Doświadczenie Cavendisha –stała G

Doświadczenie Cavendisha – stała G

Henry Cavendish (1731-1810)

Brytyjski chemik i fizyk, członek Royal Society.

Studiował w kolegium Peterhouse na Uniwersytecie Cambridge, lecz opuścił uczelnię przed uzyskaniem dyplomu. Pochodził z arystokratycznej rodziny i odziedziczył znaczną fortunę, która umożliwiła mu prowadzenie badań. Założył własne laboratorium w Londynie. Większość jego prac nie została opublikowana za jego życia.

Osiągnięcia:

wydzielenie wodoru

wydzielenie dwutlenku węgla oznaczenie składu powietrza oznaczenie składu wody

oznaczenie składu kwasu azotowego

Prowadził liczne prace z dziedziny elektryczności np.

odkrył przed Coulombem i Ohmem prawo Coulomba i prawo Ohma, jednak swoich prac nie publikował i z tego względu pozostały przez wiele lat nieznane. Pierwszy w miarę dokładnie obliczył masę Ziemi. Użył do tego celu udoskonalonej przez siebie wagi skręceń, której twórcą był John Michell.

Doświadczenie Cavendisha – stała G

2 2

2 2 1

r LG mM

r G mM F

LF F

L















 ^{ }

 

 

2 2 2

mL

2

T  I 

2 2

2

2

MT G _  Lr 

Ziemi Ziemi

Ziemi Ziemi

Ziemi Ziemi

R G R g

G M g

R G mM

mg  

4

2

3

2

   





 



  

6.74 10^11 ₂² kg

m G N

(5,45 g/cm³)

F

12

d  ^r

¹²

 dV

1

dV

2



1



2

𝑑𝐹

₁₂

= 𝐺 𝜌

₁

𝜌

₂

𝑟

₁₂²

∙ 𝑟

₁₂

𝑟

₁₂

∙ 𝑑𝑉

₁

∙ 𝑑𝑉

₂

𝐹

₁₂

= 𝐺 න

𝑉₁

𝜌

₁

𝑑𝑉

₁

∙ න

𝑉₂

𝜌

₂

𝑟

₁₂²

∙ 𝑑𝑉

₂

∙ 𝑟

₁₂

𝑟

₁₂

𝐹 = 𝐺 Ԧ 𝑚

₂

𝑚

₁

𝑟

²

∙ Ԧ𝑟

Ԧ𝑟

Prawo powszechnego ciążenia:

Siła oddziaływania grawitacyjnego między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi

W XVII w. Izaak Newton odkrył prawo powszechnej grawitacji. Określa ono wielkość siły oddziaływania między dwoma, posiadającymi masy (m i M) oddalonymi od siebie o r .

Pojęcie gradientu U U

grad

F       



 















 

 k z

jr

iˆ r, ˆ1 , ˆ

 



 















 





sin

 

ˆ 1 1 ,

, ˆ ˆ

k r j r

i r



 















 

 k z

j y iˆ x, ˆ , ˆ



z z

r y

r x









 sin cos







 sin

cos sin

cos cos

z z

r y

r x







Natężenie pola grawitacyjnego

M

Ԧ

𝛾 = 𝐹 Ԧ 𝑚

Ԧ

𝛾 = −𝐺 𝑀 𝑟

²

Ƹ𝑟

𝑚 Ԧ 𝛾 = Ԧ 𝐹 𝑚 Ԧ 𝑔 = Ԧ 𝐹

Ԧ

𝑔 Ԧ𝑟 = Ԧ 𝛾 Ԧ𝑟

Energia potencjalna

Prawo grawitacji (siła grawitacji) - Newton 1665

Siły centralne

   

























r p

B

A p

p

r d F r

E

r W

A

r d F B

A W A

E B

E

 



 

) (

) (

) (

Z r

r

R h

r mgh m G M

r d r r

m G M

r d F U

m F

r r F k kg

m G N

r r m G M

F







 



 

 









 



 



  











^







 

 





ˆ

ˆ , 10

670 . ˆ 6

2

2 2

2 11

2



Potencjał pola grawitacyjnego

Potencjał - praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktu materialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola do nieskończoności 

energia potencjalna masy jednostkowej.

