Gewone differentiaalvergelijkingen: 124 vraagstukken met uitgewerkte oplossingen

p 1920 7205

1111111111\I11

C 626214

Gewone

DifferentiaaIvergel ij ki nge n

124 vraagstukken met uitgewerkte oplossingen

/

I

door

drs.

Ä.

Schuitman

blz.

DEEL B.

15

1. Scheiding der uari abeLeri 15

2. Lineaire differentiaalvergelijkingen 18 3. Differentiaalvergelijking van Bernoulli 23 4. Exacte dif fe rentiaalvergelijking 25

5. Homogene ver ge l i j ki ngen 29

6. Andere typen 31

7. Invoeren van nieuwe variabelen 35 8. Lineaire diffe rentiaalvergelijkingen {algemeen} 38 9. Lineaire diffe rentiaalvergelijkingen met 43

constante coëffi cienten 10. Dif fe rentiaalvergelijkingen van Euler 52 11. oplossingen in de vorm van machtreeksen 55 12. Lineaire systemen me t constant e coëffieienten

62

13. Beginvoorwaarden, Laplacetr ans fo rmatie s 73

14. Gemengde opgaven 80

VOORWOORD DEEL A. OPGAVEN

DEEL C. APPENDIX

Cl. OVer zicht complexe getallen C2. Goniometri s che formul es C3. Splitsen in partiee lbreuken C4. Laplace trans fo rmaties C5. Integraalta fel C6. Isoklinen C7. De operator D C8. Stroomdiagram Liter atuuropgave 3 5 93 93 95 97 98 99 102 105 109 112

voorwoord

Dit boekje is bedoeld om naast een college of leerboek over gewone differentiaa lvergelijkingen te worden gebruikt.

Met nadruk zij erop gewezen, dat het slechts kan dienen om zich gebr u i kel ij ke technieken voor het oplossen van differentiaalverge-lij ki ngen eigen te maken.

De st uden t die dit boekje als vraagstukkenboek wil gebruiken, vindt in deel Ade opgaven en hij kan dee l B beschouwen als een (uitgebreid) antwoord enbo ek . Het kan bijzonde r leerzaam zijn de verkregen resul ta-ten met die oplos s ingen te verge lijken .

De st udent di e nog weinig ervaring in het opl ossen heeft kan het beste met deel B werken. Iedere paragraaf begint met hee l in 't kor t mede de l i nge n over de methode van oplossen, waarna uitvoerig uit gewerkt e voorbeelden volgen. Dringend advies:werk die zorgvuldig na.

Met behulp van de daarop volgende oefen-opgaven kan men snel nagaan of men een en ander onder de knie heeft.

In dee l C zijn formules en tabellen verzameld, die wellicht bij het op l os s en wat werk uit handen kunnen nemen.

De opgaven in B. 14 zijn ont l eend aan examen-opgaven (Delft, M.O.-B). Voor degen en die ni et onder le i di ng of in groepsverband kunnen

st ude ren , bevi ndt zich aan het eind van het boekje een literatuurlijst . Opmerking en van gebr uikers van dit boekje worden in dank aanvaard en

zorgvuldig best udee r d .

deel A.

opgaven.

(De nwruner s Bil, B.2 enz . verwij ze n naar de paragrafen in deel, BJ.

B

I

1

I

lo

y(x + 1) dydx

=

x 2. (1 + x2)y' + xy

=

0

1

3.

~~

₌

_VI

~

_y

/

?

.

4. (l + x2)dY + (1 + y2)dx 0 5. e-Y(l + dy)

₌

₁ dx 6. (1 + x)y + (1 - y) x -dx

=

0 dy 7. Y- xy' 1 + x2y'

B,

2

8. xy' + Y

=

3x2 9. y' + Y

=

2sin x 10. xy' + _2y

=

_x3

.

(x > 0) Ilo y' + - - -x y 1 (x > 0) 1 + x2 x(l + x2) 12. dy_dx

=

_{xsin y} 1_{+ sin 2y} 13 . (x2 + 2x - l) y' - (x + l)y

=

x - 1 14 . y'

_-

_{ï(+l =}

ny _ex (1 + x)n (x > -1) 15. (xl og x) y ' Y x3(31og x - I) (x > 0)

B

I

3

16. xy' + Y

=

y210g x (x > 0) 17. (x + l) y'

-

Y

=

"31(x + 1)3y-2 (x > -1) 18. x3y' - X2Y

=

Y2 (x > 0) ~;

20. (x 2 + y)dx + (x + y2)dy

=

0 21. (s i n 2x + x)dx + (y _ sin2x)dY = 0 y y2

· 4

19. 22 . 23. 24. 25. xy' - y

(cos x - xcos y) dy - (sin y + ysin x)dx (1 - y2)dx + (1 - x2)dy _ 0 2 -(1 + xy) (x + y)dx + dy = 0 • ~(x) (1 - xy)dx + (1 - x2)dy

=

0 ,

~(x)

o

B

B

26. (x 2 - y2 + l) dx + (x 2 - y2 - l) dy

=

0 , ~(x + y)

27. xdy ydx x2eXdx ,

~(x)

28. xdx + ydy + x(xdy - ydx)

I

5

29. y' L_x + 1 (x

#

0)

30. (x

#

0)

31. x(x - ay)dy - y(y - ax)dx 0 , (a

#

1) 32. 5xydy - (x 2 + y2)dx

=

0 33. (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy 0 40. x

=

(y,)3 - y' - 1 I

6

34. 35. 36. 37. 38. 39. y,2 2yy' y2(e 2x - 1) y,3 _ yy,2 _ x2y' + x2y

=

0 2 y' = y + 1 2 y'

Y

=

y' e (y')2

41. (y')2 + X2 r2

B

7

42. y'(-1 + tg (x + y)) 1 43. (x2 - Y4)y'

=

xy

44. (x2 + y2

-

1) (xdy - ydx)

=

ydy + xdx 45. (x + y + 1) + (x + y - l)dy

=

0

dx 46. (2x - Y - l)dx - (x + y - 2)dy

=

0

B.

8

47. Y x is een opl ossing van de vergelijking 3 _{xy' 0 (x > 0)}

,

x y" +

-

y

=

,

48.

Bepaal de algemene oplossi ng . 2 2 2

Cl

+ X )y" - 2xy' + 2y = 6 (x + 1) . De gere duceerde vergelijking heeft y Bepaal de algemene oplossing .

x als opl ossing .

49. (2x - 3)y'" + (7 - 6x)y"+ 4xy'- 4y

=

0

(y

=

x voor de gereduceerde ve rgelij-king, x > 0)

51. (x + l)y" + (2x + l)y' + xy ,. O.

•• Bepaa l de algemene oplossing als gegeven is dat y voldoet .

-x e

52. x2(1 - log x)dxd 2yL + xdy_dx - Y

o

hee f t y x als oplossing .

53.

Bepaa l de algemene oploss ing (x > 0) .

d2y 2 dy 2

tg x ~ + (tg X -·2)-- + 2cot g x .

Y

=

tg x ,

dx~ dx

11

O<x<Z '

y

=

sin x is een oplossing voor de gereducee rde verge lijking . Geef de algemene oplo ssing.

B • 9

54. y" 3y' + 2y 0 55. y" 4y' + 4y 0 56. y" + 2y' + 5y 0 57. y" + 2y' + 4y 4x2

2x 58. y" - 3y' + 2y e X e + 1 59. y(4 ) - y"

=

(4x + 2)ex 60. y" - 4y' + 4y

=

3e-t + 2t2 6l. y" + Y

=

cos x

62. y" + 6y' + 13y e-3xcos 2x 63. y" - y' - 2y

=

x2 + X

'x 64. 2y" - 3y' + y

=

2xe2

65. y'I! - 2y" + y'

=

eX + 1 66. y" ' y' -2x 67. y" + 2y' + 2y sin x 68. y" + y

=

X2 + sin x

3

I

1

0

69. x 2y" + 2xy' 6y 0 (x > 0) 70. x2y" 3xy' + 4y

=

x (x > 0) 7l. (x + 1)3 d3y _ (x + 1)2 d2y 4(x + l)dY+ _{4y 0 (x > -1)} dx

3

dx 2 - dx , 72. x3y" - 2xy 3

,

(x > 0) (2x 2d2y (2x 3)dY+ 2y (x > 3 73. + _{3)dx 2} - + _dx 0 , -2 ) ~ I

11

74. y" 2 0 (reeksontwikke l i ng) + X Y 75. y" xy' _Y 0 (idem)

,-76. 3x2y" + 7xy' + Cl - 3x )y2

=

,

0 (gegene ra liseer de macht r eeks en) 2 d2y

(x2 dy I

77. 2x

ëïXl

+ + x)dx - Y 0 (i dem)

j

78. 2x2y" + (x2 - x)y' + y 0 (idem) 79. d2y x2 dy + _{xy 0}

_L

_;d.e

_...

