Z E SZ Y T Y N A U K O W E PO LITE C H N IK I ŚLĄ SK IEJ 1999
Seria: B U D O W N IC T W O z. 86 N r kol. 1440
A ndrzej PO W N U K
ZASTOSOWANIE REGULARNYCH PRZEDZIAŁOWYCH
M ACIERZY JACOBIEGO DO OBLICZANIA EKSTREMALNYCH WARTOŚCI W IELKOŚCI MECHANICZNYCH
CZĘŚĆ I - PODSTAW Y TEORETYCZNE
S tre sz c z e n ie . W pracy przedstaw iono dw ie now e m etody obliczania ekstrem alnych w arto ści funkcji uw ikłanych z,(r). Jeśli pew ne specjalne przedziałow e m acierze Jacobiego b ędą regularne to znak pochodnych cząstkowych będzie stały dla wszystkich i e T i ekstre
my
malne wartości L i = '« /{z,(0 :ie Th z,- = s u p { z i( t ) . t e t } m ożna obliczyć na podstawie w ierz
chołków przedziału T e I R " .
APPLICATION OF REGULAR INTERVAL JACOBIAN MATRIX TO CALCULATION OF EXTREME VALUES OF MECHNICAL QUANTITIES.
PART I - THEORETICAL BACK-GROUNDS
S u m m a ry . In this paper, tw o new m ethods for calculation o f extrem e values o f im plicit functions z, (r) are presented. I f som e special interval m atrices are regular then sign o f partial derivatives is constant for all i e T and extrem e values L i = i n f { z i( t ) - t e T},
dij
z, = s u p {z j(f): t e t } . W e can calculate using vertices o f interval T e I R " .
1. W prowadzenie
Problem m odelow ania tolerancji w układach m echanicznych m ożna sprow adzić do zagad
nienia znalezienia obrazu obszaru tolerancji T c / ? '" poprzez uw ikłane odw zorow ania z(t) określone ja k o rozw iązanie układu nieliniow ych rów nań algebraicznych F ( z , t ) = 0 (gdzie
F : R" x R"‘ —> R " ). Z biór w szystkich rozw iązań określony je s t następująco:
M = { (z ,t): F(z,t) = 0 , t e T } = { ( z ( t ) , t ) : t e T}. (1)
168 A. Pownuk
W p racy opisane są teoretyczne p o dstaw y now ej m etody obliczania param etrów z , , zf : Ł, = i n f { z i ( i ) : 16 T }, z, = sup{z, ( i ) : 1e T } (2)
2. Przedziałowe metody obliczania ekstremalnych wartości funkcji uwikła
nych oparte na sprawdzeniu monotoniczności
Po d staw o w y m w ynikiem tej p racy je s t następujące tw ierdzenie.
T w ierd zen ie 1
N iech dana je s t ciągła funkcja F : R" x Ą m 3 ( z ,r ) —> F ( z ,/ ) e R" oraz m -w ym iarow y prze
dział T = x ^ , t t ] c R ' " . N a podstaw ie w ierzchołków przed ziału T określam y n-w ym iarow y
przedział Z = x [ z / ,z. ] c R " , gdzie
1=1
Z,- = m in \z i (t'' ) : t* e V }, z,- = m a x \z i (t'' ): t w e V ]. (3) V je s t zb io rem w ierzchołków p rzedziału T (odpow iednie w ierzchołki m ożna w ybrać na po d
staw ie znaku p o chodnych ^ Z‘ ^ ^ obliczonych dla dow olnego t 6 T ). Jeśli:
A j 1) w ( Z () * 0 dla i= l,...,n ,
2) funkcja F je s t różniczkow alna w sposób ciągły w k ażdym p unkcie pew nego otw artego zb io ru U c: R" x R " ',
3) d la k ażdego t0 e T rów nanie F(z,t )= 0 p o siad a jed n o zn a czn e rozw iązanie z(f0). (w ukła
dach m ech an iczn y ch w łasność ta je s t zw ykle zagw arantow ana), 4 ) p rzed ziało w e rozszerzenie następujących m acierzy Jacobiego
¿ F ( Z , ^ , Z , T J , ¿ F ( Z Z „ T , T . ) , ...m o d [ z , Zl- , , t J ,Z i+, , . . . , Z n )
s ą regularne, to
i i = i n f { Z i ( t ) : t e T }, z, = s u p { z i ( t ) : t e T } dla i= l,...,n . (5) D ow ód
d F ( x )
Z ró żniczkow alności funkcji F w ynika, że ja k o b ian J { x ) = ■ , R" x R ” x R"' (n-w ierszy, d ( z , t )
n+ m kolum n) je s t fu n k cją ciąg łą J : R" x R m z> X 3 x —> / ( * ) e R" x R" x R m . Z atem dow ol-
Z astosow anie regularnych przedziałow ych m acierzy Jacobiego C ześć I 169
ny podw yznacznik M ( x ) = det _ J H x) d {Xu,’- ’XJ
( M : R " x R " ‘ ^ X 3 x - > M { x ) e R ) m acie-
rzy Jacobiego je s t rów nież fun k cją ciąg łą w X. Z w łasności przedziałow ego rozszerzenia funkcji oraz regularności m acierzy (4) w ynika, że:
V x ‘ e X , det d z
* 0, det * 0
N a podstaw ie w łasności D arboux funkcji ciągłych w szystkie w yznaczniki d F ( x )
d et —j--- — — t
(6)
(7)
m ają taki sam znak dla w szystkich x ’ e X . Z założeń (1-3) oraz tw ierdzenia G avesa [3] w y
nika, że pochodne funkcji uw ikłanych m ożna obliczyć na podstaw ie w zoru:
M * ) _ dt.
