STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMNY SMUKŁEJ PODDANEJ
OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO
Janusz Szmidla
1a, Anna Jurczyńska
1b1
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
a
szmidla@imipkm.pcz.pl,
ba.jurczynska@imipkm.pcz.pl
Streszczenie
W pracy zaprezentowano wyniki badań teoretycznych i numerycznych odnośnie do stateczności smukłego układu niepryzmatycznego reprezentowanego przez kolumnę o zmiennym wzdłuż osi układu przekroju poprzecznym.
Rozważany układ poddany jest obciążeniu siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego (przypadek obciążenia swoistego). Na podstawie modelu fizycznego analizowanej kolumny opracowano model matematyczny. Na podsta- wie teorii Bernoullego – Eulera określono energię mechaniczną rozważanej struktury. Zagadnienie brzegowe sfor- mułowano przy wykorzystaniu zasady minimum energii potencjalnej (statyczne kryterium utraty stateczności).
Na podstawie otrzymanych różniczkowych równań przemieszczeń oraz ich rozwiązań, przy uwzględnieniu warun- ków brzegowych i warunków ciągłości, opracowano programy obliczeniowe umożliwiające analizę numeryczną.
Słowa kluczowe: stateczność, układy niepryzmatyczne, obciążenie swoiste
STABILITY OF NON-PRISMATIC SLENDER COLUMN TO THE FOLLOWER FORCE DIRECTED
TOWARDS THE POSITIVE POLE
Summary
In this work, results of theoretical and numerical research on the stability of a slender non-prismatic system repre- sented by the column of a cross-section variable along the axis of the system are presented. Considered system is subjected to the follower force directed towards the positive pole (specific load). On the basis of the physical model of examined system, the mathematical model was developed. The mechanical energy of considered structure was determined based on the Bernoulli – Euler’s theory. The boundary problem was formulated using the mini- mum potential energy method (the static criterion of loss of the stability). Subsequently, on the basis of obtained differential equations of displacement describing the system and their solutions, with taking into considerations the geometrical and natural boundary conditions, the computing programmes were prepared.
Keywords: stability, non-prismatic systems, specific load
1. WSTĘP
Celem pracy jest określenie wpływu niepryzmatyczności smukłej kolumny poddanej działaniu wybranego przy- padku obciążenia swoistego (por. [5]) na jej stateczność.
Smukłe układy sprężyste są powszechnie stosowane jako elementy składowe struktur podporowych, między innymi w przemyśle górniczym lub budownictwie, nato-
miast stale rosnące wymagania co do właściwości kon- strukcji wymuszają poszukiwanie nowych rozwiązań konstrukcyjnych struktur obciążających jak i kształtów prętów (maksymalizacja przenoszonego obciążenia lub redukcja masy układu). Wobec powyższego nie dziwi duża liczba publikacji naukowych nawiązujących do
stateczności tycznych.
Głównym cel salnej metod / belek oraz bez użycia fu na mniejsze algorytm baz stując włas (np. kwadra badań nume niepryzmatyc łowano z wy ków Lagrang potwierdzono zgodność wyn kształtu kolu zginanie, pod żenia konserw cie maksyma tycznej z u W badaniach nia. W pracy nych i nume swobodnych jącej obciąże podstawie m potencjalnej) przeprowadzo korzystne ksz nia krytyczne delowania u w kolejnych obciążającej k
2. MO
W pracy roz o przekroju p dek obciążen analizowaneg W celu zam układ podzi segmentów o szerokości b.
ną Vobj wszy kolumny L
=
sprężystości Dodatkowo z segmentów m elementów ( mowano fun wielomianem( ) x [ a (
b = 2 ⋅
i drgań swob
lem pracy [1]
dy modelowan układów z el unkcji aproksy
elementy pr zuje na metod ności numer atury Gaussa) erycznych odn cznej belki Tim ykorzystaniem ge’a, a popraw o eksperyme ników. Publik umny o skok ddanej działan watywnego i n alizacji przeno uwzględnieniem h wykorzystan y [4] przedstaw erycznych odn
smukłej kolum enie Eulera. Z metody energ oraz zasady onych symu ztałty kolumn ego był najwi układu przyj iteracjach zw kolumnę, aż d
ODEL FIZ
zważa się smu prostokątnym nia swoistego.