Powierzchnie ekwipotencjalne

  r

r GM

V  

Potencjał pola grawitacyjnego

  r r GM

V  

Wektor natężenia pola grawitacyjnego jest prostopadły do powierzchni

ekwipotencjalnej i jest skierowany od powierzchni o potencjale wyższym do

powierzchni o potencjale niższym.

Pole grawitacyjne na zewnątrz kuli (I)

Kulę możemy podzielić na nieskończenie wiele cienkich koncentrycznych powłok

Postaramy się wykazać że oddziaływanie grawitacyjne masy punktowej m z taką powłoką można zredukować do oddziaływania masy punktowej m z masą punkową leżącą w środku masy powłoki (o odpowiedniej masie).

Rozpatrzmy oddziaływanie między elementami masy powłoki a masą m: 𝑑𝐹 = 𝐺^{𝑚∙𝑑𝑀}_𝑠2 .

Ze względu na symetrię problemu widzimy, że składowe pionowe wektora 𝑑𝐹 zniosą się i pozostanie tylko oddziaływanie w kierunku r:

𝑑𝐹_𝑟 = 𝐺^{𝑚∙𝑑𝑀}

𝑠² 𝑐𝑜𝑠𝜑 Całkowitą siłę otrzymamy całkując m: 𝐹_𝑟 = 𝐺𝑚 ׬^𝑑𝑀

𝑠² 𝑐𝑜𝑠𝜑.

Musimy powiązać ze sobą: dM, s, r, fi i theta…

Powierzchnia pasa między 𝜃 𝑖 𝑑𝜃: 2𝜋𝑅²𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃, zaś powierzchnia całej powłoki: a jej masa M.

Otrzymujemy: d𝑀 = ^2𝜋𝑅_4𝜋𝑅^{2𝑠𝑖𝑛𝜃}₂ 𝑀𝑑𝜃 oraz 𝐹_𝑟 =^𝐺𝑀𝑚

2 ׬^{𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑}_𝑠2 𝑑𝜃.

Z twierdzenia kosinusów: 𝑅² = 𝑟²+ 𝑠² − 2𝑟𝑠𝑐𝑜𝑠𝜑 oraz 𝑠² = 𝑟²+ 𝑅²− 2𝑟𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 Drugie z powyższych różniczkujemy stronami: 𝑠𝑑𝑠 = 𝑟𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃

Granice całkowania: 𝜃: 0 → 𝜋

𝜑: 0 → 𝜑_{𝑚𝑎𝑘𝑠} → 0 𝑠: 𝑟 − 𝑅 → 𝑟 + 𝑅

Pole grawitacyjne na zewnątrz kuli (II)

𝜃: 0 → 𝜋 𝜑: 0 → 𝜑_{𝑚𝑎𝑘𝑠}→ 0 𝑠: 𝑟 − 𝑅 → 𝑟 + 𝑅

𝐹_𝑟 = 𝐺𝑚 න𝑑𝑀

𝑠² 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝐺𝑀𝑚

2 න𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠² 𝑑𝜃 =

𝑠𝑑𝑠 = 𝑟𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜑 =𝑟²+ 𝑠²− 𝑅²

2𝑟𝑠

= 𝐺𝑀𝑚

2 න

𝑟−𝑅 𝑟+𝑅

1 +𝑟²− 𝑅² 𝑠²

𝐹_𝑟 =𝐺𝑀𝑚

2 𝑠 −𝑟²− 𝑅² ቤ 𝑠

𝑟 + 𝑅

𝑟 − 𝑅 = 𝐺𝑚𝑀 𝑟²

Powtarzając powyższe dla nieskończonej ilości powłok o promieniu od 0 do R otrzymamy, że:

Oddziaływanie między kulą o masie M a masą punktową m odległą od niej o r można

traktować jak oddziaływanie między dwoma masami punktowymi m i M odległymi o r .