_l

80. x (1 x)y" + (~ - 3x)y' - Y 0 (i dem)

B

I

12

8l. dYl Yl + 2Y2

1

dx ~_{dx 2Yl} + Y2 82. ~_dx Yl + 2Y2 4Y3 ~ _-Y2 + 6Y3 dx dY3 _-Y2 + 4Y3 dx 83. x' - x - Y = cos t

}

y' 2x 1 84 dx 2x

\

..

dt = Y dy _ -x + 2y - Setsin t

••

dt

-85. _{r.' Ar.} Bepaa l de al gemene opl ossing als

(

~

:

)

(;

-1

:)

r.= en A 0 -1 86. x' 2t

}

x - Y+ e y' -4x + Y+ t 87. dx_{dt = -}x + 2y dy _ x + _Y dt -88. dx _ -7x + _Y

1

dt -dy _ -2x - Sy dt -89. x" + 2y' + X 0

}

x' - y' -2x + 2y = 1 - 2t 90. dx -2x _16e- 3t

I

dt

=

+ y dy _ 3x dt

-9l. dy 2dx + 4x

=

-2t

)

dt - dt e dy + d2x dt y + dt L

=

1 92. d2x t

I

dt7

=

-3x + y + e dy

=

-8x + 3y dt 93. dy + X

=

t dt 2y + dx t 2 x + _dt

₌

94. d2x x + - 5 0

1

dt L + y

~-

4x - 3y + 3 0

B

dt

,13

95. y" + 2y' + 5y

=

e-tsin t , y(O)

=

0 , y' (0)

=

96. y'" + y" + y'+ Y

=

1 + X

,

Y(0)

=

y' (0)

=

y" (0) 0 97. d2y 9y

=

6sin 3x y(O)

=

1 y'(O)

=

2

dx2 +

,

,

98. dx

j

dt

=

Y ~- -5x + 2y dt -x (0)

=

1 Y(0) 0 99.

_{ïftT -}

d3x dx -t x(O) x' (0) 0 x"(O) 1 dt

=

-e

,

100. d2x + dy

=

t

J

dfL

dt e - x

8

dx ₁ + - = dt dt x (0) 1

,

x'(O) 2

,

Y(0)

o ,

y' (0)

101. _dtdx

₌

Y dy _ 4x + 3y - 4z dt -dz x + 2y dt

=

-

z

x(O) y(O) 0 z(O) 1

102. y" + 5y' +

4

y=

x .

Bepaal de algemene oplossing met behulp van Laplace-transformatie . dy _

103. dx - 2(x - l)(y + 1) , y(l)

=

2

104. (3x2 _{- 2x - y)dx + (2y - x + 3y2)dy}

₌

₀

Bepaal de oplossingskromme door (1,1).

B

I

14

105. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel d2x 5

1

ëftT

+ X + y

=

d2y 4x - 3y sin t dtZ - (C-1969) (C-1969) 106. Gegeven is de differentiaalvergelijking

Men beschouwt y als een functie van een nader te bepalen functie van x: y = y(z(x)). Voer de substitutie uit en bepaal z(x) zodanig dat in de nieuwe vergelijking de term met

~ontbreekt. Los met behulp van de substitutie de oorspron-kelijke vergelijking op.

••

107. Bepaal de algemene oplossing van x3y"'.+ 6x2y" + 7xy' + y

=

0

,

x > 0 108. Bereken y(x) als

~

=

yeos x + sin 2x

,

y(O)

=

0 dx

Schet s y(x) op het interv a l [0 , 11 ]

(N-1970)

(E-1971) 109 . Los (2x - x2 - y2)dx +2ydy

=

0 op door een integ re rende

110. Bepaal de oplossing van het stelsel d2x dy _ t

)

dtZ + dt - e - x d2y _dx 1

W

+ dt =

di e vo l doe t aan de beginvoorwaard en

x (0)

=

1 , x'(0)

=

2 , y(O)

=

0 , y'(0)

=

-1 _(N-197l) 111. algemene oplossing van de vergelijking

sx

~~

+ y

=

cos Ix , x > 0 . _(C-1972)

112 . Ond erst a and e diffe ren tiaa lverge lijki ng heeft in ee n omgeving van x = 0 twee onafhank elij k e oplo s sin g en in de vorm van gegenera liseerde mach tre e ks en:

8) Voor "grote" t is een deel van elk van de gevonden functies (N- 1969)

(E- 1967)

(Wis k- 1970)

}

lOcos t

Bepaal de recurrente betrekking die er bes taat tussen twee opvolgende co~fficienten in de reeksontwi kke l ing bij ieder van deze oplossingen.

9x2

~:

~

+ l8x(x +

l

)~~

+ 2y = 0 y" - 3y' - 4y

=

2sin x y(O)

=

y'(O)

=

0 113. Bepaal x, y en z uit dx _ Y dt -dy _ 4x + 3y - 4z dt -dz _{+ 2y} - = x - z dt x(O) y(O ) 0 z(0) 1 114. Los Y op uit

115. a) Bepaal de algemene oplossing van het volgende stel s e l differentiaalvergelijkingen : dx + X - 2y

=

2sin t dt dy + Sx + 3y dt

•

•

(C- 1972) x(t ) en y(t ) te verwaarlozen. Als we deze delen inderdaad verwaarlozen, kr i j gen x(t) en y(t ) een eenvoudi ge r ged aant e .

Bepaal deze geda ante en geef door eliminat ie van t hie rui t

de vergelijking van de kromme, waarbi j de oploss ings krommen

zich aansl ui t en als t "groot" wor dt .

116. Bepaa l de algeme ne oplossing van

a) y" + Sy' + 4y = x

b) y" + 4y ' + Sy = X (T-1972)

(N-1969)

(WSV-1966)

(M.O.-B-196 8) 117. Bepaal voor t >

o

de algemene oplossing van het stelsel

t dx _ dy _ xt

]

dt dt -dLy (t + l)dx = -x + t (196 5 ) ëftT + _dt

118. Gegeven is de differentiaalvergelijking (2x + y - l) dx + (x + 4y + 3) dy

=

0

a) Bepaal de oplossingen van deze differentiaalve rge lijking . b) Bepaal de oplossing door (1,1).

c) Bepaal de raakl i j n in (1, 1) aan de oplossingskromme door dit punt.

119. Gegeven is de differentiaalvergelijking

dLy dy tg U

cos4Udu2 - 2cosLu(1 + sin ucos u)du +

Y

=

e

Voer een nieuwe onafhankelijke veranderlijke in door de substitutie van x

=

tg u.

a) Bepaal de algemene oplossing van de nieuwe vergelijking . b) Bepaal de particuliere oplossing die in de oorsprong raakt

aan de rechte y

=

x

120. Men beschouwt de differen tiaalvergelijking

dy 3

-2

dx + 2y + 3y

=

0

a) Bewi js, dat als y

=

f(x) een oplossi ng is, ook y

=

-f (x) een oplos s ing is.

b) Bewijs dat iede re oplos sing , die niet =0 is, posit ief en monot oon sti j gend of negat i e f en monotoon dal end is. c) Los de differen t i aa l ve rge li jki ng op.

d) Bewijs dat er , behal ve de op lossi ng die =0 is, geen enkele oplo ssi ng bestaat, di e op de gehele x-as gedefinieerd is. e) Bepaa l de oplossi nge n di e best aan in het gehele inte rval

(-00,0) , maar in geen enkel interval dat daarin niet bevat is.

