ₁ ) ⁿ % ^[n/2] 2 ^l

⁰ⁿ

⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ |b _n |.

De la proposition 4, on d´eduit ξ ₁ = (1 + k ₁ √

d)/2 et d ≡ 1 (mod 8) ou d ≡ 5 (mod 8) avec n non divisible par 3. Du tableau 1, on tire alors v ₂ (N ) >

v 2 (c) > 0, et par suite, d’apr`es la proposition 1, l ⁰ _n = n − 1.

D é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e. Nous allons, pour chacune des quatre conditions du théorème, déterminer λ ≥ 2 et f (n) ≥ [n/2] tels que pour tout n ≥ 2, λ ^{f (n)} divise k n . Par suite, grâce à l’inégalité (7) et au corollaire de la proposition 6, on déduit qu’il existe un entier r indépendant de f (n) tel que pour tout n ≥ 2,

l(α ⁿ ) > A log ε 0 λ ^{f (n)}

n ≥ A log ε 0 2 ^[n/2]

n .

(i) N 2 6≡ 0 (mod c 2 ). Fixons n ≥ 2. Comme c 2 ne divise pas N 2 , en prenant la contraposée de la proposition 3(i), pour tout n ≥ 2, c n ne divise pas N _n . D’o` u par la proposition 2(ii), k _n > |b _n |. C’est-à-dire, d’après le lemme 6 :

(10) k n

|b n | =

 



 

c γ

₁

_n

% ^[n/2] 2 ^l

⁰ⁿ

> 1 ou

2c γ

1

_n

% ^[n/2] > 1.

Or, grâce à la proposition 3(ii), c ₂ ne divise pas N ₂ est équivalent à : c ne divise pas N , ou % = pgcd(a, d, c) > 1, ou v 2 (c) = v 2 (N ) > 0. Notons que la dernière condition devrait être v ₂ (c) ≥ v ₂ (N ) > 0. Mais v ₂ (c) = v ₂ (N ) > 0 suffit, car si v 2 (c) > v 2 (N ) alors c ne divise pas N .

Si c ne divise pas N , alors d’apr`es la proposition 2(ii), c/γ ₁ > 1 ou 2c/γ 1 > 1. On en d´eduit donc par (10) que pour tout n ≥ 1, (c/γ 1 ) ⁿ divise k _n si ξ _n = k _n √

d et c/γ ₁ est entier, ou (2c/γ ₁ ) ⁿ divise k _n si ξ _n 6= k _n √ d ou si c/γ ₁ n’est pas entier.

Si c divise N et v ₂ (c) < v ₂ (N ) ou v ₂ (c) = 0, alors % = pgcd(a, d, c) > 1, alors par (10), pour tout n ≥ 1, % ^[n/2] divise k n .

Si c divise N et v 2 (c) = v 2 (N ) > 0, alors d’apr`es la proposition 1, pour d 6≡ 2 (mod 4) et pour tout n ≥ 1, l _n ⁰ ≥ [n/2]. Donc par (10), si ξ _n = k _n √

d et c/γ ₁ est entier, 2 ^[n/2] divise k _n . Si d ≡ 2 (mod 4), alors forcément 2 divise pgcd(a, d, c) et on revient au cas précédent.

(ii) pgcd(a, b) > 1. Comme pgcd(a, b, c) = 1, il suit que pour tout n ≥ 1,

(pgcd(a, b)) ⁿ divise b _n , et donc divise k _n .

Sur la longueur de la fraction continue de

LXXIV.2 (1996)

Sur la longueur de la fraction continue de α n

par

Guillaume Grisel (Caen)

Nous nous intéressons à un problème similaire portant sur les nombres quadratiques réels. Si α est un nombre quadratique réel, son développement en fraction continue est périodique, de longueur de période primitive l(α).

En Novembre 1992, lors d’un congrés à Tokyo, M. Mendès France posait la question suivante ([5], problème n o 6) : pour tout nombre quadratique réel α, est-il vrai que

lim sup

n→∞ l(α n ) = ∞?

L’existence du nombre l(α n ) pour tout n ≥ 1 est équivalente à α 2 6∈ Q, il est donc bien entendu que si ce n’est pas le cas, n désignera un nombre impair.

