Niezawodność harmonogramowania zadań na agregacie

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S erla» AUTOMATYKA a . 75

1964- Hr k o l . 811

Jan K a łu s k l , P o lite c h n ik a Ś lą s k a

NIEZAWODNOŚĆ HARHONOGRAMOWANIA ZADAŃ NA AGREGACIE

S t r e s z c z e n i e . W p ra c y zd e fin io w a n o niezaw o d n o ść harm onogram w p o s ta c i se k w e n c ji n ie z a le ż n y c h za d ań ( o p e ra c ji) , wykonywanych, na jednym a g r e ­ g a c i e . Zbudowano model niezaw odnościow y harmonogramu w o p a r c iu o sumy zm iennych losow ych n ie z a le ż n y c h ..

Harmonogram j e s t t o z b i ó r c h w il r o z p o c z ę c ia ^ i za k o ń c z e n ia t^ wyko­

nywania k o le jn o i = l 7 ń z a d ań na a g r e g a c i e . Można go z a p is a ć w n a s t ę p u j ą c e j p o s t a c i :

Tak sk o n stru o w an y harmonogram p o d a je ró w n ież k o le jn o ś ć wykonywania zadań.

R ó żn ica ch w il

j e s t czasem w ykonania i - t e j o p e r a c j i . Będziemy d a l e j ro z p a try w a ć p rz y p a ­ dek , d la k tó r e g o

a w ięc c h w ila r o z p o c z ę c ia wykonywania z a d a n ia n a s tę p n e g o na danym agroga- c ie j e s t je d n o c z e ś n ie c h w ilą z a k o ń c z e n ia wykonywania z a d a n ia p o p rz e d n ie ­ go. Ta s y t u a c j a ma m ie js c e , gdy o p e r a c je lu b z a d a n ia wykonywane na ag­

r e g a ta c h b e z p r z e z b r o je ń .

J e s t o c z y w is te , ż e harmonogram / 1 / , ja k o z b i ó r zdeterm inow anych c h w il

< 'ę i , t j ^ w r z e c z y w is ty c h w arunkach przem ysłow ych b ę d z ie w ró żn y s. osób r e a liz o w a n y . O dnosi s i ę to zarówno do czasów wykonaniB p o sz c z e g ó ln y c h o - p e r a c j i ja k i łą c z n e g o c z a s u w ykonania n a r a s t a j ą c e j li c z b y o p e r a c j i . Wy - n ik a to s t ą d , że c z a s y w ykonania o p e r a c j i s ą r e a l i z a c j a m i zm iennych lo s o ­ wych, Oznaczmy t e zm ienne p r z e z T ^ , ( l= 1 ,n ) , n a to m ia s t łą c z n y c z a s p r z e z ­ naczony na z r e a liz o w a n ie w s z y s tk ic h o p e r e c j i u ję ty c h harmonogramem p rz e z 1. WBten

/ V

fci " S i = * i / 2 /

fci - i - S i * / 3 /

54

J e s t j a s n e , że zm ienne 1 = 1 ,n s ą n i e z a l e ż n e .

Z p u n k tu w id z e n ia t e o r i i harmonogram owania is t o tn y m , w ięc j e s t p ro b ­ lem o k r e ś le n ia n ie z a w o d n o ś c i ta k sk o n stru o w an e g o i r e a liz o w a n e g o harmo - nogram u podanego z a l e ż n o ś c i ą / 1 / .

P rz e z n ie za w o d n o ść harmonogramu będziem y r o z u m i e li je g o z d o ln o ś ć do wykonywania z a d a n ia ja k im j e s t s te ro w a n ie p rocesem wykonywania o p e r a c j i w o k reślonym c z a s i e t , p rz y o k re ś lo n y c h wym aganiach i w arunkach p r a c y . M iarą t a k z d e f in io w a n e j n ie z a w o d n o ś c i może b y ć p raw dopodobieństw o wyko - n a n ia p o sta w io n e g o z a d a n ia .

Celem p ra c y j e s t zbudow anie m odelu p r o b a b i l i s t y c z n e g o d la czasów wy­

k o n a n ia n a r a s t a j ą c e j l i c z b y i= T 7n o p e r a c j i o ra z zbudow anie i u z a s a d n ie n ie m odelu n iezaw odnościow ego harmonogram u.

