MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 33, s. 43-48, Gliwice 2007
OPTYMALIZACJA SPOSOBU ZADAWANIA CIOSU AP-CHAGI
ADAM CZAPLICKI
Zakład Biomechaniki, AWF Warszawa, Zamiejscowy Wydział Wychowania Fizycznego w Białej Podlaskiej e-mail: czaplicki@poczta.onet.pl
Streszczenie. W pracy zweryfikowano przydatność optymalizacji parametrycznej dla płaskiego modelu biomechanicznego reprezentującego kończynę dolną człowieka. Optymalizacji został poddany sposób zadawania ciosu ap-chagi w aspekcie minimalizacji czasu przebiegu tego uderzenia. Uzyskane rezultaty przedstawiono w postaci optymalnych przebiegów momentów sterujących w stawach kończyny dolnej i reakcji w stawie biodrowym. Wykazały one, iż nie wszystkie sterowania optymalne, choć numerycznie możliwe, są akceptowalne z fizjologicznego punktu widzenia.
1. WSTĘP
Problematyka sterowania optymalnego ma długa tradycję w biomechanice. Nubar i Contimi [9] byli prawdopodobnie jednymi z pierwszych, którzy sformułowali zasadę optymalności dla systemów biomechanicznych. Stan badań w tej dziedzinie pod koniec ubiegłej dekady przedstawił Maroński [8]. Problemy opisane w tej monografii prowadzą do rozwiązania zagadnienia brzegowego, co jest wymagającym zadaniem nawet dla prostych modeli biomechanicznych. Analityczne rozwiązanie nie jest z reguły możliwe w przypadku układów o kilku stopniach swobody, a stosowane procedury numeryczne bywają zawodne.
Jednym ze sposobów ominięcia wymienionych trudności jest przekształcenie klasycznego problemu sterowania optymalnego w problem algebraiczny określany mianem optymalizacji parametrycznej. Parametryzacji podlega sterowanie bądź zmienne stanu. Pierwsza metoda jest bardziej rozpropagowana w biomechanice za sprawą serii artykułów Pandy’ego i Andersona [1, 2, 10]. Charakterystyki sterujące rozpina się na siatce równo oddalonych od siebie punktów węzłowych, definiując dyskretny zbiór parametrów poddawanych optymalizacji. Następnie, podczas całkowania dynamicznych równań ruchu, stosuje się interpolację liniową w celu wyliczenia wartości pośrednich parametrów sterujących w każdym kroku iteracyjnym procedury optymalizacyjnej. Opisywana technika okazuje się wysoce kosztowna numerycznie dla złożonych modeli biomechanicznych [1].
Druga, osadzona w formalizmie zagadnienia odwrotnego, metoda, choć zdecydowanie bardziej efektywna numerycznie, jest sporadycznie używana w biomechanice. Zasadnicza zaleta tej metody polega na wyeliminowaniu całkowania równań ruchu. Sterowanie wylicza się bezpośrednio, wykorzystując zoptymalizowane trajektorie zmiennych stanu [7].
Celem niniejszej pracy jest prezentacja i weryfikacja przydatności drugiej z opisanych metod. Optymalizacji poddano sposób zadawania ciosu ap-chagi, jednego z podstawowych uderzeń taekwon-do, przyjmując za kryterium jakości minimalny czas wyprowadzania ciosu.
się z reakcji w stawie biodrowym oraz zbiorczych momentów sił mięśniowych w stawie biodrowym, kolanowym i skokowym.
ϕ1
(xH ,yH)
−ϕ2
ϕ3
τ1
τ2
τ3
H
K
A
l1
c1
c2
l2
l3 c3
Ry
Rx
Rys. 1. Model biomechaniczny kończyny dolnej
Dynamiczne równania ruchu modelu można przedstawić w symbolicznej postaci
) (
) ( ) , ( )
(q q d q q f q BT τ τpas
M &&+ & = + + (1)
gdzie M jest 5x5-wymiarową macierzą bezwładności układu, q 5-wymiarowym wektorem współrzędnych uogólnionych, d 5-wymiarowym wektorem oddziaływań dynamicznych spowodowanych przyspieszeniami dośrodkowymi, f 5-wymiarowym wektorem oddziaływań grawitacyjnych i reakcji sterujących w stawie biodrowym, B 5x3-wymiarową macierzą T dystrybucji zbiorczych momentów sił mięśniowych, zaś τpas reprezentuje momenty pasywne struktur stawowych. Rozwinięta forma równania (1) jest przedstawiona w pracy [3].
3. ZAGADNIENIE ODWROTNE
Zawodnik posiadający stopień 1 dan wykonał kilka ciosów ap-chagi. Jeden z nich (Rys. 2), oceniony przez trenera taekwon-do jako najbardziej poprawny technicznie, został wykorzystany w obliczeniach. Proces akwizycji danych pomiarowych i ich obróbkę numeryczną przeprowadzono zgodnie z procedurami opisanymi w pracach [3, 5].