Nous montrons que, pour une large classe de nombres réels quadratiques, la réponse à la question de M. Mendès France est non seulement positive mais que l(α n ) tend vers l’infini avec n et ceci de manière explicite. Nous

´etablissons :

Th´ eor` eme. Soit α = (a + b √

d)/c, a ∈ Z, b ∈ Z ∗ , c ∈ N ∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e. Posons f 2 = pgcd(a 2 + b 2 d, 2ab, c 2 ), c 2 = c 2 /f 2 et N 2 = (a 2 − b 2 d) 2 /f 2 2 . Supposons que α v´erifie l’une des conditions suivantes :

[161]

(i) N 2 6≡ 0 (mod c 2 ), (ii) pgcd(a, b) > 1, (iii) pgcd(a, d) > 1,

(iv) a 2 − b 2 d pair et c impair.

Alors il existe une constante effectivement calculable K strictement positive et ind´ependante de n, telle que pour tout n ≥ 2,

l(α n ) > K 2 n n .

II. La forme canonique de α n . Consid´erons α = (a + b √

d)/c, o` u a ∈ Z, b ∈ Z ∗ , c ∈ N ∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e, et posons N = a 2 − b 2 d. Notons, pour tout n ≥ 1,

α n =

 a + b √ d c

 n

= a n + b n

√ d

c n , avec pgcd(a n , b n , c n ) = 1 et c n > 0.

D´efinissons, pour tout n ≥ 1, les entiers a 0 n et b 0 n par (a+b √

d) n = a 0 n +b 0 n √ d, et posons f n = pgcd(a 0 n , b 0 n , c n ).

Proposition 1. Pour tout n ≥ 1, f n = 2 l

(pgcd(a, d, c)) l

, avec : (i) l n = [n/2];

(ii) Si l’un des nombres a 2 − b 2 d ou c est impair , alors l 0 n = 0;

(iii) Si les deux nombres a 2 − b 2 d et c sont tous les deux pairs, alors

l 0 n =

 

 



 

 

0 si d ≡ 2 (mod 4), [n/2] si d ≡ 3 (mod 4), n − 1 si d ≡ 1 (mod 8),

n − 1 si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 ne divise pas n, n si d ≡ 5 (mod 8) et si 3 divise n.

D é m o n s t r a t i o n. Le cas a = 0 est trivial : comme pgcd(b, c) = 1 et d est sans facteur carré on a alors f 2n+1 = pgcd(b 2n+1 d n , c 2n+1 ) = (pgcd(c, d)) n . Nous supposons donc a 6= 0 dans la suite de la démonstration.

Posons, pour tout n ≥ 1, δ n = pgcd(a 0 n , b 0 n ). Nous explicitons dans un

premier temps les diviseurs premiers de δ n , puis nous d´eterminons les puis-

sances avec lesquelles ils divisent δ n . Nous en d´eduisons alors f n . Les facteurs communs `a a et b divisent δ n , mais ne divisent pas f n car pgcd(a, b, c) = 1.

On peut donc supposer, pour l’´etude de f n , δ 1 = pgcd(a, b) = 1.

Lemme 1. Supposons δ 1 = 1. Pour tout n ≥ 1, si p premier divise δ n

alors p = 2 ou p divise pgcd(a, d).

D ´e m o n s t r a t i o n. On a, pour tout n ≥ 1,

(1) a 0 n+1 = a 0 n a + b 0 n bd, b 0 n+1 = a 0 n b + b 0 n a.

Donc si p divise δ n , il divise aussi δ n+1 . Alors quitte `a changer n en n + 1, on peut supposer n pair. En posant n = 2m, on a alors

a 0 n = a 02 m + b 02 m d, b 0 n = 2a 0 m b 0 m .

On en d´eduit que ou p = 2, ou p divise δ m , ou p divise pgcd(a 0 m , d).

Si m = 1, comme on a suppos´e pgcd(a, b) = 1, alors p = 2 ou p divise pgcd(a 0 1 , d) = pgcd(a, d).

Si m > 1, alors ou p = 2, et c’est fini, ou p divise pgcd(a 0 m , d), ou p divise δ m .