d F (x
)
d{zl ,...,Zi. l ,tj ,
dF{x)
dz (8)
P oniew aż oba w yznaczniki m ają stałe znaki, zatem pochodne
M )
d t : m a ją rów nież stałe znaki dla w szystkich t e T . Z atem w szystkie funkcje
z,(';)= zl {f',,.../H .tj,t’^l C ) (9)
są m onotoniczne w T przy dow olnym w yborze w artości t*e [r,, r, j. Jeśli funkcje (9) są m o- notoniczne, to ich ekstrem alne w artości m ożna obliczyć na podstaw ie w ierzchołków p rze
działu T. Poszukiw anie odpow iednich w ierzchołków m ożna znacznie skrócić, je śli znam y
w artości pochodnych w dow olnym punkcie i* e T. P ochodne te m ożna obliczyć na A j
podstaw ie tw ierdzenia o pochodnej funkcji uw ikłanej:
V
dFk dzj dFk, . , ,
+ = §dzle k = l,...,n i i= l,...,:
~[dZj dti dti (10)
U w aga. A by funkcja ż ,( i,) = ) była m onotoniczna przy dow olnym w yborze w artości f* e w ystarczy aby przedziałow e rozszerzenia następujących dw óch m acierzy Jacobiego
3 F ( X ) d F ( X )
d z ’ d [ z r . . . , z H, , t j , Z i+l,. . . , Z n ) (U)
170 A. Po wnuk
b y ły regularne. Jest to bezpośredni w n io sek ze w zoru (8). W łasność tę m o żn a w ykorzystać w p rzypadku, g dy n ie w szystkie m acierze (11) są regularne.
3. Obliczanie ekstremalnych wartości funkcji uw ikłanych-przypadek j ednowymiar owy
D alej b ędziem y ro zpatryw ali tylko przypadki, w których u w ik łan a funkcja z : R 3 T —» R" je s t k rzy w ą w przestrzeni R " . Z akładam y, że funkcja z je s t ciągła w T oraz różno w artościow a.
T w ierd zen ie 2
N iech dane je s t ciągła funkcja z : S 3 T - > J i ' oraz n-w ym iarow y przedział Z = x \ i i , z, ],określony następująco
i , =min{z,(i),z,(F)}, z, = max{z, (t),zl (i)}. (12) P rzed ział X określony je s t ja k o X = Z x T c R" x R . Jeśli
1) w (Z,.) * 0 dla i= l,...,n ,
2) istnieje taki p u n k t t ' e int(T ) , że z(t*)e int(Z ),
3) < 3 X n M = { (z ( t),f ),(z (i),?)}, gdzie zb ió r M określony je s t następująco:
M = { ( z ( t ) , t ) : t e T}, (13)
to
i i - i n f { z t ( t ) : t € T }, z t = sup{zi(t): t e T } dla i= l,...,n (14) D ow ód
Z założenia (1) i (3) w ynika, że zbiory M i 9X p o siad ają tylko dw a p u n k ty w spólne. N iech istnieje taki F e T , że punkt ( z ( i ) , F ) g X . W tedy istnieje takie „i” , że z ,( F ) < z , (lub Z, (F )> ż, )■ P oniew aż funkcja z ,( t) je s t ciągła, zatem przyjm uje w szystkie w artości pośrednie p o m ięd zy z,(i*) oraz z,(F ). C zyli istnieje takie F e T , że z ,'(f)= z ,-. Z atem zb ió r d X n M sk ład ałb y się z trzech punktów "{(z(l).i), (z(F),F), (z(F) F)j. Jest to sprzeczne z założeniem (3).