2 . Model p r o b a b ilis ty c z n y d l a czasów wykonania n a r a s t a j ą c e j lic z b y o-perac.li

Z z a ł o ż e n i a , o p e r a c ja wykonywane s ą k o le jn o o ra z c z a s y r e a l i z a c j i ic h s ą lo so w e . Wobec te g o r o z k ła d praw d o p o d o b ień stw a (t) łą c z n e g o c z a s u r e ­ a l i z a c j i c a łe g o harmonogramu można z a p is a ć w n a s tę p u j ą c y sp o só b :

FH ( t) = P ( ^ + T2 + . . . + Tn $ t g ) / V

J e s t t o p ra w d o p o d o b ie ń stw o ,ż e suma zm iennych losow ych T^, (i=l"7ń) b ę ­ d z i e m n ie js z a lu b równa t g . Oznaczmy

Z ilu s tr o w a n e t o z o s t a ł o na r y s . 1 .

R y s . 1 . I l u s t r a c j a czasów w ykonania n o p e r a c j i ,

Niezawodność harmonogramowanla ...

Na r y s .1 p r z e z T ^ , 1=1 ,n oznaczono losow e cz asy w ykonania o p e r a c j i . W te n sposób j e s t r e a l i z a c j ą S ^ i d la praw idłow o skonstruow anego b a r - monogramu T n £ t g .

Z pow yższego w id a ć , ż e modelem p r o b a b ilis ty c z n y m czasów wykonania n a r a s t a j ą c e j l i c z b y o p e r a c j i j e s t model w p o s t a c i sumy zm iennych losow ych n ie z a le ż n y c h .

Dla ta k ie g o m odelu, j e ż e l i dane s ą ć y s tr y b u a n ty F Ł zm iennych losow ych T^, d y s tr y b u a n ta zm ien n ej lo so w e j Sn = w yraża s i ę w p o s t a c i s p lo t u n d y s tr y b u a n t Fj_. Oznaczmy j ą p r z e z F * . J e ż e l i d y s try b u a n ty Fi są c i ą g łe i ró ż n ic z k o w a ln e wówczas i s t n i e j ą odpow iednie g ę s t o ś c i zm iennych losow ych

G ę sto ść łą c z n ą zm ien n e j lo so w e j Sn O k re ś la s i ę j ą ja k o s p l o t n g ę s t o ś c i f.

o d y s tr y b u a n c ie F* oznaczmy p rz e z . n . ---„ --- - _ a , ... J.±

p o s ta c i n a s tę p u j ą c y c h wzorów re k u re n o y jn y c h d la F 1 f_

Powyższe można z a p is a ć w

=

n-n -i* n f n - 1 * f n

/ 6 /

g d z ie symbolem * oznaczono o p e r a c ję s p l o t u , k tó r a m a te m a ty c z n ie , ja k w ia­

domo, ozn acza n a s tę p u j ą c ą o p e r a c ję całkow ą

Fn = F * ( t) =5 F*_1 ( r ) d F n ( t - r ) o

/ 7 /

N ie będziem y d a l e j o m aw iali w ła ś c iw o ś c i s p lo tó w , d y s tr y b u a n t i ic h g ę s t o ś c i . W iadomości na t e n te m a t nożna z n a le ś ć w p ra w ie każdym p o d rę c z ­ n ik u z ra c h u n k u p raw d o p o d o b ie ń stw a. N a le ż a ło b y je d n a k p rzy p o m n ieć, że o - p e r a c j a s p l a t a n i a j e s t p rze m ien n a 1 łą c z n a .

W c e l u z i l u s t r o w a n i a z a l e ż n o ś c i / 7 / na r y s . 2 pokazano przykładow y harmonogram d l a w ykonania n o p e r a c j i w p rz y p a d k u , gdy zm ienne losow e s ą norm alne le w o s tr o n n ie ucięte*? N a to m ia st na r y s . 3 pokazano wynik s p la ­ ta n i a g ę s t o ś c i n zm iennych losow ych •

* ) Gdyż sam r o z k ła d norm alny n ie może być modelem zm iennej lo so w e j do­

d a t n i e j .

56

R ys»2. P rzykładow y harmonogram wykonywania n o p e r a c j i .

R y s .3 . S p lo ty o d p o w ied n ich g ę s t o ś c i z r y s . 2.'

