Refleksje na temat matematyki i jej nauczania

Zdzisław Spychała

Refleksje na temat matematyki i jej

nauczania

Rocznik Wieluński 5, 237-241

Tom 5 (2005)

Zdzisław Spychała

Akadem ia im. Jana D ługosza w Częstochowie

REFLEKSJE NA TEMAT MATEMATYKI I JEJ NAUCZANIA

Szlachcic nie m a praw a ożenić się bez znajom ości matematyki. Z u kazu cara P io tra I W ielk ieg o L u d zie od zaw sze upraw iali m atem aty k ę; w yciągali w nioski z nagrom adzonej w iedzy, zajm ow ali się rozw iązyw an iem problem ów , dokonyw ali pom iarów . A le ta k n ap ra w d ę do p iero starożytni G recy z m atem aty k i u czy n ili d y sc y p lin ę n a­ ukow ą. Już P itagorejczycy w V p.n.e. zauw ażyli, że Wszystko je s t liczbą.

K ied y urodzi się człow iek, dostaje m etry k ę z w p isa n ą w niej d a tą urodzenia. W w iek u 18-lat w rę c z ą m u d ow ód osobisty, w którym w id n ieje P E S E L , będący u n ikaln y m n um erem id en tyfik acy jn y m składającym się z 11 cyfr. N ied łu g o po ­ tem U rząd Skarbow y p rzy p isze m u n u m er identyfikacji podatkow ej tzw. NIP. A kiedy kupi sobie telefo n i założy k on to w ban k u otrzy m a P IN i 26 cyfrow y n u m er identyfikacyjny konta. C złow ieka m o żn a doskonale scharakteryzow ać przy p o m ocy ciąg u liczb. P rzy p o m o cy liczb m o żn a tak ż e zak o d o w ać k a ż d ą literę alfabetu, głos, najm n iejszy p u n k t n a ekranie m o n ito ra tzw. piksel. D zisiaj w p o ­ w szech n y m u ży ciu są cyfrow e aparaty fo to graficzne i kam ery a p latform y cy ­ frow e p rze śc ig a ją się w stosow aniu coraz to n o w szych technologii. W ypow iedź P itagorejczyków , sprow ad zan a czasem do h asła Liczby rządzą światem je s t w ięc obecnie w pełni uzasadniona.

Poniew aż, sesja m a ch arak ter św iąteczny i now oroczny, d zisiejsze spotkanie ro zp o częliśm y m u z y k ą i zako ń czy m y m uzyką. M u z y k a b y ła dla P ita g o re jc z y ­ kó w sp ecjaln o ścią m atem atyczną. W yłonili oni w m atem atyce cztery działy:

aryt-238 Refleksje na temat matematyki... m etykę, m uzykę, g eom etrię i astronom ię. W każdej z w y m ien io n y ch tu specjal­ ności G recy m ieli znaczące o siąg n ięcia.N a szczeg ó ln ą uw ag ę za słu g u ją przede w szystkim osiągnięcia z geom etrii.

Geometria pociąga duszę ku praw dzie - m ów iono w G recji. N a d drzw iam i A kadem ii P lato n a w id niał napis: Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geom e­ trii. O koło 300 r. p.n.e., pojaw iły się n apisane przez E uklidesa Elementy, dzieło które zrew o lu cjonizow ało poglądy nie ty lk o n a geom etrię, a w ilości w y d a ń u stę ­ p ow ało chyb a ty lk o B iblii. Elem enty przetłum aczył n a ję z y k polski w 1807 roku Jan C zech, d yrek tor gim n azju m n a W ołyniu. W przedm ow ie do p ierw szeg o w i­ leńskiego w y d an ia napisał: Żadna z um iejętności ludzkich nie może do rozwinię­ cia rozumu tak szczęśliwie i skutecznie p o m ó c,ja k geom etrya początków a wzięta w tej prostocie porządku i ścisłości, ja k nam ze starożytnych mędrców zeb ra li uło­ żył Euklides.

N a czym p o leg a fen o m en dzieła, k tóra przez praw ie dw a ty siące lat b y ło w z o ­ rem ścisłości dla au to ró w p o d ręc z n ik ó w do geo m etrii? C óż to za k siążka, na której u czyły się lo giczn ego ro zu m o w an ia całe pokolenia?

