Planowanie pracy zespołu robotów wielofunkcyjnych w warunkach niepewności

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOM ATYKA z. 150

2008 N r k o l. 1796

G rzegorz B O C E W IC Z 15, R obert W Ó J C IK 25, Z b ig n ie w B A N A S Z A K 15 1'P o lite c h n ik a K o szaliń ska

2)P o lite c h n ik a W ro c ła w s k a

PL A N O W A N IE PR A C Y Z ESPO ŁU R O B O T Ó W W IE L O FU N K C Y JN Y C H W W A R U N K A C H N IE PE W N O ŚC I

Streszczenie.

P lanow anie p ra cy zespołu ro b o tó w w ie lo fu n k c y jn y c h sprowadza się do p ro b le m ó w d ec y z y jn y c h zw iąza nych z rozstrzyganiem k o n flik tó w zasobow ych w sytuacjach, k ie d y jednoczesne w y k o n a n ie różnych operacji w y m a g a dostępu do w s p ó łd z ie lo n y c h ro b o tó w - d yskre tnych zasobów o d n a w ia ln y c h . P rz y ję ty m odel re fe re n c y jn y p ro b le m u p la no w an ia p ra cy ro b o tó w dopuszcza w ystę po w a nie zarów no ostrych, ja k i ro z m y ty c h zm ie nn ych d e c y z y jn y c h - czasów a lo k a c ji rob otó w .

M U LT I-R O B O T SC H E D U L IN G U N D E R U N C E R T A IN T Y C O N ST R A IN T S

Sum m ary.

S ch eduling o f m u lti-ro b o t in a m u lti-p ro d u c t flo w shop can be seen as an a llo c a tio n p ro b le m o f shared renew able resources and then can be resolved in term s o f co nstrain t satisfaction p ro b le m . T o m ake it possible a reference m odel o f a co nstrain t satisfaction p ro b le m is developed, and p ro v id e d case illu strate s its u s a b ility in an exam ple ta k in g in to account b oth an accurate and an uncertain s p e c ific a tio n o f robots operation tim e.

1. W stęp

O g ra nicze nia w y n ik a ją c e z N P -zupełnego charakteru rozw aża n ych p ro b le m ó w h arm onogram ow ania, p ra c y zespołu ro b o tó w w ie lo fu n k c y jn y c h , ro z m ia ró w p od e jm o ­ w an ych zadań, a także w iążące się z o c z e k iw a n ia m i zautom atyzow anego i p rzyjazn e ­ go, w try b ie „o n -lin e ” przebiegającego w spom agania d e c y z ji, im p lik u ją potrzebę b u d o w y za da niow o zo rie n to w a n ych , in te ra k c y jn y c h system ów wspom agania.

W p rz e d s ta w io n y m ko ntekście celem p ra cy je s t ukazanie m o ż liw o ś c i b u d o w y tego typ u system ów , system ów im p le m e n tu ją cych te c h n ik i p ro gram o w a nia z o g ra n i­

cze niam i [3 ],

P rz y ję ty m odel re fe re n cyjn y [4 ], u jm u ją c y sp e cyfikę zrob otyzo w an ych, w ie lo fu n k c y jn y c h system ów , p o to k o w e j p ro d u k c ji w ie lo a s o rty m e n to w e j, p ozw ala rozw ażać d w ie k la s y pytań ru ty n o w y c h ; pytań odnoszących się do p rognozow anych (w o p a rciu o p rz y ję te założenia) w arto ś c i fu n k c ji ce lu oraz pytań odnoszących się do założeń im p lik u ją c y c h oczekiw ane w a rto ści fu n k c ji celu. R ozw ażany przypadek ogranicza się do p ro b le m ó w d e c y z y jn y c h z w ią za n ych z rozstrzyganiem k o n flik tó w

zasobow ych w sytuacjach, k ie d y jednoczesne w y k o n a n ie ró żn ych czynności w ym a ga dostępu do w s p ó łd z ie lo n y c h ro b o tó w - d yskre tnych zasobów o dn a w ia ln ych . Z u w a gi na sposób s p e c y fik a c ji m odelu referencyjnego (z b io ry z m ie nn ych , d z ie d z in zm ie nn ych i ograniczeń), p ozw a la ją cy rozw ażać go w kategoriach P ro blem u S p ełnienia O graniczeń [3 ], w y k o rz y s ty w a n e są te c h n ik i p ro g ra m o w a n ia z o gran iczen ia m i [2 ], w szczególności ję z y k o g ó ln ie dostępnego system u O Z M o z a rt [1 0 ],

2. M odel problem u decyzyjnego

2.1. Planow anie pracy zespołu robotów w ielofunkcyjnych

N a lin ii p ro d u k c y jn e j P ,, na 10 stanow iskach (rys. 1), z d w ó ch ty p ó w p ó ł­

p ro d u k tó w K ,, K

2

w ytw arzane są w y ro b y W, i W2. W y k o n y w a n e czyn no ści zaliczane do trzech k a te g o rii: „p o d z ia łu ” , np. dem ontażu, {

0

m ,

0

,:4}, „łą c z e n ia ” , np. m ontażu, {

0

,

3

,

0

,.ę,

0

U o} oraz „p rz e tw a rz a n ia ” , np. o b ró b k i, {

0

i j ,

0

, j ,

0

i>

6

,

0

,.

7

, O is }- Stanow iska te obsługiw ane są przez trz y ro b o ty {ro \, ro 2, ro3) i d w ó ch p ra c o w n ik ó w (ro 4, ro j), p rz y czym , w y k o n y w a n e na n ie k tó ry c h z n ic h operacje w y m a g a ją jednoczesnego w s p ó łd z ia ła n ia d w ó ch ro b o tó w lub p ra c o w n ik a i robota (tabela 1).

