LINIOWY MODEL OPTYMALIZACJI CZASOWO-KOSZTOWEJ PLANOWANIA REALIZACJI INWESTYCJI WIELOOBIEKTOWYCH

(1)

AR T YKUŁ NAUKOWY

LINIOWY MODEL OPTYMALIZACJI CZASOWO-KOSZTOWEJ PLANOWANIA REALIZACJI INWESTYCJI WIELOOBIEKTOWYCH

Elżbieta Radziszewska-Zielina

, Bartłomiej Sroka

Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska, Kraków

STRESZCZENIE

Celem pracy było stworzenie modelu optymalizacji czasowo-kosztowej, przydatnego w planowaniu realizacji inwestycji wieloobiektowych. W modelu uwzględniono koszty bezpośrednie wykonania prac, koszty pośrednie, koszty przestojów brygad roboczych, kary za niedotrzymanie terminów dyrektywnych poszcze- gólnych obiektów. W celu minimalizacji kosztów zastosowano programowanie liniowe. Weryfikacja dzia- łania opracowanego modelu została przeprowadzona z wykorzystaniem stworzonego oprogramowania na przykładzie obliczeniowym dla inwestycji wieloobiektowej. Model w przyszłości można rozszerzyć o opty- malizację kolejności wykonywanych obiektów.

Słowa kluczowe: model liniowy, optymalizacja czasowo-kosztowa, inwestycje wieloobiektowe

WSTĘP

Poprzez inwestycję wieloobiektową należy rozumieć taką inwestycję, podczas trwania której będą realizowane prace jednorodne o różnych przedmiarach na co najmniej dwóch obiektach (działkach roboczych). Ze względu na rozmiar inwestycji wieloobiektowych wiąże się ona bardzo często z wysokimi kosztami (Radziszewska- -Zielina i Sroka, 2016).

Najpopularniejszą i najprostszą metodą, w której modeluje się koszty bezpośrednie i pośrednie, jest metoda CPM-COST (Ignasiak, 2001). Modele te mają postać funkcji liniowych. Powstało wiele modyfikacji tej metody, uwzględniających np. niedeterministyczny charakter danych (Feng, Liu i Burns, 2000; Haque i Hasin, 2012) lub heurystyczne metody poszukiwania rozwiązania optymalnego, w przypadku gdy funkcje kosztów są określone w sposób dyskretny (Parveen i Saha, 2012).

Istnieje wiele metod planowania realizacji inwestycji wieloobiektowych, np. Line of Balance (LOB), Hori- zontal and Vertical Logic Scheduling for Multistory Projects (HVLS), Repetitive Scheduling Method (RSM).

Opracowano też liczne publikacje na temat metod planowania realizacji inwestycji wieloobiektowych w ujęciu czasowo-kosztowym. I tak w publikacji Marcinkowskiego (2002) uwzględniono koszty niedotrzymania termi- nów dyrektywnych poszczególnych obiektów oraz koszty nieciągłości w pracy brygad roboczych przy realizacji inwestycji wieloobiektowej. W opracowaniu Jaśkowskiego (2015) został przedstawiony model programowania mieszanego (liniowego oraz całkowitoliczbowego), uwzględniający analizę kosztów inwestycji wieloobiektowej. W modelu tym dopuszcza się możliwość wyboru różnych wariantów realizacji poszczególnych prac róż- niących się czasem i kosztem przy założeniu ciągłości pracy brygad. W pracy Rogalskiej, Bożejko i Hejduckie- go (2008) została przedstawiona metoda analizy czasowo-kosztowej z wykorzystaniem Hybrid Evolutionary

Otrzymano: 31.01.2017 Zaakceptowano: 12.04.2017

(2)

Algorithm (HEA) w planowaniu inwestycji wieloobiektowej. Z kolei Podolski (2016) wykorzystał algorytm symulowanego wyżarzania przy wyborze podwykonawców realizacji inwestycji wieloobiektowej, biorąc pod uwagę kryteria czasowo-kosztowe.