N a początku Elementów E uklides podał zestaw aksjom atów czyli prostych i in­ tuicyjnie oczyw istych stw ierdzeń, a następnie na bazie praw logiki A rystotelesa w ydedukow ał w szystkie znane G rekom tw ierdzenia geom etrii. Taki sposób ujęcia m ateriału nazyw a się w m atem atyce dedukcją globalną. W tym ujęciu „ zdanie praw ­ dziw e” niekoniecznie oznacza zdan ie zgodne z o biek ty w n ą rzeczyw istością, ale takie, które je s t w yw iedlne z wcześniej przyjętych przesłanek zw anych aksjom a­ tam i i które nie z ap rzecza żadnem u inn em u zdaniu rozw ijanej teorii.

N ie k tó rz y m ate m a ty cy IX w ie k u - W ę g ie r Jo n o s B o ly ai, R o sja n in N ikołaj Iw ano w icz Ł obaczew ski, N ie m c y - C arl F ried rich G auss oraz G orge F ried rich R iem an n - zaczęli w ątp ić w o czy w isto ść i in tuicyjność ak sjo m ató w E uklidesa. S zczeg ó ln ą uw ag ę zw rócili n a p o stu lat V, k tóry w Elem entach został sform u ło­ w any w n astępujący sposób:

Przez punkt leżący poza prostą przechodzi dokładnie jed n a prosta równoległa do danej prostej.

N ikołaj Ł obaczew ski zastąp ił ten p o stu la t następujący m pew nikiem :

Przez punkt leżący poza prostą przechodzi nieskończenie wiele prostych rów­ noległych do danej prostej i zbudow ał geom etrię, zw aną geom etrią hiperboliczną, która je s t rów nież niesprzeczna.

G orge R iem ann zastąpił V p o stu lat E u k lid esa aksjom atem :

Przez punkt leżący poza prostą nie przechodzi żadna prosta równoległa do danej prostej.

W rez u lta c ie z b u d o w a ł teo rię, z w a n ą g e o m e trią sfery czn ą, k tó ra tak ż e je s t n iesp rzeczn a. O b y d w ie te o rie m a ją b a rd z o p ięk n e in terp retacje ale z uw agi n a

og ran iczo n y czas w y k ła d u n ie b ę d ę ich o p isy w ał. U św ia d o m io n o so b ie w ó w ­ czas, że o p rócz g eom etrii E u k lid e sa istn ie ją je sz c z e inne g eom etrie, k tó re rów nie dobrze, a naw et lepiej, o p isu ją rzeczy w isto ść m ak ro k o sm o su i m ikrokosm osu.

N a p rze ło m ie X IX i X X w ie k u D a w id H ilb e rt - u czo n y n iem ie c k i - d o szedł do w n io sk u , ż e Elem enty E u k lid e sa z a w ie ra ją cały szereg lu k lo g ic z n y ch a w ię c w c a le nie s ą d o b ry m p rz y k ła d e m ścisło ści i p rec y z ji ro zu m o w an ia. W 1900 ro k u w y d a ł Podstaw y geom etrii g d z ie p o k a z a ł ja k p o w in n a w y g lą d a ć g lo b a ln a d e­ d u k c ja w o d n iesie n iu d o g eo m etrii elem en tarn ej. N a p o c z ątk u X X w ie k u a u to ­ rzy p o d rę c z n ik ó w k o n stru o w a li g e o m e trię sz k o ln ą j u ż n a ak sjo m a ty c e E u k li- desa-H ilb erta. Z a p e w n e w ie lu z P a ń s tw a u c z y ło się g e o m e trii w szk o le śre d ­ niej z p o d rę c z n ik ó w Z y d le ra , Ł o m n ic k ie g o , W o jto w ic za , S tra sz e w icz a , K u l­ c z y ck ie g o b ą d ź Iw aszk iew icza. A u to rzy p o d rę c z n ik ó w m ieli n a d z ie ję , że u d a im się p rzed staw ić g e o m e trię sz k o ln ą w sp o só b g lo b aln ie dedukcyjny. N ie s te ­ ty, w sz y stk ie te p o d ręc z n ik i by ły o b arc z o n e p e w n y m i m an k a m en ta m i lo g ic z ­ nym i. N ie d a się b o w ie m p rze n ieść w p ro st ak sjo m aty k i H ilb e rta n a g ru n t sz k o l­ ny b ez je j m o d y fik a cji g d y ż je s t z b y t sfo rm alizo w an a i ty m sa m y m n ied o stę p n a d la u c z n ió w w w ie k u 12-17 lat.