1. Sfera ma masę m i jest jej grubość jest nieskończenie mała

2. Na dowolną masę punktową leżącą wewnątrz sfery działa siła proporcjonalna do masy (wielkości) powierzchni i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości masy punktowej od tej powierzchni: 𝐹

₁₍₂₎

~

^𝐴1(2)

𝑑₁₍₂₎²

3. Z rozważań geometrycznych wynika, że:

^𝐴_𝐴¹

2

=

^𝑑12

𝑑₂²

4. Z obu powyższych widać, że:

^𝐹_𝐹¹

2

=

^𝐴1

𝐴₂ 𝑑₂² 𝑑₁²

= 1

Pole grawitacyjne wewnątrz sfery

5. Wynika stąd, że wkłady od A

₁

i A

₂

znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą powierzchnię sferyczną i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Pole wewnątrz sfery o dowolnej grubości też jest zero, ponieważ można podzielić tą sferę na szereg cienkich warstw współśrodkowych.

Wewnątrz sfery siła

oddziaływania grawitacyjnego

jest równa zeru.

1. Kula ma masę M

2. Na dowolną masę punktową leżącą wewnątrz sfery działają siły pochodzące od zewnętrznej powłoki i od kuli znajdującej się między środkiem układu a aktualnym położeniem masy punktowej.

Pole grawitacyjne wewnątrz kuli

Wewnątrz sfery siła oddziaływania grawitacyjnego jest równa zeru.

Oddziaływanie między kulą o masie M a masą punktową m odległą od niej o r można traktować jak oddziaływanie między dwoma masami punktowymi m i M odległymi o r . 𝐹 = −𝐺 𝑚

𝑟²න

𝑀

𝑑𝑀 = −𝐺 𝑚 𝑟²න

0 𝑟 𝑀

4 3 𝜋𝑅³

4𝜋𝑥²𝑑𝑥 = −4

3𝐺𝑚𝜌𝜋 1

𝑟²∙ 𝑟³ = −4

3𝐺𝑚𝜌𝜋𝑟

Pole grawitacyjne kuli

𝐹 = −4

3𝐺𝑚𝜌𝜋𝑟 𝐹_𝑟 = 𝐺𝑚𝑀

𝑟²

Przyspieszenie dośrodkowe

Rb = 6357 km

R0 = 6378 km

r = R  cos  Fd = m w²r_

 R

G Ge

w

3

ˆ



_c

M g G r

r

Zgodnie z drugim prawem dynamiki siła działająca na element masy powinna mu nadawać przyśpieszenie, które nazywamy przyśpieszeniem ziemskim lub grawitacyjnym równe:

a jego wartość:

Ziemia wiruje wokół własnej osi z prędkością kątową ω=2π/T (gdzie T≈24 h). Czyli każdy jej element ulega swego rodzaju unoszeniu z taką właśnie prędkością i po torze w kształcie koła o promieniu wodzącym r

_φ

=R cosφ. Iloczyn wektorowy prędkości liniowej takiego elementu i prędkości kątowej jest przyspieszeniem dośrodkowym tzn.:



_c

M

2

g G r

(

_

)

w  v

_l

a

_d

 w w r

Siła dośrodkowa

 R G

Fo~–mw² R cos  F_s ~– F_osin ~–m Rsin2

 w2 2  F_n~– F _ocos ~ w–m ²Rcos²

Ge

w

m r_ Fd

G

Fo

-Ge

w

siła odśrodkowa

siła ciężkości

siła wyporu

m

r = R  cos  ~–

d

 

d

F m a

2 2



cos

 w  w 

F

d

m r m R

Siła dośrodkowa działająca na ten element:

Czyli jej wartość wynosi:

Ta siła ma wpływ na rzeczywistą wielkość i kierunek wypadkowej siły grawitacji G_e.

