Leidraad systeemtheorie - Curriculim 93/94

w60

November 1993

TU Deift

Technische Universiteit Deift

Leidraad Systeemtheorie

Curriculum 93/'94 TECHNISCHE WIIVERSITEIT Laboradum 'oor Scheepshydramachanlcs Archief Mekalweg 2, 2628 CD Deift 1L 015.786873- Fac015- 781838 P.A. Wieringa

o

goal SYSTEEM OMGEVING

Faculteit der Werktuigbouwkunde en Maritiamo Techniek Vakgroep Meet- en Regeltechniek

Leidraad Systeemtheorie

-

_w60

Curriculum

'93194

4 november 1993

_{P.A. Wieringa}

Doei van de leidraad

Deze leidraad bij bet college _{w60, Systeemtheorie, is bedoeld}

orn een overzicht te geven van de bij bet college te behandelen onderwerpen _{voor het curriculum 1993/94. Voor de} meeste onderwerpen wordt_{verwezen naar de betreffende hoofdstukken van bet boek: "Signals} and Systems" van AV. Oppenheim, _{A.S. Wilisky en IT. Young (Prentice Hall Tnt., Inc.,} London, 1983). Een aantal onderwerpen _{za! worden toegevoegd}

aan het curriculum en wordt in deze leidraad beschreven. Ook zijn nog een aantal paragrafen open gelaten. De inhoud hiervan wordt tijdens het college vermeldt en zal in een volgende versie van de leidraad worden beschreven. De leidraad _{alleen geeft beslist onvoldoende}

informatie orn de stof volledig te beheersen.

Tenslotte bevat de leid.raad een aantaJ opgaven met uitwerkingen en een voorbeeld van een

tentamen.

INHOUD

Het college is in een aantal blokken opgedeeld waarbij jeder blok van verschillende delen

van het boek en dictaat gebruik maakt.

Allereerst worden de fundamentele _{begrippen Systeem en Signad geintroduceerd voor} Continue en Discrete systemen. De _{impuls-responsie als karakterisering van Lineaire.}

Tijdonafhankelijke Systemen (L TI-System en) wordt gemntroduceerd. De_{convolutie-eigenschap} van Systemen en signalen (Integraal van Duhamel) wordt ultvoerig besproken. Causaliteit,

Stabiliteit, Dynamica (geheugen), Lineariteit, Gedistribueerd vs. _{Geconcentreerde} systeerneigenschappen worden besproken.

In het volgende blok worden mathematische gereedschappen aangedragen orn signalen te beschrijven. Hieronder vallen de bepaling _{en eigenschappen van de Fourier-reeks}

van

continue en discrete periodieke signalen, inclusief de convergentie criteria. Daarna wordt de Fouriertransformatie behandeld_{van a-periodieke en periodieke signalen met de eigenschappen} t.a.v. Lineariteit, Symmetrie, Schaling in tijd_{en frequentie domein, differentiatie en integralie,} duaiiteit, convolutie, _{en de Parseval's schema's relatie. Ter veralgemenisering van het} transfonnatiebegrip wordt de Laplace Trans-formatie _{(een- en tweezij dig) behandeld}

met de eigenschappen. Pool- en Nulpunt-plaatsing komt ter sprake.

Het volgende blok behandelt technieken en methoden orn systemen (grafisch) weer te geven zoals: Processchem a's, Blokschem a's, Signaalstroomschema's, Bondgrqfen, Corn par-rim enten modellen. Voor de elementaire _{systemen (proportionele versterker, Integrator,} DfferenuaJor, en Systemen met Looptijd), en enkele samengestelde Systemen (Eerste-orde Systeem met en zonder looptijd, Tweede-orde Systeem) worden Bode-diagrammen,

Nyquist-diagramm en afgeleid en vergeleken met de_{impuls-responsie enfrequentie-responsie. Er wordt}

op gewezen hoe de diagrammen van deelsystemen en samengestelde systemen samenhangen bijvoorbeeld bij een teruggekoppeld eerste orde sysreem of vooiwaarts gekoppeld_systeem.

Tenslotte wordt in een blok enkele _{speciale systemen en technieken behandeld. Het} begrip Filteren van signalen als gevoig van de eigenschap van apparatuur tij dens het _meten

inhoud

1

-Leidra.ad Svsteemtheorie- w60 _{P.A. Wieringa}

Leidraad Systeemtheorie - w60 PA. Wieringa Curricuhim 1993 ¡ 94

en eventueel

orn ongewenste ruis

te elimineren, wordt duidelijk gemaakt. Sign aal bemonstering of Scnnpelen wordt eveneens behandeld in het kader van het meten van continue

signalen m.b y. moderne meetapparatuur.

Het ugt in de bedoeling het collegea.f te sluiten met een 'bjzondereondenveipen' college waarbij voorbeelden mb.t. de systeem- en signaalbeschrijving het verleden en heden worden besproken in verschillende vakgebieden.

INHOUD i

I. Doel van het college; beschrijving van bet vakgebied 5

II. Basis begrippen 6

A. Wat zijn systemen en signalen 6

B. Indeling van signalen 7

I.Klassificering in de tijd 7

Continu versus discreet 7

Periodiek versus niet-periodiek 7

2.Klassificering naar amplitude 7

digitaal versus analoog 7

Deterministisch versus stochastisch 8

C. Indeling van Systemen 8

1. Indeling naar de bewerking die in het systeem plaatsvindt 8

Stochastisch versus deterrninistisch 8

Discreet versus continu 8

Constant versus tifdsqfhan keljk 8

2. Systeemeigenschappen die samenhangen met de aanwezigheid van een

inganssignaal 9

Stabiel versus onstabiel (en indifferent) 9

Lineair versus niet-lineair 9

Statisch versus dynamisch 9

3. Mathematische beschrijvingen 9

Causaal versus niet-causaal 9

inverteerbaar versus niet-inverteerbaar 9

4. Systeem indeling t.a.v. de structuur van bet systeem en de deelsystemen . 9

Geconcentreerd (lumped) versus verdeeld 9

Scalair versus multivariabel 9

D. Convolutie van signalen 9

1. Signaal beschrijving door middel van een reeks van pulsen. 10

Continue tijd 10

Discrete tijd 11

E. Stap-responsie van Lineair, Tijdonathankelijke, Causale Systemen 11

III. Representatie van signalen en systemen 12

A. Signaal beschrijving d.m.v. complexe exponentieel functies 12

B. Opsplitsing in deelsignalen 13

Continue tijd 13

Discrete tijd 13

C. Fouriertransformatie 14

1. Continue signalen 14

Periodiek signaal met beperkte observatie 14

Niet-periodiek signaal 14

Voorbeelden en eigenschappen 14

Convolutie eigenschap 15

2. Discrete signalen 15

Periodiek discreet signaal met beperkte observatie 15

Niet-periodiek discreet signaal 16

c.Voorbeelden en eigenschappen 16 d. Convolutie eigenschap 16 Laplacetransformatie 17 z-transformatie 18 IV. Systeembeschijvingen 19 A. Grafische schemas 19 1. Functionele schemas a. Processchema 19

3. (Systeem) Blok schema 20

4. Signaal flow schema 20

5. Componenten schema 20

6. Bondgrafen 21

7. Petri netten 21

8. Beslissingsschema's 21

B. Mathematische beschrijvingen 21

Differentiaal en differentie vergelijkingen 21

Toestandsruimte model 21 Continue tijd 22 Discrete tijd 23 C. Grafieken 23 Bode diagrammen 23 Nyquist diagrammen 23

V. Standaard (deel-) systemen 25

Propornoneel systeem 25

Integrator 28

Differentiator 30

Systeem met looptijd 32

Eerste orde systeem 34

Eerste orde systeem met looptijd 36

Tweede orde systeem 37

Multivariabel systeem 38

VI. Speciale bewerkingen van signalen 39

Filteren 39

Bemonsteren 39

VII. Lineaire terug- of voorwaartsgekoppelde Systemen 40

VIII. Appendices 41

A. Linearisatie 41

Inhoud

B. Complexe variabelen 42

Waarom complexe variabelen. 42

Elementaire rekenregels (Zie § 2.1.3 Analyse) 42

Grafische representatie (Bode en Nyquist diagram) 43

Euler's relatie 43

C. Signaalbeschrijving d.m.v. een benaderd signaal 44

Optimalisatie 44

Benadering van continue signaal door continue tijd Fourierreeks 44

Dirichiet condities 46

Benadering van een discreet signaal door de discrte tijd Fourierreeks 46

D. Opgaven 49

E. Tentamen voorbeeld 66

Inhoud

I. Doel van het college; beschrîjving van het vakgebied

Het doel van het college is orn basis begrippen en technieken te introduceren die gebruikt worden orn Systemen en signalen te beschrijven. Het college w60 past in een reeks colleges die voor het Hoofdvak Meet- en Regeltechniek essentieel zijn en een logïsche opbouw naar bet hoofdvak programma verzorgen:

Propedeuse Programma wblO7wb Cool wbIO4 Bikker Basis-Doctoral Programma w60 Wieringa w6 i Dij kstra wPH Jansen

Hoofdvak Programma Meet- en Regeltechniek

i87 Bosgra Regeitheorie 4/O/O/O

w70 Stassen Systemen Signalen Stochastiek 4 /0/0 /0

w73 Dij kstra Digitaal regelen 0/4/O/O

etc.