U d a n ą pró b ę n a p isa n ia p o d rę c z n ik a d la liceu m , p o p raw n e g o p o d w z g lę d e m ścisłości, p o d ję ła Z o fia K ry g o w sk a w ia ta c h 60. m in io n eg o stulecia. L a ta 70. były w P o lsce ok resem w p ro w a d z a n ia refo rm y m atem aty k i ró w n ież n a p o z io ­ m ie n a u c za n ia początk o w eg o . P io n ie ra m i ty c h z m ia n byli H e n ry k M o ro z i Z b i­ g n ie w Sem adeni. Z a b ieg i n au czy cieli tam te g o okresu, z m ie rz a ją c e w k ieru n k u p rec y z y jn e g o w y ra ż a n ia m yśli p rze z u czniów , p ro w a d z iły n iek ie d y do z a b a w ­ n y c h sytuacji. O to je d n a z nich:

P an i o tw iera p o d ręc z n ik n a stro nie n a której n a ry so w an y je s t k o t i pyta: - C o w id z im y n a tej stronie?

- K o ta - o d p o w ia d a ją dzieci.

- To nie je s t kot, to je s t ry su n e k kota. T rzeb a o d p o w iad ać p recy zy jn ie. - A co p rze d staw ia te n rysu n ek ?

- M y sz - k rz y c z ą dzieci.

- W c ale nie m ysz, to je s t ry su n e k m y szy - m ó w i z d e n e rw o w a n a n a u c zy c iel­ k a i p y ta dalej :

- A co w id z ic ie n a następnej stronie?

- R y su n e k k o ta z ja d a ry su n e k m y szy - o d p o w ia d a ją te ra z dzieci.

W latach 80. w y c o fa n o się z m o d ern izacji p ro g ra m u n a u c z a n ia m atem aty k i z a ró w n o w szk o le p o d sta w o w e j, g d z ie u su n ię to d e fin ity w n ie zbio ry, j a k i w szk ole śred niej, gd zie z re z y g n o w a n o z g lo b aln ie d e d u k c y jn e g o u jm o w a n ia m a ­ te ria łu g eom etrii. Ja k zw y k le w ta k ic h o k o lic z n o ścia ch w y la n o d z ie c k o z k ą

-240 Refleksje na temat matematyki... p ielą; w y rz u c o n o z p ro g ra m ó w n ie ty lk o m ateriał z b y t a b strak cy jn y i n a d m ie r­ n ie sfo rm alizo w an y , ale ró w n ież tak i, k tó ry stw arzał w sp a n iałe m o żliw o ści ro z ­ w o ju w ła d z u m y sło w y c h ucznia. (...)

Z m ian y p ro g ra m o w e w n a u c za n iu m atem aty k i nie z a w sze z m ie rz a ją w e w ła ­ śc iw y m kierun ku . O to p rzy k ła d zad an ia, k tó re m o g ło się zn a le ź ć w p o d rę c z n i­ k u k lasy III szk oły po d staw o w ej w ró żn y c h o k resach m o d ern izacji n a u c za n ia m atem aty k i. P rz e ry so w a n ie sty lu je s t celo w e, cho d zi tu o u k a z an ie k ieru n k u z m ia n i ew o lu c ji ję z y k a m a te m a ty k i e lem en tarn ej d o m in u ją c e g o w p o s z c z e ­ g ó ln y ch o k resach nauczania.

1962.: D rw al sprzedał ciężarówkę tarcicy za sum ę 100 dolarów. Wiedząc, że koszt produkcji drewna w ynosił 4/5 je g o ceny, oblicz zysk drwala.

1972.: D rw al sprzedał ciężarówkę tarcicy za sum ę 100 dolarów. Wiedząc, że koszt produkcji drewna w ynosił 80 dolarów, oblicz zysk drwala.