130________________________________________ G. Bocewicz, R.Wójcik. Z. Banaszak

q W, ' ^ r W2 - wyroby --- - m arszruta wyrobu fV2

Rys. 1. Przykładowy system produkcyjny - linie produkcyjne Pi

Tabela 1 W y k o rz y s ta n ie ro b o tó w i p ra c o w n ik ó w p rz y re a liz a c ji czyn no ści m arszru ty P i

o,., o,p 0

^{, ,}

0/.4 0

,.f

0/.6 0,7

^{O m} Ol.ę O,,

¡o

ro b o ty

r o

i

^{1 0 1 0 0 0 0 1 0} 0

ro-, 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0

ro

3

^{0 0} 0 1 0 1 1 0 0 1

p ra c o w n ic y

ro

4

¹ 0 0 0 1 1 0 0 1 0

ro

5

0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

Planowanie pracy zespołu robotów. 131

Znane są czasy trw a n ia poszczególnych o peracji oraz zw iązane z n im i m om en ty a lo k a c ji ro b o tó w . T a k rozum iane zm ienne d ecyzyjne m ogą p rz y jm o w a ć charakter d o k ła d n y lu b p rz y b liż o n y , zw iązany np. z n o m in a ln y m i czasami operacji te c h n o lo g iczn ych w y k o n y w a n y m i o d p o w ie d n io przez ro b o t i/lu b p ra cow n ika . Ł a tw o zauw ażyć, że ograniczona p u la zasobów m oże p ro w a d z ić do w ystę po w a nia k o n flik tó w zasobow ych, zw iąza nych z ko nieczn ością rozstrzyg an ia pierw szeństw a p rz y d z ia h i lim ito w a n y c h zasobów. S ytuacje tego typu w y s tę p u ją w ch w ila c h , g d y ko ntynuacja ró w n o le g le re a lizo w a n ych operacji w ym a ga p rz y d z ia łu danego zasobu w ilo ś c i przekraczającej je g o lim it. Oznacza to niebezpieczeństw o w ystę po w a nia b lo kad ograniczające m .in . m o ż liw o ś c i sterow ania a lo k a c ją zasobów w try b ie na bieżąco.

N ie p re c y z y jn y charakter zm iennych d e c yzyjn ych im p lik u je ró w n ie ż n ie p re c y z y jn y charakter fu n k c ji celu, te rm in u ukończenia p ro d u k c ji - pojed ynczych sztuk asortym entu w y ro b ó w W, i W2. N ie p re c y z y jn o ś ć tę p o g łę b ia konieczność u w z g lę d n ie n ia ograniczeń łączących zm ienne nie pre cyzyjn e, tzn. konieczność p rz y ję c ia stopnia spełnienia tych ograniczeń.

W p rz e d s ta w io n y m ko ntekście p ro b le m p la no w an ia pracy zespołu ro b o tó w w ie lo fu n k c y jn y c h w system ie p o to k o w e j, jednoczesnej i w ie lo a so rtym e n to w e j p ro d u k c ji je d n o s tk o w e j sprowadza się do w y b o ru ta k ic h w arto ści zm iennych d e c y z y jn y c h , k tó re spełniają, w yrażone w pytaniach ru ty n o w y c h , o czekiw an ia dyspozytora, np. zw iązane z w yznaczaniem w arto ści fu n k c ji celu im p lik o w a n y c h przez p rz y ję te w arto ś c i zm ie nn ych d e cyzyjn ych , a w szczególności związane z p y ta n ia m i ty p u : C z y dana a lo kacja ro b o tó w i/lu b czasy re a liz a c ji czynności g w a ra n tuje ukończenie p ro d u k c ji w zadanym horyzon cie H I

2.2. M odel referencyjny

D alsze rozw aża n ia k o n c e n tru ją się na m od elu re fe re n c y jn y m p ro ble m u p la n o w a n ia jednoczesnej p ro d u k c ji w ie lo a s o rty m e n to w e j; m odelu o be jm u ją cym z b ió r z m ie n n ych d e c y z y jn y c h , opisują cych p rze dsię biorstw o i realizow ane w n im procesy p ro d u k c y jn e , dyskretne d z ie d z in y zm ie nn ych d e cyzyjn ych , a także z b ió r ograniczeń łączących zm ienne decyzyjne , z b ió r ograniczeń s p e cyfiku ją cych p ytania ru tyn o w e oraz z b ió r ograniczeń odnoszących się do p ytań ru ty n o w y c h (z w y k le fo rm u ło w a n y c h w postaci w a ru n k ó w w ystarczających, k tó ry c h spełnienie w y k lu c z a o dp ow ied ź typ u N IE W IE M ). M o d e l ten s fo rm u ło w a n y je s t pod kątem pytan ia rutyn ow e go : C zy dostępne zd o ln o ści p ro d u k c y jn e oraz p rz y ję ty sposób a lo k a c ji zasobów p o z w o lą u ko ń c z y ć p ro d u k c ję w o cze kiw a n ym term inie? i o be jm u je [

1

], [

2

]:

Z m ienne decyzyjne:

Dana je s t lic z b a Iz zasobów o d n a w ia ln ych ro, (np. p ra c o w n ik ó w , m aszyn, narzędzi, itp .) tw o rzą cych sekwencje: Ro = ( r o,, ro 2, . .. , ro z). Znane są w ie lk o ś c i zOi dostępnych zasobów o d n a w ia ln ych ro,• tw o rzą cych sekw encje Zo = (zot , zo2, . . . , zo/.), gdzie zOj ~ dopuszczalna w artość /-tego zasobu. Z akłada się, że dopuszczalna lic z b a zasobów o d n a w ia ln ych n ie z m ie nia się w czasie. Znane są czasy trw a n ia prze prow a dza nych czynności oraz niezbędne do ich w yko n a n ia ilo ś c i zasobów . D an y je s t z b ió r m arszrut te chn olo giczn ych P = {P i,P

