Determinizm przyrodniczy a chaos deterministyczny

Anna Lemańska

Determinizm przyrodniczy a chaos

deterministyczny

Studia Philosophiae Christianae 32/1, 203-211

Studia Philosophiae C hristianae A TK 32 (1996) 1 A N N A LEM AŃSKA P A M IĘ C I K S IĘ D Z A S Z C Z E P A N A DETERMINIZM PRZYRODNICZY A CHAOS DETERMINISTYCZNY

1. Wstęp. 2. Zjawisko chaosu deterministycznego. 3. Zagadnienie determ inizm u przyrodniczego.

1. W ST ĘP

W tym artykule przez determ inizm p rzyrodniczy rozu m iem s ta n o ­ w isko, k tó re najkrócej m o żn a sform ułow ać n astępująco : pom iędzy zdarzeniam i w przyrodzie za chod zą stałe zw iązki przyczynow e . Z tak im poglądem wiąże się ściśle za sad a przyczynow ości, k tó ra głosi, że te sam e przyczyny w tak ich sam ych w a ru n k a c h p o w o d u ją zawsze takie same skutki. W ynika z tego, że jeżeli znam y relacje m iędzy zjawiskami, to n a tej p odstaw ie m ożem y o d tw arzać i przew i­ dyw ać bieg zdarzeń w przyrodzie. W a rto w tym m iejscu zaznaczyć, że w tej wersji determ inizm jest jed n y m z założeń leżących u p o d staw u p raw ian ia n au k przyrodniczych.

M echanika N ew tona przez p o n a d dw a wieki d o starc zała a rg u m e n ­ tów zw olennikom determ inizm u przyrodniczego. N a p o d staw ie jej p raw św iat zjawisk fizycznych m o żn a było w yob rażać sobie w po staci zegara czy mechanizm u, w k tó ry m części działają zgodnie z o k re ś­ lonym i praw am i i gdzie nie m a m iejsca n a żaden p rzyp adek. P o w stała w X IX w. m echanika statysty czna, b a d a ją c a w ielkie zb io ro w isk a cząstek, nie zachwiała tak im o b razem św iata. Z p ra w m echan ik i N e w to n a wynikało bow iem , że ruch każdej m olekuły je st ściśle zdeterm inow any, a tylko zb yt w ielka ilość elem entów uniem ożliw ia śledzenie ru ch u pojedynczych cząstek i konieczność p osługiw ania się

1 Trzeba pamiętać, że teza determ inizm u przyrodniczego może odnosić się do trzech różnych płaszczyzn: ontologicznej, gnozeologicznej i metodologicznej.

p ra w am i statystycznym i2. D o p iero m ech an ik a k w an to w a, w której opis p robabilisty czny należy do istoty teorii, w ym usiła rewizję ściśle m echanicystycznego p o g ląd u n a rzeczywistość. D o b rze zn ane są spo ry toczo ne m iędzy zw olennikam i różnych interp retacji m echaniki kw antow ej. W celu ra to w an ia zaś zasady przyczynow ości ro z ­ szerzono j ą z jed noznacznej n a statystyczną, niejednoznaczną.

B ad an ia uk ład ó w nieliniow ych, k tó re służą do m odelow ania ro zm aity ch zjaw isk począw szy od fizycznych, biologicznych, chem i­ cznych, aż p o ekonom iczne i społeczne, zaow ocow ały w ynikam i u k azującym i zagadnienie d eterm inizm u w jeszcze innym świetle.

U k ład y ró w n a ń różniczkow ych i różnicow ych m o żn a podzielić na dw ie klasy. W pierwszej zn a jd u ją się uk łady, k tó ry ch wszystkie ro zw iązania (bez w zględu n a w artości w ystępujących w nich p a r a ­ m etró w ) są stabilne, tzn. niew ielka zm iana w aru n k ó w p oczątkow ych pow o d u je rów nież niew ielką zm ianę rozw iązania. D o drugiej należą takie, k tó ry ch rozw iązania dla pew nych w artości p aram etró w są „w rażliw e” n a w a ru n k i p oczątk ow e - niew ielka zm ian a w aru n k ó w p ow o d u je znaczne zm iany rozw iązania.