Dla d a l s z y c h ro zw ażań n a le ż y w y ja ś n ić s e n s czasćw ^ podawanych w harm onogram ach. S tw ie r d z i liś m y , że s ą t o r e a l i z a c j e zm iennych losow ych T ^. P y ta n ie - j a k i e r e a l i z a c j e ? ® d a l s z e j p r a c y n i e sp o só b j e s t o czy w iś­

c i e w y ja ś n ić z a g a d n ie n ia w p e ł n i . Wymagałoby t o o b s z e r n e j a n a l i z y sp o so ­ bów u s t a l a n i a czasów norm atyw nych d l a w ykonania o k re ś lo n y c h d e t a l i na o k re ś lo n y c h a g r e g a ta c h z u w zg lę d n ie n iem k w a l i f i k a c j i o p e r a t o r a . Zauważmy je d n a k , ż e d l a n a s z y c h ce ló w może b y ć k a ż d ą r e a l i z a c j ą zm ien n e j l o - sow ej pod w arunkiem , ż e > O, gdyż ^ = 0 zw ykle o z n a c z a , że i - t e j o p e r a c j i n i e w ykonuje s i ę na danym s g r e g a c i e .

W naszym o p rac o w a n iu p rz y jm u je s i ę , ze ^ może b y ć dowolnym kw anty - lem ^ zm ien n e j lo so w e j D la r o z k ła d u n orm alnego le w o s tr o n n i e u c i ę ­ te g o (p rz y u c i ę c i u t n > 3 <S(T.)) d la czasów T, z d u żą d o k ła d n o ś c ią d la k w a n ty la ^ te g o r o z k ła d u można n a p is a ć :

* ) W d alszy m c ią g u d l a s k u p ie n ia uwagi będziem y z a k ł a d a l i , ż e zm ienne lo so w e T., m ają r o z k ła d y n o rm a ln e le w o s tr o n n i e u c i ę t e . R i e z m n ie js z a to o g ó ln o śc i ro z w a ż a ń .

Niezawodność harmonogramowania ...

57

= ^ ii<x = E (Tj) + / B /

g d z ie , EfTjl - w a r to ś ć oczekiw ana zm ien n ej lo s o w e j T^,

u ^ - odpow iedni k w a n ty l zm ien n e j lo so w e j sta n d a ry z o w a n e j, - o d c h y le n ie sta n d ard o w e zm ien n e j lo so w e j T^,

oc - ( 0 ^ « < 1 ) - t a k i e p raw d o p o d o b ie ń stw o , że

lu b

p ( Ti > ¿ i , « ) i <*

/ 9 / p ( Ti ^ , « ) > 1

Pokazano t o na r y s . 4».

R y s .4 . Losowy c z a s w ykonania i - t e j o p e r a c j i .

Do d a ls z y c h ro zw ażań p o tr z e b n e b ę d z ie n a s tę p u j ą c e t w ie r d z e n ie . Twierdz enie*%.Dla k ażd eg o 0 < « < 0 , 5 k w a n ty l sumy zm iennych losow ych n o r­

malnych n i e z a le ż n y c h j e s t m n ie js z y od sumy odpow iednich k w a n ty li sk ła d o ­ wych zm iennych lo so w y ch .

Dowód:

3>ł : N(mi , 0 ' i ) . K w antyl \Ty ^ d la Ti j e s t

^ i , o ( = “ i + ,u « ’ ®*i / 1 0 /

za ś odpow iedni k w a n ty l na p o z io m ie oc d l a sumy zm iennych losow ych josfc

cx =

i i i a UC

Z k o l e i suma k w a n ty li ^ ^ , i = 1 , n w yraża s i ę wzorem

ę ^ i,o c ¿ ml +

W idać, t e

ę ¿ i , « * ^ 3 % , «

/1 1^/

/ 1 2 /

/ W

T w ie rd z e n ie t a k i e można udow odnić d la k a ż d e j zm ien n ej lo so w e j n ie z d e - g e n e ro w a n e j.

58

Równość we w zorze / 1 3 / można n a p i s a ć w p rz y p a d k u , gdy E (n .o t) + Z ] m. + « ¿ l / E « ? = >

i » i i i

/14, g d z ie K (n,tx) b ę d z ie w i e l k o ś c i ą z a le ż n ą od li c z b y n zm iennych losow ych ł poziom u ot . Z / 1 4 / d l a 2 i 0<c< ^ 0 ,5 otrzym ujem y w p ro s t, że

K(n,<x) = u - Y ę e f ) > o , . /15

oo kończy dowód tw i e r d z e n i a .