go układu prze modelowania ielono na n
stałej długoś W pracy przy ystkich segmen
.
const n l⋅ =
=
podłużnej E zakłada się, ż musi być więk
h b
≥
). Zary nkcją liniową m drugiego stop( ) p , q ⋅ [ x − p ]
2bodnych ukła
było zaprezen ia niepryzmat lementami nie ymującej lub ryzmatyczne.
dzie belki sprz rycznych me ). Praca [3]
nośnie do drg moshenki. Zag m metody form
wność przeprow entalnie, uzy kacja [2] dotyc kowo zmienne niu różnych pr niekonserwaty oszonej przez m warunki no metodę ma wiono wyniki nośnie do stat mny niepryzm Zagadnienie s getycznej (m y Hamiltona.
ulacji określo n, przy których iększy. Podob
ęto w pracy większano war do utraty state
ZYCZNY
ukłą kolumnę realizującą w . Schemat m edstawiono na niepryzmatyc mniejszych ci l i grubości yjęto stałą ob ntów, stałą ca
.
oraz stałą wszystkich c że szerokość b ksza od lub r ys kształtu koą b
( )
x= 2 ⋅
apnia
]
+ q
, gdzie0
adów niepryzm
ntowanie uniw tycznych kolu epryzmatyczny
podziału ukła Zaproponowa zężonej, wykor
tod całkowa zawiera wyn gań swobodny gadnienie sform malizmu mnoż wadzonych an yskując wyso czy optymaliza ej sztywności rzypadków obc ywnego, w asp układ siły k stałej objęto cierzy przenie badań teorety teczności i drg matycznej reali
sformułowano minimum ene . Na podsta ono najbard h wzrost obcią
ny sposób zam y [6], w któ tość siły osio eczności.
niepryzmatyc wybrany przy odelu fizyczn rys. 1.
czności kolum pryzmatyczny i h oraz zmien bjętość sumary ałkowitą dług wartość mod członów ukła b poszczególny
ówna grubośc olumny aprok
( )
Z x da
⋅ +
o L x≤
≤
.ma-
wer- umn
ymi adu any rzy- ania
niki ych mu-
żni- aliz oką acji na cią- pek- kry- ości.
esie- ycz- gań izu-
na ergii awie ziej ąże- mo- órej
wej
zną ypa- nego
mny ych nnej ycz- gość dułu adu.
ych ci h ksy- oraz
Rys. 1 obciążo (por. [5 Obciąż niego i przyj wana czony niesko uwzglę nych.
ugięcia przez osi ko końca
3.
Na po tyczne potenc zginan z obci niego
V2=−
Zagad na po (metod statecz wartoś przest
gdzie δ Po pr nej (3 nych w
. Schemat mod onej siłą śledz 5])
żenie siłą śled realizowane jmującą obcią
jest z elemen jest z głow ończenie sztyw
ędnienie jest Kierunek dz a końca układ
stały punkt O olumny w od
(biegun doda
MODEL
odstawie mod ej (por. rys.
cjalną układu nia V1 oraz iążenia siłą śle
V2:
¦ (
=
=
ni
V EJ
1 1
2
[ (
1 0
2 y x
P n
i
l I
−
¦ ³
i=
V dnienie statecz
odstawie zasa da energetyc zności), któr ści obciążenia
aje być dodat δ - operator w zeprowadzeniu ) oraz uwzględ warunków brz
elu fizycznego k ącą skierowaną
dzącą skierow jest poprzez ążenie. Strukt tów o zarysie icą przyjmują wny element niezbędne ze iałania siły P du (x
=
L) i O znajdującyległości
(
R−
tni).