W dostępnych publikacjach brak jest jednak modelu uwzględniającego jednocześnie koszty bezpośrednie wykonania prac, koszty pośrednie, koszty niedotrzymania terminów dyrektywnych obiektów oraz koszty dodat- kowe związane z przestojem brygad roboczych przy planowaniu realizacji inwestycji wieloobiektowych.

Zazwyczaj inwestor nakłada na generalnego wykonawcę ograniczenia czasowe oraz ustala budżet w postaci ceny zryczałtowanej za zrealizowanie inwestycji. Generalny wykonawca stara się dotrzymać narzuconych ter- minów oraz ograniczać koszty, tak aby jego zyski były jak największe. Proponowane podejście optymalizacyj- ne (czasowo-kosztowe) do planowania realizacji inwestycji wieloobiektowych jest więc uzasadnione z punktu widzenia maksymalizacji zysków, jakie może osiągnąć generalny wykonawca. Celem niniejszego artykułu jest przedstawienie propozycji modelu optymalizacji czasowo-kosztowej, przydatnego w planowaniu inwestycji wieloobiektowych. W opisie zagadnienia pominięto metodykę wyznaczania kosztów bezpośrednich i pośred- nich budowy oraz optymalizowanie kolejności wykonania obiektów przedsięwzięcia wieloobiektowego. Wyso- kość kosztów bezpośrednich, pośrednich oraz kolejność wykonania obiektów jest przyjmowana a priori.

OPTYMALIZACYJNY MODEL CZASOWO-KOSZTOWY

Przez Z_j, gdzie j ∈ {1, 2, …, m}, oznaczono zbiór zadań do wykonania na każdym obiekcie. Każde zadanie jest wykonywane przez brygadę B_j. Przez O_i, gdzie i ∈ {1, 2, …, n}, oznaczono zbiór obiektów do zrealizowania.

Niech P_i,j oznacza pracę j-tej brygady nad j-tym zadaniem na i-tym obiekcie. Dodatkowo obowiązują następu- jące ograniczenia:

− kolejność prac na obiekcie wykonywana jest w porządku technologicznym określonym przez zbiór Z,

− zadanie o numerze j-tym może być wykonywana tylko przez j-tą brygadę,

− brygada wykonuje w jednym momencie tylko jedną pracę,

− praca P_i,j ma charakter ciągły.

Problem znalezienia minimum kosztów można przedstawić w postaci modelu programowania liniowego:

– dane: tn_{i j}_, , tgr_{i j}_, , kn_{i j}_, , kgr_{i j}_, , k_pos, kp Td kc_i, _i, _j,

→ min: = _bez + _pos + _p + _c

K K K K K K (1)

( , )( , )

=

¦¦

bez bez i j i j

i j

K k t (2)

= ,

pos n m pos

K Tf k (3)

=

¦

p i i

i

K p kp (4)

, 1, ,

2

( )

=

¦

− −

¦

ⁿ

c n j j i j j

j i

K Tf Tf t kc (5)

− zmienne decyzyjne: t_i,j, Tf_i,j,

− zmienne pomocnicze: p_i,

− ograniczenia:

, ≤ , ≤ ,

i j i j i j

tgr t tn (6)

(3)

1,1 ≥ 1,1

Tf t (7)

, ≥ −1, + ,

i j i j i j

Tf Tf t (8)

, ≥ , −1 + ,

i j i j i j

Tf Tf t (9)

, − ≤

i m i i

Tf p Td (10)

, ≥ 0

Tfi j (11)

, ≥ 0

ti j (12)

≥ 0

pi (13)

Aby przedstawiony model mógł zostać zastosowany, należy dysponować następującymi danymi: czas nor- malny (tn_i,j) wykonania prac (maksymalny) oraz odpowiadające mu koszty normalne (kn_i,j), czas graniczny (tgr_i,j) wykonania prac (minimalny) oraz odpowiadające mu koszty graniczne (kgr_i,j), jednostkowe koszty pośrednie (k_pos), terminy dyrektywne realizacji obiektów (Td_i) oraz odpowiadające im jednostkowe koszty niedotrzymania terminów dyrektywnych poszczególnych obiektów (kp_i), jednostkowe koszty przestojów dla wszystkich brygad roboczych (kc_j).

