O pew nym nieskończonym układzie rów nań

К. Ur b a n i k (Wrocław)

O pew nym nieskończonym układzie rów nań

Ciągi różnych liczb naturalnych {?%} i {%} nazywamy rozłącznymi, jeżeh пгф т к dla wszystkich l i k .

Lemat . Dla każdej pary ciągów rozłącznych [mk\ i [пг) i dla każdego l zachodzi nierówność

°° 1

^ x \ni ~ ml\ <1щ

Dowód. Ustawiamy w ciąg rosnący elementy ciągu {mfc} większe od %

(¹ ) т (!1} <'m|1) < ... < wJJ) < ...

Pozostałe elementy ciągu {mfc}, które na podstawie rozłączności ciągów

\mk\ i \щ\ są mniejsze od щ, ustawiamy w ciąg malejący (2) m f)> m ^ > ... > m(2),

gdzie

(3) _ 1.

Z definicji ciągów (1) i (2) wynika, że

00 1 00 1 8 1

J l I^{% 2} ~ ml\ (Ц 4)2- ^{% 2} + ^{% 2} - r f ^{) 2} oraz т ^ ^ щ ф Т е dla Tfc = 1 ,2 ,. . . ,

щ ^ т ^ + к dla к = l , 2 , . . . , s , a dla nieskończenie wielu к zachodzi nierówność

Ч1}> Щ+ h.

Stąd otrzymujemy

(mj^ ) 2— п \ф 2кщ + fc2

nf — (mjj.2 ))2 ^ 2k -f k2 (5)

dla к— 1 , 2 , . . . , dla fe = 1 ,2 , . . . , «, a dla nieskończenie wielu &

(6) (m^)2~ n \ > 2knx + k2.

254 К . U r b a n i k

Na podstawie (3), (4), (5) i (6) otrzymujemy

m ^N

<Z

1

2щ к -J- к^

щ—i 2

+ £ 1 zic + i ł Щ +1 2/

Dowód przez indukcję, że

(8⁾ 1 3

n, + l + 2 < ¹ , nie nastręcza trudności.

Z (7) i (8) wynika teza lematu.

Tw ie r d z e n ie. Dla każdej pary ciągów rozłącznych [mk} i {%} i dla każdego A takiego, że |J.|>1, układ równań

Z

*=i

%

n\ — m\ = А хг (1 = 1 ,2 ,...)

ma w dziedzinie ciągów ograniczonych tylko zerowe rozwiązanie1).

D o wód. Niech X będzie przestrzenią ciągów ograniczonych x = [ x n\

z normą ||ж|| = sup\xn\. Przestrzeń X jest przestrzenią Banacha.

n

Określamy w przestrzeni X operator liniowy

i . OO

L(x) — y = [Уг], gdzie уг= - > ¥ dla 1 = 1, 2, . . .

• " Щ — mk

Operator L jest ograniczony. Istotnie,

1 / 00 1 \

Stąd na podstawie lematu otrzymujemy

(9) \ \ М х ) \ \ < ~ Ы ,

co dowodzi, że operator L jest ograniczony.

Udowodnimy, że operator L jest zmniejszający, tzn. że istnieje taka stała a < l , że dla wszystkich x ,x 'e X zachodzi nierówność

||£(a0 —£(®')ll<«ll®-®'ll-

x) Twierdzenie to wiąże się z wynikiem W. W olibnera, opublikowanym w pracy Sur certains corollaires du Шёогёте de Titchmarsh, Studia Math. XIY. 1 (1953), str. 107-110.

O 'pewnym nieskończonym układzie równań ²⁶⁶

Z definicji operatora L i z (9) wynika, że

\\L(x) -L ( x ') \\ = | f i ( i r - ^ ,) | K — • \\x — x'

Ponieważ Щ > 1 , więc można przyjąć a —l/\A \, co dowodzi, że operator L jest zmniejszający.

Na podstawie twierdzenia Banacha2) istnieje jeden i tylko jeden taki punkt x 0eX, że- L(ocQ) — x0. Łatwo spostrzec, że a?0 = (0, 0, . . . , 0, . . . ) , co dowodzi twierdzenia.

К. Урб а н и к (Вроцлав)

ОБ ОДНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ Р Е З ЮМ Е

Для каждой пары последовательностей натуральных чисел {тъ} и {-h-j} таких, что т1сф п 1 (k,l = 1 ,2 ,...) и для каждого А такого, что |А |>1, система уравнений •

ОО х

У -~ * - а - = М ( 1 = 1 , 2 , . . . )

ni ~ тк

’ имеет в области ограниченных последовательностей лишь нулевое решение.

К. Ur b a n ik (Wrocław) '

ON A CERTAIN INFINITE SYSTEM OF EQUATIONS SUMMARY

For every pair of sequences of positive integers {mft] and {%,) such that ткФпх (fc,Z = l,2 ,...) and for every A such that |A |> 1 the system of equations

00

*=i

1

xk — A xx (1=1,2,...)

has, among the bounded sequences, only the zero solution.

2) S. B anach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application uax equations intógrales, Fund. Math. 3 (1922), str. 133-180.