L MATEM
delu fizyczneg 1.) zdefiniow u będącą sum
energii po edzącą skierow
) ³ ( ( ) )
l i II i
i y x
J
2
0) ]
2dx 21Pxi i+
2
1 V
V V
= +
ności badaneg ady minimum zna, statyczn a polega na a, przy któr
nio określona:
0
= δ
V wariacji.u operacji wa dnieniu znany egowych oraz
kolumny niepry ą do bieguna
waną do biegu z głowice: w ura obciążają kołowym. Uk ącą obciążeni
o długości l względów ko P jest styczn i dodatkowo p
się na nieodk
)
l0 od swobo
MATYCZN
go kolumny n wano całkowit mą energii sp otencjalnej w waną do biegu
)
2dxi(
R l0) ( ) [
y lP − nI
go układu sfor m energii po nego kryteriu a poszukiwan ej energia p
ariacji energii ych a priori ge warunków cią
yzmatycznej dodatniego
una dodat- wywołującą
ąca zbudo- kład połą- ie poprzez
0, którego onstrukcyj-
y do linii przechodzi kształconej odnego jej
NY
niepryzma- tą energię prężystości wynikającej
una dodat-
(1)
]
2 (2)(3) mułowano otencjalnej um utraty
niu takiej otencjalna
(4)
potencjal- eometrycz- ągłości:
otrzymano na - różniczkow segmentów u kolumny:
( EJ
- brakujący n warunki ciągł ynII
( ) EJ ( ) EJ
i Warunek (9) obciążenie.Rozwiązania członów rozw ogólnej:
( )
i ii x A
y
= s
gdzie: ki
=
Ai, BPodstawienie i naturalnych oraz warunkó czenie warto Przy tak s najbardziej k do wyliczeni tycznej, czyli ści przekroju tak, by przen
4. WY NU
Wyniki oblic cą następując - parametr ob
- procentowy
δ
λk( ) 0
1(
1
= y
Iy
( ) =
i+i l y
y
( )
iI
i
l y
y =
+( ) ( l R l
y
n= −
0astępujące zal we równania układu w ki
)
iy
iIV( ) x
i+ P
J
naturalny war łości:
( ) ( ) − − 1
0l l R
III
)
iy
iII( ) ( l = EJ
( ) (
III
i
y
il = EJ
wynika z geo
równań prz ważanego ukła
( )
kixi+ c
Biin
( )
EJ i=
PBi, Ci, Di - stał
e rozwiązań h warunków ów ciągłości ( ości siły kryty sformułowanym korzystnych ks
ia globalnego i do doboru o u poprzeczneg noszone obciąż
YNIKI OB UMERYCZ
czeń numerycz cych parametr bciążenia kryt
(
krkr EJ
=
Pλ
y wzrost param
( ) − (
=
kr pr kr kr
kr
λ
λ λ
) 0
0 =
( ) 0
1 +
( ) 0
1I +0
) ( ) y
nIl
eżności opisuj przemieszczeń ierunku poprz
( )
i= 0
II
i
x
Py
runek brzegow
)
ynII( )
l= 0
)
1 1II( ) 0
i
y
iJ
+ +)
1 1III( ) 0
i
y
iJ
+ +ometrii strukt
zemieszczeń adu zapisać m
( )
kixi+
Cixcos
łe całkowania
(14) do brzegowych (7-8, 12-13) u ycznej analizo m zagadnieni ształtów układ maksimum f dpowiednich w go poszczegól żenie było najw
BLICZEŃ ZNYCH
znych przedsta rów bezwymia tycznego
)
pr rJ L2
metru siły kryt
)
pr⋅ 100 %
(5-6 (7) (8) (9) ące:
ń poszczególny zecznym do
(10 wy oraz natura
(11
(12 (13 tury wywołują
poszczególny można w post
i
i D
x
+
(14(15
geometryczny h (5-6, 9, umożliwia wyz
owanej kolum iu poszukiwa du sprowadza funkcji siły k wartości szero lnych element większe.
awiono za pom arowych:
(16 tycznej
(17 6) ) ) )
ych osi
0) alne
1)
2) 3) ącej
ych taci
4)
5)
ych 11) zna- mny.
anie się kry- oko- tów
mo-
6)
7)
- para
- para
przy c odnosz o takie pracy Wynik aproks liniow pokaza w funk nia gł param da kol
Rys. 2.
