Seria MECHANIKA z. 91 Nr kol. 1026
XIII MIĘDZYNARODOWE KOLOKWIOM
"MODELE W PROJEKTOWANIU I KONSTRUOWANIU MASZYN"
13th INTERNATIONAL CONFERENCE ON
"MODELS IN DESIGNING AND CONSTRUCTIONS OF MACHINES"
25-28.04.1989 ZAKOPANE
Tadeusz TYBLIK. Marian WIERCIGROCH
Instytut Budowy Maszyn Politechnika Śląska
Mo d e l o w a n i e Ma t e m a t y c z n e Ru c h u Ze s p o ł u Wr z e c i o n o w e g o Wi e r t a r k o-Fr e z a r k i w As p e k c i e Pr o c e s u Wy t a c z a n i a
Streszczenie. W pracy przedstawiono proces budowy modelu cyfrowego opisującego ruch zespołu wrzecionowego wiertarko-freza
rki w trakcie kształtowania powierzchni obrotowych wewnętrznych narzędziem jednoostrzowym. Opracowany model dyskretny posiada nie
liniowości, których Źródłem jest dysypacja energii oraz sztywność stykowa węzłów łożyskowych.
Różniczkowe równanie ruchu sprowadzono do postaci algebraicznej otrzymując układ równań z nieliniową charakterystyką siły spręży
stości i tłumienności.
ł . Wprowadzenie
W obrabiarkach z obrotowym ruchem głównym o jakości powierzchni, dokładności wymiarowej i kształtowej w zasadniczym stopniu decydu
je zespół wrzecionowy. Jego właściwości statyczne oraz dynamiczne znajdują bezpośredni wyraz w przemieszczeniach względnych między narzędziem a przedmiotem obrabianym.
Artykuł jest próbą opisu zjawisk dynamicznych zachodzących w zespole wrzecionowym wiertarko-frezarki WFM lOO CNC w trakcie pro
cesu wytaczania, narzędziem jednoostrzowym. Proces ten jest szcze
gólnie niekorzystny z punktu widzenia j dokł adności obróbki i trwał o
ści zespołów, ze względu na wirowanie wektora wypadkowej siły skrawania 151 .
2. Założenia przyjęte do określenia modelu
Dokładne odzwierciedlenie dynamicznych oddziaływań w zespole wrzecionowym wywołanych procesem skrawania - ze względu na ich złożoność jest postulatem trudnym do zrealizowania. Przyjęty model powinna cechować prostota i adekwatność do obiektu rzeczywistego.
Na rys. 1. przedstawiono model fizyczny zespołu wrzecionowego.
254 T. Tyrlik, M. Wiercigroch
w którym uwzględniono:
- usytuowanie wrzeciona w tulei,
- rozproszenie energii w węzłach łożyskowych, - sztywność stykową połączeń.
- przemieszczenia osi wrzeciona wywoływane są działaniem składo
wych sił skrawania oraz siłami inercji.
R y s .1. Model fizyczny zespołu wrzecionowego wiertarko-frezarki w trakcie procesu wytaczania: 1—wrzeciono robocze. 5—przedmiot obrabiany. N-narzędzie (wytaczak), A.B-przednia i tylna podpora łożyskowa, D.d-zewnętrzna i wewnętrzna średnica wrzeciona, D * ,DB-średnice tulei łożyskowych. L-wysuw wrze
ciona, R-j>romień wytaczania, a ,b—dodatkowe parametry geome
tryczne, Acr . icr- sztywność statyczna promieniowa w pod
porach A i B. ‘c*- sztywność w kierunku osiowym. *kr , akr - tłumienność promieniowa dla podpór A i B, 4k„ - tłumienność osiowa . 4o>x-prędkość kątowa wrzeciona.
W oparciu o przedstawiony model fizyczny zbudowano model dyskretny jako belkę z wysięgnikami podpartą w dwóch poprzecznych podporach, z umieszczonymi na niej masami skupionymi. Na masy te składa się zarówno masa wrzeciona,jak i elementów na nim osadzo
nych. Belka traktowana jest jako nieważka o odcinkowo stałej szty
wności giętnej 121. Na rys.2. przedstawiono model dyskretny zespo
łu wrzecionowego z uwzględnieniem wirującego w trakcie obróbki wektora siły skrawania.
