Anna Lemańska
"Przestrzeń i nieskończoność:
koncepcja matematyki H.Weyla i jej
realizacja w pojęciu przestrzeni jako
kontinuum", Jacek Dembek, Kraków
1994 : [recenzja]
Studia Philosophiae Christianae 31/1, 253-256
uzyskać niezamierzone treści o nieoczekiwanej mocy heurystycznej. [...] Nie należy jednak z tego pow odu popadać w zachwyt nad rzekom ą m atem atycznością przyrody” [s. 143]. Problem m atematyczości przyrody zdaje się być jednak bardziej skom plikowany, niż sugeruje to autor. Przykłady, które zdaniem G roblera m ają potw ier dzać tezę instrum entalizm u matematycznego, nie wydają się być przekonujące. W szczególności własność ciągłości funkcji położenia p u nktu materialnego, o której pisze au to r na stronach 132-133, pozostaje bez względu na to, czy dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych czy tylko wymiernych. Zm ieniają się oczywiście w istotny sposób własności topologiczne dziedziny tej funkcji czyli przestrzeni fizycznej. W pracy brakuje jednakże przekonującego dow odu na to, że własności takie, jak na przykład zupełność czy niezupełność przestrzeni fizycznej, pozostają „n eutralne” empirycznie.
A u to r powołuje się na przykłady podane przez P. Zeidlera w jego pracy Spór o status
poznawczy teorii (Poznań 1993). Jak się jednak wydaje, próby zastosow ania analizy
niestandardowej czy teorii półzbiorów na razie nie stanow ią w pełni alternatywnego ujęcia teorii fizykalnych. Czy zwiększenie mocy opisowej języka nie jest spow odowane ujm owaniem przez teorię m atem atyczną nowych aspektów rzeczywistości? Tego typu pytania m ożna by mnożyć. Teoria instrum entalizm u matem atycznego wymaga zatem przeanalizow ania tych zagadnień. Ciekawa w szczególności mogłaby być konfrontacja poglądów A. G roblera z tezą o matem atyczności przyrody w ysuwaną przez M . Hellera w jego pracach.
Anna Lem ańska
Jacek Dem bek, Przestrzeń i nieskończoność. Koncepcja m atem atyki H. Weyla i je j
realizacja w pojęciu przestrzeni ja ko kontinuum, OBI, K raków 1994, ss. 196.
Istnienie m atem atyki od wieków prow okow ało do staw iania rozm aitych pytań dotyczących natury przedm iotów m atematycznych. W śród pojaw iających się kwestii ważne miejsce zajmowały problem y dotyczące istnienia różnych rodzajów nieskoń czoności oraz własności przestrzeni. Te zagadnienia nabrały szczególnego znaczenia z chwilą ugruntow ania podstaw analizy m atem atycznej, pow stania geometrii nieeuk lidesowych oraz tzw. kryzysu w podstaw ach m atem atyki na przełomie X IX i XX w. Form alne zdefiniowanie liczb rzeczywistych przez D edekinda, aksjom atyzacja geo m etrii dokonana przez H ilberta stały się z kolei impulsem do postaw ienia pytań na tem at istnienia przestrzeni jak o kontinuum . M atem atycy tworzący w pierwszej połowie X X w. nie mogli pozostać obojętni wobec tych zagadnień. Również H erm ann Weyl (1885-1955), m atem atyk niemiecki, próbow ał stworzyć w łasną koncepcję istoty m atem atyki, a w jej ram ach ująć kwestię natury kontinuum .
K siążka Jacka D em bka jest pośw ięcona przedstaw ieniu głównych zarysów stw orzo nej przez H. Weyla koncepcji istoty m atem atyki ze szczególnym uwzględnieniem rozw ażań dotyczących przestrzeni jak o kontinuum . Praca składa się ze Wstępu, czterech rozdziałów oraz Zakończenia. W rozdziale pierwszym au to r przybliża czytelnikowi sylwetkę H. Weyla, a także ukazuje najważniejsze jego wyniki w dziedzi nie m atem atyki. Jednocześnie zarysowuje kontekst historyczny poprzez przedstaw ie nie istotnych dokonań w matem atyce tego okresu. Pozw ala to ujrzeć osiągnięcia Weyla w szerszej perspektywie.