Rys. 2. Początkowa (z lewej) i końcowa (z prawej) faza ciosu ap-chagi
Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego pozwoliło na wyznaczenie czasowych przebiegów reakcji sterujących i zbiorczych momentów sił mięśniowych w stawach. Pełne wyniki obliczeń są zaprezentowane i dokładnie omówione w pracy [11].
4. OPTYMALIZACJA
Problem sterowania optymalnego dla badanego ciosu można wyrazić w ogólnej formie
≤
≤
≤
≤
=
=
=
=
=
max min
0 0
) , (
) ( ) (
) (
; )
(
) 0 (
; )
0 (
) , , , ( gdy
) , ( min
u u u
ub q c lb
q q
q q
q q q
q
τ u q f q
u
u q
q
t
t t
t J
f f f
f
pas
&
&
&
&
&
(2)
gdzie q jest wektorem stanu, J(q,u) minimalizowanym wskaźnikiem jakości, u(t) poszukiwanym sterowaniem, c(q) więzami nakładanymi na ekstremalne wartości kątów stawowych, zaś ostatnia nierówność reprezentuje ograniczenia nakładane na parametry sterujące.
Pierwszym krokiem transformacji układu (2) w pochodny układ algebraiczny, który można rozwiązać metodą optymalizacji parametrycznej, był podział czasu trwania badanego aktu ruchowego na N-1 (N=10) równych przedziałów
f
N t
t t
t
t0 = 1 < 2 <K< = . (3)
Następnie sparametryzowano prędkości uogólnione q& zgodnie z podziałem (3). Należy podkreślić, że wybór zmiennych do procesu optymalizacji ma związek ze wskazówkami trenerów, którzy często zalecają zawodnikom zmianę prędkości stosownych członów kończyny dolnej. Sparametryzowany wektor prędkości wykorzystano dalej do wyliczenia średnich wartości q&~ tych wielkości w środku każdego przedziału oraz odpowiadających im położeń i przyspieszeń, stosując regułę trapezów w pierwszym przypadku, a różnice progresywne w drugim [4]. Zastępując więzy ich dyskretnymi odpowiednikami i przyjmując za wskaźnik jakości minimalny czas zadawania ciosu przy zachowanych warunkach brzegowych, problem optymalizacji parametrycznej można ostatecznie przedstawić w formie
≤ ≤
≤
≤
max
min ~( )
) (
u u u
ub q c lb
t
Traktując czas wyprowadzania ciosu tf jako dodatkową zmienną optymalizowaną, problem (4) został rozwiązany za pomocą programowania sekwencyjnego. Procesowi optymalizacji poddano 46 zmiennych, ograniczając możliwe przyrosty prędkości do ±20% ich rzeczywistych wartości oraz dopuszczając redukuję czasu tf o 10%.
5. WYNIKI
W pierwszej kolejności zweryfikowano dokładność przyjętej metody obliczeniowej rozwiązując zagadnienie optymalizacji dla czasu wyprowadzania ciosu (tf=0.2 s) zgodnego z rejestracją video. Uzyskane przebiegi parametrów sterujących, niezależnie od ich rodzaju, pokrywają się z charakterystykami rzeczywistymi pochodzącymi z rozwiązania zagadnienia odwrotnego (rys. 3).
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-300 -200 -100 0 100
Mo mNent (s.b.) [ m ]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-150 -100 -50 0 50
Mo mNent (s.k.) [ m ]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-600 -300 0 300 600
Reakcja pio n. [ N]
Czas [s]
optymalizacja z. odwrotne
Rys. 3. Optymalne i rzeczywiste charakterystyki wybranych wielkości sterujących Przedstawione na tle przebiegów rzeczywistych, optymalne charakterystyki zbiorczych momentów sterujących dla tf=0.19 s oraz tf=0.18 s są treścią rys 4. Interpretacja wyników jest oczywista. Większe, w porównaniu z rzeczywistymi, wartości momentu w stawie biodrowym zapewniają szybki ruch uda w kierunku tułowia na początku uderzenia. Wydatny spadek wartości momentu w stawie biodrowym i kolanowym powoduje następnie prostowanie kończyny, a w konsekwencji wcześniejsze osiągnięcie celu. Gwałtowne przyrosty momentów
nie mogą jednakże przekraczać możliwości siłowych mięśni. Początkowy wzrost wartości momentu w stawie biodrowym rzędu 200 Nm w ciągu 0.01s i późniejszy spadek o około 220 Nm w trakcie 0.054 s do poziomu –327 Nm, jak również równoczesny spadek wartości momentu w stawie kolanowym o 203 Nm czynią drugie rozwiązanie (tf=0.18 s) mało realnym z fizjologicznego punktu widzenia.