D o n ied aw n a fizycy zajm ow ali się głów nie procesam i m o d elo w a­ nym i p rzy pom o cy uk ład ó w z rozw iązaniam i stabilnym i. D zięki tym m o d elo m m ożem y w m iarę dok ład n ie przew idyw ać przyszłość i o d tw arzać przeszłość. W ydaw ało się, że procesy opisyw ane przy pom o cy u k ład ó w z rozw iązaniam i niestabilnym i po jaw iają się rz a d ­ ko i stan o w ią m ało znaczący m argines. B ad an ia o statn ich lat zm ieniły zupełnie ten obraz. T o procesy stabilne są w yjątkiem , procesy niestabilne zaś są regułą w przyrodzie.

U k ła d y z rozw iązaniam i niestabilnym i m ają jed n ak że własności, zm uszające do now ego spojrzenia n a zasadę przyczynow ości oraz pro b lem d eterm inizm u przyrodniczego, zw łaszcza w wersji gnozeolo- gicznej. W rażliw ość n a w a ru n k i p oczątk ow e bow iem praktycznie uniem ożliw ia d o k on yw an ie d łu gookresow ych przew idyw ań, zaś zja­ w isko tzw. ch a o su determ inistycznego pow oduje, że p o pierwsze w n iek tó ry ch sytuacjach pro cesu niezdeterm inow anego nie jesteśm y w stanie od ró żn ić od zdeterm inow anego, a p o drugie w ybrać odpow iedniego m od elu z pew nej klasy m odeli.

2 „M echaniczny opis takich układów [tzn. układów złożonych z dużej liczby

elem entów - przyp. A.L.] byłby deterministyczny i odw racalny, jednak jest on niemożliwy z pow odu wysokiego stopnia komplikacji układów i niemożliwości dokładnego pom iaru wszystkich ważnych param etrów . D latego trzeba odwołać się do opisu statystycznego, korzystającego z tych wielkości makroskopow ych, które mogą być rzeczywiście zm ierzone” (M . Tempczyk, Teoria chaosu - rewolucja przez ewolucję, Z agadnienia N aukoznaw stw a 26 (1990) 3, 456).

W tym artykule chciałabym zasygnalizow ać prob lem y, k tó re odnoszą się do determ inizm u i przyczynow ości w przyrodzie, a p o ­ w stają w trakcie p ró b interpretacji w yników uzyskanych w b a d a ­ niach n ad układam i z chaosem determ inistycznym .

2. ZJAW ISKO C H A O SU D ET E R M IN IST Y C Z N E G O

Istotę zjawiska chaosu determ inistycznego sp rób uję przybliżyć na przykładach modeli szybkości zm ian liczebności po pu lacji zaczerp ­ niętych z klasycznej ekologii3.

Przy założeniu ciągłości procesów zachodzących w pop ulacji m ożna te procesy m odelow ać przy pom ocy ró w n a ń różniczkow ych. N iech N oznacza zagęszczenie p opulacji, t - czas, г, К - stałe. Przy pew nych dodatkow ych założeniach dotyczących p op ulacji, śro d o w i­ ska oraz zm ian zagęszczenia uzyskujem y w szczególności rów nania:

1. M alth u sa wzrostu w ykładniczego o postaci: d N /d t = rN , k tó reg o rozw iązaniem jest funkcja w ykładnicza: N (t) = N 0er(t_to), gdzie N 0 - początkow e zagęszczenie w chwili t0;

2. logistyczne: dN /dt = r ( l- N /K ) N , k tó reg o rozw iązaniem jest fu n k ­ cja: N (t) = (K N 0er io )) /( K - N 0 + N 0er(t-‘°>);