Z e sp rzeczności tej w ynika następujący w niosek:
V t e in t (T ) 1, < Zj(t)< Zt dla i= l,...,n (15)
Z astosow anie regularnych przedziałow ych m acierzy Jacobiego ... . C zęść I 171
Poniew aż z, z, = m a x
V t e in t{T ) < Zji1) - Zi dla i= l,...,n , (16) czyli funkcje z, (i) osiąg ają sw oje kresy w przedziale T, co kończy dow ód.
T w ierdzenie 3
N iech dana je s t funkcja F : R" zd U z> X 3 x —> F ( x ) e R" różniczkow alna w sposób ciągły w p ew nym otw artym zbiorze U. Jeśli is tn ie ją d w a punkty x , , x 2 e X ( t , # x 2) takie, że
F ( x , ) = F ( x 2) = 0 , (17)
d F ( X
) . .
to m acierz — ^ —- m e je s t regularna.
ax D ow ód
N a podstaw ie założeń tw ierdzenia m ożem y napisać:
0 = F (x2) - F {x, ) . (18)
W prow adzam y funkcję p om ocniczą <p(i)= F ( x , + s ( x 2 - x , ) ) . D alej m ożem y napisać:
1
0 = F {x2) ~ F ( x , ) = (p(])~ <p(0)= j ( p ' ( s ) d s , (19) 0
1 /
J <p' (s)ds = J F' (x , + s ( x 2 - x , ))ds ■(x2 —x / ). (20)
o o
Z tw ierdzenia o w artości średniej dla całek otrzym ujem y:
f i F ' ł - * ' » A . g dzis e [0. l ] . (21)
i d x i * >
Poniew aż, gdy i* e [0, l] , to x , + s* (x2 - x , ) = jc* e X oraz
~ j- (x, + s (x 2 - x, )) ^ _ dFf (r, + 5* f c - x ,)) dF, (r*) ^ 3 F (x ) ^ ^
" i dxi dxi d x j d x j
czyli
t s ą > . (23)
Z (21) i (22) m am y:
0 = F (x2) ~ F (x, ) = A (x2 - xi ). (24)
Poniew aż x 2 - x , * 0 , zatem rów ność (24) m oże zachodzić tylko w tedy, gdy:
d e t ( X ) = 0 . (25)
172 A. Pow nuk
~ <?F(X) d F ( X ) . , , , „ , , , ,
P oniew aż A e — - — , zatem m acierz — —- m e m oże byc regularna. Co kończy dow od.
ox dx
T w ierd zen ie 4
N iech F : R" x R z> U 3 ( z , t ) —> F ( z , t ) e R n gdzie t e T oraz Z = x | z . ,?• ], gdzie /=i
z, =/n/«{z,(f),Z,(f)}» Z,- = m ax{zi (t),zi {i)} dla i= l,...,n . (26) Przedział X o k reślony je s t jak o X = Z x T c R" x R .
Jeżeli:
1) w(Z, 0 dla i= l,...,n ,
2) F je s t ró żn iczk o w aln a w sposób ciągły w pew n y m otw artym zbiorze 6/ z> X ,
3) dla k ażdego t e T rów nanie F ( z , t ) = 0 posiada jed n o zn a czn e rozw iązanie z ( t ) , (w ukła
d ach m ech an iczn y ch w łasność ta je s t zw ykle zagw arantow ana), 4) w szy stk ie m acierze
... Z - T ) , Z - T \ dl ą ( 27)
dz z j <9( z ,...z1._i ,r,z,+;, . . . , z j są regularne,
5) istnieje takie r ' e T , że ( z ( f * ) r ') e i n t ( x ) , to
i.- = '« /{ ¿, W" ^ e T}, żj = sup{z, (r).-1 e T } d la i= l,...,n . (28) D ow ód
N a p o d staw ie różniczkow alności funkcji F oraz regularności m acierzy ^ ^ i tw ierdze- dz
n ia G avesa w ynika, że u w ik łan a funkcja z{t) je s t ciągła oraz różniczkow alna. Z założenia zb ió r 3X , M = {(z(r),r ): t e T } m ają co najm niej dw a p u n k ty w spólne:
( z ( t ) , t ) , ( z ( i ) J ) . (29)
Z zało żen ia (1) w ynika, że każd a ściana p rzedziału X zaw iera tylko je d e n z pun k tó w (29).
W sp ó łrzęd n e pun k tó w (29) są rozw iązaniam i n astępujących układów rów n ań (patrz r y s .l) I F ( z , t ) = 0 i F ( z , t ) = 0
. . _ dla i= l,...,n . (30)
Zf ~ i i = 0 [ z ; - z , = 0
Jeśli ró w n an ia (30) b ę d ą m iały w ięcej n iż je d n o rozw iązanie, to zbiór dX n A/ będzie sk ład ał się z w ięcej niż dw u punktów (29). R ów nania (30) m ożna zapisać w postaci:
Z astosow anie regularnych przedziałow ych m acierzy Jacobiego .... C ześć I 173
R ys.l.