Nierealne fizjologicznie przebiegi nie dały się wyeliminować poprzez redukuję ekstremalnych wartości parametrów sterujących zdefiniowanych w sformułowaniu problemu optymalizacyjnego. Zawężanie przestrzeni sterowań dopuszczalnych prowadziło z reguły do pogorszenia jakości lub braku rozwiązania optymalnego, zaś arbitralna zmiana wartości konkretnego parametru odbijała się niekorzystnie na przebiegach pozostałych parametrów.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-400 -200 0 200
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-200 -100 0 100
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-5 0 5
Mo mNent (s.s.) [ m ]
Czas [s]
optymalizacja 0.18 s optymalizacja 0.19 s z. odwrotne
Rys.4. Optymalne przebiegi zbiorczych momentów sterujących
W trakcie obliczeń zaobserwowano dobre uwarunkowanie układu (4) oraz jego większą wrażliwość na więzy nakładane na wielkości sterujące niż na zmienne stanu. Podział czasu badanej czynności motorycznej zgodny z częstotliwością akwizycji danych pomiarowych okazał się zadowalający. Dwukrotne zwiększenie liczby punktów węzłowych powodowało oscylacyjne przebiegi charakterystyk sterujących (rys. 5). Obserwacja ta potwierdza w pewien sposób wniosek zawarty w pracy [6], który wskazuje na fakt, że koszt rozwiązania dobrze uwarunkowanego problemu programowania sekwencyjnego jest proporcjonalny do trzeciej potęgi liczby zmiennych. W rozważanym przypadku wspomniany koszt przejawia się pogorszeniem przebiegów parametrów sterujących oraz wzrostem liczby iteracji procedury optymalizacyjnej z poziomu 239 (50 [Hz]) do 7232 (100 [Hz]).
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
-200 -100 0 100
Czas [s]
100 [Hz]
50 [Hz]
Rys.5. Optymalny (tf=0.19 s) przebieg momentu sterującego w stawie kolanowym w zależności od liczby punktów węzłowych
Czas zadawania ciosu udało się skrócić jedynie o 5%, co oznacza, że czynności ruchowe opanowane wskutek wieloletniego treningu mają charakter optymalny.
Przedstawiona metoda, jak wszystkie obliczenia prowadzone w konwencji programowania sekwencyjnego, daje jedynie lokalne minimum analizowanego procesu. Kluczowego znaczenia nabiera zatem precyzja rozwiązania zagadnienia odwrotnego, którego rezultaty służą do zainicjowania procedury optymalizacyjnej.
LITERATURA
1. Anderson F.C., Pandy M.G.: A dynamic optimization solution for vertical jumping in three dimensions. “Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering”, 3, 2, Abington 1999, s. 201-231.
2. Anderson F.C., Pandy M.G.: Static and dynamic optimization solutions for gait are practically equivalent. “Journal of Biomechanics”, 10, 34, Exeter 2001, s. 153-161.
3. Blajer W., Czaplicki A.: Contact modeling and identification of planar somersaults on the trampoline. “Multibody System Dynamics”, 3, 10, Dordrecht 2003, p. 289-312.
4. Bryson A.E.: Dynamic optimization. Addison and Wesley, Menlo Park 1999.
5. Czaplicki A., Silva M.T., Ambrósio J.C.: Estimation of the muscle force distribution in ballistic motion based on a multibody methodology. “Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering”, 1, 9, Abington 2006, s. 45-54.
6. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A.: Large-scale SQP methods and their applications in trajectory optimization. Basel: Birkhäuser Verlag, 1994.
7. Loebouf F., Bessonnet G., Seguin P., Lacouture P.: Energetic versus sthenic optimality criteria for gymnastic movement synthesis.” Multibody System Dynamics”, 3,16, Dordrecht 2006, p. 213-236.
8. Maroński R.: Metody rachunku wariacyjnego w biomechanice. Wyd. 1. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1999.
9. Nubar Y., Contini R.: A minimal principle in biomechanics. “Bulletin of Mathematical Biophysics”, 4, 23, New York 1961, p. 377-391.
10. Pandy M.G., Anderson F.C., Hull D.G.: A parameter optimization approach for the optimal control of large-scale musculoskeletal systems. Transactions of the ASME, Journal of Biomechanical Engineering, 2, 114, New York 1992, s. 450-460.
11. Sacewicz T., Czaplicki A., Jaszczuk J.: Biomechanical identification of some taekwon-do kicks.
Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej Politechniki Śląskiej, 26, Gliwice 2006, s. 303- 308.
PERFORMANCE OPTIMIZATION OF AN AP-CHAGI KICK
Abstract. An inverse dynamic parametric optimization method for solving optimal control problems involving planar biomechanical models is discussed. The method is applied to minimize the performance time of an ap-chagi kick. The optimal time characteristics of the net torques at the basic joints of a leg and driving reactions in the hip joint are presented.
The obtained results are interpreted in terms of their relevance to the activity under study.
Praca została wykonana w ramach badań własnych BW III 11 AWF Warszawa