2

^,...,Pip}. Każda m arszruta P t składa się z /o, czyn no ści P , = { O;, /, O/,

2

,

0

/,

3

,...,Oi : gdzie:

0 - , j — (X j j, t j j , T p i j , Tzjj, D p i j ) , (1 )

X j j —te rm in rozpoczęcia czynności Otj lic z o n y w zg lę d e m początku h oryzon tu H,

132 G. Bocewicz. R.Wójcik. Z. Banaszak

tj- czas trw a n ia czynności O y ,

T pij ~ {tP ij.ii tpij,

2

^, , tp ijj:) - sekw encja te rm in ó w p obrania przez czynność O y k o le jn y c h zasobów o dn aw ialn ych: t p y k - te rm in lic z o n y w zglę de m x y p obrania przez czynność ^{O y ,} k-tego zasobu o dnaw ialnego w ilo ś c i dpkjy P rz y jm u je się, że zasób je s t p o b ie ra n y w trakcie trw a n ia czynności:

0<tpyjc< ty, k

^{= 1,2}

,...,lz,

Tzjj = (t z i j j, tZij'

2

, ... , tZij.iz) - sekw encja te rm in ó w zw racania przez czynność O y k o le jn y c h zasobów o dn a w ia ln ych : tz y k - te rm in lic z o n y w zglę de m x-y zw ró cen ia przez czynność O y, ¿-tego zasobu o dnaw ialnego w ilo ś c i d p y k. D p y = (d p y j, d p ijt

2

,..., d p ijjz) oznacza sekw encję ilo ś c i p o b ie ran ych przez czynności O y zasobów o d n a w ia ln ych : dpi j k - ilo ś ć /v-tego zasobu pobieranego przez czynność,

W a rto ści x u , ty oraz elem enty se kw e n cji Tpu , Tzu , D p u , gdzie x u , t j, tpLkj, tzikJ, dpi kj e N , są elem entam i następujących se kw e ncji:

• te rm in ó w rozpoczęcia czynności m arszru ty te chn olo giczn ej P,:

• czasów trw a n ia czynności m arszru ty

Pf.

T j= (tih

tk2, ... , t Uo.

^),

• te rm in ó w pob ie ran ia /-te g o zasobu podczas trw a n ia czynności m arszru ty Pf.

• te rm in ó w z w a ln ia n ia y-tego zasobu podczas trw a n ia czynności m a rszru ty P t:

TZij— {tZj ij, tz,

²

j,...

,

tz

ij0hj),

• ilo ś c i pobieranego y-tego zasobu w tra kcie re a liz a c ji czyn no ści m a rszru ty P,:

DPij = (dpijj, dpi2j,... , dpih. j

^).

O graniczenia:

D a n y je s t h o ry z o n t H , z b ió r m arszrut te ch n o lo g ic z n y c h P, dopuszczalne w a rto ści zasobów n ie o d n a w ia ln y c h Zo. Znane są p o czą tkow e ilo ś c i zasobów o d n a w ia ln y c h Zn oraz sekw encje Tj, T P y, TZy, D P y.

D an y je s t h o ry z o n t H = [0 , /?], H a N, o kre śla jący p rz e d z ia ł czasow y re a liz a c ji asortym entu w y ro b ó w . C zynn ości są n ie po dzie lne w czasie oraz m o g ą rezerw ow ać d o w o ln ą ilo ś ć zasobów. P rz y jm u je się, że:

• ka żd y zasób w danej czyn no ści m oże b y ć w y k o rz y s ta n y ty lk o je d n o k ro tn ie ,

• ilo ś ć danego zasobu odn aw ialn eg o w yko rz y s ty w a n e g o przez daną czynność nie ulega z m ia nie i nie m oże b yć p rz y d z ie lo n a do inn ej czynności,

• w a ru n k ie m rozpoczęcia czyn no ści je s t dostęp do żądanej ilo ś c i zasobów o d n a w ia ln y c h w zadanych term inach Tpy, Tsy.

P rzyję to , że zm ienne określające te rm in y rozpoczęcia czynności Xy oraz czasy ich trw a n ia ty są z m ie n n y m i ro z m y ty m i [7 ]. Z m ie nn e te są oznaczane sym b o la m i i i ; -,

t y ,

o d p o w ie d n io w se kw e ncji:

• te rm in ó w rozpoczęcia czynności m a rszru ty P,:

TPij=

{ t P i . l j i t P i , 2 j , . . . , t P y 0 . j ) ,

• czasów trw a n ia czynności m a rszru ty P,:

P t = ( £ f , l < ti,2 < • • • i ti,loi)i Z g o d n ie z p o w y ż s z y m czynność

O y

m a postać:

tdij ~ {x(j ,

, Tpij, Tz^, DpiJ),

( ² )

(

⁴

)

(3)

Planowanie pracy zespołu robotów. 133

gdzie: - ro z m y ty te rm in rozpoczęcia czynności Ojj,

tij

- ro z m y ty czas trw a n ia czynności

0

, j, Tpij, Tz^, D p ij, - tak ja k w w y ra ż e n iu (1).

W o pa rciu o w prow a dzo ne postacie o peratorów ”

o graniczenia na liczba ch ro z m y ty c h m a ją postać:

O graniczenia kolejnościow e:

D ana je s t sieć czynności m arszruty te chn olo giczn ej.