W rozdziałach II i III J. D em bek prezentuje główne rysy koncepcji H. Weyla. Przede wszystkim dokonuje periodyzacji poglądow filozoficznych niemieckiego m atem atyka, wyróżniając cztery etapy w jego twórczości: przedintuicjonistyczny (1908-1918), intuicjonistyczny (1918-1922-), poinuicjonistyczny (1922-1925) oraz okres syntezy
(1926-1955). A u to r zauważa, że „rozw ój poglądów Weyla dokonuje się na spokojnej, ewolucyjnej drodze. Nie m a tam żadnych m om entów radykalnych zmian, rewolucyj nych zw rotów itp. Weyl na każdym etapie próbuje ocalić i rozwinąć to, co wśród poglądów poprzedniego okresu wydaje m u się słuszne oraz w sposób harm onijny połączyć to z nowymi ideam i” [s.82], W arto też zwrócić uwagę, że, ja k kilkakrotnie podkreśla to J. Dembek, zaliczanie H. W eyla co grona intuicjonistów nie jest do końca słuszne. T rzeba bowiem pam iętać o tym, że Weyl tylko przez krótki okres podzielał, i to nie wszystkie poglądy L.E.J.Brouw era. Co więcej ,„podstaw ow e idee uznaw ane obecnie za typowe dla intuicjonizm u Weyl osiągnął samodzielnie, niezależnie od wyników B rouw era” [s.49].
Najciekawszymi, zdaniem J. D em bka, rysami poglądów H . W eyla na m atem atykę są konstruow alność pojęć m atem atycznych oraz relacyjność m atem atyki. Postulat konstruow alności pojęć m atem atycznych jest jednym z filarów koncepcji intuicjonis tów. Weyl jednakże w przeciwieństwie do intuicjonistów uważał, iż nie m a potrzeby ustalenia z góry dozwolonych zasad konstrukcji. Listę tych zasad możemy, jego zdaniem, dow olnie rozszerzać, o ile będziemy widzieli tak ą potrzebę [s.86]. N astępnie J. Dem bek przedstaw ia proponow ane przez W eyla trzy, różniące się między sobą, listy zasad konstrukcji z następujących prac: Über die Definitionem der mathematischen
Grundbegriffe (1910 r.), D as Kontinuum (1918 r.) i Philosophie der M athem atik und Naturwissenschaft (1926 r.). J. D em bek uważa, iż różnice między listami zasad
spow odow ane były rozm aitym i celami, które „przyświecały ich pow staniu” [s. 95]. W dalszym ciągu pracy J. D em bek przedstaw ia, w jak i sposób H. Weyl rozum iał relacyjność m atem atyki. Interpretuje poglądy niemieckiego m atem atyka posługując się współczesnym rozumieniem pojęcia systemu relacyjnego. A następnie stwierdza, że „jak wynika z rozw ażań Weyla, m atem atyka poniekąd musi być nauką relacyjną, poniew aż nie rozróżnia się w jej teoriach systemów izomorficznych. A zatem tym, co m a znaczenie, jest niezmiennik izomorfizmu: relacja i o p arta na relacjach stru k tu ra” [s.99], J. D em bek zauw aża jednak, że „koncepcja relacji prezentow ana przez Weyla różni się zasadniczo od tradycyjnego, teoriom nogościow ego pojm ow ania relacji” [s. 102] i ukazuje na czym te różnice polegają. Jedną z nich jest traktow anie pojęcia relacji jak o pierwotnego w stosunku do pojęcia zbioru. A u to r zauw aża zbieżność pewnych idei Weyla z koncepcją zbioru Leśniewskiego. W pracach niemieckiego m atem atyka nie m a jednakże śladu, by m ereologia w ywarła na niego jakikolw iek wpływ. D o sprawy określenia relacji J. Dem bek pow raca w Zakończeniu, w którym przedstaw ia dwie współczesne teorie matem atyczne realizujące do pewnego stopnia idee Weyla dotyczą ce relacji. Są to teoria kategorii bezobiektowych oraz stw orzona przez A. Tarskiego i jego w spółpracowników teoria form alizacji teorii mnogości bez użycia zmiennej.