ści Z* k Przy t
(
R=
lżenia najwię w prz a uzy Wynik fikowa zgodno
metry opisują
h
prb ¸
¹
¨ ·
©
= §
κ
, Zp*
=
metr promienR* czym wartośc zą się do p ej samej objęt
traktowany je ki obliczeń n symacji kszta ej przedstawi ano zmianę kcji zbieżności owicy obciąża metru κ. Warto
lumnie pryzma
. Parametr obci kolumn przy pro tak zdefiniowa
)
l0 analizowa Eulera. Dla za ększe wartości
zypadku wart yskany wzrost
ki otrzymane ano z literat
ość.
ące niepryzmat
1
1
*
= − ⋅
L b
Z b n
L p,
L q*
=
q ia głowicy wyL l R 0
*
= − ,
ci oznaczone parametrów u tości sumaryc est jako układ numerycznych ałtu kolumny iono na rysu
wartości o i układu Z* p ającej R*=0 or ość zbieżności atycznej.
iążenia krytyczn omieniu głowicy anej geometrii ny układ rea adanych param i obciążenia k
tości parame t siły krytycz
z przeprowad urą (por. [4]
tyczność kolum
% 100
muszającej ob
indeksem dol układu pryzm znej, który w d porównawczy h odnoszącyc
y za pomoc unkach 2-7. N obciążenia kr
rzy parametrz raz różnych w i układu Z*=0
nego
λ
krw funky R*=0
i struktury ob lizuje przypad metrów geome krytycznego od tru Z* bliski znej jest bard dzonych oblicz
]), otrzymują mny
(18-19)
(20-21) bciążenie
(22) lnym „pr”
matycznego w niniejszej
y.
h się do cą funkcji Na rys. 2 rytycznego ze promie- wartościach
0 odpowia-
kcji zbieżno-
bciążającej dek obcią- etrycznych dnotowano iego zeru, dzo mały.
zeń zwery- ąc wysoką
Rys. 3. Param ści Z* kolumn p
Rys. 4. Proce zbieżności Z* k
Rys. 5. Param ności Z* kolum
metr obciążenia k przy promieniu
entowy wzrost kolumn przy pro
metr obciążenia mn przy promien
krytycznego
λ
krgłowicy R*=0.2
siły krytyczn omieniu głowicy
krytycznego
λ
niu głowicy R*=0
w funkcji zbież
nej
δ
λkrw funR*=0.2
λ
krw funkcji zb 0.4żno-
nkcji
bież-
Rys. 6 zbieżno Rysun w odn param R*=0.2 wartoś towy przypa Na rys param przyro malne param najwię R*=0.4
Rys. 7 promie Rys. 7 promie Najwię wartoś W prz
6. Procentowy ości Z* kolumn p nki 3. i 5.
niesieniu do pa metru promien 2 i R*=0.4.
ść siły krytycz wzrost obcią adkach zilus sunkach tych metry układu,
ost obciążenia wartości prz metrze zbieżn ększy przyros 4 odnotowano
. Przyrost obcią enia głowicy obc
7. przedstawia enia głowicy ększe wartości ściach zbieżno zypadku ujem
wzrost siły k przy promieniu
przedstawiają arametru zbie nia głowicy ob
Na wykresac znej kolumny ążenia odnoto
trowano na h przerywanym dla których
λkr
δ
. W przzyrostu (4.21%
ości układu t obciążenia w przypadku
ążenia krytyczn ciążającej R* ora a przyrost sił obciążającej o i
δ
λkr otrzymaości oraz prom mnych wartoś
krytycznej λkr
δ
głowicy R*=0.4 ą obciążenie żności przy w bciążającej od ch zaznaczono
pryzmatyczne owany w om
rysunkach mi liniami z
otrzymano n zypadku R*=0
%) zaobserwow Z*=1.45%, gdy paramet u zbieżności Z*
nego λkr
δ
w zaaz zbieżności kol ły krytycznej oraz zbieżnośc ano przy maks mieniu głowic ści parametr
rw funkcji
krytyczne wartościach dpowiednio o również ej. Procen- mawianych
4. i 6.
zaznaczono największy 0.2 maksy-
wano przy natomiast tr głowicy
=0.92%.
ależności od lumny Z*
w funkcji ci układu.
symalnych cy R*=1.4.