Funkcja celu (wzór 1) jest sumą kosztów bezpośrednich (K_bez), kosztów pośrednich (K_pos), kosztów zwią- zanych z niedotrzymaniem terminów dyrektywnych poszczególnych obiektów (K_p) oraz kosztów przestojów pracy brygad roboczych (K_c). Koszt ten należy zminimalizować. Koszty bezpośrednie (wzór 2) są sumą kosz- tów wszystkich prac wykonywanych przez wszystkie brygady na wszystkich działkach w zależności od czasu trwania danej pracy. Funkcja kosztów prac w zależności od czasu trwania tej czynności (K_bez(i,j)(t_i,j)) jest malejącą funkcją liniową. W rzeczywistości zależność kosztów bezpośrednich od czasu jest zależnością dyskretną usta- loną na podstawie negocjacji podwykonawcy z generalnym wykonawcą. Zależność liniowa pomiędzy czasem wykonania pracy oraz jej kosztem jest dość dobrym przybliżeniem i upraszcza zdecydowanie obliczenia. Wzór funkcji liniowej kosztu bezpośredniego wykonania danej pracy do czasu jej trwania można wyznaczyć ze wzo - ru (14), natomiast wartość współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego – ze wzorów (15) oraz (16):

( , )( , ) = , , + ,

bez i j i j i j i j i j

k t a t b (14)

, ,

,

, ,

= −

−

i j i j

i j

i j i j

kgr kn

a tgr tn (15)

, = , − , ,

i j i j i j i j

b kgr a tgr (16)

Koszty pośrednie (wzór 3) zależą od wysokości kosztów pośrednich jednostkowych oraz czasu trwania całej inwestycji wieloobiektowej. Koszty związane z niedotrzymaniem terminów dyrektywnych (wzór 4) wyznacza- ne są jako suma iloczynów kosztu jednostkowego za niedotrzymanie terminu oraz czasu trwania tego opóźnienia dla wszystkich obiektów. Koszt jednostkowy za niedotrzymanie terminu dyrektywnego może być różny dla każdego z obiektów. Kary są określone w umowie pomiędzy inwestorem a generalnym wykonawcą i wynoszą zwykle od 0,05 do 0,2% wartości kontraktu brutto za każdy dzień zwłoki. Koszty przestojów pracy brygad roboczych (wzór 5) obliczane są jako suma iloczynów kosztu jednostkowego za przestój w pracy brygad oraz czasu

(4)

trwania przestoju dla wszystkich brygad roboczych. Czas trwania przestoju obliczany jest na podstawie terminu zakończenia pracy brygady na wszystkich obiektach, terminu zakończenia pracy na pierwszym obiekcie oraz czasu trwania pracy brygady na pozostałych obiektach.

Zmiennymi decyzyjnymi w modelu są: t_i,j – czas trwania pracy na i-tym obiekcie wykonywanej przez j-tą brygadę; Tf_i,j – czas zakończenia pracy wykonywanej przez j-tą brygadę na i-tym obiekcie.

Zmienna pomocnicza p_i pozwala określić czas przekroczenia terminu dyrektywnego dla poszczególnych obiektów. Z punktu widzenia programowania liniowego jest to zmienna decyzyjna, jednak z punktu widzenia specyfiki problemu zmienna p_i jest pochodną czasu zakończenia pracy na i-tym obiekcie oraz terminu dyrektyw- nego dla i-tego obiektu (ograniczenie 10).