Het vakgebied van de Meet- en Regeltechniek is groot. Het vormt daarom ook een van de basiswetenschappen binnen de Werktuigbouwkunde en

de Electrotechniek. Het leven

middelen orn systemen te definieren en te

identificeren, regelaars

te ontwerpen en

voorspellingen te doen van het gedrag van systemen die flog in de ontwerpfase zijn. Abstracte

mathematische beschrijvingen van systemen en signalen zorgen dat ook in de wikunde veel aandacht wordt besteed aan de systeem- en regeitheorie.

Op het college zullen de verbanden met andere vakgebieden worden aan gegeven. Technische Systemen

Systeemkunde

Systeemtheorie

Regeltechniek

Werktuigkun dig pract. II

0/4/O/O 0/0/2/O 0/4/0/0 0/0/4/O 17 middagen IDoel

Il. Basis begrippen

A. Wat zijn systemen en signalen

De woorden proces en systeem zullen als synoniem

worden

gehanteerd. Echter bet systeem heeft meer betrekking op

de

geometrie, de samenhang van deelsystemen en componenten terwiji

het woord proces meer op de werkwijze zou slaan? De definitie van een systeem is:

Signals Systems 2.1.0

Een systeem is een, ten aanzien van zijn omgeving, afgezonderd gedacht

geheel waatbinnen ccii zekere ordemng heerst en dat (eventueel) een zekere

wisse1werking met zijn omgevung onderhoudt.

0m over een systeem te kunnen praten dient dus eerst de systeemgrens te worden

vastgelegd.

Voorbeeld

Een auto, die op een weg rijdt, kan beschouwd worden als een systeem waa.rbij de systeemgrens de buitenkant van de auto vorrrit. Wat vanuit de omgeving op de auto inwerkt noemen we ingangssignalen: de wind, wrijving, enz. Ook verkeerssignalen die de bestuurder waarneemt behoren tot de ingangssignalen, evenals bet op discrete tijden tanken. Als uitgang van bet systeem kan gelden de sneiheid van de auto de positie, de sneiheid en de versnelling t.o.v. de omgeving. Ook de temperatuur, samenstelling en volumestroom van uitgestoten gassen kunnen als uitgangssignaal genomen worden. Uit dit voorbeeld blijkt dat men enigsinds vrij is te kiezen waar de systeemgrens ligt en welke signalen men we! en niet in beschouwing wenst te nemen. Dit hangt af van de mate van detail en complexiteit dat men wenst.

Een systeem kan beschouwd worden als een samenstelling van deelsystemen. Voorbeeld

De auto uit het vorige voorbeeld heeft een motor die we als (deel-) systeem kunnen beschouwen. De wisseiwerking met de omgeving is in dit geval bet geleverde toerental als output. De ingestelde benzinetoevoer middels het gaspedaal maar ook de hoeveelheid koeling en vibraties via de ophanging zouden als ingangssignaal kunnen gelden.

We zien in dit tweede voorbeeld dat de benzinetoevoer nu niet meer aThankelijk is van het discrete signaal 'tanken' zolang er voldoende benzine in de tank zit. De tank, eveneens te beschouwen ais een deelsysteem, heeft de funktie orn het discrete dignaal 'tanken' orn te vormen tot bet continue signaal 'benzine toevoer motor'. We zullen later in het college zien dat dit een integrerende funktie is. Een integrerend systeem is een van de elementaire systemen die we zullen behandelen in dit college.

Systemen kunnen geschakeld worden. D.w.z. uitgangen kunnen met ingangen worden verbonden. Ook kunnen signalen worden opgeteld. Hierdoor ontstaan samengestelde systemen waarin de subsystemen parallel en/of in sene zijn geschakeld.

Signals Systems 2.5.0

- 6 - Il Basis begrippen

Signals & Systems

2.3.l 2.3.2; 2.4.2;

2.4.3 (Tabel 2.1)

B. Indeling van signalen

l.Klassificering in de tijd Continu versus discreet

Signalen zijn beschrijvingen in de tijd van variabelen van een systeem die men wil onderzoeken. Dit zullen veelal ingangs- en uitgangssignalen zijn van bet systeem of van de deel-systemen.

De druk in een vat zou bijvoorbeeld zo!n variabele kunnen zijn. We kunnen nu een druk-signaal krij gen door de druk te meten met een drukopnemer. De drukopnemer produceert bijv. een elektrisch signaal dat een maat is voor de druk. Hier is dus sprake van een omzetting van het fysische signaai druk naar bet elektrische signaal.

De drukopnemer kan worden aangesloten op moderne, digitale apparatuur voor verdere bewerking en/of opsiag. Deze apparatuur zal bij iedere nieuwe klokpuls een volgende instructie uitvoeren; één daarvan kan zijn: het uitlezen van de waarde van de drukopnemer. Door deze opzet wordt bet te bemeten signaal dus slechts op discrete tij den doorgegeven. Het oorspronkelijke druksignaal was echter continue

in de tijd beschikbr. Er is hier

sprake van een omzetting van een continue naar een discreet signaal.

I{ieruit blijkt dat bet zinvol is signalen op te delen in continue en discrete signalen. Dit is een opdeling in de tijd, ongeacht de amplitude van het signaal.

Periodiek versus niet-periodiek

Als een signaal na bet verstrijken van een bepaalde periode

steeds weer dezelfde waarden aanneemt, spreken we van een periodiek signaal; ongeacht of het continu is of discreet. (zie: Eq.

2.5, 2.6)

2.Klassificering naar amplitude a. digitaal versus analoog

Het uitlezen van continue signalen m.b.v. digitale apparatuur heeft ook tot gevoig dat de amplitude in digitale waarden wordt weergegeven. Dit houdt in dat afhankelijk van bet aantal beschikbare bits een afronding plaatsvindt naar de waarde die i bit lager ligt. Wij zeggen nu dat bet signaal is gekwantificeerd of gedigitaliseerd. Het oorspronkelijke signaal kan echter alle mogelijke waarden aannemen en wordt analoog genoemd.

In de praktijk za! het vaak voorkomen dat bet genoemde discrete signaal in de periode tot de volgende uitlezing wordt aangehouden (sample&hold) op de waarde van de laatste uitlezing. Hierdoor wordt dus weer een continu signaal gecreeerd.

Een Analoog-Digitaal omzetter (A-D convertor) zet een continue signaal orn in een

discreet signaal.

Dus in de praktijk za! het veel voorkomen dat men een continu, analoog signaal representeert door een gekwantificeerd (digita.al) waarbij de amplitude op discrete tijdstippen een nieuwe waarde aan kan nemen.

Echte discrete signalen besta.an in de praktijk niet maar worden in de wiskundige technieken gebruikt om de bewerkingen op signalen te kunnen beschrijven.

Als synoniem voor continue wordt vaak analoog gebruikt. Als synoniem voor discreet wordt vaak digitaal gebruikt. Dit is dus niet juist omdat hierbij de kiassificering van signalen in de tijd en naar amplitude worden verwisseld..

Tenslotte onderscheidt men nog binaire signalen. Dit zijn digitale signalen die slechts twee Signals Systems

Eq. 2.5, 2.6

II Basis begrippen 7

warden aari kunnen nemen (Bijv. i en O of i en -1). Dergelijke signalen worden gebruikt als men alleen geïnteresseerd is in het teken van een variabele (is het eb of vloed?). De signalen die over een telefoonlijn worden gestuurd voor bet zenden van FAX berichten zijn binair (twee verschillende tonen).

b. Deterministisch versus stochastisch

We spreken van een deterministisch signaal als de waarde van het signaal voor elk willekeurig tijdstip eenduidig kan worden vastgelegd. Dat wil zeggen dat m.b.v. een wiskundige funktie of m.b.v. een tabel de waarde exact kan worden bepaald gegeven bepaalde omstandigheden.

Van een stochastisch sigriaal kan alleen worden bepaald wat de kans is dat een bepaalde waarde wordt aangenomen. De variabelen die samenhangen met het weer (wind,

temperatuur etc.) zijn stochastische variabelen. (zie college w70)

a. Stochastisch versus deterministisch

Een stochastisch systeem heeft als eigenschap dat het uitgangssignaal stochastisch is doordat het systeem een onvoorspelbaar gedrag heeft.

Van een deterministisch systeem ugt de ingangs-uitgangsrelatie eenduidig vast. Voorbeeld

Een knikker rolt over een tafel waarop op onbekende plaatsen zandkorrels zijn

aangebracht. Wanneer als systeemgrens de knikker en de tafel wordt genomen veroorzaken de zandkorrels op het ta.felblad een onverspelbare beweging van de knikker.

Als de knikker als apart systeem beschouwd wordt kunnen de gevolgen vanhet botsen met de zandkorrels als een inwerking van de omgeving op de knikker gezien worden en kan de knikker als deterministisch systeem worden beschreven waarop een stochastisch

ingangssignaal (de stochastische verdeling van de zandkorrels) werkt. De beweging van de knikker als uitgangssignaal is echter in beide gevallen stochastisch.

- 8 - II Basis begrippen

opdeling

VUfl

signalen

opdeling in de tijd

continue bemonsterd discreet

periodiek niet-periodiek penodiek niet-periodiek periodiek niet-periodiek opde!ing flaw-amplitude

stochastisch analoog

Alle

combinaties

niogelijk

digital

deterministisch an aloog

digitaal

C. Indeling van Systemen

Systemen worden ingedeeld naar de bewerking die op de

Signals &Systems 3.4.O 3.4.1; 2.6.1; ingangssignalen plaatsvindt en die bepalend is voor de

eigenschappen van het uitgangssignaal.