3. G om pertza: d N /d t = rln (K /N );

4. H utch in so n a logistyczne z opóźnieniem : d N (t)/d t = N (t)r[ 1 - N (t-T ) / K ].

R ó w n an ia te mają stabilne rozw iązania. C o więcej, rozw iązaniam i ró w n ań 1,2 i 3 mogą być tylk o funkcje stałe lub m on oto niczne. Jeżeli funkcja będąca rozw iązaniem jest ogran iczo n a, to dąży, przy t ro s­ nącym nieograniczenie, do pew nej stałej w arto ści zagęszczenia. R ozw iązania równania 4 przejaw iają w iększą ró ż n o ro d n o ść za­ chow ań. W zależności o d w ielkości o pó źn ien ia T rozw iązanie może: (1) dążyć asym ptotycznie do stałej w artości zagęszczenia, (2) c h a ra k ­ teryzow ać się zanikającym i oscylacjam i w ok ół tej w artości, (3) charakteryzow ać się rozbieżnym i oscylacjam i, (4) oscylow ać w p e­ w ien określony sposób. Ja k w idać, w pow yższych m o delach m am y do czynienia z niewielkim m ożliw ym sp ek tru m zach ow ań populacji. N a ich podstawie łatw o też d o konyw ać d ługookresow ych p rognoz.

Z nacznie ciekawsze z p u n k tu w idzenia m a te m a ty k a są m odele z czasem dyskretnym , k tó re dotyczą procesów ze swej n a tu ry nieciągłych, np. populacji z nie zachodzącym i n a siebie p okoleniam i. Z m iany liczebności tak ich pop ulacji m ogą być opisan e przy po m ocy ró w n ań różnicowych. Jednym z najczęściej stosow anych jest

3 Przedstawione poniżej modele są szczegółowo om ów ione w: J. Uchm ański,

odpow ied nik różniczkow ego ró w n a n ia logistycznego o postaci: N n+i = N„[1 + r ( l - N n/K )]. N n jest m ak sy m aln ą liczebnością p o p u la ­ cji w sezonie, a n oznacza kolejny n u m er sezonu lub pokolenia. P o d staw iając a = 1 + r, b = r/K , xn = (b /a )N n otrzym ujem y rów nanie różnicow e logistyczne w postaci: xn+] = a x n( l - x n). A b y uzyskać w yniki, k tó re są sensow ne biologicznie, a m usi należeć d o przedziału

O ’4 )·

O kazuje się, że dla a > 3 zm iany liczebności po pu lacji z p o kolenia n a pokolenie m o g ą w ykazyw ać b ard zo skom plikow ane zachow anie. Z b ad a jm y zatem , ja k zachow ują się rozw iązania tego rów nan ia w zależności o d w artości p a ra m e tru a.

R ozw ażm y m ianow icie odw zorow anie dom kniętego o d cink a [0,1] w siebie fa(x) = a x ( l- x ) zależne od p a ra m e tru a, przyjm ującego w artości z przedziału [1,4]. D la dow olnego x0 należącego d o prze­ d ziału (0,1) utw ó rzm y ciąg {x0, x b x2, ...., x„, ...}, gdzie xn+1 = fa(xn). C iąg ten nazyw am y tra je k to rią p u n k tu x0.

W p ro w ad źm y n astęp ujące definicje:

1. jeżeli fa(x0) = xo, to p u n k t x0 nazyw am y p u n k tem stałym o d ­ w zorow ania fa;

2. jeżeli istnieje liczba n a tu ra ln a p > 1 ta k a , że x0 = Р а(х0) i x0 Ф Р а(х0) dla 0 < к < p, to x0 nazyw am y p u n k tem okresow ym o okresie p; w tedy ciąg (x 0, fa(x0), ···, P^'a(xo)} nazyw am y o k resow ą o rb itą p u n k tu x0; f \ oznacza k -k ro tn e złożenie funkcji fa.