W dalszej części rozdziału III J. D em bek ukazuje poglądy H. Weyla na nieskoń czoność, łączące się z kwestiami dotyczącymi pojęcia przestrzeni jak o kontinuum . W okresie przejściowym swej twórczości Weyl form ułuje pogląd, iż m atem atyka jest n auką o nieskończoności. T rzeba jednak pam iętać, iż Weyl przyjmuje, podobnie jak intuicjoniści, istnienie tylko nieskończoności potencjalnej. N ieskończoność w m ate matyce pojaw ia się, zdaniem Weyla, m.in. w dwóch mom entach: w ciągu liczb naturalnych i w pojęciu kontinuum . D . D em bek zw raca uwagę n a niejednoznaczność stanowiska Weyla w odniesieniu do liczb naturalnych. Niemiecki m atem atyk bowiem z jednej strony traktuje je jak o dane indywidua, z drugiej zaś wskazuje na sposób ich konstrukcji przez człowieka [s. 111-112].
N a zakończenie tego rodziału J. D em bek zadaje następujące pytanie: „czy za koncepcją m atem atyki W eyla nie stoi pewna specyficzna koncepcja metafizyczna?” [s. 122], w szczególności zaś „czy to nie relacje właśnie są pierwotnym składnikiem rzeczywistości?” [s. 123]. D o tych pytań au to r w raca w Zakończeniu, w którym próbuje skonstruow ać wizję metafizyki, zakładaną przez poglądy Weyla na m atem atykę. J. Dem bek uważa, że taką perspektywę m etafizyczną stwarza teoria głosząca, „iż fundam entalna struktura rzeczywistości jest strukturą relacyjną” [s. 162]. Elementy
takiego widzenia świata m ożna znaleźć w filozofii procesu stworzonej przez A.N. W hiteheada. J. D em bek im plikow aną przez poglądy W eyla perspektywę ontologiczną m atem atyki przenosi na rzeczywistość fizyczną. Jak się wydaje, koncepcja m atem atyki niemieckiego uczonego nie upraw nia do dokonyw ania takich ekstrapolacji. Nie m a bowiem żadnych podstaw , aby struktura rzeczywistości obiektów matem atycznych odzwierciedlała się w świecie przedm iotów fizycznych.
W rozdziale IV J. D em bek zajmuje się rozum ieniem przez Weyla pojęcia k ontinu um , sposobem konstrukcji kontinuum oraz istnieniem przestrzeni jak o kontinuum . A u to r sądzi, że Weyl z kontinuum ściśle wiąże możliwość dokonyw ania procesu nieskończonego podziału [s. 127]. Znajduje to wyraz w zaproponow anej przez Weyla konstrukcji kontinuum , którą referuje J. D em bek na stronie 138. A u to r zwraca przy tym uwagę na ewolucję u W eyla zarów no samego pojęcia kontinuum ja k i jego konstrukcji. K onstrukcja liczb rzeczywistych zaprezentow ana w pracy D as Kontinuum jest zbieżna z konstrukcją D edekinda. N atom iast now a konstrukcja z prac Riemanns
geometrische Ideen (1925 r.) oraz The m athematical way o f thinking (1940 r.) przyjmuje
„perspektywę topologiczną” , k tó ra „polegała między innym i na tym , że podstaw ow ą rolę zaczną odgrywać obszary, a nie punkty, zaś relację należenia (bycia elementem) zastąpi relacja bycia częścią” [s. 138]. W pierwszym podejściu wychodzimy od elementów, od punktów , w drugim elementy, punkty są konstruow ane. Ten późniejszy p u n k t widzenia znajduje swój wyraz w rozum ieniu przez Weyla pojęcia przestrzeni jak o kontinuum . J. D embek w następujący sposób streszcza poglądy W eyla na to zagadnienie: „O tóż punkty nie istnieją. Nie są one żadnym , podstaw ow ym tw orzy wem’ kontinuum . K ontinuum , jak o takie, jest bowiem pew ną strukturą, ’pustą form ą” [s. 148].
