OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU ΓΓ PRZY OBCIĄŻENIU UOGÓLNIONYM BECKA

41, s. 403-410, Gliwice 2011

OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU ΓΓ

PRZY OBCIĄŻENIU UOGÓLNIONYM BECKA

LECH TOMSKI, JANUSZ SZMIDLA

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: szmidla@imipkm.pcz.pl

Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne oraz obliczenia numeryczne dotyczące drgań swobodnych prostokątnej dwu-prętowej ramy przy obciążeniu uogólnionym Becka. Na podstawie całkowitej energii mechanicznej wyznacza się równania ruchu i warunki brzegowe rozpatrywanego układu.

Rozwiązanie zagadnienia brzegowego prowadzi do odpowiednich zależności na zakres zmian wartości obciążenia krytycznego oraz częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego. Wyniki obliczeń numerycznych prezentuje się przy wybranych parametrach fizycznych i geometrycznych ramy płaskiej.

1. WSTĘP

W literaturze naukowej, dotyczącej stateczności smukłych układów sprężystych, opisane są obciążenia konserwatywne i niekonserwatywne. Obciążenie Eulera i siłą skierowaną do bieguna [1] zalicza się do obciążenia konserwatywnego. Przypadkami obciążenia niekonserwatywnego są: obciążenie uogólnione Becka [2] oraz obciążenie Reuta [3].

Wymienione przypadki obciążeń charakteryzuje określony przebieg krzywych na płaszczyźnie: obciążenie - częstość drgań własnych. Istnieją układy typu dywergencyjnego (obciążenie konserwatywne), typu flatterowego (obciążenie niekonserwatywne) oraz hybrydowego. Układy typu hybrydowego [4] łączą cechy układów typu dywergencyjnego i flatterowego. Na typ utraty stateczności układów smukłych przy obciążeniu uogólnionym Becka ma wpływ między innymi współczynnik śledzenia obciążenia, sztywność sprężyn translacyjnych i rotacyjnych lub wartość masy skupionej.

Układy ramowe klasyfikuje się jako otwarte lub zamknięte [5, 6]. Ramy zamknięte [7, 8]

to takie, na końcach których występują struktury podporowe lub głowice realizujące obciążenie. W przypadku ram otwartych [9] co najmniej jeden z końców układu jest swobodny. Biorąc pod uwagę kryteria utraty stateczności oraz rodzaje obciążeń ram płaskich przeprowadzono obszerne badania teoretyczne i numeryczne odnośnie do ich stateczności. W zakresie badań zamkniętych ram płaskich wyznaczono wartości obciążenia krytycznego [7, 8, 10 - 14] oraz przebieg zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego [9, 12 - 14] przy przyjętych rozwiązaniach konstrukcyjnych układów. W większości publikacji naukowych rozważano konstrukcje ram o kształcie kątownika – ramy typu Γ [7 – 11, 13], ramy trzyprętowe – ramy typu T [12 – 14] lub układy złożone z pewnej liczby ram prostych (portalowe) [15].

W niniejszej pracy rozwiązano zagadnienie stateczności i drgań własnych dwu-prętowej zamkniętej ramy płaskiej typu Γ, poddanej obciążeniu uogólnionemu Becka. Na podstawie zasady Hamiltona, wyznaczono równania ruchu i warunki brzegowe, niezbędne do rozwiązania zagadnienia brzegowego. Uwzględniając przyjęte parametry geometryczne oraz fizyczne układu, w tym współczynnika śledzenia obciążenia zewnętrznego ramy płaskiej, przedstawiono wyniki obliczeń teoretycznych i numerycznych. Podano zakres wartości obciążenia krytycznego oraz przebieg zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego. Analizowano wpływ współczynnika asymetrii sztywności na zginanie słupa i rygla ramy oraz współczynnika śledzenia na obszary niestateczności dywergencyjnej i flatterowej układu.

2. MODEL FIZYCZNY, ENERGIA MECHANICZNA UKŁADU

Na rys.1 przedstawiono sposób obciążenia oraz sposób zamocowania rozpatrywanego układu typu Γ. Rama składa się dwóch prętów o sztywnościach na zginanie (EJ1), (EJ2) oraz masy przypadającej na jednostkę długości (ρA1), (ρA2). Rygiel ramy o sztywności na zginanie oraz słup ramy o sztywności na zginanie (EJ1)zamocowane są w sposób sztywny.