Z obaczm y, w ja k i sp osób zachow ują się traje k to rie p u n k tó w z o d cin k a [0,1] w zależności od w artości p a ra m e tru a. Jeżeli a należy do p rzedziału (1,3), to d la dow olnego x0 z przedziału (0,1) tra je k to ria p u n k tu x0 jest zbieżna do p u n k tu stałego o dw zorow ania fa, k tó ry jest rów ny xs= 1 -1 /a (m ów im y w tedy, że p u n k t stały przyciąga tra je k ­ torię). Z ate m jeżeli 1 < a < 3 , to ilość organizm ów w pop ulacji ustali się p o pew nym czasie n a stałym poziom ie xs. W tym p rzy p ad k u ew olucja populacji je st w pełni przew idyw alna.

Isto tn e jako ściow e zm iany w ew olucji populacji n astępu ją, gdy w a rto ść p a ra m e tru a przek racza 3. D la a = 3 n astęp uje „b ifu rk acja podw o jenia o k re su ” , czyli p u n k t xs przestaje przyciągać trajekto rie, pojaw ia się n a to m ia st okreso w a o rb ita o okresie 2. D la a z przedziału (3, 1 + ^ / 6 ) o rb ita ta przyciąga traje k to rie w szystkich p u n k tó w z o d cin k a (0,1), za w yjątkiem p u n k tu stałego xs. D la a = 1 + ^ / 6 zno w u następ u je b ifu rk acja p odw ojenia okresu. P ojaw ia się o k reso ­ w a o rb ita o okresie 4, przyciągająca traje k to rie w szystkich p u n k tó w z o d cin k a (0,1) za w yjątkiem p u n k tu stałego i o rb ity o okresie 2. M o żn a udo w o dnić, że istnieje nieskończony ciąg a0, a b ... p u n k tó w bifurkacji po dw ojenia okresu. W punkcie ak o rb ita o okresie 2k traci stabiln ość i pow staje stab iln a o rb ita o okresie 2k+l. C iąg a0, a b ... jest

zbieżny do a b = 3,56995.... Z jaw isko kolejnych bifurkacji p o d w a ja n ia okresu nosi nazwę kask ad y F eigenbaum a.

D la param etrów a > ab rozw iązania tra c ą stabilność. W ystępuje tu nieprzeliczalnie wiele takich w artości p a ra m e tru a, dla k tó ry ch nie istnieje żad n a stabilna o rb ita okresow a. P ojaw iają się jed n ak ż e tzw. „ o k n a ” , czyli takie przedziały, w któ ry ch w ystępują stabilne o k reso ­ we orbity, przyciągające traje k to rie p u n k tó w z o d cin k a (0,1). D la takiej orb ity zachodzi analogiczne zjaw isko ja k w k ask ad zie F eigen­ baum a: w raz ze zw iększaniem się p a ra m e tru a stab iln a o rb ita nieskończenie wiele razy kolejno p o d w a ja swój okres4.