3.4.2: 2.6.2; 3.4.3; 2.65; 3.4.4; 2.6.4:

2.6.3, 2.6.6

1. Indeling na.ar de bewerking die in het systeem plaatsvindt

b. Discreet versus continu

C. Constant versus tijdsafhankelijk

2. Systeemeigenschappen die samenhangen met de aanwezigheid van een

inganssignaal.

Stabiel versus onstabiel (en indifferent) Lineair versus niet-lineair

Statisch versus dynamisch (geheugen werking)

Een systeem heeft geheugen werking als een responsie op een ingangssignaJ in bet verleden doorwerkt in de toekomst. (Voor niet-causale systemen geldt het omgekeerde. Deze definitie is ook geldig voor tijdsathankelijke en niet-lineaire systemen. Echter bij tijdsaThankelijke Systemen kan het zijn dat de systeem uitgang veranderd zonder dat een ingangssignaal is veranderd).

3. Mathematische beschrijvingen

Wiskundige bewerkingen kunnen een signaal transformeren naar een ruimte die geen relatie met de fysische werkelijkheid hoeft te bezitten. Men kan echter wel doorrekenen in deze ruimte en uiteindelijk een realistisch signaal verkrijgen; eventueel door

terugtransformatie. Voor de mathematische bewerkingen en tussenresultaten zijn de volgende begnppen van belang.

Causaal versus niet-causaa1

Een causaal systeem reageerd alleen op ingangssignalen van bet moment van observatie of daarvoor. Niet-causale systemen kunnen ook reageren op ingangssignalen die nog moeten komen (in de tijd). Het zal duidelijk zijn dat dergelijke systemen alleen mathematisch kunnen bestaan en bet gevoig zijn van mathematische bewerkingen.

inverteerbaar versus niet-inverteerbaar

Bij een inverteerbaar systeem kan de ingang expleciet als funktie van de uitgang worden geschreven en visa versa. Een niet inverteerbaar systeem ontstaat bijv. wanneer twee

verschillende ingangssignalen hetzelfde uitgangssignaarl geven.

4. Systeem indeling t.a.v. de structuur van bet systeem en de deelsystemen

a Geconcentreerd (lumped) versusverdeeld

Bij een geconcentreerd systeem zijn de relaties tussen de ingangs- en uitgangssignalen in een minimaal aantal parameters vastgelegd. Eventuele deelsystemen zijn dan niet meer herkenbaar. Bij een gedistribueerd systeem zijn de deelsystemen herkenbaar of is een systeem opgedeeld uit een veelvoud van kleine, identieke sub-systemen.

b. Scalair versus multivariabel

Bij een scalair systeem is er slechts i ingang en uitgang gedefinieerd. Bij een multivariable systeem zijn er meerdere ingangen (mcl. verstoringen) en uitgangen mogelij k.

D. Convolutie van Signalen

Het 7ul in de praktijk veel voorkomen dat een systeem opgebouwd wordt uit deel- (of

sub-II Basis begrippen 9

Signais & Systems 3.1.0;

3.3.0 -> Eq. 3.33; 3.2.0 -> Eq. 3.14 )systemen. Stel nu dat het bekend is wat de relatie is tussen het

ingangssignaal en uitgangssignaal van twee verschillende (sub-) systemen, I en II. Wat is nu de relatie tussen het ingangssignaal en uitgangssignaal wanneer de twee systemen worden gekoppeld bijv. in serie (achter elkaar) gekoppeld worden, d.w.z. van de uitgang van systeem I vormt de ingang tot systeem II of parallel (naast

elkaar) waarbij de ingang naar beide Systemen gelijk is en de uitgangen worden opgeteld. We zullen een antwoord op deze vraag vinden door eerst een mathematische beschnjving van

signalen te introduceren. Vervolgens worden signalen die op een dergelijke manier kunnen worden gekarakteriseerd aangeboden aan een systeem dat Lineair, Tijdsonafhankelijk en

Causaal is. De uitgang van dit systeem komt nu wederom in mathematische vorm beschikbaar

en we zullen de kenmerken bestuderen.

I. Signaal beschrijving door middel van een reeks van pulsen. a. Continue tijd

We beschouwen een deterministisch, continue signaal (periodiek of niet-periodiek. analoog of digitaal).

Het signaal wordt bemonsterd op tijdstippen die op een tijd At van elkaar liggen.

We kunnen nu het bemonsterde signaal opgebouwd denken uit de som van vele deelsignalen die jeder precies één puis representeren.

Door gebruik te maken van de definitie van lineaire systemen weten we nu dat de responsie van systeem I als gevoig van een signaal dat bestaat uit een sommatie van deelsignalen gelijk is aan de som van de responsies op de deelsignalen. Dus we zouden voor jeder deelsignaal a.fzonderlijk de responsie kunnen bepalen. Dit is echter veel werk.

Het systeem was ook tijdsonafhankelijk, wat

inhoudt dat de responsie op een puis

onafhankelijk is van het tijdstip waarop de puis wordt gegeven.

Tenslotte weten we, door wederom gebruik te maken van de definitie van lineaire systemen, dat de responsie op een puis die met een constante factor is vermenigvuidigd gelijk is aan de responsie op de puis vermenigvuldigd met dezelfde factor. Dus we kunnen nu eerst de responsie op een eenheidspuls bepalen en

dan voor iedere andere puis de responsie

voorspellen door het eenvoudig te vermenigvuldigen met de amplitude.

Samenvattend.

0m de responsie van een deterministisch, continue, tijdsonafhankelijk systeem op een trein pulsen te bepalen is het voldoende de responsie op één eenheidspuis te bepalen en deze responsie te sommeren na vermenigvuldiging met de amplitude van het oorspronkelijke

deelsignaal en verschuiving in de tijd naar de tijd waarop het oorspronkelijke signaal is

gedefinieerd.

Het ugt voor de hand om de invloed van de breedte van de puis, At, te minimaliseren. Dit wordt gedaan door de limiet te beschouwen van At - O. Op deze manier wordt een impuls verkregen die de dirac-puls wordt genoemd.

De representatie van een dirac puis is een piji.

Wanneer een willekeung signaal wordt vermenigvuldigd met een dirac puis is het resultaat het produkt van de signaal waarde ten tijde to en de dirac-puls.

De limiet At * O van de sommatie van pulsen levert nu een integraal.

Deze integraal is de convolutie

integraal zoals ook te vinden is in het boek

Analyse (Almering) Hst.8.8.7.

In analogie met de voorgaande:

Een willekeurig signaal kan nu dus worden voorgesteid ais de convolutie van een dirac-puls

- i O - II Basis begrippen

en het signaal zeif.

De responsie van het systeem op een willekeung signaal is nu de responsie op de dirac-puls vermenigvuldigd met de amplitude op het tijdstip en verschuiving naar het tijdstip.

De responsie van een systeem op een dirac-puls wordt de impuisresponsie genoemd. De impulsresponsie karakteriseert een lineair, tijdsonafhankelijk systeem in de tijd.

Wanneer de impuisresponsie van een systeem bekend is kan de responsie op ieder willekeurig

ingangssignaal worden berekend.

De convolutie integral voor twee signalen wordt voorgesteld door een ster: y(t) =x(t)*h(t) (niet te verwarren met het gebruik van de ster in prograrnmeertalen).

Deze ster betekent dus niet vermenigvuldigen. Deze ster betekend wel: convoueren!!!

Voorbeeld

Std de impuisresponsie op systeem I gelijk is aan h1(t) en op systeem II gelijk is aan h11(t). Systeem I en II staan in sene. De responsie op een willekeurig ingangssignaal x(t) op systeem

is nu:

y1(t) x(t)*hi(t)

Aangezien de systemen in serie staan is y1(t) nu het ingangssignaal voor het tweede systeem. De responsie op y1(t) van het tweede systeem is: y11(t) y1(t)*h11(t) = x(t)*hi(t)*hu(t)

Wanneer nu eerst de convolutie van de twee impuisresponsies wordt bepaald: h111 h1(t)*h11(t)

geldt dus dat de impuisresponsie van bet sa.rnengestelde systeem bestaande uit twee in serie geschakelde systemen gelijk is de aan de convolutie van de afzonderlijke impuisresponsies

(en dus niet het produkt van de twee impuisresponsies!!).

Waarschuwing: 50% van de studenten kan dit voorbeeld niet herha1en zorg dat je daar niet bij hoort.

b. Discrete tij d

We beschouwen een deterministisch, discreet signaai (periocliek of niet-periodiek).

Voor een discreet sigriaal is het eenvoudig in te zien dat hierbij ook een redenering zoals in het voorgaande met de continue, bemonsterde signalen gevolgd kan worden.

Een discreet signaal kan eenvoudig opgedeeld gedacht worden uit een reeks deelsignalen, nrnl.

impulsen die jeder bet produkt zijn van een dirac puis en de amplitude van de impuls van bet

oorspronkelijke signaaL

De responsie van bet bovengenoemde systeem op zo'n discreet signaal is dus de som van impuisresponsies (na vermenigvuldiging met de amplitude en verschuiving in de tijd). Echter als bet systeem ook een discreet systeem, en dus alleen een uitgangssignaai geeft op discrete tijdsmomenten, dan ugt het voor de hand om niet de convolutie integraal te nemen maar gebruik te maken van de discrete karakter en de convolutie som tebepalen.