(M. O. -B-1968 ) 121. Een kromme in het (x,y)-vlak (gewone rechthoe ki ge coördinat en )

verbindt de punten (-1,0) en (1,0). De vergelijk ing van de ze kromme is y

=

f(x), -1 ~ x ~ 1. De functie f voldoet aan de

differentiaalvergelijking f" =

!l

+ (f ' )2 . Bepaal f(x).

122. Toon aan dat de differentiaalvergelijking x2y" + 2xy' - 2y

=

4x2

één en slechts één oplossing heeft die voor alle re~le waar den van x tweemaal differentieerbaar is en waarvoor y(l )

=

1 .

(M. O. -B-1969) 123. Bepaal de algemene oplossing van

x2log 2x.y" - (2x l og x - xlog2x)y' + 2y 2l og3x , x > 0

als gegeven is dat log x een oplossing is van de gereduceerde

vergel ijking.

124. ~( x ) is de oplossing van de different i a alv ergel ij king dy

=

y _ x2

dx

waarvoor geldt ~( O )

=

O.

a) Geef een integraalvergelijking die ~(x) als oploss ing heef t . b) Bepaal met behulp van a) een benadering voor ~( x ), in een

deel

B.

I.

SCHEIDINGDER VARIABELEN.

1.1. VORM: (...).(.. .).( ...

)

~ =

( ).(.. .)

Hie r bi j stelt het symbool ( ) een vorm voor die alleen van x of alleen van y afhangt.

Oplossing : alles met x naar één kant, al l es met y naar de andere kant, daarna integreren .

1.2. VOORBEELDEN.

(1)

I

-y-(-X-+-l-)--'t--~-=-x-'I

Oplossing : Schrijf de vergelijking in differentiaalvorm: (x + l)ydy = xdx

(en zeg vooral niet dat u beide leden hebt vermenigvuldigd met dx) Variabelen sche i den:

ydy = _ x_ dx x + 1 . (x + 1 ~ 0) Integreren: J ydy f ydy f _ x_ _dx x + 1 J dx - f dx

x+1

~y2 = x - log\x + 11 + C (* ) y2 = 2x - log(x + 1) 2 + A (2C = A gesteld )

Halverwege hebben we x + 1 ~ 0 gesteld. We moeten daarom apart onderzoeken x = -1. Daar in de opgave

~~ voorkomt, wordt y als functie van x gevraagd. Daarom is x = -1 geen oplossing van de gegeven vergelijking.

Opmerki ngen:

1. Als de opgave luidt (U) (x + l)ydy = xdx ,

is x

=

-1 wel een oplossing. Uit x

=

-1 volgt namelijk dx

=

0 en beide leden van (** ) worden voor x = -1 nul.

2. De formule (*) geeft de oplossing van de gegeven vergelij kin g

in ee~ gebied waar x + 1 ~ O. Voor het gebied x + 1 < 0 bv. geeft (*) alle oplossingen indien men _00 < A< 00 kiest.

In de meeste leerboeken wordt het aangeven van de verschillende gebieden achterwege gelaten. In dit boek zullen we soms de moeilij k-heden omzeilen door reeds bij de opgave een interval te geven voor de veranderlijken.

(2)

I

Cl

+ x2)y' + xy

=

0

l

oplos sing : In differentiaal vorm luidt de vergelijking (1 + x2)dy + xydx

=

0

Scheiding der variabelen en integreren:

f dy + f xdx = 0

y ~ (y ~ 0)

Er is geen enkel bezwaar als u het tweede lid van de laatste betr ek-king vervangt door C (integratie-constante). Om de aandacht niet af

te leiden laten we meestal de nul staan en vermelden de integratie-constante pas nadat alle voorkomende integraties zijn verricht.

Met xdx

=

~d ( x 2 + 1) vinden we snel

oplos s i ng: Scheiding der variabelen geeft

(A > 0)

2loglyl + log(l + x2)

=

log A

(3)

1*

=

vi~

I

log y2(1 + x2) = log A

Als oplossing van de gegeven vergelijking komt er dus

waarbij we de integratie-constante schrijven in de vorm van een logarithme. Met behulp van bekende rekenregels kunnen we dan nl.

schrij ven

(*) y2(1 + x2)

=

A

Merk op dat uit y

=

0 volgt y'

=

O. Door invullen in de gegeven

vergelijking blijkt dat y

=

0 een oplossing is. In (*) staan dan alle oplossingen vermeld als we A~ 0 nemen.

opmerking: Als we C zetten voor ±/A kunnen we (*) ook schrijven als

dx =

VI

~

Y dy

en dit heeft alleen zin als de breuk onder het wortelteken niet negatief is, dus als 0 < y ~ 1. Uit de opgave volgt dat we ons die-nen te beperken tot 0 ~ y < 1. We bekijken eerst het geval 0 < y < 1.

Uit

-J dx = J

VI

~

y dy

volgt (raadpleeg bv. de integraal tafel in het appendix)

I~ 1 ~

X vy - y - arctg

V

~--y-- + C

Blijft nog te onderzoeken Y

=

O.

Door invullen in de gegeven verge-lijking blijkt dat y

=

0 inderdaad een oplossing is.

1.3. VEEL GEMAAKTE FOUTEN .

I

(~) Schei den gaat verkeerd : fact or en worden in de noemer gezet in plaats van in de teller en omgekeerd. Uit

(x + 2)dy

=

ydx volg t niet

dx ydy

=

X+2

• (b) Delen door nul. Als bv. gedee l d moet worden door de factor x + a, dan x + a

#

0 stellen en om geen oplossingen kwijt te raken apart onderzoeken x

=

-a .

,

1.4. OEFENOPGAVEN.

(4)

1

(1

+ x2)dy + (1 + y2)dx = 0

I

(OpI.: arctg x + arc tg y C)

(5)

I

e

-y

(1

+

~)

=

1

1

j

(OpI .: e-Ydy

=

(1 - e-Y)dx , waaruit x

=

logjl - e-Yj + log A.

We ste llen hi erbi j Y# 0, zoda t 1 - e-Y # O. Met C in plaats van ± A-I vinden we al s opl ossing

1 - e-Y

=

Cex,

geldig in een gebied dat de x-as ni et beva t. Door invu ll en blijkt bovendi en dat Y 0 een opl os s i ng is.)

(OpI.: Bij het scheiden wordt gedeeld door xy; y = 0 is een

oplossing, x

=

0 niet daar uit de vergelijking blijkt dat y gevraagd wordt als functie van x. De oplossing luidt

xy

=

CeY-x ,

geldig in een gebied dat de assen niet bevat .

l.S. Soms is eerst na enig gereken te zien dat de variabelen te scheiden

zijn. Zie volgende opgave. (7)

I

y-

xy '

=

1 + x2

y'

I

Op~o88ing: y 1 x(x + l)y' Y dy

Y-=-ï

dx x(x + 1) dx x dx

X+ï

(x

I

0, -1, Y

I

1)

Als algemene oplossing vinden we

y

=

1 + Cx

X + 1

2.

LINEAIRE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN (EERSTE ORDE).

OpmeY'kingen :

De eerste methode wordt het meest gebruikt.

o.

1 zit hierin voor C

f(x)y' + g(x)y

=

h(x) y

Op~088ing ':

Methode I. 1°) Bepaal met de methode van de scheiding der variabelen de algemene oplossing van de bijbehorende homogene

vergelijking: f(x)y' + g(x)y

=

O.

2°) Bepaal een particuliere oplossing van de gegeven

vergelij king.

3°) De gevraagde oplossing is de som van de beide gevon-den oplossingen.

Methode 11. 1°) Stel y

=

u(x) v(x), dan is y'

=

u'v + uv'. Invullen in de vergelijking geeft

fvu' + (fv' + gv)u = h.

2°) Bepaal een v(x) zodanig dat fv' + gv

=

O. (Dit kan met scheiding der variabelen.) 3°) Bepaal u(x) uit fvu'

=

h.

Men noemt de bijbehorende homogene vergelijking ook wel de gere-duceerde vergelijking. 2.2. VOORBEELDEN. (8) IXY' + Y

=

3X2

·

1

Oplossing: xdy + dx

De bijbehorende homogene vergelijking is

y

=

0, die we schrijven als

(x,y -f 0).