(a) Si p divise pgcd(a 0 m , d), alors par (1), il divise pgcd(a, d) ou il divise pgcd(a 0 m−1 , d) et on obtient par r´ecurrence descendante jusqu’`a m = 1, p divise pgcd(a, d).

(b) Si p divise δ m , alors soit [(m + 1)/2] = 1, soit [(m + 1)/2] > 1.

Dans ce second cas, on a alors ou p = 2 et c’est fini, ou p divise pgcd(a 0 [(m+1)/2] , d) et on effectue (a), ou p divise δ [(m+1)/2] et on recom- mence (b).

On s’arrˆete donc en entrant dans (a), ou lorsque [(m + 1)/2] = 1. Il suit donc p = 2 ou p divise pgcd(a, d).

Comme d est sans facteur carré, on peut écrire pgcd(a, d, c) = p 1 . . . p s o` u les p i sont premiers et tous distincts. Or il est facile de voir, en développant (a + b √

d) n par la formule du binôme, que pour tout n ≥ 2, le pgcd(a, d, c) divise δ n , et que par conséquent il divise f n . On en déduit donc par le lemme 1,

f n = 2 l

p l 1

. . . p l s

, l i,n ≥ 1.

• Montrons le point (i) de la proposition 1. Pour tout i compris entre 1 et s, comme par hypoth`ese pgcd(a, b, c) = 1, p i ne divise pas b, et puisque d est sans facteur carr´e, p i divise exactement N = a 2 − b 2 d. D’o` u, si v p

(x) d´esigne la valuation p i -adique de l’entier x, v p

(N n ) = v p

(a 02 n − b 02 n d) = n.

On a alors :

• soit v p

(a 0 n ) ≤ v p

(b 0 n ), et alors v p

(N n ) = v p

(a 02 n ), d’o` u n est pair et v p

(δ n ) = v p

(a 0 n ) = n/2;

• soit v p

(b 0 n ) < v p

Sur la longueur de la fraction continue de α ⁿ

En Novembre 1992, lors d’un congrés à Tokyo, M. Mendès France posait la question suivante ([5], problème n ô 6) : pour tout nombre quadratique réel α, est-il vrai que

n→∞ l(α ⁿ ) = ∞?

L’existence du nombre l(α ⁿ ) pour tout n ≥ 1 est équivalente à α ² 6∈ Q, il est donc bien entendu que si ce n’est pas le cas, n désignera un nombre impair.

Nous montrons que, pour une large classe de nombres réels quadratiques, la réponse à la question de M. Mendès France est non seulement positive mais que l(α ⁿ ) tend vers l’infini avec n et ceci de manière explicite. Nous

d)/c, a ∈ Z, b ∈ Z ^∗ , c ∈ N ^∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e. Posons f ₂ = pgcd(a ² + b ² d, 2ab, c ² ), c ₂ = c ² /f 2 et N 2 = (a ² − b ² d) ² /f ₂ ² . Supposons que α v´erifie l’une des conditions suivantes :

(iv) a ² − b ² d pair et c impair.

l(α ⁿ ) > K 2 ⁿ n .

II. La forme canonique de α ⁿ . Consid´erons α = (a + b √

d)/c, o` u a ∈ Z, b ∈ Z ^∗ , c ∈ N ^∗ , pgcd(a, b, c) = 1 et d ≥ 2 sans facteur carr´e, et posons N = a ² − b ² d. Notons, pour tout n ≥ 1,

α ⁿ =

a + b √ d c

_n

c _n , avec pgcd(a _n , b _n , c _n ) = 1 et c _n > 0.

D´efinissons, pour tout n ≥ 1, les entiers a ⁰ _n et b ⁰ _n par (a+b √

d) ⁿ = a ⁰ _n +b ⁰ _n √ d, et posons f _n = pgcd(a ⁰ _n , b ⁰ _n , c ⁿ ).

