Sieci przepływowe: algorytmy i ich zastosowania.  P11-PawełChitruszko

Sieci przepływowe:

algorytmy i ich zastosowania.

Sieć przepływowa

Przez sieć przepływową (ang. flow network) będziemy rozumieli spójny graf skierowany G=(V,E) (ang. connected directed graph lub conected digraph), w którego krawędziach odbywa się przepływ (ang. flow) jakiegoś czynnika. W sieci przepływowej wyróżnia się jeden wierzchołek s, z którego wychodzą przepływy - jest to tzw. źródło (ang. source), oraz jeden wierzchołek t, do którego zbiegają się przepływy - jest to tzw. ujście (ang. sink).

Przepustowość

Z każdą krawędzią grafu (w terminologii sieci przepływowych krawędzie nazywamy kanałami - ang. chanels) skojarzony jest parametr określający tzw. przepustowość (ang.capacity), która oznacza maksymalną ilość czynnika mogącego przez tę krawędź przepływać. Przepustowość jest nieujemną funkcją rzeczywistą oznaczaną zwykle przez c(u,v), gdzie u i v V. Jeśli wierzchołki u i v są połączone kanałem, czyli (u,v) E, to

∈ ∈

przepustowość tego kanału spełnia warunek c(u,v) ≥ 0. Jeśli wierzchołki u i v nie są połączone kanałem, czyli(u,v) E, to c(u,v) = 0.∉

Zastosowanie

Sieci przepływowanie mają zastosowanie m.in. w algorytmach:

•

•

•

Algorytm Forda-Fulkersona

Metoda Forda-Fulkersona jest stosowana do znajdowania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Stanowi podstawę wielu algorytmów, między innymi algorytmu Edmondsa-Karpa czy algorytmu Dinica. Zasadę jej działania można streścić w następujący sposób:

Należy zwiększać przepływ wzdłuż dowolnej ścieżki ze źródła do ujścia, dopóki jest to możliwe.

Zapis w pseudokodzie

Ford-Fulkerson-Method(G,s,t) inicjowanie f na 0

while istnieje ścieżka powiększająca p do powiększ przepływ f wzdłuż p

return f

Algorytm Dinica

Kolejny algorytm rozwiązujący problem maksymalnego przepływu opiera się na pojęciu przepływu blokującego.

Def. Przepływem blokującym w sieci rezydualnej G(f) nazywamy taki przepływ b, który nasyca co najmniej jedną krawędź w każdej najkrótszej ścieżce z s do t w sieci G(b).

Zapis w pseudokodzie

f = 0;

while („istnieje cieka od s do t w G(f)”) {

„znajdź przepływ blokujący b w G(f)”;

„powiększ przepływ f do b”;

„wyznacz sieć rezydualną G(b)”;

}

Algorytm 3 Hindusów

W algorytmie tym użyte zostało pojęcia przepustowości wierzchołka w sieci.

Def. Przepustowości wierzchołka v w sieci G nazywamy wartość mniejszą z dwóch wartości:

i

Przepustowość wierzchołka v oznacza się przez c(v).

W algorytmie trzech Hindusów, w każdym wykonaniu głównej pętli algorytmu, nasycany jest jeden wierzchołek sieci (tj. jego przepustowo spada do zera), poprzez przesłanie z niego przepływu do przodu i w pewnym sensie do tyłu. W czasie wykonywania pętli funkcja f nie spełnia warunku zachowania przepływu, jednak pod koniec ten warunek zostanie przywrócony.

Zapis w pseudokodzie

algorytm MKM; (Malhotra, Kumar i Maheshwari) b = 0

„skonstruuj sieć warstwową G’(f)”;

while (E’f ≠ Ø) {

„znajdź wierzchołek v o najmniejszej wartości c(v)”;

„prześlij c(v) jednostek przepływu krawędziami wychodzącymi z v”;

„prześlij c(v) jednostek przepływu krawędziami wchodzącymi do v”;

„usuń krawędzie nasycone wychodzące z v lub docierające do v”;

for (i = ds(v)+1; i<=n-1;i++) for wƐ {jƐV: ds(j)=i}

{ forward(w);

„popraw przepustowość w”;

„usuń krawędzie nasycone wychodzące z w”; };

for (i = ds(v)-1; i>=1;i--) for wƐ{jƐV: ds(j)=i}

{ back(w);

„popraw przepustowość w”;

„usuń krawędzie nasycone docierające do w”; };

„usuń v z grafu”; }