Integre ren geeft als algemene oplossing (voor een gebied waar x en

y niet nul zijn) C

y =

x

(y

=

0 zit hieri n voor CO). Een par ti cu l iere op lossi ng van de

geg even ver ge lijk i ng is y = x2.

De gevraagde op lo s s i ng luidt

C

y

= - + x2_{, voor een gebied waar x -f}

_o.

x

(9) 1y' + Y

=

2sin x I

Oplossing: (meth. I) De bijbehorende homogene vergelijking is y' + Y = 0, met als algemene oplossing

y Ce-x . Een particuliere oplossing is y

=

sin x - cos x. Gevraagde oplossing:

y

=

Ce-x + sin x - cos x. (meth.II) Ste l y

=

uv, dan y' u'v + uv'. Dit

ingevu ld in de gegeven vergelijking geeft

u'v + u(v' + v)

=

2sin x. We zoeken een

func tie v(x) waarvoor v' + V

=

O.

Scheiden de r variabelen geeft

dv + dx

v

o

(v -f 0),

waar ui t vol gt"

v

=

Ae-x.

Aangezien we met één v(x) tevreden zlJn, nemen we bv. A

=

1. De verge lijking wordt nu geredu-ceerd tot

u'e -x

=

2sin x,

waarui t we ogenblikke lijk zien

u

=

2 fexsinxdx.

(De integraa l is te berekenen door twee maal par t i ee l te integreren.) De oplossing van de gegeven diff er en t i a al ver ge l i j ki ng luidt

-x y

=

uv

=

sin x - cos X + Ce . 2.3 . VEEL GEMAAKTE FOUTEN.

Bij methode Het samenst ell en van de gevunden oplossingen wordt vergeten .

Bij methode 11: Het vermen i gvuldi gen van u en v wordt vergeten .

2.4 . BEPALING PARTICULIERE OPLOSSING. (a) Door rad en en proberen. (b) Varia tie der cons tan te .

2.5 . VOORBEE LDEN VARIATIE DER CONSTANTE.

(l0 )

I

x

yl + 2y

=

x

3

Oplos s ing: !ijkin g is c(x), di e

De algemene opl os s i ng van de bijbehorende homogene verge

-y = C₂. We vervange n de cons tante C in deze oplossi ng door x

we nu zodanig wil len bepalen dat

(*) y

=

c(x).x -2

een oploss ing van de gege ven verge l i jking is.

Uit (*) volg t y' _{C '}( X). X-2 - 2c(x).x-? Ingevuld in de vergelijking ge eft dat

I 1 2c 2c x3 •

xc

X2

-

X2

+

X2

const ant e vermel de n omdat we aan één ge zocht e particuli ere oplos sing is y

Hieruit bereken en we c' x'" , C(x )

=

S1X , waar5 bij we geen integratie -functie c(x) genoeg hebben. De

1 3 zoa l s bliJ'kt uit (*).

SX ,

(11) 1y' +

~

y

1

Oploss ing: De algemene oplossing van de geredu ceerde verge l i j ki ng is C

waaruit we door differentiëren krijgen

h

+ x

y'

=

c'(l + X2

)

-

!

-

cx(l +

x

2 )

-

~

.

Invullen in de gegeven vergelijking geeft na enig gereken 1

x~ (bedenk : x

t

0) . C'

Hieruit vol gt door integreren (een geschikte subs t i t ut i e is bv.

~=t):

x

c(x) = log 1 + /1 + xl

2.7. ADVIES.

Door deze vergelijking te schrijven als Voor de punten waar

~~

t

0 geldt

1

dy

=

xsin y + sin 2y dx

y

(12)

Variatie der constante: nadat c(x) gevonden is wordt die c(x) zelf aangezien voor een particuliere oplossing.

Als u een voor uw gevoel niet al te ingewikkelde particuliere oplossing heeft gevonden via de methode van de variatie der con-stante, substitueer dan deze oplossing daadwerkelijk in de gegeven vergelij king. In de eerste plaats controleert u natuurlijk de juistheid van uw oplossing. Maar veel belangrijker is dat u op den duur gaat aanvoelen hoe u in bepaalde gevallen snel een particuliere oplossing kunt vinden door te raden, invullen en dan desnoods een beetje aanpassen van de door u geponeerde oplossing. (zie ook tabel in B 9.8).

De gezochte particuliere op l os sing is dus

1 x

(1 + x2) -ï . log _{1 +} ~_{1 + X}

Oplossing: dx dy =

2.6. VEEL GEMAAKTE FOUT.

2.8. Het kan voorkomen dat een vergelijking die niet lineair is in y' en y wel de gedaante van een lineaire vergelijking aanneemt indien x als functie van y wordt beschouwd.

Vool'bee

za:

,--- - - -,

dy _ 1

I

x' - xsin y = sin 2y,

waarbij de accent di fferen t i ëren naar y bet ekent, her ke nt men ogen-blikkelijk een lineaire vergelijking. De bijbehorende homogene ver-gelijking heeft als algemene oplossing

x = Ce-cos y

een particuliere oplossing is x = -2cos y + 2, zoals men bv. vindt met de methode van de variatie der const ant e. De algemene oplossing van de gegeven vergelijking luidt

(*) x = Ce-cos y - 2cos y + 2

Deze oplossing is gevonden door formeel te werk te gaan. We moeten enige voorwaarden opleggen aan x en y om diverse stappen te verant-woorden. In de eerste plaats blijkt ui t de opgave dat y als functie van x wordt gevraagd. Als we nu stellen

11 0~y~2

zien we snel dat -cos y een stijgende functie van y is, dus (*) ook. De inve r s e bestaat dan en stelt de gevraagde oplossing voor . Vervol -gens zien we dat we voor de noemer in de opgave kunnen schrijven

sin y(x + 2cos y)

Om te zorgen dat die niet nul is stellen we nog

0 11

}

< y <

-= 2 x > 0

We merken nog op dat bij een examenopgave deze laatste ongelijkheden (of soortgelijke) bij het gegeven dienen te worden vermeld .

2.9. OEFENOPGAVEN

(13) 1'(X-_{2 -}+-2X- - -l )-y-,- --(-x -+-l-)-y-=-X---l- .I

(Algemene opl os s i ng van de homo gen e vergelijking

y = c/ lx2 _{+ 2x -}

11

.

_{Wegens het voorkomen van de absolu} -te waarde in deze oplossin g niet var iatie der constante toep as s en . Het di ffe r ent i eren is te omsl ach tig . We "raden" dat er well ich t een oplos s i ng van de vorm y = Ax + B is. Door invu l l en in de vergel i j king en het geli jks te l l en van de coëfficient en van x2 , x en de beken -de termen vinden we A = 1 en B = O.

Opl ossing : y = c/lx2 _{+ 2x -}

11

'

_{+ X . Men moet zi ch b} eper-ken tot een gebied waar x2 _{+ 2x - I ~ 0.)}

(14)

I

y

'

-

~

(x > -1)

I

3

I DIFFERENTIAALVERGELIJKI NG VAN BERNOULLI

(*) -z'x + Z = log x.

De bijbehorende homogene vergelijking heeft als algemene oplossing

z = Cx en een particuliere oplossing van (*) vinden we met de m

etho-de van etho-de var i at i e der constante: z = log x + 1. De algemene oplos

-_fx 3d- l--- enz.) log x x3 _dx f~­_{log x x} x2 fl~ dx_{og x} p(x)y' + q(x) y = r(x ) yn.

y = C(x + l)n. Met vari atie der constant e vindt men snel

c'(x) = eX en als part icul i ere oplos s i ng y = eX(x + l) n . De gevraagd e oplos s ing luidt y = (x + l)n(C + eX)) (I S)

I

(xl og x)y' - Y = x3 (3l og x - I), (x >

0

)1

(De gereduceerde vergel i j ki ng hee ft als oplossing

y = Cl og x. Door de vergel i j ki ng te schrijven als xl og x.y' - Y = xlog x.3x2 - x3, rij st het vermoed en dat

y = x3 _{een particuliere oplossing is, hetgeen door invul}

-len juist blij kt te zij n ; algemene oplossing:

y C log x + x3. Variatie der cons t ant e is ook mogel i j k.