Proposition 1. Pour tout n ≥ 1, f n = 2 ^l

(pgcd(a, d, c)) ^l

, avec : (i) l _n = [n/2];

(ii) Si l’un des nombres a ² − b ² d ou c est impair , alors l ⁰ _n = 0;

(iii) Si les deux nombres a ² − b ² d et c sont tous les deux pairs, alors

l ⁰ _n =

D é m o n s t r a t i o n. Le cas a = 0 est trivial : comme pgcd(b, c) = 1 et d est sans facteur carré on a alors f _2n+1 = pgcd(b ²ⁿ⁺¹ d ⁿ , c ²ⁿ⁺¹ ) = (pgcd(c, d)) ⁿ . Nous supposons donc a 6= 0 dans la suite de la démonstration.

Posons, pour tout n ≥ 1, δ n = pgcd(a ⁰ _n , b ⁰ _n ). Nous explicitons dans un

premier temps les diviseurs premiers de δ _n , puis nous d´eterminons les puis-

sances avec lesquelles ils divisent δ n . Nous en d´eduisons alors f n . Les facteurs communs `a a et b divisent δ _n , mais ne divisent pas f _n car pgcd(a, b, c) = 1.

On peut donc supposer, pour l’´etude de f _n , δ ₁ = pgcd(a, b) = 1.

(1) a ⁰ _n+1 = a ⁰ _n a + b ⁰ _n bd, b ⁰ _n+1 = a ⁰ _n b + b ⁰ _n a.

Donc si p divise δ _n , il divise aussi δ _n+1 . Alors quitte `a changer n en n + 1, on peut supposer n pair. En posant n = 2m, on a alors

a ⁰ _n = a ⁰² _m + b ⁰² _m d, b ⁰ _n = 2a ⁰ _m b ⁰ _m .

On en d´eduit que ou p = 2, ou p divise δ _m , ou p divise pgcd(a ⁰ _m , d).

Si m = 1, comme on a suppos´e pgcd(a, b) = 1, alors p = 2 ou p divise pgcd(a ⁰ ₁ , d) = pgcd(a, d).

Si m > 1, alors ou p = 2, et c’est fini, ou p divise pgcd(a ⁰ _m , d), ou p divise δ _m .

(a) Si p divise pgcd(a ⁰ _m , d), alors par (1), il divise pgcd(a, d) ou il divise pgcd(a ⁰ _m−1 , d) et on obtient par r´ecurrence descendante jusqu’`a m = 1, p divise pgcd(a, d).

(b) Si p divise δ _m , alors soit [(m + 1)/2] = 1, soit [(m + 1)/2] > 1.

Dans ce second cas, on a alors ou p = 2 et c’est fini, ou p divise pgcd(a ⁰ _[(m+1)/2] , d) et on effectue (a), ou p divise δ _[(m+1)/2] et on recom- mence (b).

Comme d est sans facteur carré, on peut écrire pgcd(a, d, c) = p 1 . . . p s o` u les p _i sont premiers et tous distincts. Or il est facile de voir, en développant (a + b √

d) ⁿ par la formule du binôme, que pour tout n ≥ 2, le pgcd(a, d, c) divise δ n , et que par conséquent il divise f n . On en déduit donc par le lemme 1,

f _n = 2 ^l

p ^l ₁

. . . p ^l _s

, l _i,n ≥ 1.

• Montrons le point (i) de la proposition 1. Pour tout i compris entre 1 et s, comme par hypoth`ese pgcd(a, b, c) = 1, p i ne divise pas b, et puisque d est sans facteur carr´e, p _i divise exactement N = a ² − b ² d. D’o` u, si v _p

(x) d´esigne la valuation p _i -adique de l’entier x, v _p

(N ⁿ ) = v _p

(a ⁰² _n − b ⁰² _n d) = n.

• soit v _p

(a ⁰ _n ) ≤ v _p

(b ⁰ _n ), et alors v _p

(N ⁿ ) = v _p

(a ⁰² _n ), d’o` u n est pair et v _p

(δ _n ) = v _p

(a ⁰ _n ) = n/2;

(b ⁰ _n ) < v p

(a ⁰ _n ), et alors v p

(N ⁿ ) = v p

(b ⁰² _n d) = n; il suit que n

est impair et v _p

(δ _n ) = v _p

(b ⁰ _n ) = (n − 1)/2.