W modelu uwzględniono następujące ograniczenia. Wzór (6) ogranicza czas trwania czynności do przedziału pomiędzy czasem granicznym (minimalnym) oraz normalnym (maksymalnym). Wzory (7), (8) i (9) określają strukturę i założenia, które muszą być spełnione w modelu CPM. Termin zakończenia pracy na pierwszym obiekcie przez pierwszą brygadę musi być dłuższy niż czas trwania tej pracy (wzór 7). Termin zakończenia pra- cy j-tej brygady na i-tym obiekcie musi być dłuższy niż termin zakończenia pracy tej samej brygady na obiekcie poprzednim wydłużony o czas trwania pracy brygady na obiekcie i-tym (wzór 8). Termin zakończenia pracy j-tej brygady na i-tym obiekcie musi być dłuższy niż termin zakończenia pracy poprzedniej brygady na tym samym obiekcie wydłużony o czas trwania pracy na tym obiekcie przez j-tą brygadę (wzór 9). Warunek (10) pozwala wyznaczyć wartość zmiennej pomocniczej p_i, która określa czas przekroczenia terminów dyrektywnych. Gdy termin dyrektywny i-tego obiektu zostanie dotrzymany, to zmienna p_i przyjmuje wartość 0 (brak wpływu na funkcję celu), natomiast gdy termin dyrektywny zostanie przekroczony, to zmienna p_i przyjmie wartość tego opóźnienia, zwiększając wartość funkcji celu. Warunki (11), (12) oraz (13) ograniczają wartości czasu trwania prac, terminów zakończenia prac oraz wartość niedotrzymania terminów dyrektywnych do liczb nieujemnych.

Zarówno funkcja celu, jak i wszystkie ograniczenia mają charakter liniowy, jest to więc model programowania liniowego. Dany problem został zaimplementowany w języku programowania Python z wykorzystaniem pakietów scipy (do obliczeń naukowych), numpy (do obliczeń macierzowych). Do wyznaczenia rozwiązania optymalnego została użyta funkcja scipy.optimize.linprog, wykorzystująca algorytm Simplex. Program jest do- stępny u autorów.

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY

Praktyczne zastosowanie modelu przedstawiono na przykładzie inwestycji wieloobiektowej składającej się z 12 obiektów Oi. Na każdym obiekcie należy wykonać 7 różnych prac, do których przypisano odrębne brygady (Bj):

roboty ziemne, roboty fundamentowe, wykonanie konstrukcji (bez dachu), wykonanie dachu, montaż stolarki, wykonanie instalacji, roboty wykończeniowe. Koszty pośrednie wynoszą 1900 zł·dzień^–1. Wszystkie potrzebne dane zostały przedstawione w tabelach 1–6.

Zastosowanie proponowanego modelu dla danych z tabel 1–6 prowadzi do rozwiązania optymalnego przed- stawionego w tabelach 7–11. Jako rozwiązanie należy rozumieć terminy zakończenia każdej pracy Tf_i,j, czas trwania każdej pracy t_ij oraz wszystkie wartości pochodne (terminy rozpoczęcia, niedotrzymanie terminów dy- rektywnych, nieciągłość pracy brygad, całkowity koszt inwestycji). Całkowity koszt inwestycji wyniósł 6983,65 tys. zł. Dla obiektów O6, O8 oraz O11 nie zostały dotrzymane terminy dyrektywne, co skutkowało dodatkowy- mi karami w wysokości 63,3 tys. zł. Praca brygad B4, B5, B6 i B7 charakteryzuje się dużą nieciągłością (łącznie 1185 dni, co skutkuje 467,7 tys. zł kary). Jednak ze względu na dysproporcję w jednostkowych karach za niedotrzymanie terminów dyrektywnych oraz nieciągłość pracy bardziej opłacalne jest dotrzymywanie terminów niż zapewnienie ciągłości pracy.