De impuisresponsie van een discreet systeem is de responsie op een dirac impuls, waarbij de responsie alleen op discrete tijdstippen is gedefinieerd. (De tijdstippen liggen een vaste tijdstap van eikaar. Deze tijdstap is dezelfde voor bet ingangssignaal, de impuisresponsie en het uitgangssignaal).

De responsie van een discreet systeem op een willekeurig discreet inganssignaal is geiijk aan de convolutie som van bet ingangssignaal en de impu.Isresponsie. (Eq. 3.14)

De impuls responsie van een samengesteld systeem bestaand uit twee in serie geschakelde deelsystemen is gelijk aan de convolutiesom van de twee (discrete) impuisresponsies.

E. Stap-responsie van Lineair, TijdonaflLankelijke,

Causale Systemen

We hebben reeds gezien dat de impulsresponsie van een systeem den goede manier kan zijn orn een systeem te karakteriseren.

II Basis begrippen

Signals & Systems 3.4.5

Wanneer een dirac-puls wordt geïntegreerd in de tijd ontstaat een stapfunktie (de

eenheids-stapfunktie).

Daar integratie een lineaire operatie is is dus de responsie op een eenheids-stapfunktie gelijke aan de integraal van de impuisresponsie!

Soms is het orn praktische redenen eenvoudiger orn een stapresponsie te bepalen dan een impuisresponsie.

De impuisresponsie, nodig voor bet op mathematische wijze bepalen van het systeem gedrag, kan dan gevonden worden door differentiatie van de stapresponsie (bedenk dat differentiatie

eveneens een lineaire bewerking is.

- 12 - II Basis begrippen

Ill. Repoesentatie van signalen en systemen

A.

Signaal

beschrijving

d.mv.

complexe

exponentieel functies

We beschouwen een periodiek signaal: de sinus.

Volgens de Euler's relatie (Appendix B) kan een sinus worden beschreven als een som van twee complexe functies:

euC0t -f5)0t

u(t) = sin(0t) e

De response van een lineair systeem op dit signaal is nu te berekenen wanneer de

impuisresponsie van het systeem bekend is, door gebruik te maken van de convolutie

intergaal:

y(t)

fsn(.o0)h(t-t)at

fsin(c(t-t))h(t)&t

= _Te

°h(r) &t -fe

r = _{lJJwor1e_J()oth(t) -e}

je

_°h(t)&t VI J -e

JOtH(_)

2f

We zien dus dat deze response gelijk is aan het oorspronkelijke sigriaal waarbij jeder van de deelsignalen is vermenigvuldigd met een constante! Deze constante is alleen aThankelijk van de hoeksnelheid (of frequentie indien f = u0!2t wordt gemntroduceerd). De constante kan gevonden worden door een bepaalde integratie bewerking op de impulsresponsie toe te passen

nml.:

H() =

fh(t)eJr0t&

Het uitgangssignaal is ook te schrijven als (zie appendix):

y(t) = ½sin(t) (H() +H(-)} -1/2j((o0t) tH()

-H(-Dus de response op een sinusvormig ingangssignaal is een sinusvormig uitgangssignaal waarvan alleen de amplitude en de fase (argument) zijn veranderd! De amplitude verhouding

wordt gegeven door H(a0).

Dit is zo'n belangrijke eigenschap dat bet zin heeft na te gaan of we misschien een willekeurig signaal opgebouwd kunnen denken uit de som van sinussen. We weten immers reeds dat dan de response verkregen kan worden door de som van de responsies op jeder deelsignaai, dus op iedere sinus!

2f

Signals & Systems 2.3.1: 2.4.2 4.1.0

III Representatie van signalen en systemen 13

B. Opsplilsing in deelsignalen

Continue tijd

Som van sinusvormige signalen

Voorgesteld wordt een willekeurig signRal te gaan beschrijven door

een som van sinusvormige signalen. We gebruiken de Euler's relatie

(zie appendix B: Complexe variabelen) orn de sinusvormige signalen te beschrijven. Een wiliekeurig sinusvormig signaal ziet er nu als voigt uit:

fk0t

Een som van sinusvormige signalen wordt nu beschreven door: x(t) = a ¿kc0t

k= -n

De coëfficiënt ak fungeert als weegfactor en geeft dus aan de mate waarin het sinusvormige deeisignaal &° wordt vertegenwoordigd in bet signaal

x(t).

De exponent jkC0 geeft de frekwenties aan van de sinusvormige deelsignalen. De grond-frekwentie, c levert een sinusvormig signaal dat precies één periode doorloopt binnen de

periode van het signaal: T0 = 2mkù0.

De som die hier is voorgesteld bestaat dus uit sinusvormige signalen die frekwenties hebben die een veelvoud van de grondfrekwentie zijn.

In de appendix C.2 is afgeleid dat voor een wiliekeurig periodiek signaal geldt:

-i-. f.x(t)eo'at

DT0

De integratie vindt plaats over een periode met lengte T0 ongeacht waar die periode zich

bevindt in de tijd. We zien dus dat het voor de

bepaling van de coëfficiênten van de

Fourierreeks voldoende is orn te integreren over I periode van het periodieke signaal. Zeifs al zouden we geen concrete metingen hebben van het signaal buiten deze periode (maar wel de zekerheid hebben dat bet een periodiek signaal betreft) dan is voldoende informatie beschikbaar orn de coëfficiênten af te leiden.

Deze eigenschap wordt bij het afleiden van de Fouriertransformatie benut. Discrete tijd

Som van discrete sinusvormige signalen

In analogie met het voorgaande bestuderen we eerst de som van discrete signalen die jeder een sinusvormige omhullende hebben waarvan de frekwentie verschilt.

Een discreet signaal met sinusvormige omhullende kan worden beschreven door: -Jkn

ake

Dit is een periodieke functie met periode N (ga dit na). De som van een dergelijk discreet signaal wordt:

Signals & Systems 4.0.0; 4.2.1; 4.2.2 4.3.0

Signals & Systems 5.0.0: 5.2.1: 5.2.2

14 III Representatie van signalen en systemen

Ill Representatie van signalen en Systemen

jk?.!n

xN(n)=

ae

N

k =<N'

De notatie k = <N> is overgenomen uit het boek (Signals and Systems) en geeft aan dat k een hele periode van N distincte tijdstappen doorloopt, waarbij het er niet toe doet op welk

tij dstip k start.

Het verschil met continue signalen is dat heet aantal deelsignalen over de periode N nooit groter kan zijn dan N omdat er anders een set overbepaJde vergelijkingen ontstaat! ( 5.2.2.) (Bu continue signalen moet in het algemeen een oneindige reeks deelsignalen worden opgeteld orn het verschilsignaal tussen het oorspronkelijke en het benaderde signaal te minimaliseren)

Bovenstaande reeks wordt de Fourierreeks voor discrete signalen genoemd.

C. Fouriertransfonnatie

1. Continue signalen

a. Periodiek signaal met beperkte observatie

Bij het bepalen van de Fourierreeks voor periodieke signalen is de signaalwaarde buiten het observatie interval niet van belang. We stellen nu dat de signaalwaarde buiten het observatie intervalgelijk is aan nul.

De integratie grenzen voor bet bepalen van de coëfficiénten a1 kunnen nu worden verlegd tot

<t <

zonder dat daarmee de uitkomst van de integraal wordt beïnvloed:

= -_ f x(t)e'°ät

We introduceren nu een functie 1o) met de volgende eigenschappen: = f x(t)e_1)tat

zodat:

i

=

-De functie J(e) is de Fouriergetransformeerde van bet periodieke signaal enis dus een functie van de frekwenties o ko)0.

Signals & Systems 4.5.0: 4.5.1: 4.5.2

b. Niet-periodiek signaal

Een niet-periodiek signaal kan benaderd worden door een penodiek signaal met periode tijd T0 k . De vanabele o = kco0 = k2,t/T0

wordt hiermee continue.

De Fouriergetransformeerde van een niet-penodiek signa.aI wordt hiermee de continue functie:

= f x(t)e't

Het oorspronkelijke signaal wordt dus benaderd door de integraal: Dit is de inverse Fouriertransformatie.

Signals & Systems 4.4.1: 4.4.2: 4.4.3

x(t) =

f

2t

Voorbeelden en eigenschappen

In het boek Signals and Systems

_{worden vele voorbeelden en} afleidingen van Fouriertransformaties gegeven. Ook de

eigenschappen komen in hoofdstuk 4.6 uitgebreid aan de orde. Deze

eigenschappen zijn belangrijk omdat ze je een hoop werk kunnen

besparen door een

_{afleiding te relateren}

_{aan reeds bekende}

afleidingen door gebruik te maken van een van de eigenschappen.

In §4.6.7 wordt de Parseval relatie gegeven die betrekking heeft op het bepalen

hoeveelheid energie in een signaal. Wanneer dit signaal bijvoorbeeld de beweging van een object voorstelt, dan is de energie gelijk aan de kracht maal de afgelegde weg. Voor een veer gekoppeld aan een massa leven dit: E=F5 _{x = C Ax (waarbij C de veerconstante is en} de afgelegde weg). Verder geldt dat de kinetische energie gelijk is aan Y2mv2. In de elektriciteitsleer geldt dat de elektrische energie die gedissipieerd wordt in een weerstand gelijk is aan: I V j2 R = V2/R. Er zijn meer voorbeelden denkbaar _{die laten zien dat de} energie gelijk is met het kwadraat van een bepaalde variabele. Andersom geldt dit natuurlijk niet, maar toch wordt het kwadraat van de amplitude gedefinieerd als de energie van een sign aal.