O g ra nicze nia ko le jn o ś c io w e opisujące relacje zm ie nn ych ro z m y ty c h

x(j, k.j

^{m a ją}

postać:

• d la czyn no ści w ys tę p u ją c y po sobie:

xi,j

^{d" t i , j § x i,fc> (5)}

• d la w ie lu p o p rz e d n ik ó w :

xi,j

3“

ki — xi,k

>

xi,j+l+ ti,j

+1 —

xi,k

>-•

%i,j+n+ ti.j+n

2 (6)

• d la w ie lu następników :

x i , j ~b ^ i j — x i , k +1> x i,j~^~ t i , j — x i , k + 2 > • • • ) x i , j3"

h,i

^— x i , k + n -

(7)

N a le ż y zaznaczyć, że zgodnie z w y ra ż e n ia m i (patrz D odatek) (D 8 ), (D 9 ), ( D 10), ( D l i ) , (D 1 2 ), każde ograniczenie na zm ie nn ych ro z m y ty c h C,- (np.: < v L) charakteryzow ane je s t przez w artość lo g ic z n ą E (C,), £ ( C , je [ 0 , l] . W a rtości E (C ) d e te rm in u ją stopień n ie pe w no ści D E określający, w ja k im stopniu ograniczenia w chodzące w skład m od elu refe ren cyjn eg o są spełnione. D E = 1 oznacza, że w s zystkie o graniczenia są sp ełnio ne „n a p e w n o ” , a D E - 0,8, że „p ra w ie na pew no” . S topień D E d e fin iu je w yra żen ie (8):

DE = m in { £ ( C ,) } , ( 8 )

i=l,2,...,loc

g dzie: loc - liczb a ograniczeń m od elu referencyjnego.

O graniczenia na zasoby odnaw ialne:

D la zm ie nn ych p re c y z y jn y c h ograniczenie gw arantujące b ra k b lo k a d y d la zasobów o d n a w ia ln ych m a postać (9 ) [4 ].

O g ra nicze nie to zapew nia, że w c h w ili g h oryzon tu H suma zarezerw ow anych zasobów o d n a w ia ln y c h n ie przekracza dopuszczalnej w a rto ści Zo. O g ra nicze nie to p rz y jm u je postać n ie ró w no ści:

lp loi

^{j- _ 1}

Z Z h k y . A ’

K g , x, j + + tZi,j,k

) J —

ZOk ,

(9)

i=1j=1

gdzie: lp - lic z b a p ro je k tó w , lo-, - liczb a o pe ra cji w /-ty m p ro je kcie , d p ijk - liczb a £-tego zasobu rezerw ow ana przez operację 0,y,

l( g ,

a,

^{b) = 1 (g -}

a)

^{-1 (g - b)} - je d n o s tk o w a fu n k c ja czasu re z e rw a c ji zasobu, l ( g ) - fu n k c ja jed no stko w a .

C elem z d e fin io w a n ia a na lo giczn ych ograniczeń dla zm ie n n ych ro z m y ty c h

Xij, tpij, tZij,

konieczne je s t z d e fin io w a n ie ro z m y te j je d n o s tk o w e j fu n k c ji czasu re ze rw a cji zasobu (10):

i { g . a . b . E ^ = l ( g , a, E j) — l ( g , b, E^), (10)

gdzie: a , b - lic z b y rozm yte , l ( g , a, £ | ) - ro zm yta fu n k c ja jed no stko w a .

134 G. Bocewicz. R.Wóicik. Z. Banaszak

P rzyjęto, że ro zm yta fu n k c ja je d n o s tk o w a m a postać (11):

N - g i ~ E < i 9 ^ ä )

( g . a . E j l — 2E{g > a) ’ ( }

g dzie: 1 ( J j,a ,E i) G {0 ,1 }, E f G [0 ,1 ] - w artość log iczn a fu n k c ji je d n o s tk o w e j.

R ozm yta fu n k c ja je d n o s tk o w a (11) oraz założenie o stałej ilo ś c i zasobów o d n a w ia ln y c h w czasie u m o ż liw ia ją s fo rm u ło w a n ie ograniczeń narzucanych na zasoby odnaw ialne, ograniczeń gw a ra n tują cych (na o kre ślo n ym p o z io m ie n ie pe w no ści) brak w ystę p o w a n ia sytu acji b lo ka d o w ych :

f

ip

lol

X X K m

¡=1 /= i

•l(* i,i+ tP i,i.* -* ;.

+ tp ij ki lp lOi

X X K m

/—i /—i

1 "f

tpijoi.k x u + tpi

i - i

j - i

lp ¡Ot

X X K m

¿=i 7=1

• i ( x 2il+ tp2Xk ,x iij

"ł"

tpi,j,k>

lp lot

X X K m

M = 1

j = l

1

(ßlp,loip ~ktPlp,lOip,ki %i,j

+

( 12 ⁾

dla: k - 1,2, . .., Iz, gdzie I z - liczb a zasobów o dn aw ialn ych,

E%i,j,q

- w artość log iczn a (stopień spełnienia) z j-te j ro z m y te j fu n k c ji je d n o s tk o w e j dla ^ -te j n ie ró w n o ści.

W artość lo g ic z n ą n ie ró w n o ści u kła d u £ (C o (/) (gdzie Coq to q-ta nierów ność u k ła d u (1 2 )) d e fin iu je (13):

E(Co„) = „m in p [ . ¿ » j E t a l ) . (13)

gdzie: lp - lic z b a m arszrut te ch n o lo g iczn ych , /o, - lic z b a czyn no ści w i-te j m arszrucie.

W p rzyp ad ku m o d e li re fe re n c y jn y c h , o p isyw a n ych na ro z m y ty c h zm ie nn ych d e c y z y jn y c h , w y k o rz y s ty w a n e je s t dośw iadczenie p ro je kta nta decydującego o charakterze niepew ności w ystę pu ją cych w m odelu z m ie n n ych ro z m y ty c h (np. kszta łcie lic z b ro z m y ty c h ) oraz dopuszczalnych w artościach stopnia spełnienia w prow a dza nych ograniczeń.