F ig .1.
4. Wnioski
W p racy przedstaw iono teoretyczne podstaw y dw u now ych m etod m odelow ania tolerancji w układach m echanicznych. O pracow ane algorytm y m ożna zastosow ać do układów m ech a
nicznych, których m atem atyczny m odel dany je s t za p o m o cą układu nieliniow ych rów nań algebraicznych postaci F ( z , t ) - 0 , gdzie F : R" x R m 3 ( z , t ) —> F ( z , t ) e R" i i e T c R m . Inne p rzedziałow e m etody rozw iązyw ania układów rów nań zależnych od param etrów z pew nego zbioru T c R'n m ożna znaleźć w pracach [1,2,4-7], K lasy czn ą m eto d ą poszukiw ania zbioru rozw iązań M = {(z,f).' F ( z , t ) = 0 , t e T } je s t m etoda kontynuacji [8]. D o znalezienia rozw ią
zań układów nieliniow ych rów nań algebraicznych m ożna rów nież w ykorzystać w yniki teorii m ultifunkcji [9], Z astosow ania przedstaw ionych tutaj algorytm ów w m echanice opisane są w drugiej części tej pracy.
f{z, z i_ , , z i , z M , . . . , z „ , t ) = 0 , f(z, z i_ ,,z i , z M , . . . . z „ , t ) = 0 . (31) N a podstaw ie tw ierdzenia 3, je śli m acierze Jacobiego układów rów nań (31)
f ( Z * ...Z - T ) , f ( Z ' Z - T \ d l . i - 1 „ (32)
b ęd ą regularne, to układy te p o siad ają jednoznaczne rozw iązanie. C zyli zbiór d X n M składa się z d w u punktów { z ( l ) , t ) , ( z ( t ) , t ) . Poniew aż na podstaw ie założenia (5) istnieje punkt
(z(r‘ ) t * ) e i n t ( x ) , to uw ikłana funkcja z = z(r) spełnione są w szystkie założenia tw. 4 czyli:
L ~ ‘nf f e ( 0 : t e T l> % = sup { Z i T } dla i= l,...,n , (33) co kończy dow ód.
Funkcja z,(r) spełnia warunek z
,
< z, (r) < z, dla każdego t e ( t , t ) Function z,(t) satisfy condition zf < z ,- (i) < z i fo ra ll t e (t , t )174 A. Pow nuk
L IT E R A T U R A
1. G ay D .M .: C om puting P returbation B ounds for N o n lin ear A lgebraic E quations, SIAM Journal on N um erical A nalysis, V ol.20, N o.3, 1983, p p .638-651
2. K earfott R .B ., X ing Z.: A n Interval M ethod Step C ontrol for C ontinuation M ethods, SIA M Journal on N um erical A nalysis, V o l.31, N o.3, 1994, s.892-914
3. M aurin K.: A naliza. C zęść I. E lem enty. PW N , W arszaw a 1991
4. N eu m aier A.: Interval m ethods for system o f equations, C am bridge, U niversity Press, C am bridge, 1990
5. N eu m aier A.: R igorous S ensitivity A nalysis fo r P aram eter-D ependent S ystem s o f equa
tions. Journal o f M athem atical A nalysis and A pplications, Vol. 144, 1989, pp. 16-25 6. N eu m aie r A.: T he enclosure o f solutions for param eter-d ep ed en t system o f equations, in
R eliability in C om puting, A cadem ic Press, N ew Y ork, 1988, p p.269-286
7. Pow nuk A.: M odelow anie niepew nych param etrów układów m echanicznych m etodam i m atem atyki przedziałow ej. X X X V III Sym pozjon „M odelow anie w m echanice", W isła 1999
8. R heinboldt W .C.: N um erical analysis o f p aram etrized n o n lin ear equations. John W iley and Sons, N ew Y ork, 1986
9. S aint-P ierre P.: N ew ton and O ther C ontinuation M ethods for M ultivalued Inclusions.
S et-V alued A nalysis, V o l.3, 1995, p p .143-156
A b stract
In this paper, theoretical back-grounds o f m odelling interval uncertainties using interval arithm etic are presented. It is show n that if som e special interval m atrices are regular, then im plicit functions zf(r) are m onotone in interval T. U sing these facts, w e can calculate ex
trem e values o f the functions z,( t) w here t e T and F ( z ( t ) , t ) = 0 (i.e. w e can calculate nu m bers = s u p { z i ( t ) : t e T }, z, = s u p { z X t ) : t e T } i= l,...,n ). W e can apply the presented m ethod in sensitivity analysis o f structures. E ngineering applications o f these algorithm s are presen ted in the next part o f this paper.