(5)

Tabela 1. Czas normalny, tn [dni], trwania pracy na obiekcie Oi przez brygadę Bj (B1 – roboty ziemne; B2 – roboty fun- damentowe; B3 – wykonanie konstrukcji (bez dachu); B4 – wykonanie dachu; B5 – montaż stolarki; B6 – wykonanie instalacji; B7 – roboty wykończeniowe)

Table 1. Normal times of work, tn [days], performance at object Oi for brigade Bj (B1 – earthworks; B2 – foundation works; B3 – construction works (without a roof); B4 – roof construction; B5 – door and window frames installation; B6 – installation works B7 – finishing work)

Obiekt Object

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 9 15 58 20 11 14 28

O2 8 15 51 20 10 12 27

O3 9 20 54 17 10 12 33

O4 10 20 54 19 10 12 32

O5 8 16 57 18 10 13 35

O6 10 14 52 18 12 11 32

O7 8 21 54 18 11 10 25

O8 7 19 50 20 10 14 33

O9 7 14 59 17 10 13 32

O10 7 14 56 17 10 11 27

O11 10 15 54 18 11 12 30

O12 9 16 50 19 11 14 27

Tabela 2. Czas graniczny, tgr [dni], trwania pracy na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1) Table 2. Crash times of work performance, tgr [days], at object Oi for brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the Table 1)

Obiekt Object

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 8 11 51 17 9 9 19

O2 6 8 46 16 9 9 18

O3 8 16 48 15 9 7 24

O4 9 14 45 15 8 9 25

O5 7 13 50 15 9 9 27

O6 7 10 45 14 10 6 26

O7 7 17 48 15 9 7 17

O8 6 16 41 18 9 9 28

O9 4 11 51 15 9 8 25

O10 6 8 46 15 8 9 19

O11 7 9 47 14 9 10 25

O12 6 11 41 17 9 10 18

(6)

Tabela 3. Terminy dyrektywne, td [dni], oraz koszty jednostkowe ich niedotrzymania, kp [tys. zł·dzień^–1], dla każdego z obiektów Oi

Table 3. Directive deadlines, td [days], and unit costs of their missing, kp [thous. PLN·day^–1], for each object Oi

Obiekt Object

Terminy dyrektywne, td [dni]

Directive deadlines, td [days]

Koszty jednostkowe ich niedotrzymania, kp [tys. zł·dzień^–1]

Unit costs of their missing, kp [thous. PLN·day^–1]

O1 160 1,9

O2 190 1,9

O3 250 2,0

O4 300 2,0

O5 360 2,1

O6 380 1,9

O7 430 2,1

O8 480 1,9

O9 530 1,8

O10 580 1,9

O11 600 2,1

O12 660 2,1

Tabela 4. Koszt normalny wykonania prac, kn [tys. zł], na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1) Table 4. Normal cost of work performance, kn [thous. PLN], at object Oi by brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the

Table 1) Obiekt Object

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 10,8 44,6 141,3 53,4 24,5 46,9 54,9

O2 11,4 47,1 162,1 43,3 32,2 41,6 45,6

O3 9,4 37,9 164,5 54 35,4 39,7 57,5

O4 8,5 47,5 171,2 45,2 34,4 45,3 44,5

O5 10,2 49,7 183,4 58 32,9 34,6 45,3

O6 9,6 49 149,8 57,6 24,1 32,8 57,6

O7 11,9 37,8 189 60,9 30,1 35,2 58,8

O8 10 43,6 145,1 61,1 25,6 43,1 53,2

O9 9,2 37,1 140,8 52,6 31,1 47 45,8

O10 12 42,8 150,4 51,4 29,3 42,8 47,5

O11 8,1 47 183,8 47 35 42 49,6

O12 11,9 44,5 175,2 55,7 32 44,8 46,2

(7)

Tabela 5. Koszty graniczne wykonania prac, kgr [tys. zł], na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1) Table 5. Crash costs of work performance, kgr [thous. PLN], at object Oi by brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 15 56,6 212 73,2 30,4 63,8 75,8