W szczególnym p rz y p a d k u , gdy wykonywanych b ę d z ie n id e n ty c z n y c h operac;

t z m ^ s N(m,cr) , i = i 7 ń z / 1 5 / otrzym ujem y

g(n ,o O = i^O*fn - f n ) /1E

a d la dużych n

K ( n , « ) ł i ly lT ^ n /17

S y tu a c ję o p is a n ą w zoran / 1 6 / d la n=2 i 10 z i lu s tr o w a n o na r y s . 5 .

Ze wzorów / 1 5 / i / 1 6 / a ta k ż e w ła s n o ś c i c a ł k i L a p la c e * a w y n ik a , żi K (n,ot) d l a u s ta lo n y c h ot d o ść szybko r o ś n i e do oo ze w zrostem n - * ° ° i m a le je do z e r a ze w zro stem o t —► 0 ,5 «

Ha r y s . 6 n a p r z y k ła d z ie sumy 2 zm iennych lo so w y ch n o rm aln y ch poke;

n o c h a r a k te r y s t y c z n e w ie l k o ś c i w y n ik a ją c e z pow yższych wzorów.

■»-«i.

_ (*>,

.«

R y s .6 . W ie lk o ś c i c h a r a k t e r y s t y c z n e d l a sim y 2 zm iennych lo so w y c h .

Niezawodność harmonogramowanla ...

59

W idać, ż e praw dopodob ień stw o .w y k o n an ia sumy dwóch o p e r a c j i j e s t w ięk sze od p raw dopodobieństw a 1 - o t w ykonania k a ż d e j z o p e r a c j i .

D a le j p rz y budow ie m odelu niezaw odnościow ego harmonogramu p rz e d y sk u ­ tujem y te n b ą d ź co bąd ź n ie o cz ek iw a n y w y n ik , d l a f i z y c z n e j i n t e r p r e t a c j i praw dopodobieństw a r e a l i z a c j i n za d ań .

3 . Model niezawodnościow y harmonogramu

P rz y budow ie m odelu n iezaw o d n o ścio w eg o , zwróćmy o<^ (razu uwagę na n ie > . zb y t o c z y w isty wydawałoby s i ę f a k t , ż e n ie z a w o d n o ś c i harmonogramu n ie da

s i ę w danym p rzy p a d k u o b lic z y ć ja k o ilo c z y n u praw dopodobieństw - 1 - ot d la i = 1 , n , t r a k t u j ą c k o le jn e wykonywane o p e r a c je ja k o elem enty system u n ie z a ­ wodnościowego o s t r u k t u r z e sz e re g o w e j.

Nie można ró w n ież na p o d sta w ie m odelu p r o b a b il is ty c z n e g o d la czasów wy­

k o n a n ia n a r a s t a j ą c e j l i c z b y o p e r a c j i , w p o s t a c i sumy zm iennych losow ych n ie z a le ż n y c h ( p a tr z wzór / 4 / ) w nioskow ać, ż e w zw iązku z przytoczonym tw ie rd z e n ie m n ie za w o d n o ść harmonogramu r o ś n i e w raz z l i c z b ą wykonywanych o p e r a c j i .

W pierw szym p rzy p a d k u bowiem, p rz y m odelu niezawodnościow ym o s t r u k t u ­ r z e s z e re g o w e j z a k ła d a s i ę w ystępow anie u sz k o d ze ń k a t a s t r o f i c z n y c h . Tzn.

e lem e n ty ta k ie g o system u mogą znajdow ać s i ę w dwóch s ta n a c h niezaw odnoś­

ciow ych: "sp raw n y " z praw dopodobieństw em 1 - o t i "niespraw ny" z prawdopo­

dobieństw em « . D la te g o i l o c z y n praw dopodobieństw 1 - ot j e s t w takim przy p a d k u m ia rą n ie z a w o d n o ś c i ta k ie g o 3y stem u . P r o s ty p rz y k ła d w p o s t a c i sy stem u szeregow o p o łą c z o n y c h żarów ek j e s t k lasycznym p rzykładem sto so w a­

n i a pow yższego m odelu.