1980.: D rw al dokonał w ym iany zbioru T tarcicy na zbiór P pieniędzy. M oc zbioru P w yniosła 100, p rzy czym każdy z je g o elem entów je s t w art 1 dolara. Zaznacz w kw adratow ej tabeli 100 punktów, aby przedstaw ić graficznie ele­ m enty zbioru P. Zbiór К kosztów produkcji zaw iera 20 elem entów m niej niż zbiór P. Przedstaw zbiór К ja ko podzbiór zbioru P i odpow iedz na pytanie: ja k a je s t m oc zbioru Z zysku drwala?

1992.: D rw al sprzedał ciężarówkę tarcicy za sum ę 100 dolarów. K oszt p ro ­ dukcji drewna w yniósł 80 dolarów a zysk drw ala 20 dolarów. Zakreśl liczbę 20. Co m yślisz o takim sposobie zarabiania na życie?

2002.: Ścinając stare, piękne i bezcenne drzewa, ekologicznie niezoriento­ w any drw al zarobił 20 dolarów. W podgrupach postarajcie się przygotow ać teatrzyk, ja k p o ścięciu drzew czują się leśne p ta szki i dzika zwierzyna.

2006.: Zeskanuj tekst zadania i w yślij pocztą e-m ail na adres: m enis@ po- m oc.pl. Poczekaj cierpliw ie na rozwiązanie eksperta.

N ie m a k ró le w sk ie j d ro g i do m a te m a ty k i - m ó w ił E u k lid e s. D la je d n y c h m a te m a ty k a je s t k o szm arem , k tó ry śni im się po nocach. N ie ro z u m ie ją sen su u c z e n ia się czeg o ś, co je s t a b stra k cy jn e i do n icz e g o n iep rzydatne. W y sta rcz ą im w ia d o m o śc i z e szk oły p o d staw o w ej, żeb y d o sk o n a le p ro sp e ro w a ć w e w sp ó ł­ c z esn y m św iecie. A le s ą te ż lu d zie, k tórzy p o g a rd z a ją c d z ik ą irra c jo n a ln o śc ią ż y c ia i w p ra w ia ją c ą w za k ło p o tan ie z ło ż o n o śc ią p ra w przy ro d y z n aleźli u m iło ­ w a n ie w liczb ach , którzy m ate m a ty k ę u czy nili p a s ją sw o jeg o życia.

C z y m je s t w ięc m atem aty k a? D y s c y p lin ą n au k o w ą? S z tu k ą ro zw ią z y w a n ia ła m ig łó w e k ? C zy m ś p o śre d n im m ięd zy d u ch em i m a te rią ja k m aw ia ł n a jw y ­

b itn iejsz y po lsk i m a te m a ty k S tefan B an ach ? A m oże sp o so b em bycia?

N ie c h w y p o w ie d ź B e rtra n d a R u s s e la - filo z o fa i m a te m a ty k a a n g ie lsk ie g o - b ę d z ie p o d su m o w a n ie m m o ic h refleksji.

M atem atyka zaw iera nie tylko praw dę, ale i ostateczne piękno - chłodne i su­ rowe, podobne do piękna rzeźby; nie odw ołuje się do żadnej słabości naszej n a tu ry ... m ajestatycznie czysta, o nieskańtelnej doskonałości, na ja k ą m oże się zdobyć tylko sztuka sięgająca najw yższych szczytów.

B ib lio g ra fia

1. S tefan K u lc z y ck i, Z dziejów m atem atyki greckiej, W arszaw a 1973.

2. Euklidesa początków jeo m etryi xiq g ośmioro, p rze k ład Jó z e fa C zech a, W il­ n o 1807.

3. D a w id H ilb ert, G rundlagen der G eom etrie, w yd. V II, L e ip zig -B e rlin 1930. 4. H .S .M . C oxeter, Wstęp do geom etrii daw nej i now ej, W arszaw a 1967. 5. Z. S p y ch ała, K oncepcje nauczania geom etrii w m ijającym stuleciu, „ M ate ­ m aty k a ” , 1998, n r 2.

6. Z. S p ychała, Ew olucja języka m atem atyki na etapie kształcenia zintegrow a­ nego, [w :] W spółczesne w yzw ania w obec edukacji elem en ta rn ej p o d red. W. S zlu fik a, T. B a n a sz k ie w ic z, A . P ę k a li, A k a d e m ia im . J. D łu g o s z a w C z ę sto ­ chow ie, 2004.