Biorąc pod uwagę siłę dośrodkową, a właściwie reakcję bezwładnej masy na tę siłę czyli siłę odśrodkową,

rzeczywistą wartość przyśpieszenia ziemskiego wyznaczoną dla nieruchomej Ziemi musimy poprawić o efekt jej

działania. Zakładając tylko minimalną zmianę kierunku wynikającą z bardzo dużej dysproporcji pomiędzy siłą dośrodkową i grawitacji tzn. mając na uwadze, że F_d<<G_e możemy napisać, że składowa normalna F_n:

2 2

n

cos

F  w m R 

a efektywne przyśpieszenie ziemskie:

2 2

  w cos 

g

e

g R

Masa zredukowana

m₁ 0

CM

r₁ r = r₁-r₂

R_CM m₂

r₂

r r m m G m dt

r r d

r m m G m dt

r d

const R

dt R d

m m

dt r m d dt

r m d R

dt R d m

m

r m r

R m

const dt

r m d dt

r m d

dt dt r m d

dt r m d

dt r m d

dt r m d

r r r r r

m G m

dt r m d

r r m G m

dt r m d

CM CM

CM CM CM

1 ˆ 1 ˆ

0 0

) (

ˆ ˆ

2 2 1 2

2 2 2 2

2 1 1

2 1 2

2 1

2 2 1

1

2 1

2 2 1

1

2 2 1

1

2 2 2 2 2

1 2 2 1

2 2 2 2

1 2 1

2 2 1

2 1 2

2 2 2 2

2 1 2

1 2 1













 

 

 

 









 



 



 

















 





















 

 







 









 



Masa zredukowana

 

 

 



 



 

 



 

 











 





 

 



 





 









2 1 1

2 1 1

2 1

2 1 2

1

2 2 1 2

2

2 1

2 1 1

2

2 2 1 1

2 2

2 2

2 1 2

2 2 1 2

2 2 2 2

2 1 1

2 1 2

1 1

1 ˆ

1 1

1

1 ˆ 1

) ˆ (

ˆ 1 1

m m m

m m m

m m

m m m

m

r r m m G dt

r d

m m

m m m

m

r r m m G m

m dt

r d dt

r r d

r r m m G m dt

r r d

r m m G m dt

r d





 













m₁ 0

CM

r₁ r = r₁-r₂

R_CM

m₂

r₂

Dla atomu wodoru: 



 

  

 



 



 

 







 



 

 1836

1 1 1 1836

1

_e

e e e

p e

e

m

m m m

m m m



Ruch pod wpływem sił centralnych

Moment siły centralnej równy zeru: M   r   F   0

 0 dt  M

L

d  

Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

wynika, że moment pędu jest stały: L   const

Ruch pod wpływem sił centralnych

Pod wpływem siły centralnej ciała poruszają się po tzw. krzywych stożkowych:

elipsie, paraboli lub hiperboli.

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

r,

 - współrzędne punktu;

p – parametr kąta rozwarcia

e – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:

0<e<1 – elipsa

e=0 – okrąg, szczególny przypadek elipsy;

e=1 – parabola;

e>1 – hiperbola.

 cos 1 e r p

 

Prawa Keplera (I)

1. Planety poruszają się po torach eliptycznych. Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

2. Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola (prędkość polowa jest stała).

3. Stosunek kwadratów czasów obiegu planet wokół Słońca równy jest

stosunkowi trzecich potęg dużych półosi.

Prawa Keplera (II)

1. Planety poruszają się po torach eliptycznych. Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

Słońce

Prawa Keplera (II)

- pole trójkąta

S d 

- prędkość polowa

r d 

r 

2. Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola

(prędkość polowa jest stała).

Prawa Keplera (IV)

3. Stosunek kwadratów czasów obiegu planet wokół Słońca równy jest stosunkowi trzecich potęg dużych półosi.

Ruch planety wokół Słońca odbywa się pod wpływem siły dośrodkowej, którą stanowi siła ich wzajemnego przyciągania grawitacyjnego:

Zapisując dla tego układu drugą zasadę dynamiki Newtona dostaniemy:

Przyspieszenie dośrodkowe a z jakim porusza się planeta wynosi:

Pierwsza prędkość kosmiczna

Siła przyciągania grawitacyjnego jest równoważona przez

siłę odśrodkową:

Pierwsza prędkość kosmiczna

Pierwszą prędkością kosmiczną nazywamy najmniejszą możliwą prędkość jaką musi

mieć punkt materialny krążący wokół Ziemi na orbicie bliskiej promieniowi Ziemi.