W edług J. D em bka „istnieje zasadnicza niespójność pomiędzy ujęciem przestrzeni jak o kontinuum a podejściem, które akcentuje fakt, że przestrzeń składa się z punktów ” [s. 149]. N astępnie au to r analizuje na ile w koncepcji przestrzeni jako kontinuum zostaje zrealizow ana wizja m atem atyki Weyla.
J. D em bak zauważa, że „w teorii kontinuum realizuje się podstaw ow a cecha m atem atyki, a mianowicie jej zasadnicze zainteresowanie problem em nieskończono ści” [s. 150]. W dalszym ciągu au to r bada, czy w teorii kontinuum są spełnione podstwow e, zdaniem Weyla, własności m atem atyki takie ja k konstruow alność oraz relacyjność. W tym kontekście zwraca uwagę na pewne niekonsekwencje w poglądach Weyla.
Poglądy H. W eyla na m atem atykę nie mieszcxą się bez reszty w żadnym z trzech podstawow ych kierunków w filozofii m atem atyki pierwszej połow y X X w. W pracach niemieckiego m atem atyka m ożna znaleźć idee charakterystyczne zarów no dla logicyz- mu, ja k i form alizm u oraz intuicjonizm u. Jednocześnie Weyl dokonuje twórczego przetw orzenia poszczególnych koncepcji i uzyskuje oryginalne stanow isko w istotnych dla filozofii m atem atyki kwestiach. K siążka J. D em bka, w której au to r prezentuje poglądy Weyla a także dokonuje porów nania z innym i koncepcjami, włącza się w nurt poszukiwania nowych rozwiązań podstawow ego zagadnienia, jakim jest pytanie o istotę m atem atyki. Z tego p unktu widzenia cenne jest przybliżenie polskiem u czytelnikowi poglądów niemieckiego m atem atyka i filozofa.
Jak się wydaje, najciekawsze myśli au to r zaw arł w Zakończeniu swej pracy. Próbuje tu ukazać koncepcję Weyla w szerszej perspektywie i z dw óch odm iennych punktów widzenia. Jak już w spom niałam , po pierwsze poszukuje perspektywy metafizycznej, leżącej u źródeł koncepcji Weyla, po drugie zaś stara się dopasow ać współczesne teorie m atem atyczne do idei filozoficznych tego m atem atyka. Takie podejście wskazuje na przeświadczenie autora, że nie m a żadnej przepaści między naukam i szczegółowymi a filozofią. K onstrukcja kontinuum oraz rozum ienie przestrzeni stw arzają określoną perspektywę metafizyczną. Jednocześnie filozoficzna wizja m atem atyki może przynaj mniej w pewnym zakresie znaleźć swoją realizację w teoriach matem atycznych. M am y więc do czynienia z wzajemnym w arunkow aniem się teorii m atem atycznych i m etafizy
cznych. Z tego pu nktu widzenia propozycje konkretnych rozw iązań zaw arte w pracy J. D em bka wydają się szczególnie interesujące.
Anna Lem ańska
Sistjemnyje issledowanija, M etodoiogiczeskije problemy, Jeżegodnik 1989-1990, Iz-
datielstw o „N a u k a ” , M oskw a 1991.