W tym modelu d la w artości p a ra m e tru a > a b obserw ujem y zjaw isko „chaosu determ inistycznego” . N iew ielka zm ian a w artości p a ra m e tru a może sp ow odow ać d u żą zm ianę jak o ścio w ą w z a ­ chow aniu się trajektorii w yb ranego p u n k tu . Dzieje się ta k d lateg o, że w artości param etru a, d la k tó ry c h ew olucja jest chao ty czn a, są w ym ieszane w skom plikow any sp osób z takim i, d la k tó ry ch ew olucja jest okresow a. Powoduje to w p ra k ty c e niem ożliw ość d o k o n y w an ia długookresow ych p ro g n o z zachow ania się populacji. N ie jesteśm y bow iem w stanie eksperym entalnie w yznaczyć d la organizm ów określonego gatunku dok ład n ej w artości w spółczynnika a, w y­ stępującego w równaniu opisującym ew olucję p op ulacji o raz p o c z ą t­ kowej w artości x0. M ożem y te w ielkości zn ać ty lk o z pew nym przybliżeniem . Jeżeli p a ra m e tr a je st większy niż a b, to niew ielka jeg o zm iana m oże dać zupełnie odm ienny przebieg traje k to rii tego sam ego p u n k tu . N a przykład dla x0 = 0,25, x2o = 0,72 przy w artości p a ra m e t­ ru a = 3,71, natom iast d la a = 3,72, x20 = 0,91. P odob nie, d la a > a b d o k o n an ie nawet niewielkiej zm iany w artości p oczątkow ej x0 spow oduje „rozejście się” trajek to rii. N a przy kład dla w artości p a ra m e tru a = 3,71 traje k to rie p u n k tó w 0,250 i 0,251 b ęd ą n a ­ stępujące: {0,250; 0,695; 0,785; 0,625; 0,869; 0,421; 0,904; 0,320; 0,808; 0,574; 0,906; 0,313; 0,797; 0,598; 0,891}, {0,251; 0,697; 0,782; 0,630; 0,864; 0,435; 0,912; 0,297; 0,774; 0,647; 0,847; 0,479; 0,926; 0,254; 0,703} [obliczenia w o b u p rz y k ła d ach m oje - A.L.]. W tych p rzykład ach trajektorie p u n k tó w ro z ch o d zą się ju ż p o k ilku ite ra ­ cjach.

3. ZAGADNIENIE D E T E R M IN IZ M U PR Z Y R O D N IC Z E G O

U kazan e n a przykładzie różnicow ego m odelu po pu lacji zjaw isko ch ao su determ inistycznego w ystępuje w b ard zo w ielu ro zm aitych zjaw iskach w przyrodzie, społeczeństw ie, ekon om ii itp., opisyw

a-4 Opis dynamiki można znaleźć w Z. Kuderowicz, Fraktale i chaos, W arszawa 1993, 9.0-29.

nych przy pom ocy nieliniow ych u k ład ó w dynam icznych. W łasności m odeli takich zjaw isk spraw iają nieoczekiw ane dla nas, n a poziom ie poznaw czym , trud ności.

O pisane m atem atyczne m odele szybkości zm ian zagęszczenia populacji o pierają się na założeniach dotyczących w łasności p o p u la ­ cji i środow iska. Przyjęte założenia p ro w a d zą do określonej klasy m odeli. W m odelach tych w ystępują stałe ch arakteryzu jące d an ą populację w określonym środow isku. A by p rzetestow ać otrzy m an y w ten sposób m odel o ra z n a jego podstaw ie do ko ny w ać przew idy­ w ań, należy w yznaczyć dośw iadczalnie te stałe. K ażd y w ynik p o m ia ­ ru (op ró cz n ajprostszych sytuacji) jest ob arczo n y błędem , którego w ielkość zależy od użytych narzędzi pom iarow ych. D la m odeli ze stabilnym i rozw iązaniam i z reguły błędy te nie n astręczają w iększych p roblem ó w , gdyż m ały b łąd praktycznie nie będzie m iał żadnego znaczenia przy progn o zo w an iu . S ytuacja jest zupełnie o d m ien na dla tych m odeli, w k tó ry ch w ystępuje ch ao s determ inistyczny. Poniew aż w p rak ty ce z reguły nie m am y pełnej wiedzy o p opulacji, więc dane p oczątk ow e m ożem y znać tylko z pew nym przybliżeniem . W tym jed n ak ż e p rz y p a d k u naw et niewielki b łąd n a p o cz ątk u będzie się w ykładniczo pow iększał, pow o d u jąc nieużyteczność m odelu dla długookresow ego progn o zo w an ia. M im o p o siad an ia w pełni d eter­ m inistycznego m od elu nie m ożem y n a jego po dstaw ie przewidzieć za chow an ia się p o p u lacji5.