O2 15,8 67,8 239,9 57,2 47,7 51,2 58,8

O3 12,8 47 245,1 70,7 49,6 54,4 71,3

O4 11,1 64,1 210,6 60,6 50,9 59,8 63,6

O5 14,3 62,1 251,3 75,4 49 45,3 64,8

O6 11,6 63,2 211,2 77,8 35,7 46,2 81,2

O7 17,1 46,5 274,1 84,7 39,7 51,7 86,4

O8 12,2 60,2 213,3 82,5 31,5 62,9 65,4

O9 13 50,1 185,9 73,1 45,7 63,9 57,3

O10 18 62,1 180,5 64,8 40,4 53,1 62,2

O11 10,2 70,5 226,1 63 51,5 62,2 64,5

O12 14,9 65 217,2 73,5 45,8 58,2 65,1

Tabela 6. Jednostkowe koszty przestoju brygad roboczych, kc [tys.

zł·dzień^–1]dla każdej z brygad Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1) Table 6. Unit costs of downtime of work

brigades, kc [thous. PLN·day^–1] for each brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the Table 1)

Brygada Brigade

Jednostkowe koszty przestoju brygad roboczych, kc

[tys. zł·dzień^–1] Unit costs of downtime

of work brigades, kc [thous. PLN·day^–1]

B1 0,6

B2 0,8

B3 1,5

B4 0,5

B5 0,2

B6 0,3

B7 0,7

Tabela 7. Czas trwania pracy, t_i,j [dni], na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1)

Table 7. Working times, t_i,j [days], at object Oi for brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the Table 1)

Obiekt Object

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 8 11 51 20 11 14 28

O2 8 15 51 17 10 12 27

O3 9 20 51 17 10 12 33

O4 10 20 45 19 10 12 32

O5 8 16 50 18 10 13 35

O6 10 14 45 18 12 11 32

O7 8 21 54 18 11 10 25

O8 7 19 41 20 10 14 33

O9 7 14 51 17 10 13 32

O10 7 14 46 17 10 11 27

O11 10 15 47 18 11 12 30

O12 9 16 50 19 11 11 18

(8)

Tabela 8. Terminy zakończenia prac, Tf_i,j [dni], na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1)

Table 8. Deadlines for work, Tf_i,j [days], performed at object Oi by brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the Table 1) Obiekt

Object

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 8 19 70 127 138 152 180

O2 16 34 121 161 171 183 210

O3 25 54 172 189 199 211 244

O4 35 74 217 246 256 268 300

O5 43 90 267 295 305 318 353

O6 53 104 312 330 342 353 385

O7 61 125 366 384 395 405 430

O8 68 144 407 427 437 451 484

O9 75 158 458 475 485 498 530

O10 82 172 504 532 542 553 580

O11 92 187 551 569 580 592 622

O12 101 203 601 620 631 642 660

Tabela 9. Terminy rozpoczęcia prac, Tf_i,j-t_i,j [dni], na obiekcie Oi przez brygadę Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1) Table 9. Starting dates of work, Tf_i,j-t_i,j [days], performed at object Oi by brigade Bj (symbols B1–B7 as given in the

Brygada – Brigade

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7

O1 0 8 19 107 127 138 152

O2 8 19 70 144 161 171 183

O3 16 34 121 172 189 199 211

O4 25 54 172 227 246 256 268

O5 35 74 217 277 295 305 318

O6 43 90 267 312 330 342 353

O7 53 104 312 366 384 395 405

O8 61 125 366 407 427 437 451

O9 68 144 407 458 475 485 498

O10 75 158 458 515 532 542 553

O11 82 172 504 551 569 580 592

O12 92 187 551 601 620 631 642

(9)

Tabela 10. Niedotrzymanie terminów dyrektywnych, p_i [dni], na obiekcie Oi

Table 10. Missing the directive deadlines, p_i [days], at ob- ject Oi

Obiekt Object

Niedotrzymanie terminów dyrektywnych, p_i [dni]

Missing the directive deadlines, p_i [days]

O1 0

O2 0

O3 0

O4 0

O5 0

O6 5

O7 0

O8 4

O9 0

O10 0

O11 22

O12 0

Tabela 11. Nieciągłość pracy [dni] brygad Bj (symbole B1–B7 jak w tab. 1)

Table 11. Discontinuity of the work [days] of brigades Bj (symbols B1–B7 as given in the Table 1) Brygada