Początków każdej niemal idei naukow ej, bądź filozoficznej, m ożna doszukiwać się już w starożytności. Jednakże w odniesieniu do współczesnego pojęcia systemu palmę pierwszeństwa należy przyznać L. von Bertalanffy’emu. Jego prace z lat trzydziestych i prace powojenne ugruntow ały podstaw y teorii systemów. Pow stanie tej teorii w istotnym stopniu „wymusiły” niejako potrzeby biologii teoretycznej. System to przecież - mówiąc najprościej - uorganizow ana dynam iczna całość. W przyrodzie, zwłaszcza ożywionej, występują powsżechnie tego rodzaju obiekty. A więc, mówiąc językiem B ertalanffy’ego, systemy są wszędzie. One wzajemnie na siebie oddziałują, a więc zachodzą między nimi liczne sprzężenia, z których najważniejsze to sprzężenia zwrotne.
Zainicjow ane przez L. von B ertalanffy’ego myślenie systemowe znalazło wielu kontynuatorów , do których m.in. należy zaliczyć redaktorów i autorów ukazującej się w M oskwie od roku 1969 serii wydawniczej p.t. Sistjemnyje issledowanija. Seria ta od roku 1979 nosi jeszcze podtytuł Metodoiogiczeskije problemy. Recenzowana publika cja jest kolejnym, ju ż dwudziestym pierwszym, tomem serii.
N a treść tom u składają się trzy części. Pierwsza, zatytułow ana Problemy metodologi
czne informatyzacji, zawiera cztery artykuły (D .M . Gwisziani, G .L:Sm oljan,
D.S.Czereszkin: Inform atyzacja społeczeństwa - zagadnienia socjalne, 7-24; G .M . Adelson-W elski: Wzajemne międzyprofesjonalne oddziaływania przy rozwiązywaniu
zadań praktycznych, 25-42 z dodatkiem : Je. A .Dinic, Rola podejścia narzędziowego przy rozwiązywaniu zadań praktycznych, 43-45; N .Je.Jemeljanow: Zasady konstrukcji interfejsa dokumentacyjnego, 46-59; W.P. G orjainow: Zagadnienia metodologiczne analizy działalności użytkowników w systemach skomputeryzowanych, 60-73). Druga: Badanie systemów ekonomicznych obejmuje dwa artykuły (W.N.Liwszyc: Postęp naukowo-techniczny: zasady i modele oceny efektywności innowacji w sferze wytwórczo ści materialnej, 74-90; G. Simon: Metodologiczne podstawy ekonom iki 91-109). Część
trzecia pośw ięcona jest pamięci E rika Grigoriewicza Judina (1930-1976). Zawiera dziewieć artykułów (I.W. Blauberg: Z historii badań systemowych w Z S R R : próba
analizy sytuacyjnej, 110-125; E.M . M irski: Aktualizacja wiedzy ja k o zagadnienie metodologiczne, 126-141; W .G . Smirnow: Elementaryzm, calościowość i zagadnienie uniwersaliów, 142-161; I.D . G ordejew a, W.P. Zinczenko: M odel działania przed miotowego: sposoby konstrukcji, struktura organizacji i system funkcjonowania,
162-189; N.Ł.M uscheliszwili, Ju.A . Szrejder: Świadomość ja k o przedmiot metapsycho-
logii, 190-204; N .F . N aum ow a: Charakterystyki systemowe okresu przejściowego,
205-214; M .K . Pietrow: A spekty systemowe charakterystyki tezaurusowej współczes
nego rozwiniętego społeczeństwa i możliwe drogi je j optymalizacji, 215-237; W .N.
K ostjuk: Czasoprzestrzeń systemowa, 238-250; B.P. N ikitin: System łącznego doświad
czenia jednostki ja ko przedmiot badań psychologii poznania, 251-264). Całość tom u
kończy jednostronicow e (s. 265) wspomnienie życia i pracy Igora W iktorow icza Blauberga (1929-1990), po którym zamieszczono informację o autorach publikacji oraz spis treści w języku rosyjskim i angielskim. O poracow anie ukazało się w nakładzie 1200 egzemplrzy.