Te procesy, k tó re są opisyw ane przy po m o cy u k ład ó w dynam icz­ nych, w k tó ry ch pojaw ia się chaos determ inistyczny, są zatem d la nas p raktycznie nieprzew idyw alne. N ie są m ożliwe żadne długookresow e prognozy. N a to m ia st sam o zjaw isko przebiega w edług d eterm inis­ tycznego schem atu. N ieprzew idyw alność jest zw iązana z n iedo ­ skonałością naszych narzędzi pom iarow ych. G d yb y p om iary ze stu p ro ce n to w ą d o k ład n o ścią były m ożliw e, to m oglibyśm y d o k o n y ­ wać, n a p od staw ie d o k ład n y ch rozw iązań ró w n ań , ścisłych przew idy­ w ań. P ro b lem niem ożliw ości d o k o n y w an ia p ro g n o z jest więc zw iąza­ ny z o bserw ato rem , z jeg o zdolnościam i do w ykonyw ania po m iaró w i obliczeń, a nie z isto tą opisyw anego procesu.

5 „In fact, in all those cases in which the initial state is given with limited precision [...], we can observe a situation in which, when time becomes large, two trajectories emerge from the ’same’ initial point. So, even though there is a deterministic situation from a m athem atical point o f view [...], neverthless the exponential grow th o f errors m akes the time evolution self-independent from its past history and then nondeter- ministic in any practical sense” . (D. Ruelle, Chaotic Evolution and Strange Attractors.

The statistical analysis o f time series fo r deterministic nonlinear systems, Cambridge

N iem ożliw ość dokonyw ania przew idyw ań n a po d staw ie p o s ia d a ­ nego m odelu nie jest je d y n ą konsekw encją p ojaw ian ia się zjaw iska ch aosu determ inistycznego. N a stę p n e p o w stają z chw ilą w yb o ru jednego z wielu konkurencyjnych m odeli. Jeżeli przew idyw ania uzyskane n a podstawie dw óch odm iennych m odeli n a p o c z ą tk u różnią się niewiele nie będziem y w stanie określić, k tó ry z m odeli (a m oże żaden z nich) opisuje zachow anie się rzeczywistej p opulacji. W y bór będzie zatem d o k o n y w an y n a p odstaw ie pew nych założeń, a nie n a porów nyw aniu w yników m iędzy zaobserw ow anym i dla populacji a tym i, które przew iduje m odel. N ie m am y zatem m eto d y dośw iadczalnej pozwalającej rozstrzygać, k tó ry z k o n k re tn y c h m o ­ deli z danej klasy opisuje rzeczyw istą populację. P o d o b n e bow iem w łasności, ja k odw zorow anie logistyczne, k tó re w ro zp atry w an y m przykładzie posłużyło d o u tw orzenia m odelu szybkości zm ian liczeb­ ności populacji, posiadają i inne funkcje z jed n y m p u n k te m m a k ­ sym alnym , przekształcające odcinek [0, 1] w siebie. W yniki eks­ perym entów mogą co najwyżej potw ierdzać, że b a d a n a sytuacja m oże być opisana przy pom ocy takiego m odelu, w k tó ry m po jaw ia się zjaw isko bifurkacji p o d w a ja n ia okresu, p row adzące d o ch ao su determ inistycznego. D a n y proces m oże zatem być m o d elow any przy pom ocy różnych m atem atycznych funkcji. „ P ra w d o p o d o b n ie n a j­ lepiej byłoby przyjąć, że d o w ody eksperym entalne, tak ie ja k ie m am y, w skazują n a całą klasę m odeli, a nie na jed en k o n k re tn y ” 6.