3x2 x2

U moet dan f(----_{log x - log x}~)dx berekenen . Begin bv . met

OpZossing : Voor n = 0,1 zijn het reeds bekend e typen.

Voor andere waarden van n: schrijf de vergelijk ing als

p

(x)~

+

q

(X)y~

= rex).

Door de substitutie z = y-(n-l) wordt de vergeli jk ing linea i r. (Soms wordt de gegeven vergelij king opge lo st door ana l oog aan methode 11 in 2.1. te stellen y = u(x).v (x ). )

3.1. VORM:

3.2. VOORBEELDEN.

(16) Ir

x-y-'-+-y-=-y2-l-0-g -X-,- -(-x-iiij-O--) OpZossing : Schrijf de vergelijking als

Y'

.!.

=

xyz + y log x (y

#

0)

en stel z = y-l, waaruit volgt z' = _y-2y'. (Denk aan de ketting-regel!) De gegeven vergelijking gaat over in

sing van (*) luidt derhalve z

=

Cx + log x + 1.

Hieruit volgt eenvoudig de algemene oplo ssing van de gegeven verge-lijking door op te merken dat z

=

y-l;

(**) Y

=

(Cx + log x + 1)- 1.

Door invullen in de vergelijking blijkt bovendien y = 0 een oplos-sing te zijn. Uiteraard hebben we ons bij het oplossen wegens het voorkomen van log x moeten beperken tot een gebied waar geldt x > O.

Opmerking : In (**) moeten we die waarden van x waarvoor (bij gekozen C) de uitdrukking

Cx + log x + 1

nul wordt uitzonderen. Door op te merken dat de grafieken van de functies

y

=

x, y

=

1 + log x

elkaar raken in (1,1) zien we di r e ct dat er alleen zo'n punt is als C ,::;, -1.

(17) I(x + l)y' - Y= j.(x + 1)3y-2 , (x > -l)1

Oplos sing : Schrijf de vergelijking als (x + 1)y2y' - y3 = lex + 1)3

3

en stel z = y3, z' ~ 3y2y' (kettingregel!). De vergelijking gaat nu over in de lineaire vergelijking

1 1 3 3(x + l) z' - z

=

3(x + 1) .

De bijbehorende homogene vergel ij ki ng op l os s en geeft z = C(x + 1)3, en door z

=

c(x).(x + 1)3 te nemen vin den we als particuliere oplos-sing (voor c(x) komt er log(x + 1)) z

=

(x + 1)3l og(x + 1). Wegens z = y3 vindt men uit dit al les voor de algemene oplossing van de gegeven vergelijking y = (x + 1)

)E

+ log(l + x) 3.3. OEFENOPGAVEN. (18) Ix 3y' - x2y = y2, (x > 0)

.1

(Met z

=

y- l komt er -x 3z1 - x2z

=

1. Algemene oplossing hiervan z Cx- 1 + x-2. Gevraag de oplossing

(19)

j

X

Y I - Y =

f

[

(z

=

y2. Tussenvergelijking _{~x z ' - z}

₌

_x4_;

gevraagde oplossing y2

=

Cx2 + x4, geldig op een gebi ed waar x

t-

0.)

EXACTE DIFFERENTIAALV_{ERGELIJKINGEN.}

4.1. _{VORM: P(x , y) + Q(x,y)dx}dy __{- 0} of Pdx + Qdy = O.

Kenmerk : P(x,y), Q(x,y),

~

~

en

~

~

zijn continu op een gebied Din het (x,y)-vlak*). Verder

ap _ aQ

ay-äX

Oplos sing : _{zoek functie F(x,y) met dF Pdx} + _{Qdy, d.w.z.}

a

r

aF

P =

äX

_en Q=

ay'

Algemene oplossing is dan F(x,y)

het gebied D. (zie ook 13.8.) C, en deze oplossing is geldig op

*) _{Onder een gebied verstaan we een enkelvoudig samenhangende open} verzameling in het (x,y)-vlak. Voorbeelden: het binnengebied van een cirkel, van een rechthoek, het gehele (x,y)-vlak.

gehele (x,y)-vlak.

Stel

~

êx .

₌

x2 + y.., dan is F

=

!3x3 + xy + C(y). (Bedenk dat

a

~(y)

=

0; _{een constante Cal l een is dus niet algemeen genoeg.)} Hieruit volgt weer

~ = X + C'(y ) ay

(_{' betekent differentiëren naar y). Uit de gegeven vergelijking halen} aQ ax

=

1 zi j n continu op het 7 VOORBEELDEN. (20)

I

(x2 + y) dx + (x + y2)dy = 0

I

ap Oplos sing : P

=

x2 + y,

Q

=

x + y2,

ay

=

4.2.

we dat

~

=

x + yl. Deze beide uitkomsten gelijk stellen geeft

ay

x + C'(y) = X + yl, C'(y) = yl, C(y) = ~y3 (+ A).

(De constante A laten we meestal weg bij deze laatste integratie, omdat in de algemene oplossing de integra tieconstante vanzelf weer tevoorschijn komt .) We vinden F = ~x3 + xy + ~y3 Algemene oplossing:

~

x3

+ xy +

~

y3

=

C, even t uee l te schrijven als x3 + 3xy + y3

=

C (me t een ni euwe C). y (21) sin 2x + x)dx + (y . l s~n x)d yl y

o

Z . P Q ap ~ .. ied bi d

Op oss~ng: , ,

ay

'

ax z~Jn conti nu op ~e er ge ~e dat geen punten van de x-as bevat. Neem voor zo'n gebied bv . het bovenhalfvlak . Uit

van een bekende

sin 2x d - y- - + x, an vo lgt met behulp aQ Stel ~ = êx ' êx ~ _ 2sin xcosx êx - - yl ap voldaan is aan

ay

= ap sin 2x

ay

= - ~ en

gonioformule dat

cos 2x l

volgt F

=

-

--zy--

+ ~x + C(y). Hieru it weer door differentiëren:

aF _ cos 2x sinlx

ay -

~ + C'(y)

=

Y - ~. Daar cos 2x

=

1 - 2sinlx, krijgen we C'

=

y -

2~

l'

C

=

~l

+

2~

Na een eenvoudige herleiding vinden we uiteindelijk voor de algemene oplossing: y(x2 _{+ y2) + 1 - cos 2x}

=

Ay.

4.3. OEFENOPGAVEN.

(22)

~

cos

x - xcos y)dy - (sin y + ysin x)dx

=

O.

I

(23)

(Dis het gehe le (x, y) -v l ak . Begi n - xc os y. Er komt C'

=

0, dus C(x) opl oss i ng : ycos x - xsin y

=

A.)

1 0 - yl)dx + 0 - xl)d y =

0.

1

. (1 + xy )2 aF bv. met

ay

=

cos x

-=

constante . Algemene

(Voor D een gebi e d kie zen waar xy ~ -1. Begi n bv. met

aF 1

ax ' Er komt dan na eni g gereken C'(y)

=

- ~' C

=

y-l,

4.4 . VEEL GEMAAKTE FOUT. x xe u(x) .

o

(*)

is nu exact. Voor D kunnen we het gehele (x,y) - v l ak nemen.

aF x _x

Start bv. met

ay

= e . N_{a rekenen komt er C'(x) = xe , C(x)}

- eX en als algemene oplossing van (*)

Oplossing: De vergelijk in g is niet exact. Probeer ~

~(x) moet dan bepaald worden uit

a[~( x ). ( x + y)] _ a~(x)

ay - ax

Het linkerlid (waa r we x a_{l s constante moeten beschouwen) wordt}

~

(X

)a (

xa

;

y) =

~

(x)

.

l ,

_{het rechterlid wordt}

~~.

Let er vooral op wanneer a _{en wanneer d moet worden gebruikt.}

d~

We bepalen nu een functie ~(x ) die voldoet aan ~ = dx'

Men vindt (scheiden) ~ = eX De vergelijking

P en Q wor den verwis s eld, d.w.z .