D rugi model na p o d sta w ie t y l k o w zoru / 4 / 1 tw ie r d z e n ia 4 p row adzi n as n ie c h y b n ie do w n io sk u , że p rz y n ~ * o ° n iezaw odność harmonogramu r o ś n i e do 1 ? J e s t t o s p r z e c z n e z k o l e i z fizy c zn y m sensem p o ję c ia niezaw odnoś­

c i układów te c h n ic z n y c h , gdyż w skutek z u ż y c ia m aszyn (nawet n i e b io r ą c pod uwagę zm ęczenia o p e r a t o r a , co n ie w ą tp liw ie wpływa na zw iększony ro z ­ r z u t czasów t ^ ) r e a l i z a c j e czasów ^ K u s t a l o n e h ern o n o g rac en z d a r z a ł y ^ s i ę c o ra z r z a d z i e j , n a to m ia s t c o ra z c z ę ś c i e j p o ja w ia ły b y s i ę r e a l i z a c j e ^ ^ .

O s t a t n i e s tw ie r d z e n i e p o słu ż y nam w ła ś n ie do zbudow ania m odelu n ie z a ­ w odnościowego harm onogram u, b i o r ą c pod uwagę, że f i z y c z n i e j e s t on r e a l i ­ zowany na odpow iednim a g r e g a c i e obsługiw anym p rz o z o p e r a t o r a . Każda ko - l e j n a r e a l i z a c j a c z a s u j e s t w zw iązku z tym z a le ż n a od s ta n u te c h n ic z ­ nego a g r e g a tu i sp ra w n o śc i o p e r a t o r a .

Z po w y ższej a n a l i z y w y ła n i a ją s i ę dwa p o d e jś c ia do budowy m odelu n ie ­ zaw odnościowego harm onogram u., P ierw szy p o le g a na tym, i ż w modelu n ie z a ­ wodnościowym harmonogramu u w zg lęd n ian y z a le ż n o ś ć 1=1, n od s ta n u t e ­ c h n ic z n e g o a g r e g a t u , a w ięc od je g o n ie z a w o d n o ś c i.

60

n a le ż a ło b y w tym c e l a zbudować f u n k c j ę -5^ = V ^(i?a) , g d z ie Ra j e s t n i e ­ z a w o d n o ścią a g r e g a t u . W fcakim m odelu r o s ło b y w ra z z p o g a rsz a n ie m s i ę n ie z e w o d n o ś c l a g r e g a t u . T aki m odel p o z w o liłb y ró w n ie ż na o p ty m a li - z a c j ę harmonogramu ze w zg lę d u na k r y te r iu m n ie za w o d n o śc io w e . D o b ie ra ło ­ by s i ę wówczas w t a k i s p o s ó b , aby zapew nić o p ty m a ln e (w tym p r z y ­ padku m n ie js z e j p raw dopodobieństw o je g o p r z e k r o c z e n i a w f u n k c j i c z a s u . Tak sform ułow any p ro b lem n ie z a w o d n o ś c i harmonogramów p ro w a d z iłb y n a s d o z a d a ń n ie z a w o d n o ś c i p a r a m e tr y c z n e j . P roblem j e s t n ie w ą tp li w i e c i e k a ­ wy i d o tą d n i e z o s t a ł sform ułow any i r o z w ią z a n y . P roblem y n ie z a w o d n o ś c i p a r a m e tr y c z n e j z n a jd u ją s i ę o b e c n ie w p o cz ą tk o w e j f a z i e ro z w o ju i do d z i ś d o c z e k a ły s i ę n i e w i e lu p u b l i k a c j i .

D la te g o t e ż w n in ie js z y m o p rac o w a n iu zajm iem y s i ę odmiennym p o d e j ś ­ ciem p rz y w y zn a cz an iu m odelu niezaw o d n o ścio w eg o harm onogram u, w ykorzys­

t u j ą c je d n a k , a l e i n a c z e j , sumę zm iennych losow ych czasów w ykonania n o p e r a c j i j p r z y p o m in ię c iu n ie z a w o d n o ś c i a g r e g a t u .