Jeżeli m am y do czynienia ze zjaw iskiem , w k tó ry m p o jaw ia się chaos determ inistyczny, to jego przebieg m oże być b ard zo „ w ra ż ­ liwy” na wpływ najrozm aitszych przypadkow ych zew nętrznych czynników , których obecności nie będziem y w stanie n aw et zau w a­ żyć. Z abu rzen ia bowiem nie m uszą odbyw ać się „b lisk o ” b ad an eg o przez nas procesu7. T ym sam ym m oże o k azać się niem ożliw e w yizolow anie danego zjaw iska spo śró d innych, d la n as w danej chwili nieistotnych, a także stw orzenie ponow nie d o k ład n ie tak ich sam ych w arunków początkow ych dośw iadczenia. Z ate m b ad a n ie em piryczne napotyka n a nieprzezw yciężalne trudności. Jednocześnie A. F uliński zwraca uw agę n a jeszcze inny asp e k t w y stęp ow an ia zjaw isk, opisywanych przez m odele, w k tó ry ch p ojaw ia się ch ao s determ inistyczny. Otóż „ lo k aln y bodziec m oże sp ow o dw ać sku tk i

6 I. Stewart, Czy Pan Bóg gra w kości? Nowa m atem atyka chaosu, W arszaw a 1994, 313; por. także 243-244.

7 M am y tu do czynienia z tzw. „efektem m otyla” . Określenie to zostało użyte przez E. N. Lorenza, który badając swoje rów nania opisujące dynam ikę atm osfery, stwierdził, że „machnięcie skrzydłem przez m otyla na rów niku może być odczute w naszych szerokościach geograficznych jak o huragan, którego by jednak nie było, gdyby motyl nie pomachał skrzydłam i” (J. Uchmański, dz. cyt., 47).

o c h a rak terze globalnym . W a rto więc p am iętać o nieliniow ej fizyce, gdzie w łaśnie w szystko jest pow iązane ze w szystkim i gdzie d ro b n a zm iana w jed n y m m iejscu m oże w yw ołać b ard zo d uży a nie­ spodziew any ’n a zdrow y ro z u m ’ skutek w m iejscu zupełnie nie­ spod ziew anym ” 8.

Inne jeszcze problem y pow stają przy poszukiw aniu m odelu obser­ w ow anego zjawiska. Jeżeli w badanej populacji zm iany zagęszczenia populacji n astęp ują zgodnie z rów naniem różnicow ym logistycznym, dla którego a < 3 , to pom iary zagęszczenia w kilku pokoleniach pozw olą nam n a zaobserw ow anie praw idłow ości, dzięki k tórym będziem y m ogli stworzyć odpow iedni m odel. T rudności zaczynają się, gdy a przekracza 3. D la pew nych w artości a będziem y obserw ow ać cykle o okresie 2, 4, 8. W tym przy padku, ja k się wydaje, stworzenie odpow iedniego m odelu nie będzie jeszcze nastręczać większych tru d ­ ności. G d y jednakże cykl wynosi 16, aby zaobserw ow ać regularności, trzeba czekać p o n ad 16 pokoleń. Przy cyklach jeszcze dłuższych praktycznie nie jesteśm y w stanie stwierdzić, czy m am y do czynienia z długim cyklem , czy też jesteśm y w takim obszarze p aram etru , dla którego nie istnieją okresow e cykle, czy wreszcie m am y do czynienia z zupełnie przypadkow ym , chaotycznym zachow aniem się populacji. W obszarze p aram etru a > ab nie m am y w zasadzie żadnych narzędzi, aby od ró żnić populację zachow ującą się w sposób zdeterm inow any, w yznaczony przez praw o determ inistyczne, czy też w sposób niezdeter­ m inow any, przypadkow y, losowy.