3. Problem spełnienia ograniczeń

Program ow anie z o gran iczen ia m i CP (C o n stra in t P ro g ra m m in g ) je s t obszarem te c h n o lo g ii oprog ra m ow an ia bazującym na s p e c y fik a c ji ograniczeń zm ie nn ych d e c y z y jn y c h ro zw ią z y w a n y c h p ro b le m ó w . Is to tn ą cechę ograniczeń sta no w i ich d e k la ra ty w n y charakter. Oznacza to, że ograniczenia s p e c y fik u ją je d y n ie postać w ym a ga n ych re la c ji, nie p od ają natom iast sposobu gw arantującego ic h zachodzenie.

Planowanie pracy zespołu robotów.. 135

W ty m ko ntekście sp e cyfika cję p ro ble m u spełnienia ograniczeń (PSO ) s ta no w ią z b io ry z m ie n n ych i ic h d zie d zin oraz z b ió r ograniczeń w ią żą cych w ybran e zm ienne decyzyjne. P o szukiw a nym rozw ią za n ie m je s t z b ió r w arto ści zm ie nn ych spełniających p rzyjęte ograniczenia.

P roblem spełniania ograniczeń CS = ( (V,D),C) dete rm inu ją: skończony z b ió r zm ie n n ych d ec y z y jn y c h V - {v/,V

2

,...,v „}, rodzina d zie d zin zm ie nn ych D = {£>,• | D,• = i — 1, ..., n) oraz skończony z b ió r ograniczeń C = {C,-1 / = 1, ..., L ) lim itu ją c y c h w a rto ści zm ie nn ych d ecyzyjnych . Poszukiw ane je s t rozw iąza nie bądź to dopuszczalne, tzn. rozw iąza nie , w k tó ry m w a rto ści w s z y s tk ic h zm ie nn ych s p ełnia ją w s z y s tk ie ograniczenia (z w y k le je d n o - najw cześniej uzyskane), bądź też rozw iąza nie optym aln e ekstrem alizujące fu n k c ję ce lu okre ślo n ą na w y b ra n y m pod zbiorze zm ie nn ych d e cyzyjnych .

R ozw iąza nie CS u zy s k iw a n e je s t w w y n ik u system atycznego bądź heurystycznego p rze szu kiw a n ia m o ż liw y c h p rzyp orząd kow a ń w a rto ści zm ie n n ych d ecyzyjnych . M e to d y p rze szu kiw a n ia im p lem en to w a n e są w języka ch k la s y CP, np. O z M o z a rt [8 ], IL O G [6 ],

Ł a tw o zauw ażyć, że za prop on ow a ny m odel re fe re n c y jn y w p is u je się w te rm in o lo g ię PSO, a je g o d opuszczalnym rozw iąza nie m je s t k o m b in a c ja w arto ści zm ie nn ych d e c y z y jn y c h spełniająca p rz y ję ty z b ió r ograniczeń - w ty m ograniczeń d e te rm inu jących pożądane w ła ś c iw o ś c i fu n k c ji celu.

4. Przykład ilustracyjny

Dana je s t m arszruta te chn olo giczn a P i, w z d łu ż któ re j rea lizo w an ych je s t 10 czyn no ści (rys. 1). Po u koń czen iu czynności O u u z y s k iw a n y je s t w y ró b W2, a po u ko ń cze n iu czyn no ści O ię¡

0

^, w y ró b W,. R ozm yte czasy trw a n ia poszczególnych o pe ra cji zadane są w postaci se kw e n cji 7 j = ( t 11( t12, ... , ti.io )- E le m e nty se kw e ncji T j m a ją postać:

k i = { ( [ i - 3 ]- [2 ,3 ], [3 ,3 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, (dodatek rys. D l )

t i , 2 = { { [2 ,6 ], [2 ,5 ], [1 ,1 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, t 1>3 = { { [5 ,5 ], [5 ,5 ], [5 ,5 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, t i , 4 = { { [3 ,5 ], [3 ,4 ], [3 ,3 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, k ,s = { { [2 ,4 ], [3 ,4 ], [4 ,4 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, k

,6

= { { [2 ,4 ], [2 ,3 ], [2 ,2 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, k i = { { [1 . 5 ], [2 ,4 ], [2 ,2 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, k

,9

= { { [2 ,2 ], [2 ,2 ], [2 ,2 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}, k i o = { { [2 ,4 ], [3 ,4 ], [4 ,4 ]}, {0 ; 0,5; 1 }}

P rzyję to , że zasoby są rezerw ow ane w ra z z rozpoczęciem o pe ra cji i zw aln ia ne w m om encie je j ukończenia. Stąd sekw encje TPt TPI 2, TPI 3, TP/A, TPI S są se kw e ncja m i z e ro w y m i: T P u = T P /j = T P i

,3

= TP

^4

= TPt f= (Ó, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Sekw encje T Z 11l, T Z 12, T Z 1i3, T Z 1a, T Z 15, m a ją postać: T Z

11

= T Z

12

— T Z

13

= T Z 1A — T Z 1S = 7 \. Z k o le i, w ym agane ilo ś c i zasobów o dn a w ia ln ych rep, ro 2, ro j, ro 4, ro 5, a lo ko w a n ych do czynności m arszru ty P t , zgodnie z tabelą 1, w y ra ż a ją sekwencje:

D P 1 ,1 = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0), D P

,.2

= (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0), D P U = (0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1), D P U = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0), D P 1.5- (0, 1, 1 ,0 , 0, 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 ) .