Druga prędkość kosmiczna

r v  ₁ GM

Druga prędkość kosmiczna - najmniejszą prędkość, która umożliwia punktowi materialnego pokonanie siły grawitacji ziemskiej i

oddalenie się w przestrzeń kosmiczną.

Trzecia prędkość kosmiczna

Trzecia prędkość kosmiczna - najmniejszą prędkość, która umożliwia punktowi materialnego pokonanie siły grawitacji Słońca i opuszczenie układu słonecznego.

R v 2 GM ^S

3 

gdzie M

_S

– masa Słońca, R – odległość od Słońca

Niezależne potwierdzenie dużych mas gromad galaktyk uzyskuje się dzięki zjawisku soczewkowania grawitacyjnego, tj. ugięcia promieni świetlnych przez pole grawitacyjne. Ze względu na duże masy gromad, efekt ten jest stosunkowo łatwo i często obserwowany.

Jednocześnie, wskutek ogniskowania wiązki światła wzmocnieniu ulega obserwowana jasność bardzo odległych galaktyk i kwazarów.

Soczewkowanie grawitacyjne

Gromada galaktyk A2218 zniekształca obrazy odległych galaktyk. Na pierwszym planie widać jasne galaktyki z gromady; cienkie świetliste łuki są wydłużonymi i zakrzywionymi koncentrycznie wokół środka masy obrazami galaktyk tła. Rozmieszczenie i kształt łuków pozwalają

wyznaczyć rozkład masy tej gromady. Fot. HST/NASA.

Zaginanie promieni świetlnych galaktyki spiralnej przez pole grawitacyjne gromady galaktyk Cl0024+1654. Znajdujące się na pierwszym planie żółtawe galaktyki gromady uginają promienie świetlne niebieskiej galaktyki spiralnej. W wyniku tego powstało pięć oddzielnych obrazów tej galaktyki: jeden blisko środka zdjęcia, a pozostałe cztery - rozmieszczone w przybliżeniu wzdłuż okręgu "na godzinach" 4, 8, 9 i 10. Gromada Cl0024+1654 znajduje się w gwiazdozbiorze Ryb, w odległości około 1500 megaparseków (Mpc); galaktyka spiralna - mniej więcej dwa razy dalej.

Fot. HST/NASA.

Soczewkowanie grawitacyjne

detektory należące do LIGO (Laserowe Interferometryczne

Obserwatorium Fal Grawitacyjnych) – w Livingstone (Luizjana) i w

Hanford (Waszyngton) oraz detektor Advanced Virgo, znajdujący

się w Europejskim Obserwatorium Grawitacyjnym (EGO) w

Cascinie we Włoszech.

z tego samego źródła.

• 11 godzin później po raz pierwszy dostrzeżono światło widzialne w obserwowanym obszarze galaktyki NGC 4993, zlokalizowanej w odległości około 130 milionów lat świetlnych od Ziemi w kierunku konstelacji Hydra.

• Po połączeniu dwóch gwiazd neutronowych, nastąpił silny rozbłysk radioaktywnych ciężkich pierwiastków. Opuściły kilonową z prędkością jednej piątej prędkości światła. Widma zebrane w ramach ePESSTO i za pomocą instrumentu X-shooter na VLT wskazują na emisje cezu i telluru.

• W ciągu zaledwie kilku dni barwa gwiazdy zmieniła się z niebieskiej na czerwoną (pierwszy raz zarejestrowano ta szybko przebiegający proces).

• Sskład chemiczny wytworzonego materiału: około 6 proc. masy kilonowej stanowią ciężkie pierwiastki.

Ilość samego złota jest 200 razy większa niż masa Ziemi, a platyny – prawie 500.