R ozstrzygnięcie, z jak ieg o ty p u zjaw iskiem m am y do czynienia: zd eterm inow an ym czy losow ym , m usi się d o k o n a ć n a zupełnie innej dro d ze niż indukcyjne uogólnienie d anych em pirycznych. O tóż m ożem y przyjąć zdeterm inow anie pew nych zjaw isk, jeżeli d y sp o n u ­ jem y podstaw o w ym i praw am i, k tó re pozw alają utw orzyć m odel m atem aty czn y interesującego nas zjaw iska czy procesu, w któ rym pojaw i się chaos determ inistyczny. T a k się dzieje n a przy kład z ruchem p u n k tu m aterialnego w polu graw itacyjnym w ytw orzonym przez dw ie duże m asy. Z p ra w a graw itacji (w tym p rz y p ad k u jest to p ra w o podstaw o w e) wiem y, że ruch ten p odlega p raw u determ inis­ tycznem u. W odniesieniu d o zjaw isk biologicznych, ekonom icznych czy społecznych nie m am y do dyspozycji jak ich ś podstaw ow ych, ogólnych p raw , z k tó ry ch w ynikałyby zachow ania pew nych szczegól­ nych u k ładów . S tąd tw orzenie m odelu, n a przy kład zm ian zagęsz­ czenia populacji, o d byw a się n a p o dstaw ie zd ro w o ro zsądk ow ych założeń, w y bieranych w pew nym sensie a rb itra ln ie9. Przyjm uje się

8 A. Fuliński, O chaosie i przypadku, Z nak 45 (1993) 5, 44.

rów nież milcząco za k ła d an e założenie, że zm iany zagęszczenia populacji są zdeterm inow ane przez w łasności sam ej p o p u lacji o raz środow iska. Badania w łasności m odeli, w któ ry ch p ojaw ia się chaos determ inistyczny, ukazują nam szereg problem ów , p ojaw iających się przy testow an iu takich m odeli o raz posługiw aniu się nim i d o op isu zjaw isk zachodzących w rzeczywistych populacjach.

M am y zatem do czynienia z p a ra d o k s a ln ą w pew nym sensie sytuacją - zjawisko w praw dzie m oże przebiegać zgodnie z praw am i determ inistycznym i, to dla nas, dla o b serw ato ra, w ydaje się być chaotyczne, niedeterm inistyczne. C o więcej, n a po d staw ie obserw acji tak ich zjaw isk nie jesteśm y w stanie stw ierdzić, czy je st o n o zd e te r­ m inow ane, czy niezdeterm inow ane, czy is to tn ą rolę od g ry w a w jego przebiegu przypadek, czy też m am y d o czynienia z p rzyk ładem zjaw iska, w którym pojaw ia się chaos determ inistyczny. Przyjęcie determ inizm u teoriopoznaw czego i m etodologicznego w ydaje się koniecznym założeniem d la u p ra w ian ia n a u k przyrodniczych. Jest to jednakże założenie, k tó re nie jest w eryfikow ane em pirycznie. Ja k się wydaje, m am y za słabe „n a rzę d zia” , ab y ta k a w eryfikacja była m ożliw a.

W płaszczyźnie teriopoznaw czej, ja k się w ydaje, konieczne staje się zatem odróżnienie m iędzy determ inizm em teoretycznym a p ra k ty c z ­ nym . W edług determ inizm u teoretycznego jest m ożliw e znalezienie takiej teorii, k tóra na p o dstaw ie d okładnej znajom ości sta n u b a d a n e ­ go u k ła d u w przeszłości pozw ala opisać stan tego u k ła d u w przyszło­ ści. N a to m ia st determinizm prak ty czn y stw ierdza, że n a p o dstaw ie takiej teorii jesteśmy w stanie d o k onyw ać przew idyw ań za cho w an ia się tego u k ład u . Istnienie zjaw iska ch ao su determ inistycznego p o w o ­ duje, że m ożliw a staje się sytuacja, w której m am y d o czynienia z teoretycznym determ inizm em i p rak ty czn y m indeterm inizm em .

DETERM INISM AND D E T E R M IN IST IC C H A O S Summ ary

The goal o f this paper is to indicate some problem s which occur when processes in nature are being investigated by models with deterministic chaos. The theory o f deterministic chaos shows the problem o f determ inism in the new light. In a fram ew ork o f the epistemological determinism we can distinguish theoretical and practical determinism. The same phenomenon can be theoreticaly determ inistic and practicaly indeterministic.