De Parseval relatie (het theorema van Parseval) is de integraal van de energie van een signaal over een integratie periode tussen - en +cc. Het blijkt dat deze hoeveelheid energie gelijk is aan de energie in de Fouriergetransformeerde van het signaal per eenheid van frekwentie. Voor een periodiek signaal is de energie per tijdseenheid, bet vermogen, gelijk aan de som van de kwadraten van de Fouriercoefficiènten.

Convolutie eigenschap

In hoofdstuk 4.7 (Signals and Systems) wordt de convolutie

eigenschap apart besproken vanwege het belang daarvan. We

hebben reeds gezien dat de responsie van een lineair

tijdsonafhankelijk systeem op een willekeung ingangssignaal

gevonden kan worden door de convolutie integraal tussen het ingangssignaal

_{en de}

impuisresponsie van het systeem. Het blijkt nu dat het produkt van de

Fouriergetrarisformeerde van het ingangssignaal en de impulsresponsie gelijk is aan de Fouriertransformatie van het uitgangssignaal. De inverse levert dan weer bet uitgangssignaal. De Fouriergetransformeerde van de impuisresponsie wordt de frekwentieresponsie genoemd.

Signals & Systems

4.6.0; 4.6.1; 4.6.2; 4.6.3;

4.6.4; 4.6.5; 4.6.6; 4.6.7; 4.9.0

Tables: 4.1; 4.2; 4.3

Signals & Systems 4.7

Leidrad Svsteemtheorie - w60 _{P.A. Wieringa}

Cun-iculum 1993 I 94

- 16 - III Representatie van signalen en Systemen

2. Discrete signalen

a. Periodiek discreet signaal met beperkte observatie

i -Jk-n

= -

x(n)e N

Met behuip van de functie:

=

n=N>

wordt de Fourierreeks voor discrete signalen geschreven als:

=

waarbij 0

= 2tiN.

b. Niet-periodiek discreet signaal

We beschouwen een discreet signaal met een beperkte observatie tijd. Aangezien we buiten deze observatietijd geen informatie over het signaal hebben mogen we het daar gelijk aan nul stellen.

Dit niet-periodieke signaal wordt nu benaderd als een periodiek signaal met oneindige periode:

N.

De Fouriergetransformeerde is nu gelijk aan de reeks:

=

Het oorspronkelijke signaal werd benaderd door een som waarvan de sommatie variabele eveneens naar +/- gaat.

Hiermee is dus ook voor discrete signalen een inverse Fouriertransformatie verkregen. Signals & Systems

5.3.0; 5.4.0; 5.4.1; 5.4.2;

5.4.3

III Representatie van signalen en systemen

-signaal periode observatie integratie periode formule voorbeeld

-«

T,«+cx, > T0 t,-1/,T0<t<t0+T0 Aperiodiek

penodiek - T0 - <t <

f-iat

thet-periodiek fl.V.t. T, - <t < .9w)

foeir

d. Convolutie eigenschap

D. Fast Fourier Transform

xN(n) = _2n k= -11m XN(fl) x(n) _L

f .(Q) e'2aQ

N 2tJ_Za c.Voorbeelden en eigenschappen x(t) = x(t)et

Signals & Systems

5.5.0; 5.5.1; 5.5.2; 5.5.3: 5.5.4; 5.5.5; 5.5.6: 5.5.7; 5.5.8 5.8.0 Tables 5.1; 5.2 5.9.2

Signals & Systems 5.6.0

Signals & Systems 5.4.3 laatste almea

De Founertransformatie van dit signaal wordt deLaplacetransformatie van x(t) genoemd. Dus:

{x(t)J =

=

f

x(t)e°t eet

=

f

x(t)e-53t = X(s)

waarbij s = c +j0.

Voor cy = O is de Laplacetransformatie gelijk aan de Fouriertransformatie.

Voor positieve (reële!) waarden van sigma neemt de amplitude van het signal x(t) af met

- 18 - III Representalie van signalen en Systemen

E. Laplacetransforinafie

1. Twee-zijdige Laplacetransformatie Signals & Systems9.1.0: 9.2.0; 9.5.0: 9.5.1;

Continue (periodieke en niet-periodi eke) signalen 9.5.2; 9.5.3: 9.5.4: 9.5.5;

We definieren een nieuw signaal dat bestaat uit het oorspronkelijke 9.5.6: 9.5.7; 9.5.8; 9.5.10;_{Table: 9.1; 9.2;}

signaal vermenigvuldigd met een exponentiele functie: 9.6.0; 9.7.0

toenemende t. In dit geval heeft sigma dus een gunstige invloed op het convergentie gedrag

van de integraal.

In bet algemeen geldt dat de integraal een eindige waarde oplevert zolang x(t) begrensd is in tijd en amplitude.

De Laplace transformatie van de impulseresponsie wordt genoteerd als: H(s)

De inverse Laplace bewerking is eenvoudig af te leiden ( 9.3):

.x(t) = '{X(s)} =

't(x(t))) =

=

f X(q+j)e)ta

=

2t J

Bedenk dat de contour waarover geintegreerd wordt in het complexe vlak een rechte lijn is evenwij dig aan de imaginaire as.

2. Eenzij dige Laplacetransformatie

In § 9.8 wordt melding gemaakt van de eenzijclige Laplacetransformatie. In deze vorm wordt de Laplacetransformatie ook behandeld bij bet oplossen van differentiaal vergelijkingen (zie bijv. § 5.15 van het boek Analyse en in hoofdstuk 6 van het boek

Elementaiy Differential Equations and Boundary Value Problems, Boyce and DiPrima, 1977). De integratie variabele loopt hierbij van O tot .

0m de integraal op te lossen is de

beginconditie voor t = O vereist.

De reden voor het gebruik van de eenzijdige Laplacetransformatie is dat in de praktijk veelal gebruik wordt gemaakt van signalen die ontstaan doordat een systeem in werking wordt gesteld op, bijvoorbeeld, t=O. Als gevolg hiervan is het signaal O op bet interval [ -,O j.

{x(t)l ₌

_f

x(t)ei3t

o x(t) = --

f

(s)etäs 2t J o -fr met: x(0) =

III Representatie van signalen en systemen

a

_i. _{f X(s)e3ts}

2n J o -fr

F. z-transfo rmatie

De z-transformatie is een transformatie die een bredere geldigheid

heeft dan de Fouriertransformatie voor

discrete signalen.We volstaan

slechts met bet geven van de formule van de

z-transformatie:

X(z)

=

x(n)z

SignaLs & Systems 9.8.0

SignaLs & System s 10.0.0; 10.1.0

Leidraad Systecintheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 / 94

In bet kader van dit college wordt de z-transformatie niet behandeld.

iV. Systeembeschijvingen

A. Grafische schema's

Een ingenieur maakt snel gebruik van een schema orn aan te geven hoe een systeem in elkaar zit; d.w.z. wat de relatie is tussen de deel-systemen en hoe het systeem met de omgeving is verbon den.

Er zijn verschilende vormen van schema's die aThankelijk van bet vakgebied meer of mindere mate in gebruik zijn.

Voor alle schema's geldt dat ze dienen voor informatieoverdracht, dus:

- geef alleen de details die strikt noodzakelijk zijn; liefst alleen hoofdzaken vermelden, - voorkom kruisende lijnen.

- dee! het systeem op in deelsystemen. 1. Functionele schema's

a. Processchema

Processchema's worden veel gebruikt in de procesindustrie.

Het schema geeft

alle

componenten schematies aan waarbij de symbolic overeenkomt met de essentiele fysieke en functionele kenmerken van het component. In veel regelkamers wordt een processchema gebruikt orn een snel overzicht te krijgen van het te regelen proces.

De definities voor de begrippen zijn vastgelegd in norm NEN 3009. De Basissymbolen voor de procesinstrumentatie zijn vastgelegd in norm NIEN 3157. Uitgewerkte symbolen voor de procesinstrumentatie zijn te vinden in NEN

3347

In de figuur is een processchema te zien van een klep in een pijpleiding.

De meetlijn is een getrokken ijn.

Het instrument heeft een meetfunktie: .

- meethjn

F: stroming (Flow)

L: niveau (Level)

P: druk (Pressure)

Q: kwaliteit (Quality) Processehema: Kiep iii pijpleiding

Temperatuur (Temperature) mechanische verplaatsing

X: andere meetfunktie

Eventueel wordt aan deze codeletter een letter d (difference) of r (ratio) toegevoegd. De omzetfunktie wordt aangegeven op de tweede en volgende plaatsen in de cirkel van de meetfunkti e:

I: aanwijzend (Indicating)

R: registreredn (Recording)

A: alarmerend en/of ingrij pend (Alarming)

C: reelend (Controlling)

T: zendend (Transmitting)

X: omzettend anders dan bovensta.ande vormen De stuurlijn bestaat uit een gestippelde lijn.

0stuurlijn

korrigerend orgaan

instrument

1V Systeembeschrijvingen 21

In bet kader van dit college wordt de z-transforrnatie niet behandeld.

- 20 - III Representatie van signalen en systemen

IV. Systeembeschijvingen

A. Grafische schema's

Een ingenieur maakt snel gebruik van een schema orn aan te geven hoe een systeem in e1kiur zit, d.w.z, wat de relatie is flìssen de deel-systernen en hoe bet systeem met de omgeving is verb onden.