~

:

=

~

;

wor dt onderzocht in plaats

van ~ = aQ. êy ax

~

_INTEGRERENDE

FACTOR.

Probleemstelling: gegeven een _{niet exacte differentiaalvergelijking}

Pdx + Q_{dy = O. Gevraagd een op een gebied D continue e}

n naar x en y differenti ~ erbare functi e ~(x , y) te vinden, zodani g dat

~P dx + ~Qdy- '= 0 wel exact is.

Op lossing: u bep al en uit a

5~

P)

= a

5~

Q)

_I

I

In de praktijk doet men dit door raden. Begin bv. te veronderstyllen

dat ~ = ~(x) of ~ = ~(y). Ook eenvoudige _{combinaties van x en y}

komen in aanmerking, bv. ~(x + y), ~(xy) , ~(~) enz.

y

noemer! Oplossing: x + y A(l + xy) .

y

=

I - x + Ae-x.

Dit is tevens _{de algemene oplossing van de gegeven vergelijking, als}

er via ~(x) = 0 geen extra oplossingen _{zi j n ingeslopen.}

Daar eX > _{0 voor alle waarden van x, is dit hier niet het geva}

l.

Evenzo met _~-l = O.

4.6. VOORBEELDEN.

(25) 1(1 - xy)dx + (1 - x2)dy =

0.

]

Oplossing: Een eventuele integrerende factor ~ moet worden bepaald

uit de vergelijking a - xy)] a _ x2)]. ay [ ~'(1 ax[~ · (1 Dit wordt a~_{(1 - xy}) - x~

=

~(l _ x2) - 2x~. ay ax

Daar y alleen expliciet voorkomt in het eerste lid, komenwe op de

gedachte dat wellicht ~ ~( x ) gesteld kan worden. Doen we dat, dan komt er

Met scheiding der variabelen blijkt dat hier onder andere aan is vol -daan door

~

=

(1 -

x

2 )-~.

We lossen nu op

I-xX /~

(* )

11 _

x2dx + v1 - x dy

=

O.

Al s we beginnen met

~

=

I~

komt er na wat gereken

ay

C(x ) c arcsin x. Als algemene oplossing van de gegeven vergelijking

krijgen we

y/~ + arcsin x = A

Deze oplossingen gelden uiteraard slechts op het interval -1 < x < 1. Daar de gegeven vergelijking uit (*) ontstaat door die te vermeni g-vuldigen met ~~l, onderzoeken we nog x

=

±l. Door in te vullen blijkt dat dit oplossingen zi j n . ~ 0 is niet mogelijk .

(26)

I(X

2 - y2 + l)dx + (x2 - y2 - l)dy

=

0

I

Oplossing : Een integrerende factor moet bepaald worden uit

(*) a~ (x2 _ y2 + 1)

=

a~ (x2 _ y2 - 1) + 2(x + y)~.

ay ax

Als we voor

~

~

en

~

~

dezelfde uitdrukking zouden kunnen substitueren,

valt er heel wat weg. Omdat we voor x2 - y2 kunnen schrijven

(x + y)( x - y), komen we op de gedachte dat wellicht ~

=

~(x + y) 1 .. St 1 z

=

x + D . a~ d~ az en a~

=

d~ ~ en (*)

za zi jn, e y. an IS ay

=

dz ay ax dz êx

gaat over in

~1 ( x2 - y2 + 1) = ~1 (x2 - y2 - 1) + 2z~

waarbij de I differentiatie naar z betekent. Na herleiden: ~'

=

~z, waaraan bv. voldoet '

5

con

stan-0, dus C

~

=

exp

[~z

2

]

=

exp

~ ~

y) 2]. De verdere oplossing ver loopt nu kort als vo l gt : beginnend met

~

~

komt er F =

Je~ (

x+y

) 2 (x2

_ y2 + l)d x

en in deze integraal moeten we y als cons tante beschouwen. De int e

-gr atie is dan niet zo moeilij k meer. Er komt

k(x+y)2 F = (x - y)e2

+ C(x) .

Op de bekende manier verder gaande bl i j kt C'(x) te. Algemene oplossing

k(x+y)2

(x - y)e2

=

A.

~

=

0 en ~- l

=

0 geven geen extra oplossingen. 4.7. NOTA BENE.

Vergeet voora l niet een onderzoek in te stellen naar de gevallen waarin ~ = 0 of ~-l = O.

4.8. OEFENOPGAVEN .

~ = ~(x).

Oplos si ng : Schrijf u(x2eX+ y) dx - ~xdy = O.

~ uit ~ = -~'x

-

~, ~ = x-2.

_kt>

Oplossing: _y Cx + xe x, _O. /) x (28) _{/XdX + ydy} + x(xdy ydx) 0, u = u(x2 + y2)·1

5,

HOMOGENE VERGELIJKINGEN 5.1. VORM: y' = f(~), x

#

0

of P(x,y)y ' + Q(x,y) = 0

I

P en Qhomogeen in x en y van of P(x, y )d y + Q(x,y) dx

=

0 de zel fd e graad .

OpZos s i ng: Subs t i t utie y

=

ux , waarbij u op te vat ten is als functie van x. De vergel i j kin g die dan on ts taa t is op te los s en met de metho de van de scheidi ng der variabelen.

+ 2~x. Met z Opl os sing : ~ uit _aa_y~ (x - xy) x~ = _aa~_{x (y +} x2) 3 2d~ + ₃dz _{= 0, u (x 2} + y2)-2. ~ z aF F =

t

-

I + C(y), C'(y)

o

.

ax ' Ix2+ y2 Oplossing: y - 1 = CvP + y2.

5.2. VOORBEELDEN.

(29)

I

yI

=

~

+ 1, _x

#

0.

/

Oplos sing : Stel y ~ ux, waaruit volgt ~ = u en y' = u'x + u. x

De vergelijking gaat over in u'x + U

=

U + 1. du

=

dx,

x

u = C + log lxi , y = Cx + xlog lxi. Vanzelfsprekend dienen we ons

te beperken tot een gebied wa~r x >

°

of x < O.

ux vinden Scheiding dx x

#

0.

\

(30)

I

y'

=

2(~)

2

- 1, Oplossing: Met y

=

=

(2u + l)(u - 1). du (2u + l)(u - 1)

=

x' we na rekenen u'x geeft 2 ~)du 2u2 _{- u - I} dx x y

#

x. geen oplos-dus bij te we C

=

±A (a

#

1)

I

Door integreren krijgen we

log lu - 11 - 210g 12u + 11

=

310g lxi + log A,

waaruit weer op de gebruikelijke manier y - x

=

Cx2(x + 2y)2.

moeten ons beperken tot een gebied waar x # 0, dus een gebied

y-as niet bevat.

Verde re restricties: u # -~, u # 1, d.w.z . 2y + x.#

°

en Door invullen in de vergelijking blijkt dat er inderdaad

singen verloren gaan. In de algemene oplossing dienen we

voegen: C # 0, iets dat trouwens te verwachten was, daar

hebben gezet.

(31)

I

x(x - ay)dy - y(y - ax)dx = O.

Oplos s i ng: Schrijf de vergelijking als

x(x - ay)y' - y(y - ax)

=

O.

Met de subs tit utie y

=

ux wordt dit

(1 - au)xdu (a + l)(u - u2)

=

0 of x

=

O.

dx +

Scheiding der variabelen en partieel breuksplitsen geeft

(*) [-1 - a- - -1]du

=

(a + 1)dx (u # 0,1; x # 0) u - I u x We dat de J

6

6.

Hieruit volgt door integratie

lu - lll-a

=

Aulxll+a~

Aangezien de gegeven vergelijking snel is op te lossen als a

=

1 of

S.3 . Sommige mensen prefereren in het vorige voor be e l d en soortge lijke

gevallen met differentialen t_{e werken: in de gegeven vergelijking}

wordt recht s t r eeks gesubstitueerd dy

₌

xdu + udx.

6.1 . VORM: F(x,y ,y ')

=

0, waarbij _{F een veelterm in y'is van de graad n.}

Op~os sing: Schr ij f (zo mogel i j k)

[y' - F1(x,y)]. [y' - F2(x,y)].[ . . . . ..][y' - Fn(x,y) ] = 0 en de gegeven vergelijking valt _{uiteen in meerdere vergelijkingen}

van een eenvoudige r type.

o

(geen oplos

-(oplossing).)