Brigade

Nieciągłość pracy brygad [dni]

Discontinuity of the work of brigades [days]

B1 0

B2 0

B3 0

B4 292

B5 378

B6 359

B7 156

WNIOSKI

Opracowany liniowy model optymalizacji czasowo-kosztowej może być zastosowany do planowania inwestycji wieloobiektowych przez generalnych wykonawców przy uwzględnieniu kosztów oraz konieczności dotrzyma- nia terminów narzuconych przez inwestora. Działanie opracowanego programu opartego na zaproponowanym modelu zaprezentowano na przykładzie obliczeniowym. Model ten może być zastosowany w systemach kom- puterowych wspomagających zarządzanie inwestycjami wieloobiektowymi. Może również posłużyć do optymalizacji kolejności wykonania obiektów przez brygady robocze i rozwiązane metodą symulacyjną (Monte Carlo) lub metaheurystykami (algorytmy genetyczne, tabu search, symulowane wyżarzanie). W modelu nie uwzględniono wszystkich ograniczeń i zależności. Trwają prace nad jego rozszerzeniem o możliwość wykonywania jednocześnie różnych prac na jednym obiekcie, wykonywania jednocześnie tej samej pracy na różnych obiektach, sprzężenia czasowe pomiędzy pracami, uwzględnienie nagród dla generalnego wykonawcy za do- trzymanie terminów dyrektywnych oraz inne.

PIŚMIENNICTWO

Feng, C.-W., Liu, L. i Burns, S. (2000). Stochastic Construction Time-Cost Trade-Off Analysis. Journal of Computing in Civil Engineering, 14(2), 117–126. doi: 10.1061/(ASCE)0887-3801(2000)14:2(117).

Haque, A. i Hasin, A. (2012). Genetic algorithm for project time-cost optimization in fuzzy environment. Journal of Indus- trial Engineering and Management, 5(2), 364–381. doi: 10.3926/jiem.410.

Ignasiak, E. (2001). Badania operacyjne. Warszawa: Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne.

Jaśkowski, P. (2015). Repetitive construction processes scheduling using mixed-integer linear programming. Budownictwo i Architektura, 14(2), 55–61.

(10)

Marcinkowski, R. (2002). Metody rozdziału zasobów realizatora w działalności inżynieryjno-budowlanej. Warszawa: Woj- skowa Akademia Techniczna.

Parveen, S. i Saha, S. (2012). GA Based Multi-Objective Time-Cost Optimization in a Project with Resources Considera- tion. International Journal of Modern Engineering Research, 2(6), 4352–4359. doi: 10.1.1.417.1784.

Podolski, M. (2016). Scheduling of Job Resources in Multiunit Projects with the Use of Time/Cost Criteria. Archives of Civil Engineering, 62(1), 143–158.

Radziszewska-Zielina, E. i Sroka, B. (2016). Problems Encountered During the Carrying out of Multiple-Building Con- struction Projects. Cost Estimating and Management of Construction Projects, Proceedings of scientific papers. (strony 119–126). EuroScientia, Brussels.

Rogalska, M., Bożejko, W. i Hejducki, Z. (2008). Time/cost optimization using hybrid evolutionary algorithm in construc- tion project scheduling. Automation in Construction, 18(1), 24–31.

THE LINEAR MODEL OF TIME-COST OPTIMIZATION OF PLANNING OF MULTIPLE BUILDING CONSTRUCTION PROJECTS

ABSTRACT

The aim of the paper was to create a model of time-cost optimization that would be useful in the planning of realization of multiple building construction projects. The model includes the direct costs of task execution, indirect costs, the downtime of work brigades, penalties for missing the directive deadlines of individual objects. In order to minimize costs, linear programming was applied. Verification of the operation of the model was conducted with the use of the specially designed software and illustrated by an example of calculation for a multiple building construction project. In future the model can be extended by the optimization of the order of realised objects.

Key words: linear model, time-cost optimization, multiple building construction projects