Er zijn verschliende vormen van schema's die afhankelijk van het vakgebied meer of mindere mate in gebruik zijn.

Voor alle schema's geldt dat ze dienen voor informatieoverdracht, dus:

- geef alleen de details die strikt noodzakelijk zijn; liefst alleen hoofdzaken vermelden, - voorkom kruisende lijnen.

- dee! bet systeem op in deelsystemen. 1. Functionele schema's

a. Processchema

Processchema's worden veel gebruikt in

de procesindustne. Het schema geeft

alle componenten schematies aan waarbij de symbolic overeenkomt met de essentiele fysieke en functionele kenmerken van het component. In veel regelkamers wordt een processchema gebruikt om een snel overzicht te krijgen van bet te regelen proces.

De definities voor de begrippen zijn vastgelegd in norm NEN 3009. De Basissymbolen voor de procesinstrumentatie zijn vastgelegd in norm NIEN 3157. Uitgewerkte symbolen voor de procesinstrumentatie zijn te vinden in NEN

itrument

In de figuur is een processchema te zien van

een kiep in een pijpleiding.

_O

SJUIhJI1

_RC

De meetlijn is een getrokken ijn.

Het instrument heeft een meetfunktie:

meethjn

F: stroming (Flow)

L: niveau (Level)

_{kothgend orgaan}

P: druk (Pressure)

Q: kwaliteit (Quality) Processchema: Kiep in pijpleiding

Temperatuur (Temperature) mechanische verplaatsing

X: andere meetfunktie

Eventueel wordt aan deze codeletter een letter d (difference) of r (ratio) toegevoegd. De omzetfunktie wordt aangegeven op de tweede en volgende plaatsen in de cirkel van de

meetfunktie:

I: aanwijzend (Indicating)

R: registreredn (Recording)

A: alarmerend en/of ingrijpend (Alarming) C: reelend (Controlling)

T: zendend (Transmitting)

X: omzettend anders dan bovenstaande vormen De stuurlijn bestaat uit een gestippelde lijn.

Leidraad Systeemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 ¡ 94

-2. Electrische schema's

Een voorbeeld is gegeven in de flguur.

a. Mechanische schema's De zogenaamde massa-veer systemen

(Systeem) Blok schema

In een blokschema worden ingans-uitgangsrelaties aangegeven in blokken. Tussen de blokken geven pij len de causale relatie richting aan. M.b.v. opte!-, aftrek-, en splitsingspunten kan nu elke samenhang tussen de blokken worden weergegeven. De pij len vertegenwoordigen de variabe!en van bet systeem. In de blokken worden de bewerkingen op de variabelen het blok

binnen komen beschreven. Deze beschrijving kan in mathematische, in tabel of in grafiek vorm zijn. Oak kan een blok alleen de naam van bet component dragen; er ontstaat dan een

kwalitatief blokschema.

Een blokschema wordt in de regel van links naar rechts ge!ezen. zodat:

- ingangssignalen van een b!ok sluiten alleen aan op de linkerkant van het blok, - uitgangssignalen van een blok verlaten het blok via de rechter kant.

Een uitzonderling wordt gemaakt voor een eventuele beginconditie; deze komt van

rechtsboven in het blok.

Blokschema's worden in dit college vee! gebruikt.

Signaall flow schema

Een signaalstroomdiagram is een variant op bet blokschema. Het bestaat uit knooppunten en en signRalbanen. De knooppunten vertegenwoordigen de variabelen in bet systeem (vergelijk de Iijnen in een blokschema) en worden aangegeven door een kleine cirkel. De signaalbanen stellen de onderlinge relatie voor (vergelijk de blokken in een blokschema). Een pijl in de signaalbaan geeft aan welke knooppunten een causale relatie onderhouden. Tenslotte zijn er ingangs- en uitgansknooppunten te onderscheiden (bronnen en putten). Alle signaalbanen die op een knooppunt uitkomen worden opgeteld.

22 - IV Svsieembeschrijvingen

Componenten schema

Ten behoeve van biomedische, farmacokinetische en ecologische modelvorming wordt veel gebruik gemaakt van zogenaamde compartiment modellen. 0m dergelijke schema's uitvoerig te behandelen is meer kennis van de systeemtheorie nodig. We volstaan op dit punt slechts met de volgende beschijving en zullen bij de beschijving van multivariabele systemen hierop terugko men.

Cirkels stellen de variabelen voor (genummerd vanaf 1, ..) die via pijien met elkaar zijn verbonden. De pijien krijgen een waarde die aangeeft in welke mate de afgeleide van de ene variabele de andere beinvloedt (zie toestandsbeschrijving). Inganssignalen van het totale

systeem komen via een dubbele piji aan de bovenkant in de cirkel en zijn eventueel

vermenigvuldigd met een waarde.

(Het boek: Compartment Models and their Application, K. Godfrey, geeft een goed overzicht van deze beschijvingswijze)

Bondgrafen

Petri netten

Beslissingsschema's

B. Mathematische beschnjvingen

De mathematische beschrijving van systemen kan dezelfde vorm hebben ondanks bet feit dat het orn een mechanisch of een elektrisch systeem gaat. Er vindt een abstractie plaats van bet werkelijke systeem. Dit vormt de kracht van het gebruik van mathematische beschrijvingen.

Mathematische gereedschappen kunnen nu worden

afgeleid onathankelijk

van bet

toepassingsgebied.

Impuls en frekwentie responsie en overdracbtsfunktie In bet voorgaande is steeds gesuggereerd dat een mathematische beschrijving van bet ingans- en uitgangssignaal beschikbaar is (bijv.: u(t) = sin(00t); eny(t) = K sin(+00t)). In dergelijke gevallen

is de impulsresponsie (h(t)), frekwentieresponsie (H(s)), en

overdrachtsfunktie (H(s)) te berekenen en dus ook mathematisch te beschrijven.

Differentiaal en differentie vergelijkingen Differentiaal vergelijking

De relatie tussen ingans- en uitgangssignalen kan ook gegeven worden in de vorm van

clifferentiaalvergelij kingen. &(t) x(r) x(t)

ä(t)

y(t) = a0x(t) +a a2 +63 at3 a4 +.... +u(t) y(t) = +u(r) i=O at4

Differentie vergelij king

Het bovenstaande voorbeeld geldt voor bet continue tijdsysteem. Voor bet discrete systeem spreekt men van differentie vergelijkingen waarvan het volgende een voorbeeld is:

S:gnaL & Systems 3.5.0; 3.5.1 3.6.2; 4.11.1; 9.7.1: 9.7.2

iv Svsteembeschrijvingen 23

y(n) = a0x(n) +a1x(n-1) +a2x(n-2) +a3x(n -3) +...+u(n)

y(n) = ax(n-í) +u(n)

3 Toestandsruimte model

Ret toestandsruimte model wordt uitgebreid in de vervoig colleges behandeld (zie w61 en het boek: Feedback Control Systems, John van de Vegte, Printice Hall, 1990). Hier voigt slechts een korte beschrijving van het principe van de notatie.

a. Continue tijd

De toestandsruimtebeschrijving maakt gebruik van de beschijving van een systeem in de vorm van differentiaalvergelijkingen. Echter hierbij wordt voor iedere variabele de afgeleide

geintroduceerd: x1(t) = x(t) az1(t) 1(r) x2(t) = x = at at &2(t) = t2(t) 3x(t) x3(t) at x4(t) àx3(t) = .3(t) a3x(t) at ai3

x1 worden de toestanden van het systeem genoemd.

De bovenstaande differentiaaj vergelijking komt er nu als volgt uit te zien:

y(t) = a0x1(t) +a1x2(t) +a2x3(t) +ax4(t) +.... +u(t)

y(t) =

ax1(t) +u(t)

De toestanden worden in een toestandsvector opgeslagen Dit voorbeeld geeft de meest elementaire vorm weer; de afgeleide van een willekeurige n toestand is gelijk aan de (n+1) toestand. Een meer algemene vorm wordt beschreven door de afgeleide van een willekeurige toestand een lineaire funktie te laten zijn van overige toestanden:

xn = a +a_{n(n-I) n-i}X

+ax+a

_{nn n n(n'-i) n-i}x

+ ax

_{nm m} =

Enkele van deze toestanden zullen hovendien een funktie zijn van ingangsvariabelen of zullen direkt de uitgangsvariabele bepalen. in het algemeen ontstaat dan een stelsel vergelijkingen, het toestandsruimte model. Voor een systeem met 3 toestanden, 2 ingangen en 2 uitgangen

geldt:

Ben verkorte notatie van deze matrixvergelijking is:

Ben dergelijk systeem wordt een multivariabel systeem genoemd omdat het meerdere

- 24 - IV Systeembeschrijvingen

= A,(t) + Bu(t) Y(t) = C,(t) + Du(t)

ingangen en uitgangen heeft. De matrix A beet de systeem matrix; matrix B is de control

matrix, matrix C de observatiematrix. Matrix D wordt vaak weggelaten. Deze matrix geeft aan

welke ingangen op het systeem kunnen worden waargenomen en zodoende tot uitdrukking komen in de uitgangsvector.