Drgania wielomasowego modelu zespołu wrzecionowego rozpatrzono w dwóch prostopadłych płaszczyznach n, i na sumując geometrycznie dynamiczne przemieszczenia dyskretnych mas, których położenie wzdłużne określa współrzędna £x (rys.3.) .
R y s .2. Model dyskretny zespołu wrzecionowego; m-masa k-tego ele
mentu wrzeciona, ¿MTU .bm tv - moment usztywniający, modelujący działanie tulei w podporach A i B, iMp. bMł — momenty spręży
stego utwierdzenia w łożyskach odpowiednio dla podpory prze
dniej i tylnej. %(t ) . Fr( t ) . Fy( t ) -skł adowa wzdł uż na, promienio
wa i obwodowa siły wytaczania. £z,|z-przemieszczenie;pionowe wrzecienriika w podporach A i B.*x - przemieszczeniejwzdłużne wrzeciennika.
Rys.3. Model dyskretny w płaszczyźnie n, ( z x) , JJ-osiowy moment bezwładności k-tego przedział u. ¡¡xt -współ rzędna granicy k i k- 1 przedziału stałej sztywności giętnej.
256 T. Tyrlik, M. Wiercigroch
3. Model matematyczny
Przedstawiony model dyskretny zespołu wrzecionowego posiada
niel ijniowości w postaci:! f
- nieliniowej siły sprężystości w podporach łożyskowych będącej wynikiem występowania sztywności stykowej (rys.4a).
- nieliniowej siły tłumienności w podporach łożyskowych. którą uwzględniono funkcją sklejaną (rys.4b).
Różniczkowe równanie ruchu opisywanego układu w formie macie
rzowej ma postać;
‘m ‘q + 1k (*q) *q + ‘c ^ g ) *q » *F (i) przy czym;
‘F - Fokr + l ' l F ( 2 )
gdzie: 'm — ^diagonalna macierz bezwładności wrzeciona,
4k('q) - p a s m o w a macierz funkcyjnie zmiennych współczyn
ników tłumienności.
4c ( 4q) - pasmowa macierz funkcyjnie zmiennych wskaźników sztywności.
4q - wektor współrzędnych uogólnionych, 4F - wektor wymuszeń zewnętrznych,
- wektor sił skrawania,
<-» F - wektor siłowych oddziaływań wrzeciennika na wrzeciono.
Rys.4. Nieliniowości zespołu wrzecionowego; a) sił sprężystości, b) sił tłumienności
Przyjęta charakterystyka siły skrawania 131 uwzględnia fazowe przesunięcie wektora przyrostu parametrów geometrycznych AG w sto
sunku do wektora F ; '
skr
Fakr - F°kr 4 W (G) AG + H (G) AG (3)
przy czym:
AG - * (*q -1qT=l_t ) (A)
O
gdzie - wektor siły skrawania dla ustalonych parametrów (składowa wolnozmienna),
W(G) — macierz współczynników wzmocnienia obliczona dla aktualnego wektora parametrów geometrycznych G, H(G) - macierz dysypacji energii w procesie skrawania
obliczona dla aktualnego wektora fluksji parametrów geometrycznych G,
<t> - macierz transformacji wektora q,
t0 - czas jednego obrotu wrzeciona, t - czas obserwacji.
Podstawiając równanie (4) do (3), a wynik do zależności (2), po czym otrzymane] równanie do (1)| uzyskano model matema
tyczny układu zespół wrzecionowy - proces skrawania w postaci różniczkowej. Przekształcając otrzymaną zależność do postaci alge
braiczne jruzyskano równanie:
1m ‘a + ‘k(Sr) ‘r + ^ ( ‘d) ‘d - F°. + W (łd ) <p (*d -‘d )
9 K r T —X. T = l —Ł
f O
H* <‘v) -p (*v -‘v ) + 1-ZF a» C 55
T = 1 T = t - t *
O
gdzie: W'(‘d) - zmodyfikowana macierz współczynników wzmocnienia.
H ’ (*v) - zmodyfikowana macierz dysypacji energii w procesie skrawania,
‘a.Sr/d - wektor przyspieszeń, prędkości i przemieszczeń.