\ ANDERE TYPEN.

W_{e beperken ons tot bv. het gebied waar u > 1 en x} > O.

(N.B . (u - l)l-a is all een _{gedefinieerd als u-I > 0.) Als algemene}

oplossing van _{de vergelijking krijgen we voor dit gebied}

(y - x)l-a = Cxy.

u

=

1 en u

=

0 (kijk naar (*)) corresponderen met y

=

x rcsp y

=

O. Door in te vullen in de ge geven vergelijking _{blijken dit oplossingen}

te zijn. De l_{aat s t e oplossing ver}loopt echter ni e t in het door ons gekozen gebied, de eerste valt _{op de rand van dat gebied. Op gr ond}

van de symmetrie _{in de vergelijking komen we op de gedachte dat}

be-halve y

=

0 ook x

=

0 een oplossing is, het geen door invullen wordt

bevestigt. _{Ook deze oplossing valt op de rand van het door ons}

gekozen gebied.

We merken nog op dat andere _{gebieden kunnen worden gekozen.}

6,

S.4. OEFENOPGAVEN

(32) !_{SXYdY - (x}2 + y2)dx = 0

I

(met y ux komt er Su'ux 4u2_•

Scheiden en integreren:

-

~log

₈ 11 4u21 = log Clxl, C > O.

Oplossing: (x2 - 4y2) 5

=

Ax2, x

=

0, A willekeurig.

Let op de geval len x

=

0 en y ±~x.) (33) I(x + 2y)dx + (2x + 3y)dy = O.

I

3u + 2 + dx = 0

~

(y = ux , (3u + l)(u + l)du x ' ~log 1(3u + 1)(u + 1)1 + log [x ] = log A.

Oplossing : (x + 3y)(x + y) = B. Let op x sing), x + y

=

0 (oplos si ng) en x + 3y

=

0

6.2. VOORBEELDEN.

(34) ly '2 - 2yy' = y2(e 2X - 1)

.1

Oplossing : Door de vergelijking te schrijven al s y,2_ 2yy' + y2 = (yeX)2

zien we snel dat de vergelijking uiteen valt in y' - y = yeXen

y - y' =-yex. De variabelen zijn te scheiden. Oplossing en

y = Aexp (eX + x) resp. y = Bexp (x - eX).

Bij het scheiden heeft men y

#

0 moeten stellen. Men ziet echter

direct dat y = 0 een oplossing is. (35)

l

yl3 - yy' 2 - x2y' + x2y =

0.

1

Oplossing: Door de termen twee aan twee samen te nemen, komt er na enig gereken

(y ' - x)(y' + x)(y' - y) = O.

y = -1?x2 + C2·

oplossing van y' = y ook met scheiding der

= Bex (let op y = 0).

y' x en y' = -x nemen we samen. Schrijf daartoe E

we oplossen de vergelijking(en) y' EX dy = Exdx y = 1?EX2 + C. Uitgeschreven: y = 1?X2 + Cl en

Tot slot is de algemene

variabelen te vinden: y

6.3. VORM : F(y, y' ) = O.

±l , dan moet en

(g' betekent differenti ëren naar p)

Oplossing: 1) Oplosbaar 2) Oplosbaar SCHEMA: y dy ook dy dus x uit naar y': y,o naar y : y g(p) g' (p)dp pdx f(y), g(y') , SCHEIDEN. STEL y' = p. x

=

6

3) Moeilijk oplosbaar: probeer parametervoorst elling.

y

=

$( t ) , y'

=

~( t ) waarui t resp.

dy = $' (t)dt, dy

Voor x komt er

SCHEIDEN. STEL y'

=

p.

(p of 0)

l)eP + C. Oplossing in parametervorm:

Zdt I 2

~ en x + C= -Zt (t of 0) . Met y t vinden we tenslotte p = (Zpe P + p2eP)~

dx dus dx

=

(ZeP + peP)dp. Door integreren x

=

(p +

zodat dx

y = 4(x + C)-2.

Bovendien is y

=

0 een oplossing.

{

X

=

(p + 1)eP + C y

=

p2e

P

Merk op dat y

=

0 een oplossing is die niet in de parametervoorstel~ ling zit.

(38) ly '2 = y3.,

Oplossing: Stel y'

=

t 3, Y

=

t2. Uit deze betrekkingen volgt

dy t 3dx, resp. dy = Ztdt

x

=

Oplossing:

I) Oplosbaar naar y': y'

=

f(x), 2) Oplosbaar naar x: x

=

g(y'),

SCHEMA: dy

=

pdx

=

p.g'(p)dp Y = lpg' (p)dp

x

=

g(p)

Indien moeilijk oplosbaar: probeer een parametervoorstelling te vinden:

6.4. VOORBEELDEN. (36) Iy ' = y2 +

1.1

Oplos s ing : Scheiden geeft _y

~l

=

dx. Oplossing: arctg y

=

x + C. +

Als we een vaste C in gedachten houden en ons beperken tot Ix + Cl <

I'

kunnen we nog schrijven y = tg (x + C). (37) Iy y'2eY'

·

1

Opl ossing: Stel y'

=

p. y p2 eP. (Bedenk p p(x)) Differentieer naar x:

{ y'_x =₌ <pc_1jJ(t)t )

SCHE~~: dy

=

~(t ) d x

=

~(t )1jJ ' ( t ) d t

{ Y_x

₌

f_1jJ<pc t ) .1jJ ' (t ) dt_{(t )} 6.6. VOORBEELDEN .

(39) l(y')2 + cos2x =

1

1

Op~ossing: Met y' = ±/l - cos2x ziet men sne l dat de gegeven verge-

-lijking uiteenvalt in twee verge-lijkingen: y'

=

sin x en y'

=

-s i n x.

scheiden der variabelen geeft y

=

-cos X + Cl, resp. Y

=

cos X + C_2. (40)

I

x

= (y')3 - y' -

1.

1

Op~ossing: We hebben te maken met het tweede geval van 6.5. en stel-len dus y'

=

p. Er komt dan dy

=

pdx

=

p(3p2 - l)dp en door integre~ ren y

f

(3

p3 - p)dp

=

tp4 - ~2 + C. De oplossing in parametervorm

luidt

{

X = p3 - P - 1

Y

=

tp4 _ ~2 + C

( 41)

I

(y,)2 + X2 = r2

.

1

Op~os sing : Een parametervoorstelling is

{ y_x' == rcos trsin t Hieruit berekenenen we

dy

=

rcos t.dx

=

rcos t.rcos t.dt waaruit y

=

r2fcos2t. dt

{ Yx

_

h

2_{(t • .l§s i n 2t) + C}

rs i n t (1)

is dan de algemene opl ossing in parametervorm .

Opmerk i ng: Door de verge lijking te sch rijven als

y' = ±/r2 _ x2

vindt mendoor scheiden (met behulp van de integraaltafel bv.):

±y = .l§/r2 - x2 + .l§r2arc s in ~ + C. (2)

r

Bedenk dat men , om t te elimineren uit (1) met het doel (2) te

krij-gen, een geschik t inte rva l moet kiezen voor t op het moment dat de

(tg z ~ 0)

(u > 0)

7.1. A_{ls de voorgaande methoden niet van toepassing zIJn kan men proberen} door een substitutie over te gaan op nieuwe variabelen. Er zijn geen regels te geven. Het is een kwestie van (langdurig) oefenen en

pro-beren.

7.2. VOORBEELDEN.

(42) Iy '(-1 + tg(x + y))

=

1.

1

OpZossing : Stel x + y

=

z en beschouw z _{als functie van x. We voeren} z in in de plaats van y. Uit x + Y= z volgt 1 + y' = z' (' betekent differentiëren naar x).

De vergelijking _{gaat over in}

(z' - 1)(-1 + tg z)

=

1. Na herleiden:

tg z - ldz

=

dx tg z

(*) x

=

z - log AI sin zl met A> 0

Dit geeft als oplossing van de gegeven vergelijking y

=

log AI sin (x + y) I .