Rys. 1. Model fizyczny ramy płaskiej przy obciążeniu uogólnionym Becka

Pręty układu (słup i rygiel) połączono w ten sposób, że kąty ugięcia obu członów ramy są sobie równe. Rygiel ramy ma dodatkowo możliwość przemieszczenia w kierunku wzdłużnym. W przypadku rozważanego obciążenia uogólnionego Becka, słup ramy obciążony jest siłą skupioną P, której kierunek działania przechodzi przez punkt połączenia słupa i rygla. Kierunek działania obciążenia zewnętrznego opisano współczynnikiem śledzenia obciążenia η w odniesieniu do kąta ugięcia końca słupa ramy (η∈〈0,1〉).

Energia kinetyczna T, rozważanej ramy płaskiej, jest sumą energii kinetycznej poszczególnych jej prętów :

OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ ^PRZY … 405

( ) ( )

i i

l i i

i dx

t t x W T A

∑ ∫i ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

= ∂

= 2

1 0

, 2

2

ρ (1)

W zapisie energii potencjalnej V uwzględnia się sprężystość zginania poszczególnych prętów układu oraz kierunek działania obciążenia zewnętrznego:

( ) ( ) ( )

1 0

2

1 1 2 1

1 0

2 2

2 1 ,

2 ,

2 dx

x t x W dx P

x t x W V EJ

l i i

l

i i i

i ⁱ ∫ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∑ ∫

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

= ∂

= (2)

Biorąc pod uwagę niepotencjalną składową obciążenia określonego współczynnikiem śledzenia η (por. rys.1) wyznacza się dodatkowo zależność opisującą pracę sił niezachowawczych L w rozważanym układzie:

( )

( )

x t x P W L

l x

, ,

1 1 1

1 1

1 1=

∂

− ∂

= η (3)

3. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA, RÓWNANIA RUCHU, WARUNKI BRZEGOWE

Zagadnienie brzegowe formułuje się na podstawie kinetycznego kryterium stateczności.

Bierze się od uwagę zasadę Hamiltona, która w odniesieniu do układów niekonserwatywnch jest wyrażona wzorem:

( )

2

1

∫ − + =

t

t

dt L V

δ T (4)

Geometryczne warunki brzegowe i warunki ciągłości rozpatrywanej ramy płaskiej są następujące:

( )

( )

( )

(

)

2 0 2 2 1 0

1 2 1

1

2 1

∂ =

=∂

∂

=∂

=

=

= x

x x

t x W x

t x t W W t

W (5a÷d)

( )

( )

2 2 2 1

1

1 , ^{x l} , ^{x l}

x t x W x

t x

W ^{= =}

∂

=∂

∂

∂ (5e)

Podstawiając związki (1), (2), (3) do zasady Hamiltona (4), po uprzednim wykorzystaniu odpowiednich warunków brzegowych (5a÷e), otrzymano:

- równania ruchu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

)

, 0 ,

,

2 2 2 2 4 2

2 2 2 4 2

2 1 1 2 2 1

1 1 1 2 4

1 1 1 4 1

∂ = + ∂

∂

∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

t t x A W

x t x EJ W

t t x A W x

t x P W x

t x EJ W

ρ

ρ

(6a,b)

- warunki brzegowe w punkcie połączenia słupa i rygla ramy:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

, 0 ,

1 ,

2 2 2

2 1

1

1 1 1

1

32 2 2 3 22

2 2 2 12

1 1 2

2 1 1 2

1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

∂ =

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ =

− ∂

∂

∂ + −

∂

∂

=

=

=

= =

l x l

x l

x

l l x

x

x t x W x

t x W x

t x W

t t x W EJ

m x

t x W EJ P x

t x W

μ η

(7a÷c)

przy czym współczynnik asymetrii sztywności na zginanie μ pomiędzy ryglem a słupem ramy płaskiej wyrażono związkiem:

( ) ( )

EJ

= EJ

μ (8)

4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Biorąc pod uwagę przyjęty model matematyczny, wykonano obliczenia numeryczne dotyczące stateczności i drgań swobodnych rozważanego układu. Na podstawie równań ruchu (6a,b) oraz warunków brzegowych (5a÷e), (7a÷c) rozwiązano zagadnienie brzegowe uwzględniając statyczne i kinetyczne kryterium stateczności układu [16, 17]. Wyprowadzono równanie przestępne na wartość obciążenia krytycznego przy zmianie współczynnika śledzenia w zakresie η∈〈0, 0.5〉 oraz równanie przestępne na częstość drgań własnych ω w pełnym zakresie rozpatrywanego w pracy współczynnika śledzenia η∈〈0, 1〉. Zagadnienie rozwiązano przy wykorzystaniu algorytmów numerycznych dostępnych w środowisku C++.

Analizowano wpływ współczynnika śledzenia obciążenia η w zakresie η∈〈0,1〉 i współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ na typ utraty stateczności ramy płaskiej.

Rys. 2. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λc w funkcji wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ.