(c ⁿ ) ≥ n, on obtient donc l i,n = l n = [n/2].

Lemme 2. Si v ₂ (δ ₁ ) = 0 et N = a ² − b ² d pair , alors pour tout n ≥ 1,

D é m o n s t r a t i o n. Si d ≡ 2 (mod 4) et N = a ² − b ² d pair, alors pgcd(a, d) est pair. Il existe donc un indice i tel que p _i = 2, et d’après la démonstration du point (i) de la proposition 1, v ₂ (δ _n ) = l _n = [n/2].

Si d ≡ 3 (mod 4), comme δ ₁ = 1 et N pair, alors v ₂ (N ) = 1. En reprenant la d´emonstration du point (i) avec v 2 (N ⁿ ), on obtient pour tout n ≥ 1, v ₂ (δ _n ) = [n/2].

(2) a ⁰ _n+2 = 2aa ⁰ _n+1 − N a ⁰ _n , b ⁰ _n+2 = 2ab ⁰ _n+1 − N b ⁰ _n .

Comme δ 1 = 1, de N pair et d ≡ 1 (mod 4), on a v 2 (a ⁰ ₁ ) = v 2 (b ⁰ ₁ ) = 0 et v ₂ (a ⁰ ₂ ) = v ₂ (b ⁰ ₂ ) = 1. On raisonne alors par r´ecurrence sur n.

Si d ≡ 1 (mod 8), alors v ₂ (N ) ≥ 3. Supposons que v ₂ (a ⁰ _n ) = v ₂ (b ⁰ _n ) = n−

1 et v ₂ (a ⁰ _n+1 ) = v ₂ (b ⁰ _n+1 ) = n, et montrons que v ₂ (a ⁰ _n+2 ) = v ₂ (b ⁰ _n+2 ) = n+1.

Par (2), on a v ₂ (a ⁰ _n+2 ) = min{v ₂ (2aa ⁰ _n+1 ), v ₂ (N a ⁰ _n )} = min{n + 1, n + 2 + k} avec k = v 2 (N ) − 3. D’o` u v 2 (a ⁰ _n+2 ) = n + 1. De la mˆeme mani`ere, on obtient v ₂ (b ⁰ _n+2 ) = n + 1.

Si d ≡ 5 (mod 8), alors v ₂ (N ) = 2. Supposons que v ₂ (a ⁰ _3k+1 ) = v ₂ (b ⁰ _3k+1 )

= 3k et v ₂ (a ⁰ _3k+2 ) = v ₂ (b ⁰ _3k+2 ) = 3k + 1. Montrons alors que v ₂ (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1), v 2 (a ⁰ _3(k+1)+1 ) = v 2 (b ⁰ _3(k+1)+1 ) = 3(k + 1) et v 2 (a ⁰ _3(k+1)+2 ) = v 2 (b ⁰ _3(k+1)+2 ) = 3(k + 1) + 1.

v ₂

2aa ⁰ _3k+2

2 ^3k+2 − N a ⁰ _3k+1 2 ^3k+2

et par (2), v ₂ (a ⁰ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1). Avec les mêmes arguments, on déduit v ₂ (b ⁰ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1), et donc v ₂ (δ _3(k+1) ) ≥ 3(k + 1). En utilisant de nouveau les inégalités (2), on obtient

v ₂ (a ⁰ _3(k+1)+1 ) = v ₂ (b ⁰ _3(k+1)+1 ) = v ₂ (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1).

Or, d’apr`es (1), si un entier divise δ _n alors il divise δ _n+1 . Il en suit donc

v 2 (δ _3(k+1) ) = 3(k + 1). On obtient finalement, par (2), v 2 (a ⁰ _3(k+1)+2 ) =

v 2 (b ⁰ _3(k+1)+2 ) = v 2 (δ _3(k+1)+2 ) = 3(k + 1) + 1.

• Montrons le point (iii) de la proposition 1. Si N et c sont pairs, alors v ₂ (f _n ) = min{v ₂ (δ _n ), v ₂ (c ⁿ )}. Or d’apr`es le lemme 2, v ₂ (f _n ) ≤ n ≤ v ₂ (c ⁿ ).