136 G. Bocewicz. R.Wóicik. Z. Banaszak

D ane są: h o ry z o n t czasow y H = [0 , 2 0 ], H a N, dopuszczalny zakres nie pe w no ści D E > 0,8, dopuszczalne w a rto ści zasobów o d n a w ia ln y c h Zo = (zo /, zo2, Z

03

, zo4, zo5), gdzie: zoj = zo

2

- zo

3

= zo

4

= zo

5

= 1. P o szukiw a na je s t o d p o w ie d ź na pytanie:

Czy istnieje harm onogram realizacji produkcji gw arantujący jej ukończenie w horyzoncie W

O d p o w ie d ź na postaw ione p ytanie w iąże się w yzna czen iem ro z m y ty c h w arto ści e lem entów s e k w e n c ji^ : X x = ( x l v x12, — , * i , i o ) - P rz y ję to , że e le m e n ty se kw e ncji

A j p rz y jm u ją w arto ści o tró jk ą tn y m kształcie fu n k c ji przynależności.

Ponadto p rz y ję to , że ograniczenia k o le jn o ś c io w e są zgodne z (5), (6), (7), a ograniczenia narzucane na zasoby odn aw ialn e są zgodne z (12). O g ra nicze nia te zaim plem entow ane zostały w śro d o w isku O z M o z a rt. P ierw sze rozw ią za n ie dopuszczalne zostało znalezione w czasie 3 m in u t (k o m p u te r z procesorem A M D A th lo n (tm )X P 2500 + 1.85 G H z i p a m ię cią R A M 1,00 G B ).

i i , i = {{[0 ,0 ], [0,0], [0 ,0]}, {0; 0,5; 1 }} , * u = {{[0 ,0 ], [0,0], [0 ,0 ]}, {0; 0,5; 1}}

*1,3 = {{[2 ,4 ], [3,4], [4 ,4]}, {0; 0,5; 1 }} ,x 1A = {{[2 ,4 ], [3,4], [4 ,4]}, {0; 0,5; 1 }}

*i,s = {{[7 ,9 ], [8,9], [9 ,9 ]}, {0; 0,5; 1 } } , ^ 19 = {{[1 2 ,1 4 ], [12,13], [1 2 ,1 2 ]}, {0; 0,5; 1}},

*

1,6

= {{[5 ,7 ], [6,7], [7 ,7 ]}, {0; 0,5; 1 }} , i li8 = {{[1 1 ,1 3 ], [11,12], [1 1,11 ]}, {0; 0,5; 1}},

*1,7 - {{[7 ,9 ], [8,9], [9 ,9 ]}, {0; 0,5; 1 } } , * w o = {{[1 3 ,1 5 ], [14,15], [1 5 ,1 5 ]}, {0; 0,5; 1}}.

H arm on og ra m re a liz a c ji m arszru ty te ch n o lo g iczn e j P h d la uzyskanego rozw iąza nia dopuszczalnego, ilu s tru je rysunek 2.

K a żde j operacji O y o d p o w ia d a ją d w ie lic z b y rozm yte . Pierw sza określa te rm in je j rozpoczęcia, a druga ukończenia. O trzym an e w a rto ś c i o kre ś la ją p rz e d z ia ły te rm in ó w , w k tó ry c h operacja m oże się rozpocząć i u k o ń czyć. P rz y ję ty stopień spełnienia D E > 0,8 oznacza, że w n a jgo rszym p rzyp ad ku 80% w a rto ści z p rz e d z ia łó w lic z b ro z m y ty c h spełnia ograniczenia m od elu referencyjnego.

N a rysun ku 3 p rze dsta w ion o p rz e d z ia ły w a rto ś c i, d la k tó ry c h stopień przynależności do każdej z lic z b je s t co n a jm n ie j 0,5. Oznacza to, że 80%

o trz y m a n y c h w a rto ści spełnia ograniczenia m o d e lu referencyjnego, a w yznaczone te rm in y , ze stopniem spełnienia 0,5 u kończenia w y ro b ó w W/ i W2, w y n o szą o d p o w ie d n io 19 i 15 je d n o s te k czasu.

5. W nioski

P rze dsta w io ny p rz y k ła d ilu s tru je m o ż liw o ś c i w y k o rz y s ta n ia ję z y k ó w pro gram ow ania z o gran iczen ia m i p rz y ro z w ią z y w a n iu p ro b le m ó w p la n o w a n ia p ra cy zespołu ro b o tó w w ie lo fu n k c y jn y c h w systemach p o to k o w e j i w ie lo a s o rty m e n to w c j p ro d u k c ji je d n o s tk o w e j. W p rz y k ła d z ie w y k o rz y s ta n o o p ra co w a n y m odel re fe re n c y jn y p ro b le m u decyzyjnego, sta no w ią cy sw oistą reprezentację p ro b le m u spełniania ograniczeń, k tó ry ko nce ntru je się na klasie zadań, zw ią z a n y c h z w yzna czan iem w arto ś c i zm ie nn ych d e c y z y jn y c h gw a ra n tują cych zadane w a rto ś c i fu n k c ji celu.

Planowanie pracy zespołu robotów.. 137

Ol £

015

, •, , 1 |- , •,...

- - D .

n . L l .

X X J=L

X X X X

X X

n

I i i I i i I I i I i 1..i .1 I I i j 1 1 I i

4 5 6 7 0 9 10 11 12 13 14 15 IB 17 18 19 X) 21 3? 23 24 X

Rys. 3. Przedziały wartości ze stopniem spełnienia, co najmniej 0,5

M o d e l re fe re n c y jn y u m o ż liw ia budow ę bardziej zaaw ansow anych, zadaniow o z o rien to w an ych, system ów interakcyjnego w spom agania d e c y z ji, np. system ów sterow ania d yspo zytorskieg o w E la stycznych System ach P ro d u kcyjn ych . A k tu a ln ie p row adzone badania w ią ż ą się z opracow aniem m etod in te ra kcyjn e g o ro z w ią z y w a n ia zadań a lo k a c ji zasobów o dn aw ialn ych i n ie o d n a w ia ln y c h rea lizo w an ych w systemach p ro d u k c y jn y c h , w w arunkach niepew ności.