u Z* nie
odnotowano zakresie prom Rezultaty an ności układu wielomianu d kach 8 - 16, parametrów p wierzchołka parametr q* o osi w kierunk kolumnę wkl padku gdy wszystkich a lumny oraz malne uzysk odpowiadając Krzywe na r układu niep promienia g Największe
718 . 11
kr
= δ
λ q*=0.58.Rys. 8. Param metru położen cy R*=0.2
wzrostu obcią mienia głowicy nalizy numeryc u przy aprok drugiego stop w których do p* oraz q*. Pa paraboli wz odnosi się do ku poprzeczny lęsłą, q*>0.5
q*=0.5 kolum analizowanych
struktury obc ane przyrosty ce im paramet rysunkach 8-9 pryzmatyczneg
głowicy wyw przyrosty
8
otrzymanometr obciążenia ia wierzchołka
ążenia w całym y.
cznej odnosząc ksymacji kszta pnia przedstaw o opisu zarysu arametr p* de zdłuż osi uk
odległości teg ym, przy czym
- kolumnę wy mna jest pry h przypadkach
ciążającej wyz y obciążenia k try geometrycz 9 odnoszą się go w przypa wołującej obc
obciążenia przy param
krytycznego
λ
kparaboli p* przy
m analizowan
ce się do state ałtu za pom wiono na rys u kolumny uż efiniuje położe ładu, natomi o wierzchołka m q*<0.5 ozna ypukłą. W pr yzmatyczna.
h geometrii znaczono mak krytycznego o zne układu.
ę do zachowa adku parame ciążenie R*=0 a krytyczn metrach p*=0
λ
kr w funkcji pa y promieniu głonym
ecz- mocą
un- żyto
enie iast a od acza rzy-
We ko- ksy- oraz
ania etru 0.2.
nego 0.4,
ara- owi-
Rys. 9 w zależ Zmian układu ka par jącej w Podob krytyc metru można wartoś oraz w stu sił obciąż śledząc promie
Rys. 1 parame głowicy
9. Procentowy żności od param nę wartości ob
u niepryzmaty raboli p*, gdy wynosi R*=0.8 bnie jak w pop cznego odnotow
p* w przypad a zauważyć,
ściach parame wykazują duże ły krytycznej.
żenia krytyczne cą skierowaną enia głowicy (p
10. Parametr etru położenia y R*=0.8
wzrost obcią metru p* przy pr bciążenia kryt ycznego w funk parametr geom 8, zilustrowano przednim przyp wano tylko w dku kolumn w wykresy otrz tru R*są niem e podobieństwo Wynika to z s ego kolumny p ą do bieguna
por. [5]).
obciążenia kry wierzchołka pa
ążenia krytyczn romieniu głowicy tycznego anal kcji położenia metrii struktur o na rysunkac padku, wzrost pewnym zakr wypukłych (q*>
ymane przy mal odbiciem l
o co do wartoś symetrycznośc poddanej obcią a dodatniego
tycznego
λ
kraraboli p* przy nego
λkr
δ
y R*=0.2 lizowanego
wierzchoł- ry obciąża- ch 10 i 11.
obciążenia resie para-
>0.5). Jak opisanych ustrzanym ści przyro- ci rozkładu
ążeniu siłą w funkcji
w funkcji y promieniu
Rys. 11. Pro w zależności od
Rys. 12. Par parametru poł głowicy R*=3
Rys. 13. Pro w zależności od W przypadku szym promie
ocentowy wzros d parametru p*
ametr obciążen łożenia wierzch
ocentowy wzros d parametru p* u struktury r eniu głowicy (
st obciążenia k przy promieniu
nia krytycznego hołka paraboli p
st obciążenia k przy promieniu realizującej ob (rysunki 12-13
krytycznego
δ
głowicy R*=0.8
o
λ
kr w funp* przy promie
krytycznego
δ
głowicy R*=3 bciążenie o wi
3), wzrost obc λkr
δ
8
nkcji eniu
λkr
δ
ięk- cią-
żenia param Najwię (
δ
λkr=metrac
Rys. 1 w funk wierzch
Rys. 1 w funk wierzch
Rys. 1 w funk wierzch Param kolum promie oraz p tru us p* zil wykre ze wzg
krytycznego metru p* prz ększy procent
=13.172%) od ch układu: p*=
14. Przyrost p kcji promienia g hołka głowicy q
15. Przyrost p kcji promienia g hołka głowicy q
16. Przyrost p kcji promienia g hołka głowicy q metr przyrostu mny niepryzm enia głowic parametru q*, sytuowania wi lustrowano n sy pozwalają ględu na prze
uzyskano w zy kolumnach owy wzrost pr dnotowano pr
=0.53, q*=0.3.