Równanie (5) zawierające macierze zmiennych współczynników
*k (*v) , *c (1v) , W " ( ‘d), H* ( v) rozwiązano metodą Newtona-Raphsona.
całkując numerycznie równania ruchu metodą Newmarka w odmianie liniowego przyspieszenia (współczynnik kolokacji (7-1/6). Restartu dokonywano algorytmem zaproponowanym w pracy (41. po czym wektory
prędkości i przemieszczeń określono z równań kolokacji (6,11.
4. Podsumowanie
W pracy przedstawiono proces modelowania ruchu zespołu wrze
cionowego wiertarko-frezarki. Otrzymany model matematyczny powią
zano z modelem procesu skrawania, uzyskując zamknięty układ równań, zawierający trzy rodzaje nieliniowości!
- nieliniowość siły sprężystości, - nieliniowość siły tłumienności,
- nieliniowość dynamicznej charakterystyki siły skrawania.
Dla rozwiązania układu równań nieliniowych zaproponowano meto
dę Newtona-Raphsona przyjmując jako pierwsze, lecz bardzo bliskie rozwiązania — przybliżenie w postaci całki równania (5) otrzyma
nej metodą Newmarka.
LITERATURA
(11 Jennings A. :Matrix computation for engineers and scientists.
J. Wiley & sons. London 1977.
I 21 Koch J. .Krzyżanowski J.,Ilczyszyn J. : Wrzeciona obrabiarek.
WNT, Warszawa 1982.
131 Wiercigroch M. .Tythowski K.T. :Algorytmizacja procesu to
czenia dla potrzeb zgrubnego wytaczania na wiertarko- frezarkach. Materiały i XXVII Sympozjonu "Modelowanie w Mechanice. <31iwice-Wisła 1988.
258 T. Tyrlik, M. Wiercigroch
14)..iWiercigrooh H. :Restart for Collocation Methods of Solution of Motion Equations with Dynamic Characteristics of Cutting Process. Vibrations in The Physical Systems. Błażejewko 1988.
141 |WiercigrochfH. :Modelowanie i symulacja cyfrowa procesu wytacza
nia na wiertarko-frezarkach. Instytut Budowy Maszyn Polite
chniki Śląskiej (materiał niepublikowany).
C61 Wilson E. ¡Numerical methods in finite element analysis, Prentite-Hal1. New Jersey 1976.
MODELLING THE SPINDLE SYSTEM OF HORIZONTAL BORING MACHINE IN THE HOLEBORING PROCESS
S u m m a r y
The paper presents the method of modelling the motion of the spindle system in the holeboring process with single tool.
The generated model have nonlinearties which depend on the damping and the contact stiffness of the spindle system. The differential equation of motion was transformed into the algebraical form with nonlinear stiffness and damping.
MOflEUHPOBAHHE CHCTEMM B01MHAEJ13 r0PH30HTAJTbH0r0 CBEPJIHJlbHO PACTOHHOrO CTAHKA B ACHEKTE IIPOIIECCA PACTAHHBAHHH P e 3 io m e
B p a d o T e naeTOSJ c n o c o d M a T e M M a T H u e c K o r o M a n e j m p o B a H M s i nBMxeHiin C H C T e M u ianuH«ejiii ropii30HTajit.Boro CBep/iHJibno pacTOUHoro cTaHKa hjisi
OdpodOTKH B H y T p O H H M X n O B e p x H O C T e M OHHOM HHCTpyMeHTOM.
PaspodoTaHa nHCKpeTHan MoneJib HMeeT HeiiiiHeWHbJe MJiexu, KOTopue B03HMKHWJ1U OT AMCCMnaUHH OHGprMM K KOHTaKTHOB XeCTOCTMM B CMCTeMe mniiHnejin .
/liKpcjxepeHUMpoBaHHUe ynpaBJieHne abmxOhhsi MonejiMposaHHoH cucreMu cBonHTeHO b ajiredpaMMecicyio <fopMy c HejiMHeBKUMM xapaKTepncTMKaMM xecTKOCTH m jmccnnaimn.
Recenzent: prof. dr hab. inż. J. Koch
Wpłynęło do Redakcji 12.1.1989 r.