Veel gebruikte afkoringen orn systeem aan te duiden zijn:

SISO: Single Input, Single Output SIMO: Single Input, Multiple Outputs

MISO: Multiple Inputs, Single Output

MIMO: Multiple Inputs, Multiple Outputs

b. Discrete tijd

Op dezelfde wijze als voor het continue tijd systeem kan voor bet discrete tijd systeem een toestandvergelijking worden opgesteld. De verkorte notatie van de matnxvergelijking wordt:

x(n+1) = Ax(n) + BZ4Qz) y(n) = C«n) + DM(n)

C. Gmfieken

Bode diagrammen

Een Bode diagram is een gra.fiek die bestaat uit twee delen: de amplitude en fase karakteristiek. In deze grafieken (boyen elkaar) worden de amplitude (modulus) en de fase (argument) van de

frekwentie responsie gegeven als funktie van o, Bedenk dat deze grootheden een funktie zijn van de complexe variable j.

De frekwentie staat langs de horizontale as en wordt logaritmisch uitgezet. De fase staat in de onderste figuur op een lineaire schaal langs de vertikale as..

De amplitude staat in de bovenste figuur (meestal) logaritmisch uitgezet langs de vertikale as. We hebben gezien dat voor een lineair systeem geldt dat een sinusvormig ingangssignaal een sinusvormig uitgangssignaal levert met dezelfde frekwentie. M.b.v. een Bode diagram eenvoudig voorspeld worden hoe groot de amplitude verhouding en fase verdraaing za! zijn van dit uitgangssignaal t.o.v. bet ingangssignaal bij een bepaalde frekwentie.

Voor veel toepassingen is het gewenst dat bet uitgangssigrial een kleine amplitude heeft bij hoge frekwenties. Het signaal wordt dan eerst gefilterd of bet systeem wordt zodanig veranderd dat de hoge frekwenties niet meer voorkomen in de frekwentieresponsie.

Nyquist diagrammen

In een Nyquist diagram wordt eveneens de frekwentieresponsie uitgezet maar nu in het complexe vlak. Er ontstaat een contour die de amplitude vector beschrijft als funktie van o.

Signals & Systems 4.10.1: 4.10.2

1V Systeembeschrijvingen

-Leidraad Systcemtheorie - w60 P.A. Wiermga Curriculum 1993 '94

X3

(Yi

Y2

=

a a12 a13

a21 a22 a23

ü3j _{a22 a33} [c11 c12 c13 [C21 Cj Cj1X2 (Xi X2 X3 / \ X1 + +1Idi1 [d21 b11 b12 b21 b b31 b32 d12]

dj

u1 u2 (u1 Uz

In deze figuur kan snel inzicht worden verkregen over de stabiliteit (Nyquist stabiliteits

kriterium).

Leidraad Systeemtheone - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 / '94

V. Standaard (deel-) systemen

In dit hoofdstuk worden een aantal elementaire, lineaire, tijdsonafhankelijke systemen behandeld die kunnen worden gebruikt orn samengestelde Systemen O te bouwen.

A. Proportioned systeem

i. Mathematische beschrijving

Een proportioneel systeem heeft een uitgangssignaai dat proportioneel is

met bet

ingangssignaal:

y(t) = Ku(t)

a. Voorbeelden

Het is vrijwel onmogelijk een systeem te vinden dat strikt een dergelijke eigenschap bezit. Echter orndat het hier een (eventueel denkbeeldig) deel-systeem kan betreffen wordt er in blokschema's veel gebruik van gemaakt.

Bovendien is men vaak geinteresseerd in een bepaald werkgebied (bijv. t.a.v. de frekwentie van bet ingangssignaal) en kan deze systeemeigenschap geldig zijn voor dat werkgebied. Een hefboom is een voorbeeld van een mechanisch, proportioneel systeem. De verplaatsing van bet ene uiteinde is proportioneel met de verplaatsing van het andere uiteinde.

Een operationele versterker, geschakeld zoals weergegeven in de fìguur is een voorbeeld van een electrisch proportioneel systeem.

Proportionele Systemen worden veelal in samengestelde systemen opgenomen orn

signaalomvormers te karakteriseren. Bijv. een meetinstrument dat de druk meet (kPa) geeft een electrisch spanningssignaal a.f

(V). De versterkingsfaktor K is dan niet strikt een

versterkings-faktor meer maar een omvormer en heeft in dit geval de eenheid V/kPa,

2. Impulsresponsie

De impuisresponsie van een proportioneel systeem is: u(t) = 6(t) y(t) = K6 (t) h(t) = Kò (t)

Bedenk dat:

h(t) * 6(t) = K 6(r) 6(r) = K 6(r)

De impuisresponsie van een proportioneel systeem is dus weer een dirac puis met opperviak K. Maak niet de fout door te zeggen dat de impuisresponsie gelijk

is aan K!

it

Imnuisresoonsie van een nr000rtioneel

Leidraad Svsteemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 i 94

3. Stapresponsie systeem

De stapresponsie kan worden verkregen door

integratie van de impuisresponsie met als begin conditie dat u(t) = O voor t < O, dus y(t) = O voor t < O.

We zullen hier echter gebruik maken van de convolutie integraal omdat de impuisresponsie bekend is:

-J

0,:< 0

o y(t) =

f

u(t K8 (tt)

t =

Ku(O =

K, t

O

ut

{?:t<0

o

Frequentie responsie en overdrachtsfunktie.

De Fouriergetransformeerde van de impuisresponsie is de frekwentieresponsie. Voor het proportionele systeem geidt dus:

=

f Kö(t)e-1't

= K

Dus in het frekwentie-domein levert dit een constante op, onaThankelijk van (D.

De overdrachtsfunktie is de Laplace getransformeerde van de impuisresponsie. Dit levert: i(s)

=

f K

ö(t)e t = K

Grafische representatie

Een blokschema en signaalstroom diagram zijn gegeven in de figuur. a. Blokschema

In de figuur is een blokschema voor het tijd-domein en s-domein (Laplace) weergegeven. Het blokschema voor het tij d-domein wordt meestai vereenvoudigd door de dirac puis weg te laten. In het s-domein is de

notatie iets eenvoudiger (zie hierna Frekwentie

response en overdrachtsfunktie).

b. Signaalstroom schema

Voor het zelfde systeem is een signaalstroom schema

weergegeven.

u(t)

U(s)

Kô(t)

K

y(t)

Y(s)

Blokschema van een proportioneel systeem. Het bovenste blok geeft de notatie voor het

tijd-domein. Het onderst blok geeft de notatie voor het s-domein.

u(t)

_K8(t)

y(t)

Ipr Q

Signaalstroom schema voor een proportioneel systeem

- 28 - V Standaard (dccl-) systemen

Leidraad Svsteemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993I 94

Bode diagram

De amplitude en fase zijn gelijk aan: IH(i)I = K

iH(j) = 00

De Bode diagrammen zijn gegeven in de figuur.

Nyquist diagram

systeem

Bode diagram van een proportioneel systeem

\ Stand'rd (deel-) systemen . 29

-K

O

Re

Nvauist diagram van een oroDortioneel

B. Integmtor

1. Mathematische beschrijving

De integrator als elementair systeem heeft als eigenschap dat het lngangsslgnRal wordt geintegreerd in de tijd. Voor praktische toepassingen geldt dat alleen vanaf een bepaald moment t0, wanneer het systeem bijvoorbeeld wordt aangeschakeld, wordt geintegreerd.

y(t)

= f u(t) at = f u(t) at +y(t0)

a. Voorbeelden van integratoren

Impuisresponsie Stapresponsie Frequentie responsie Grafische representatie a. Blokschema b. Signaalstroom schema

Impilsresponsie van een integrator

u(t)

U(s)

f

i

s

y(tO)

--- y(t)

Y(s)

u(t) y(tO) y(t)

-s

--< Y(s)

Leidraad Systeemtheor-ie - w60 P.A. Wierina Curriculum 1993 /94

- 30 - V Standaard (deel-) systemen

i

s

U(s) o

6. Bode diagram

Bode diagram van een integrator 7. Nyquist diagram

Nyquist diagram van een integrator

V Stand.aard (dee!-) systemen 31

-3

t

Re

C. Differentiator

Mathematische beschrijving

Impuisresponsie

Stapresponsie

4. Frequentie responsie en gra.fieken a. Bode diagram

o

t

Stapresponsie van een different.iator

Bode diagram van een differentiator

- 32 V Standa.ard (deel-) systemen

b. Nyquist diagram

b. Signaalstroom schema

V Standrd (dee!-) Systemen

Nyquist diagram van een differentiator

5. Grafische representatie a. Blokschema

U(s)

s

y(t)

Y(s)

u(t)

_at

a

y(t)

Leidraad Systeemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 /94

U(s)

_s

Y(s)

o

u(t)

_a

D. Systeem met looptijd

1. Mathematische beschrijving a. Voorbeelden van looptij den

Impulsresponsie

Stapresponsie

Frequentie responsie a. Bode diagram

Bode diagram van een systeem met looptijd

Lcidraad Systeemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 I 94

- 34 - V Standaard (dee!-) systemen

ra t -> 101 i02 lftd 2r/z lo 1' o

-5r

-36e â(t-t) o lo

b. Nyquist diagram

5. Grafische representatie

a. Blokschema

V Standaard (deel-) systemen

Nyquist diagram van een systeem met looptijd

u(t)

ô(t-t)

y(t)

OkRe

w

0 _d

Leidraad Systeemtheorie - w60 PA. Wieringa Curriculum 1993 194

U(s)

Y(s)