W obliczeniach uwzględniono stałą sztywność na zginanie (EJ1) słupa ramy oraz stałą, równą długość l1, l2 elementów składowych układu (ϕ=l2/l1=1) Zmianę wartości współczynnika μ uzyskano, przyjmując zmienną sztywność na zginanie (EJ2) rygla ramy.

OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ ^PRZY … 407 Wyznaczone zakresy zmian wartości częstości drgań własnych ω w funkcji obciążenia zewnętrznego P, wartości obciążenia krytycznego Pkr wyrażono we współrzędnych bezwymiarowych:

( ) ( ) ( )

( )

2 1 1

2

1 , ,

EJ l A EJ

l P EJ

l P_kr

c λ Ω ρ ω

λ = = = (9a÷c)

Na rys. 2 zaprezentowano zakres zmian obciążenia krytycznego ramy płaskiej w funkcji zmiany wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ przy wybranych wartościach współczynnika śledzenia obciążenia η. W zakresie zmiany współczynnika śledzenia obciążenia η ∈ 〈0, 0.5) rozpatrywany układ traci stateczność na skutek wyboczenia słupa ramy (D - niestateczność dywergencyjna), niezależnie od sztywności jej rygla (EJ2).

Przy wartościach współczynnika η ∈ (0.5, 1〉 oraz wartościach współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ ∈ (0, μ^gr) utrata stateczności ramy płaskiej następuje w wyniku rosnących amplitud drgań oscylacyjnych (F- niestateczność flatterowa). Przy μ =μgr ma miejsce „przeskok” z niestateczności flatterowej na dywergencyjną (F – D), co charakteryzuje układy hybrydowe. W pozostałym zakresie współczynnika μ (μ >μgr) ma miejsce niestateczność dywergencyjna. Sztywność na zginanie rygla ramy (EJ₂) nie ma wpływu na wartość obciążenia krytycznego ramy płaskiej przy współczynniku śledzenia η = 0.5.

Rys. 3. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λc w funkcji wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ ∈ (0, 0.5〉.

Dodatkowo wykazano (rys.2, rys.3), że współczynnik asymetrii sztywności na zginanie μ ma wpływ na charakter flatterowej utraty stateczności układu. O wartości i charakterze zmian obciążenia krytycznego decyduje przebieg zmian częstotliwości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego co przedstawiono na rys. 4a-c, 5a-c W przypadku niestateczności dywergencyjnej (D) przejście ze stanu statecznego w niestateczny zachodzi gdy krzywa podstawowej częstości drgań własnych (Ω1) przecina oś rzędnych w punkcie Ω1 = 0, odpowiadającemu obciążeniu wyboczeniowemu (rys.4a, rys.5c). W zakresie niestateczności flatterowej (F) utrata stateczności układu występuje gdy Ωi=Ωi+1 (i=1, 2). Przy rozpatrywanym w pracy zakresie zmian współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ w zakresie μ ∈ (0, μ’gr) zjawisko niestateczności flatterowej (F) zachodzi pomiędzy drugą (Ω2) i trzecią

Rys. 4a-c. Krzywe na płaszczyźnie: parametr obciążenia λc- parametr częstości drgań własnych Ω przy μ = 0.116.

Rys. 5a-c. Krzywe na płaszczyźnie: parametr obciążenia λc- parametr częstości drgań własnych Ω przy η = 1.

(Ω3 ) częstością drgań własnych (F(Ω2-Ω3)), co przedstawiono na rys.4c, rys.5a. Przy współczynniku μ ∈ (μ’gr, μgr) zjawisko flatteru ma miejsce natomiast przy warunku Ω1 = Ω2

OBSZARY FLATTEROWEJ I DYWERGENCYJNEJ NIESTATECZNOŚCI RAMY TYPU Γ ^PRZY … 409 (F(Ω1-Ω2)) – (rys.4a, rys.5b). Charakter zmian flatterowej siły krytycznej Pkr przedstawiono na rys.2, rys.3 – linie: (8a÷11a.), (7b÷11b).

Na podstawie przeprowadzonych symulacji numerycznych wyznaczono również przebiegi zmian częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego, które charakteryzują układ typu hybrydowego (rys.4a – linia (5), rys. 5c- linia (1)). Przykładowy przebieg zmian wartości własnych, przy którym zjawisko niestateczności flatterowej występuje jednocześnie przy pierwszej i drugiej (F(Ω1-Ω2)) oraz drugiej i trzeciej (F(Ω2-Ω3)) częstości drgań własnych zaprezentowano na rys. 4b.

Rys. 6. Obszar dywergencyjnej i flatterowej utraty stateczności w funkcji współczynnika śledzenia η oraz współczynnika asymetrii sztywności na zginanie μ.