BIBLIOGRAFIA

1. B ach I., T o m c z u k -P iró g I., B zd yra K ., Banaszak Z .: Zarządzanie w ie d z ą M ŚP (w spom aganie d e c y z ji). W : K o m p u te ro w o zintegrow ane zarządzanie, T. I, K n osala R., O fic y n a W y d a w n icza PTZP, O pole 2007, s. 22-31.

2. Banaszak Z .: CP-based decision support fo r p ro je c t-d riv e n m anufacturing. In : Perspectives in M o d e m P roject S cheduling (Józefow ska J. and W ę g la rz J. (E d.)),

In te rn atio na l Series in O perations Research and M anagem ent Science, V o l. 92, S pringer V e rla g, N e w Y o r k 2006; p. 409-437.

3. B a rtak R.: In com ple te D e p th -F irs t Search Techniques: A S hort Survey, Proceedings o f the 6lh W o rksho p on C on strain t P ro gram m in g fo r D e c is io n and C o n tro l, Ed. F ig w e r J., 2004; p. 7-14.

4. B o c e w ic z G ., M u s z y ń s k i W ., Banaszak Z .: P lanow anie p ra cy zespołu ro b o tó w w ie lo fu n k c y jn y c h w systemach p o to k o w e j p ro d u k c ji w ie lo a s o rty m e n to w e j (M o d e l refe ren cyjn y).

5. D z ik u ć M ., K u ż d o w ic z P.: Proalpha A P S - the advanced to o l fo r m u lti-re s o u rc e - p la n n in g and re a ltim e -o p tim iz a tio n in m id d le -size enterprises, W : D esign m ethods fo r practice / cd. R oh atyński R ., P oślednik P. O fic y n a W yd a w . U n iw e rs y te tu Z ie lo n o g ó rskie g o , Z ie lo n a G óra 2006; p. 197-199.

6. Puget J-F.: A C + + Im ple m e ntatio ns o f C LP. Proceeding o f SPICS 94, 1994.

7. Picgat A .: M o d e lo w a n ie i sterow anie rozm yte. A k a d e m ic k a O fic y n a W y d a w n ic z a E X IT , W arszaw a 1999.

8. Schulte C H ., S m olka G., W u rtz J.: F in ite D o m a in C o n stra in t P ro g ra m m in g in O z, D F K I O Z docum entation series, G erm an Research C enter fo r A r t ific ia l In te llig e n ce , Stuhlsaltzenhausw eg 3, D -66123 Saarbrucken, G erm any 1998.

Recenzent: P ro f. d r hab. inż. Jerzy Ś w id e r

A b s tr a c t

S cheduling o f m u lti-ro b o t in a m u lti-p ro d u c t flo w shop can be seen as an a llo c a tio n p ro b le m o f shared renew able resources and then can be resolved in term s o f co nstrain t satisfaction p ro ble m . In turn, an assumed s p e c ific a tio n enables usage o f the c o m m e rc ia lly availab le co nstrain t p ro g ra m m in g so ftw are tools. P ro v id e d case illustrates that c a p a b ility u sin g exam ples fo llo w in g fro m the case co nce rn ing o f ro u tin e questions such as: W h a t is the system p erform ance fo llo w in g a g iv e n resources a llo catio n? W hat is the p ro d u c tio n c o m p le tio n tim e fo llo w in g assumed robots o peration tim e? The proposed reference m odel o f m u lti-ro b o t sch ed uling p ro b le m can be used as a fo rm a l fra m e w o rk fo r design ing o f m ore advanced, i.e., ta k in g into account b oth renew able and non-renew able resources as w e ll as accurate and unce rta in data sp e cifica tio n , decision support tools.

Dodatek

Zgodnie z [7], liczba rozmyta jest zbiorem rozm ytym opisywanym na zbiorze liczb rzeczywistych i reprezentowanym przez w ypukłą funkcję przynależności. Przyjęto, że liczby rozmyte są opisywane na zbiorze liczb naturalnych i postrzegane jako pary postaci:

{Au or,} ( D l )

gdzie: At = { A z. j , A 2,...,Az b} skończony zbiór z - przekrojów, a tj = {a,-,/, aa,---, a,,/;}

zbiór wartości cięć kolejno dla przekrojów AZj1,A , , 2,—,A z. Ia . Iz - liczba z-przekrojów.

138________________________________________ G. Bocewicz, R.Wóicik, Z. Banaszak

Planowanie pracy zespołu robotów..

139

n, (D2)

gdzie: a¡¿, b¡y - najmniejsza i największa wartość a-przekroju Aa. k [7], o,-.*, eN.

Z-przelcrój (D2) jest zbiorem liczb naturalnych uzyskanym w w yniku usunięcia z a-przekroju [7] wszystkich wartości niebędących liczbami naturalnymi: Az. k = AK. k D N.

Przykład takiej reprezentacji ilustruje rysunek D l.

a) b)

A(v)

i

A ««= i

! A a, .2 a.: 0.63 1 j !

\ Aa ,.3 \ ao = 0,33 i : A a. .4 j 1 _«1<=0

0 1 2| 3 4 5 ¡6 ¡7 S 9 v

Mky)

1 •>< A.a,.1 a,i- l

l - - C t j . 2 w . 2 -

' i Ao i.3 \ * } - 0.33

---

a'a “ 0,63

- H I - a»- «a ¿a *t.