-ts

E. Eerste onle systeem

1. Mathematische beschrijving

a. Voorbeelden van eerste-orde systemen

Impuisresponsie

SignaLs & Systems 4.12.1

Impuls responsie van een eerste orde ssteem

1.0 o 2 .7 & 10

Impuls responsies van verschillende eerste

orde-systemen met oplopende tijdconstante

Stapresponsie

- 36 - V Standaard (deel-) systemen

4. Frequentie responsie en grafieken a. Bode diagram

b. Nyquist diagram

5 Grafische representatie a. Blokschema

V Standaard (deel-) systemen

loo

10.1

i02 o

Bode diagram voor een eertste orde systeem

met verschilleride tijdconstante

H

U(s) + y(tO) y(t) Y(s) U(s) S +1

Leidraad Svsteerntheot-ie - w60 P.A. Wieringa Curricu1um 1993 / '94

lo

'u

Re _i.o

\JO

\

F. Eerste onle systeem met Iooptijd

1. Mathematische beschrijving

a. Voorbeelden van eerste-orde systemen met looptijd 2. Impuisresponsie 3. Stapresponsie 4. Frequentie responsie Bode diagram Nyquist diagram 5. Grafische representatie a. Blokschema 6. Bode diagram 7. Nyquist diagram

- 38 - V Standaard (deel-) systemen

G. Tweede orde systeem

1. Mathematische beschrijving

Gekoppelde eerste-orde systemen

Massa-veer systeem

2. Impul sresponsie

3. Frequentie responsie a. Bode diagram

Signals & Systems

4.12.2

Bode diagram van een tweede orde systeem

met versehillende dempingsfactor

V Standaard (dee!-) Systemen 39

b. Nyquist diagram 4. Grafische representatie a. Blokschema

H. Multivariabel systeem

L Mathematische beschrijving a. Gekoppelde integratoren Impuisresponsie Stapresponsie Frequentie responsie Grafische representatie Bode diagram Nyquist diagram

\7

\

\_Q

_Re

4í7\

w

\\\

Nyquist diagam voor een tweede orde systeem met versehillende dempingsfactor

-A U(s)

f

x2(t0) y(t) Y(s) s+1 s+1i

- 40 - V Standaard (deel-) Systemen

VI. Speciale bewerkingen van signalen

A. Filteren

B. Bemonsteren

Signals & Systems

8.1.0: 8.1.1: 8.2.0: 8.3.0:

Signals & Systems 6.2.0; (p. 407 ->) 6.3.0: 6.3.1: 6.3.2

VI Speciale bewerkingen van signalen ₄₁

VII. Lineaiit terug- of voorwaartsgekoppelde systemen

Het terugkoppelen van eenvoudige systemen. De gevolgen voor de amplitude en fase.

Nyquist stabiliteitscnterium

Signais & Systems 11.0.0; 11.1.0: 11.2.0: 11.2.1;

Signals & Systems 11.4.0; 11.4.1: 11.4.2

- 42 - VII Lineaire terug- of voorwaartsgekoppelde Systemen

Vifi. Appendices

Appendix

A. Lineatisatie

De inganssignalen van een (deel-) systeem werken vaak in een beperkt gebied. Als gevoig daarvan zijn ook de uitgangssignalen gebonden. We noemen deze gebieden de werkgebieden. De relatie tussen de ingangssignalen en uitgangssignalen voor het werkgebied zijn in de praktijk zelden lineair. Echter bij benadering kan wel een lineaire relatie worden aangenomen. Deze relatie hoeft dan niet voor het gehele werkgebied te gelden maar voor een klein gebied rondom een te kiezen werkpunt.

Het vinden van de lineaire relatie rond een te definieren werkpunt wordt linearisatie genoemd. Het lineariseren begint met het kiezen van een werkpunt. Dit is veelal de gemiddelde waarde van het ingangssignaal waarvoor het uitgangssignaal bekend is. Dus bet werkpunt bestaat uit een ingangssignaal u0 met daarbij behorend uitgangssignaal y0

Het ingangssignaal varieert dus rondom de waarde u0 en kan geschreven worden als

u(t)

u0u(t)

Het uitgangssignaal varieert rondom y0 en kan geschreven worden als:

y(t) y0 +y(t)

Voor kleine variaties rondom bet werkpunt geldt zelfs:

y(t) =

y0 y(t)

ay(t)

y0+

(u-un)

au(t) l =

Na introductie van twee nieuwe variable y*(t) en u*(t) levert dit: y(t) -y0 &y(t) (u

-äu(t) "° y(t) = K(uu*(t)

Hierbij is de constante K dus de afgeleide van y(t) naar u(t) in het werkpunt y0(u0).

Voor deze relatie gelden nu de eisen t.a.v. de definitie van een lineair systeem (ga dit na). Wanneer een ander werkpunt gekozen wordt verandert dus ook weer de consante K.

Appendix VIII.A Lineairisatie 43

Appendix

B. Complexe vanabelen

Wairom complexe variabelen.

(Zie ook Hoofdstuk 2: Analyse, Almering e.a.)

De introductie van de complexe variabele roept bij veci studenten problemen op. Het is echter niets anders dan een handig hulpmiddel orn mathematische berekeningen te kunnen uitvoeren op variabelen en getallen die geen reele betekenis hebben; d.w.z. geen atheelding in de getallen ruirnte van de reele getallen. Het blijkt dat door opeenvolgende operaties nieuwe getallen kunnen ontstaan die weer wel een reel gedeelte hebben.

Een complexe variabele wordt nu gedefinieerd door de som van een reel deel 'a' en een imaginair deel 'b': z = a + i b waarbij i2 = -1

(in plaats van 'i' wordt ook vaak een 'j' gebruikt)

Wanneer b nu gelijk is aan 'O' ontstaat een reele variabele. In het vervolg zullen we een recle variabele als een bijzondere complexe variabele behandelen.

Het recle dccl van de complexe variabele 'z' en het imaginaire dccl zullen in de berekeningen afzonderlijk worden behandeld.

Elementaire rekenregels (Zie § 2.1.3 Analyse) Std:

z1 =a1 +jb1 dri 12 =a2 +i]b2

De complexe geconjugeerde van deze variabelen zijn gedefinieerd door:

en

=a2-ib2

Optelling:

z3 = z1 _{+ 12} = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + + i (b1 + b2) = + ib3

=a2-ib3=(a1+a2)-i(b1+b2)= a1-ib1a2-ib2=+

Vermenigvuldiging

z3 = _{z1 12} = (a1 + ib1) (a + ib2) = (a1a2 + _i21b2) + i(a1b2 + a2b1)

= (a1a2 - b1b2) + i(a1 b2 a2b1) = a3 + ib3

2 2

= a1 - b1 + i 2a1b1

-

2 2

z1 z1 = a1 + b1

LeidraadSvsteemtheorie -w60 PA. Wieringa Cumeulum 1993 / 94

c) Deling

z1 (a + ib1) (a1 + ib1) (a2 - ib2)

Het reele en complexe dee! van een complexe variabele kunnen ook jeder langs een as van een orthogonaal stelsel worden

uitgezet. Zo ontstaat een grafische

voorstelling van de compexe variabele. De vector die in dit complexe vlak ontstaat heeft een amplitude (lengte) en een hoek

t.o.v. de reele as (gebruikelijk de horizontale

as).

De modulus van een compexe variabele is nu:

mod (z) z H = Ia2 + b2

het argument (de fase hoek) is ge!ijk aan: arg (z) = ¿ z = arctg (b/a)

12 (a2 + ib2) (a2 + ib2) (a2 - ib2)

(a1a2 + b1b2) _-4-j (-ab2 + b1a2) (a1 + ib1) (a'a., + bb_) (-a2b2 + b1a2)

2 2 2

( + b2) (a2 + b:) (a2 + ib2) (a: + b:) (a _{+ b:)}

'i L

i L'

3. Grafische representatie (Bode en Nyquist diagram)

Im

Re

z

a

In de Figuur is de representatie van de complexe variable te zien in bet complexe viak. In de signaaltheorie wordt i.p.v. over de modulus gesproken over de amplitude.

In dit college zien we dat de overdrachtsfunktie van een dynamisch systeem een complexe funktie is; d.w.z. bet reele en imaginaire dee! zijn een funktie van de frekwentie (en dus ook de amplitude en de fase hoek). Door deze funktie in bet complexe v!ak te tekenen ontstaat een baan. Op deze manier wordt bet Nyquist diagram geconstrueerd (zie bet hoofdstuk:

Systeembeschrij vingen).

0m bij dynamische Systemen de aThankelijkheid van de frekwentie van de amplitude en de fase boek duidelijk te maken worden deze apart uitgezet. Zodoende wordt een Bode diagram verkregen (de frekwentie en de amplitiude staan logaritsmisch uitgezet).

4. Euler's relatie (Zie Analyse: § 2.8)

Een bijzondere funktie van een complexe variabele is de funktie: e

Voor de amplitude geldt: H ez = en

voor het argument geldt: arg ( eL) = Im (z) +k 2it, met k geheel getal (..-2, -1, 0, 1, 2, _). De functie kan ook geschreven worden als (stel z + i t):

eZ = e = e4' [cos(t) + i sth(t)] Bijzondere relaties zijn de zgn. Euler's relaties:

Appendix VIII.B Complexe variabelen ₄₅

-Leidraad Systeemtheorie - w60 P.A. Wieringa Curriculum 1993 / 94