Przeprowadzone badania teoretyczne i numeryczne umożliwiły wyznaczenie obszarów dywergencyjnej (D) i flatterowej (F) niestateczności ramy płaskiej poddanej obciążeniu uogólnionemu Becka (rys. 6) przy przyjętym zakresie zmian wartości współczynnika śledzenia obciążenia η oraz asymetrii sztywności na zginanie pomiędzy ryglem a słupem układu. Wykazano, że przy odpowiednim doborze współczynnika asymetrii sztywności na zginanie rozpatrywana rama płaska jest układem typu dywergencyjnego, w całym zakresie przyjętych w obliczeniach wartości współczynnika śledzenia obciążenia η ∈ 〈0, 1〉.

Praca wykonana w ramach Badań Statutowych BS – 1-101/302/99/P oraz grantu nr N N501 117236 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

LITERATURA

1. Leipholz H. H. E.: On conservative elastic systems of the first and second kind.

“Ingenieur-Archiv” 1974, 43, p. 255-271.

2. Beck M.: Die Kniclast des einseitig eingespannten tangential gedruckten Stabes. ZAMP 4, 1953, 225-228, S. 476-477.

3. Nemat-Nasser S., Herrmann G.: Adjoint Systems in Nonconservative Problems of Elastic Stability, AIAA Journal 4(12), 1966, s.2221-2222.

4. Sundararajan C.: Influence of an elastic end support on the vibration and stability of Beck’s column. “Int. J. Mech. Sci.” 1976, 18, p. 239−241.

5. Heppler G.R., Oguamanam D.C.D., Hansen J.S.: Vibration of a two-member open frame.

“Journal of Sound and Vibration” 2003, 263(2), p. 299–317.

6. Oguamanam D.C.D., Heppler G.R., Hansen J.S.: Vibration of arbitrarily oriented two member open frames with tip mass. “Journal of Sound and Vibration” 1998, 209, 4, p.

651 – 669.

7. Godley M. H. R., Chilver A. H.: Elastic buckling of overbraced frames. “Journal Mechanical Engineering Science” 1970, 12, 4, p. 238 – 247.

8. Kounadis A. N., Giri J., Simitses G. J.: Divergence buckling of a simple frame subject to a follower force. “Journal Appl. Mech. Trans. of the ASME” 1978, 45, p. 426 – 428.

9. Bang H.: Analytical solution for dynamic analysis of a flexible L-shaped structure.

“Journal of Guidance, Control and Dynamics” 1996, 19(1), p. 248 –250.

10. Kounadis A. N., Ioannidis G. I.: The primary bending effect and the buckling boundary- value problem in elastic framed structures. “Engineering Structures” 1997, 19, 6, p. 432 - 438.

11. Rallis N. S., Kounadis A. N.: Nonlinear sway – bucking of geometrically imperfect rectangular frames. “Ing. Arch.”1985, 55, p. 90 – 97.

12. Szmidla J.: Vibrations and stability of T – type frame loaded by longitudinal force in relation to its bolt. “Thin Walled Structures” 2007, 45, 10 -11, p. 931 – 935.

13. Szmidla J.: Stateczność i drgania ramy typu Γ obciążonej siłą skierowaną do bieguna. W:

Stability of Structures. XIIth Symposium, Zakopane 2009, s.395 – 402

14. Przybylski J., Tomski L. :Postbuckling behaviour of T – frame with reinfoced vertical bar. In: Stability of Steel Structures, ed. by M.Ivanyi, Vol.1. Akademiai Kiado, Publishing House of Hungarian Academy of Science, Budapest, 1995, p. 173 – 180.

15. Simitses G. J.,. Hodges D. H.: Fundamentals of structural stability. Chapter 4: buckling of frames. Butterworth – Heinemann, Elsevier Inc., 2006, p. 103-144.

16. Wesołowski Z.: Zagadnienia dynamiczne nieliniowej teorii sprężystej. Warszawa: PWN, 1974.

17. Ziegler H.: Principles of structural stability. Waltham, 1968.

THE REGIONS OF FLUTTER AND DIVERGENCE INSTABILITY OF A ΓΓ TYPE PLANAR FRAME SUBJECTED TO BECK’S GENERALISED LOAD

Summary. The theoretical research and numerical calculations concerning free vibration of rectangular two-rod frame at generalized Beck’s load are presented in the paper. On the basis of total mechanical energy equations of motion and boundary conditions of analyzed system are determined. The solution of boundary value problem leads to determine of appropriate relationships to range of changes of critical load values and free vibration frequencies in function of external load.

Results of numerical calculations carried out at the chosen of physical and geometrical parameters of flat frame.