Zauważmy, że w c z a s i e r z e c z y w i s t e j r e a l i z a c j i harmonogramu w w ięk­

s z o ś c i przypadków b ę d ą z d a r z a ł y s i ę o p e r a c j e , k tó r y c h c z a s y r e a l i z a c j i b ę d ą m n ie js z e od czasów u s ta lo n y c h harmonogramem. D la p raw idłow o sk o n - stru o w a n e g o harmonogramu l i c z b a t a k i c h o p e r a c j i b ę d z ie porów nyw alna z c a łk o w itą * li';z b ą n o p e r a c j i . Je d n a k l i c z b a ty c h o p e r a c j i w o k reślonym c z a s i e t b ę d z ie zm ienną lo s o w ą . Oznaczmy j ą p r z e z N ( t ) .

P rzy jm ijm y d a l e j h i p o t e z ę , ż e p r o c e s w ykonania o p e r a c j i na a g r e g a c i e j e s t procesom sam oodnaw ialnym z te n d e n c ją do w y d łu ż a n ia s i ę czasów r e a ­ l i z a c j i p o s z c z e g ó ln y c h o p e r a c j i . S fo rm u ło w an ie pow yższe p ro w a d z i do mo­

d e l u niezaw o d n o ścio w eg o harmonogramu ja k o m odelu systemów o d n a w ia ln y c h . Posłużym y s i ę w ięc w tym ; " ‘ k o n s tr u k c ja m i p r o b s b i l i s t y c z -

Z d e rin iu jm y wobec to g o f u n k c ję "o d n o w ie n ia " p r o c e s u w ykonania ope - r a c j i j ja k o w a r to ś ć o cz ek iw a n ą zm ien n e j lo s o w e j N (t)

e/>

J e ż e l i Z (t) j e s t r ó ż n ic z k o w a ło ś , t o mówimy, ż e i s t n i e j e g ę s to ś ć odmo - w ie n ic z (t) .

P r z e z ’g ę s t o ś ć o d n o w ien ia w naszym p rzy p a d k u b ędziem y r o z u m i e li ś r e d n i ą l i c z b ę o p e r a c j i w je d n o s t c e c z a s u , d la k tó r y c h z o s t a ł y p rz e k ro c z o n e cz a s y u s t a l o n e p r z e z harm onogram .

nymi z t e o r i i od n o w ien ia

/ 1 8 /

iiożna p o k a z a ć , że

/ 1 9 /

Niezawodność harmonogramowanla ...

G ęsto ść odn o w ien ia z (t) j e s t ro zw ią zan iem rów nania całkow ego V o lte r r y I I r o d z a ju z jąd rem splotowym (różnicow ym )

z ( t ) a i ( t ) + j i ( T ) ' l ( t - T l d f / 2 0 / 0

Równania t a k i e r o z w ią z u je s i ę m etodą p r z e k s z t a ł c o n l a L a p la c e ‘a - C arsona.

lu b m etodą p r z y b li ż o n ą ,b u d u ją ć s z e r e g ¥on Heumanna, Dla f u n k c j i g ę a to ś c i odnow ienia można ró w n ież n a p i s a ć , t e

z ( t ) = X I f * ( t ) , /2 1^/

* r l - i g d z ie f ^ a « Pokazano t o n a r y s , 7«

R y s. 7. P rzykładow y w ykres f u n k c j i g ę s t o ś o i o d n o w ien ia.

Wzór / 2 1 / pozw ala ró w n ież na g r a f i c z n e lu b num eryczne w y znaczenia f u n k o ji g ę s t o ś o i od n o w ien ia z ( t) *

Mając do d y s p o z y o ji z ( t) budujemy f u n k c ję n ie za w o d n o ści harmonogramu

w p o s t a c i 4^.

t h

R ^ t M - & e x p [ - J z (T ) d t 3 / 2 2 /

0

g d z ie Rq - zawodność początkow a } ( ^ 0 ° ^ * ^ k o r z y s t a l i ś m y w tym p rz y p a d k u zn a n ą w t e o r i i n ie z a w o d n o ś c i o g ó ln ą p o s ta ć d la f u n k o j i n i e ­ zaw odności w z a le ż n o ś c i od f u n k o ji in te n s y w n o ś c i u sz k o d ze ń ,

W t e o r i i od n o w ien ia udow adnia a i ę a s y m p to ty c z n ą p o a ta ś d la z ( t )

lim z ( t) n —nr* « Zn / 2 3 /

ę-D .oo l 0 u

g d z ie Tq - ś r e d n i c z a s m iędzy u s z k o d z e n ia m i.