parametru obcią głowicy obciążaj
* (p*=0.3)
parametru obcią głowicy obciążaj
* (p*=0.45)
parametru obcią głowicy obciążaj
* (p*=0.6) u obciążenia k matycznej jak cy wymusza
przy wybrany erzchołka par na rysunkach
ą na określen enoszone obcią
w określonym h wklęsłych rzenoszonego zy następując .
ążenia krytyczn jącej R* oraz w
ążenia krytyczn jącej R* oraz w
ążenia krytyczn jącej R* oraz w
krytycznego r ko funkcję p ającej obciąż ych wartościac
aboli wzdłuż o 14-16. Prze nie najkorzys ążenie krytycz
m zakresie (q*<0.5).
obciążenia cych para-
nego λkr
δ
współrzędnej
nego λkr
δ
współrzędnej
nego λkr
δ
współrzędnej
rozważanej parametru żenie R* ch parame- osi układu edstawione stniejszych zne zakre-
sów analizowanych zmiennych. W przypadku mniejszych wartości parametru promienia głowicy wzrost obciążenia krytycznego odnotowano w pewnych obszarach tylko przy parametrze q*>0.5, podczas gdy promień głowicy R*>1.5, im mniejsza wartość parametru q*, tym większy przyrost przenoszonego obciążenia.
5. WNIOSKI
Przedstawiona praca dotyczyła problemu stateczności smukłej kolumny o zmiennym przekroju poddanej działaniu wybranego przypadku obciążenia swoistego.
Analiza przeprowadzonych obliczeń numerycznych pozwala na sformułowanie następujących wniosków:
- wartość obciążenia krytycznego układu zależy od parametrów opisujących jego kształt oraz parame- trów geometrycznych struktury obciążającej;
- w przypadku aproksymacji kształtu wielomianem pierwszego stopnia uzyskano maksymalny przyrost obciążenia krytycznego na poziomie
λkr
δ
=5.8777%(Z*=1.0584%, R*=1.4, κ=2.5). Przy aproksymacji kształ- tu funkcją kwadratową maksymalny odnotowany przy- rost obciążenia to
λkr
δ
=13.172% (q*=0.3, p*=0.53, R*=3);- aproksymacja kształtu kolumny jest ograniczona warunkiem, według którego wartość szerokości b seg- mentów kolumny musi być większa bądź równa wartości grubości h tego segmentu.
Praca wykonana w ramach pracy BS/MM - 1-101-302/15/P Politechniki CzĊstochowskiej.
Literatura
1. Aristizabal J. D.: Statics, stability and vibration of non-prismatic beams and columns.“Sounds and Vibration”, 1993, 162(3), p. 441-455.
2. Bogacz R., Imiełowski S., Tomski L.: Optimalization and stability of columns on example of conservative and nonconservative systems. “Machine Dynamics Problems”, 1998, 20, p. 5-47.
3. Cekus D.: Free vibration of a cantilever tapered Timoshenko beam systems. “Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science” 2012, 11 (4), p. 1-17.
4. Szmidla J., Kluba M.: Stateczność i drgania swobodne niepryzmatycznego układu smukłego poddanego obciąże- niu eulerowskiemu. “Modelowanie Inżynierskie”, 2011, 41, s. 385-394.
5. Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność układów poddanych działaniu obciążenia swoistego. Pr.
zbior. pod kier. nauk. i red. Lecha Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007, s. 93 - 136.
6. Weisgerber F. E., Salahuddin K.: Elastic stability of non-prismatic column. In: Proceedings of Structures Con- gress. San Francisco, 1989, p. 410-417.
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