0 1 2! 3; 4 5 ;6 ;7 Ou ao b,,2

S 9

v< = ({[1.8]„.[2.7]r.[ 3.6]s . [4,4]«}. {0;0,33; 0,63; 1}) 0, = ({[1,8]«, [2,7].v.[3.6].v.[4,4].v},{0; 0,33:0.63; 1})

Rys. D l. Rozmyty zbiór V-, reprezentowany: a) przy użyciu a-przekrojów, b) przy użyciu dyskretnych a-przekrojów

Należy zaznaczyć, że reprezentacja zmiennej liczbowej o charakterze ostrym przy użyciu z przekrojów przyjm uje postać singletonu.

Niepewny charakter stosowanych w modelu zmiennych x , j, ?(<y im plikuje niepewny charakter związanych z nim i ograniczeń (np. kolejnościowych). Do budowy tego typu ograniczeń, analogicznie do operatorów algebraicznych =, <, > , > , < , wykorzystano operatory opisujące relacje na zmiennych rozmytych = , < , > , gwarantujące zachodzenie warunku (D3):

E ( v , < v { ) + E ( V i = v [ ) + E ( v t > V i) = 1 , (D 3 ) gdzie: E(a) - wartość logiczna zdania a, E{a) e [0,1].

W celu zdefiniowania operatorów rozmytych spełniających (D3) wprowadzono pojęcia podzbiorów zmiennych rozmytych: v t L, v , ' , t;,-p i v t L, u ,*, v p oraz pojęcia rozmiaru zmiennych rozmytych S, i rozmiaru ich podzbiorów: SiL,Si p,Sl , S ', S P.

Każdej parze zm ie nn ych ^{V, ,} v t przyjmujących wartości w postaci liczb rozmytych (definiowanych w postaci: {(//,(v), v ) },V v e Ki, gdzie K, zbiór wartości, na którym opisywana jest liczba v f) odpowiadają podzbiory , V V p i v LL, v t *, v p . D la v , można wyróżnić trzy podzbiory: 17£Ł- określająca podzbiór zawierający elementy v mniejsze od elementów zbioru v £* - podzbiór elementów wspólnych z elementami zbioru v t ; v p - podzbiór zawierający elementy v większe od elementów zbioru fi;. Podzbioryv ,1, v,*, v p, definiowane są następująco:

v/£ = « t f £( v ) , v ) } , V v g K „ (D4) gdzie:

di (v ) = [AhO ) - p L(v ) gdy pt (v ) > /ą (v ) , v < w „

0 gdy u f a ) < p t (v), v < wmin lub v > w„

wmin = m in {Kw} , Kw = { v :v £ K£,/r ,( v ) = 1],

v ,' = {(.Mi *(v)> v )}, V v e K,-, (D5)

140 G. Bocewicz, R.Wóicik, Z. Banaszak

fxi p(v) gdzie:

v p = {(MiP{ v ) ,v ) } , V v e K h (D6)

M iO ) - M t(v) gdy ¡¿ i(v )> (v), v > wmax

0 gdy ^ O ) < ju, (v ), u > wmax lub v < wmax, wmax = m a x {Kw} , Kw = {v:u e = 1}.

Analogicznie wyznaczane są podzbiory zmiennej rozmytej i?(Ł, v ,*, u;p . Każdej z wyżej wym ienionych zmiennych V i,vt i każdemu podzbiorowi tzźL, V i* , v p, y f y f , v p odpowiada jego rozmiar. Rozmiar zmiennej rozmytej Vi dla reprezentacji z-przekrojów ma postać:

Si = E i f = i | K (.k||. (D7)

gdzie:

||i4z. fc|| - liczba elcmenentów zbioru Az. k.

Analogicznie do (D7) wyznaczane są rozm iary zmiennej v t oraz podzbiorów V iL, V i', v p i x>iL, V[ *, V[P, oznaczane są one kolejno symbolami: Slt SiL, Si' , S P, , S {, S p. Ze względu na to, że rozmiary , Uj*są sobie równe, S { = , oznaczane dalej są symbolem S*.

W oparciu o wyrażenia (D4), (D5), (D6), (D7) zdefiniowane zostały rozmyte operatory algebraiczne spełniające warunek (D3). Dane są dwie zmienne iz£, v t przyjmujące wartości rozmyte ( D l) :

Wartość logiczna zdania = v £wynosi:

2 5 *

= — , (D 8)

i +

gdzie: 5 „ 5/ - rozmiary kolejno zbiorów Vi, v L, S - rozm iar części wspólnej zbiorów V[ i f ; . Wartość logiczna zdania V[ < v t wynosi:

^ N SiL + S\p

E(vi <vl) =

^{1 J , (D 9)}

•->i + gdzie: S, - rozmiar zbioru , Si - rozm iar zbioru V¡,

5 jL- rozm iar podzbioru v ,L, S p- rozmiar podzbioru v tp.

Wartość logiczna zdania Vi > V[ wynosi:

S p 4- S L

E(vi >

^{0 ,)}

=

^{‘ ' • ( D l 0)}

‘ '

Wartość logiczna zdania i > U; wynosi:

, „ 25* + SiP+ S,L

W i S 0 ,)

=

--- --- i - ■ ( D l i ) W + ¿i

Wartość logiczna zdania t^ < v Lwynosi:

N 2S* + S;Ł +

E & i < = ¿i +c f ć ‘ ( ° 12)

Wyrażenia (D8), (D9), (D10), ( D l i ) , (D12) um ożliw iają budowę ograniczeń opisujących relacje równości, mniejszości/większości między dwiema zmiennymi rozm ytym i. A b y móc budować ograniczenia odpowiadające ograniczeniom zmiennych precyzyjnych, konieczne jest określenie rozmytych operatorów dodawania i odejmowania. Podobnie ja k poprzednio, operatory te oznaczane są symbolem „ A” ( „ + ” , „ —” ). Przyjęto, że operacje dodawania i odejmowania liczb rozmytych realizowane są zgodnie z [7],