W zw iązku z powyższym d l a d u ż e j l i c z b y wykonywanych o p e r a c j i można o trzy m ać n ie za w o d n o ść harmonogramu w p o s t a c i

62 J.gałusk^.

H (t) < z { -fa e x p ( - z Q' t ) / 2 4 /

Co d a j e w y k ła d n ic z e prawo n ie z a w o d n o ś c i.

D la sk o ń c z o n e j l i c z b y n o p e r a c j i w zór / 2 4 / można s to s o w a ć , ja k o o g r a n ic z e ­ n i e d o ln e d l a n ie z n a n e j n ie z a w o d n o ś c i harm onogram u.

4 . w n io sk i 1 uwagi

W p ra c y p rz e a n a liz o w a n o pro b lem y n ie z a w o d n o ś c i harmsnagramów do s te ro w a ­ n i a d y s k re tn y m i p ro c e s a m i przem ysłow ym i s t o s u j ą c k la s y c z n ą t e o r i ę n ie z a ­ w o d n o śc i.

v P rz e d s ta w io n o m odel p r o b a b i l i s t y c z n y w ykonania c ią g u n o p e r s c j i na jednym s g r e g a c i e o ra z p rze d y sk u to w an o i sform ułow ano model n ie za w o d n o ś­

ciowy harmonogramu zadanego w p o s t a c i / 1 / , p o z w a la ją c y na p r a k ty c z n e wyz­

n a c z e n ie w skaźników n ie z a w o d n o ś c i. W d o ty c h c z a so w e j p r a k ty c e i t e o r i i harm onogram owanla n i e ro z p a try w a n o b e z p o ś r e d n io problem ów zw iązan y ch z n ie z a w o d n o ś c ią harmonogramów. N ie u w zg lę d n ia n o t e ż p rz y budow ie o p ty m al­

n ych harmonogramów k r y te r iu m n iezaw odnościow ego p rz y u s t a l a n i u k o le jn o ś ­

c i 1 czasów wykonywania z a d a ń . • •

A n a liz ę zaproponow anego w n i n i e j s z e j p ra c y m odelu n ie z a w o d n o ś c i harmo­

nogram u za m ie sz c z o n o w [1} .

LITERATURA

t l i P rz y b y sz T . , K a łu s k i J . . A n a liz a m odelu n ie z a w o d n o ś c i harmonogrsmowa- n ia za d ań na a g r e g a c i e . ZN P o l i t e c h n i k i ś l ą s k i e j , s.A u to m aty k a . G liw ic e 1934.

£ 2 3 Barlow R ., P ro sc h a n F . t M 8 th e m a tic a l Theory o f R e l i a b i l i t y . John W iley an d Sons I n c . , New Io rk ,L o n d o n ,S y d n e y 1965.

R e c e n z e n t:P r o f .d r h a b . P i o t r J ę d rz e jo w ic z W płynęło do R e d a k c ji do 3 0 .0 3 .1 9 3 4 r .

HAj$2H0CTL KAIEHIAPHOrD IHAHHPOBAHHfl SAflAffiiJ! HA ATPETATE

P 6 3 D M 6

B p a d ó w onpeaejieHO n oarrae HaneKHOcra Kajienaapaoro miasHpoBaHEH n e - aasHCHHHi onepanjtS , BHno.nHseMux na ojsom arp eraT e. npejyroKeHa h onKcasa monejn> Ha^fesBOOTH KajieHirapHoro imaHa , npnamsaa b ochobj oyMMH HeaaBHcz- mhx 0JtyRaftHHx aejiBRHH, b EaaecTBe BepostHocTHoft Moaejm jyw BpeMenn EHnan- HeHHE B ospactaisuero KOjanecTBa onepanuft.

HlezawodnoAd harmonogramowanio «

63

RELIABILITY' OP TASKS SCHEDULES OH AH AGGREGATE

S u m m a r y

R e l i a b i l i t y o f s c h e d u le s i n th e form o f a seq u en c e o f in d e p e n d e n t o p e r a tio n s i s d e f in e d . R e l i a b i l i t y model o f a sc h e d u le b a s in g on a sum of in d e p e n d e n t random v a r i a b l e s i s b u i l t .