We onderzoeken nog tg z

=

O. Dat geeft z krr, waaruit y

=

-x + kn.

Invullen in de vergelijking doet zien dat we inderdaad voor iedere gehele k een oplossing van de gegeven vergelijking krijgen.

Men moet bedenken dat (*) _{de algemene oplossing geeft op een gebied}

waar tg z ~ 0 (bv. {z: ~~ < Z < ~}).

(43)

I

(X

2 - y4)y'

=

xy

I

OpZos sing : _{Door de substitutie x}

₌

_{t 2 wordt de vergelijking homogeen:}

met dy

=

dy / dx

=

ddY

t /2t, waarbij we t

~

0 nemen, komt er

dx dt dt

(t 4 _

y4)~~

=

2t3y.

Op_{de bekende manier kan deze vergelijking worden opgelost met de} substitutie y = _{ut. De daarbij optredende integralen zijn echter} niet leuk meer. We proberen daarom een soortgelijke substitutie, maar nu zo gekozen dat de graad van de homogene vormen lager wordt. Met y2

=

u

_,

Y

=

IU

en y'

=

_l__ .du vinden we

_21U

_dx

(x2 _ u2)du

₌

_2ux dx

Door te stellen u

=

vx vinden we na herleiden (.1 _ v Op~ossing: 2v ~) dv y2 = A(x2 dx x (A > 0).

u

=

0 in het bovenstaande correspondeert met y

=

0 en dit is een oploss ing van de gegeven vergelijking. We moeten dus A > 0 vervangen door A~ O.

7.3 . OPMERKING.

Aangezien men aan een accent bij een functiesymbool niet kan zien of

differentiatie naar x of t of enz. wordt bedoeld, is het verstandig de accenten zovee l mogelijk te ve rmi j den bij het invoeren van nieuwe

veranderlijken.

7.4. VOORBEELD (POOLCOÖRDINATEN) .

(44) l(x2 + y2 - 1) (xdy - ydx) = ydy + xdx.1 Op~os s ing : Daar het tweede li d te schrijven is als

Jid ( x2 + y2),

komen we op de gedachte om poolcoördinaten in te voeren: x rcos </>

y = rsi n </> r

=

r(</>), r ~ O.

Het tweed e lid van de gegeven verge lijking wordt dan:

~dr2

=

~. 2r . dr

=

rdr.

Het eerste li d her leidt men het sne lst als volgt: xdy - ydx

r2cos2</>dt g </>

=

r2d</>,

dus het linke r li d wordt '( r2 - 1)r2d</>. De differentiaalvergelijking gaat ove r in

(r + l)(r - l)rd</> = dr

en de variabelen zijn te sche iden. Na enig gereken vindt men

1 1 1

(~~ + ~~ - r)dr

=

d</>, r i O, r i l .

(Nat uur lijk kan ook ni et r

=

-1, maar we hebben al gesteld r ~ 0).

Integ re ren geeft

</>

=

~l og( r + 1) + ~l o g lr - 11 - log r + log A, A> 0

I

r2 11 2</> = log B

----::T--

_r

In differentiaalvorm schrijven en scheiden:

2dx + (z - l)dz

=

0, 2x + tz 2 - z

=

C, x2 + 2xy + y2 + 2x - 2y

=

A.

in een homogene vergelijking. ax + by + C

px + qy + r

00 } zijn "evenwijdige rechten" .

dz bdy

=

ax + by, dx

=

a + dx·

scheiden.

00 } snijden elkaar in (xe,Ya) Variabelen te ax + by + C px + qy + r Substitueer x (*) 2arctg

~

= log slx2 + y2 -

11

S 0 2 2 , > , x X + y

waarbij we ons wegens de overgang naar arctg dienen te beperken tot een geschikt gebied voor ~, bv.

11 11

-

2

< ~ <

2'

d.w.z. we beschouwen slechts oplossingen van de vergelijking die in het rechterhalfvlak verlopen. We kijken ook nog even naar de gevallen r

=

0 en r

=

1, waarmee corresponderen x2 + y2

=

0 en x2 + y2

=

1.

De eerste relatie stelt een punt voor, een richting is niet gegeven, dus geen oplossing. x2 + y2

=

1 daarentegen is een oplossing van de gegeven vergelijking, zoals door invullen blijkt.

Het is verder duidelijk dat (*) de oplossing geeft in een gebied dat niet een deel van x2 + y2 1 en niet de y-as bevat.

(45) _{[(X +} + 1) dy

0·

1

y + _(x + y - 1)dx

Oplo s s ing : Stel z

=

x + _{y, dx}dz

₌

1 + dy

dx De vergelijking gaat over in

(z + 1) + (z - l)(dz _ 1)

o

.

dx

X + xa }

y y + Ya De vergelijking gaat over VoorbeeLden:

(46) 1(2X - y - l) dx - (x + y - 2)dy = 0

I

Opl ossing: De rechten 2x - y - 1

=

0 en x + y - 2

=

0 snijden elkaar in (1,1). Door de substitutie x

=

X

+ 1, Y

=

Y

+ 1 gaat de verge

lij-king over in

(2x - y)dx - (x + y)dy

=

O. 7.5. VORM:

~~

=

f(u) waarin u

Oplossing:

1) ax + by + C

px + qy + r

Dit is een homogen e vergelijking. Door te stell en

Y ux, dy

₌

udx + xdu

gaat hij over in

d~ u + I 2du x

i'

u2

i'

+ u2 0, 0, + 2u - 2 0 x + 2u -wa aru i t y2 + 2xy 2x2 C. (Let op het gebie d ! )

8.

LINEAIRE DIFFERENT IAALVERGELIJKI NGEN (ALGEMEEN)

proberen of

met de methode van de variatie der constanten.

Een particuliere door

1) 2)

8.1. VORM: ao(x) y" + al (x) y ' + (l2(x) y

=

Sex) (t wee de orde ) Al s sex)

=

0 heet de verg elij king homogeen .

OpZossing:

1) Bepaal twee lineair onafhankelijke oplos singen van de bi jbeho-rende homogene vergelijking (de gereduceerde vergelijki ng) .

Noem die oplossingen Yl(X) en Y2(X).

2) Bepaal een parti culiere oplossing van de gege ven vergel i j king:

Ypart(x) .

3) De al gemene oplossing van de gegeven ve rg e l ijk i ng lui dt dan

Y

=

CIYl + C2Y 2 _{+ Ypart}

Als een oplossing Yl(x) van de homogene vergel i j kin g bekend is kan

men de orde verlag~n door de substitutie y(x)

=

u(x)Yl(x).

oplossing van de ge geven vergelijk ing wor dt bepaald

8.2 . VOORBEELDEN.

(47) Y

=

x is een oplossing van de vergelijking x3y" + xy ' - Y

=

O. (x > 0)

Bepaal de algeme ne oplossing.

u"x + 2u'. De

OpZossing : Stel Y

=

ux. Dan is y' u'x + u, y"

vergelijking gaa t over in

x3(u"x + 2u') + x(u'x + u) - ux 0 x4u"+ u '(2x3+x2) 0

Als webei de leden delen door x2 (bedenk dat x > 0 is) en u'

=

v

x2v, + v(2x + 1)

=

0 Scheiden der variabelen geeft

waaruit op de bekende manier volgt v = Cx-2el/x.

Teruggaan naar u:

du

=

Cx-2el/X , u

=

-Ce l/x + C2

=

Cle l/x + C2'

Als

a

r;~mene

oplossing van de gegeven vergelijking komt er nu met y

=

ux:

y

=

Clxe l/x + C2X .

We moeten nog apart bekijken v

=

O. Hiermee correspondee rt

u

=

constant, y

=

Cx, en deze oplossing (vu l maar in) zit al in de algemene oplossing. dv + V 2x + 1 x2 dx

=

O. (v 1- 0)

III

11 11 (48) De vergelijking (1 + x2)y" - 2xy' + 2y

=

6(x2 + 1)2

heeft y

=

x als oplossing van de bijbehorende homogene vergelij-king. Bepaal de algemene oplossing.

u'x + u, y" u"x + 2u' .

voor de homogene vergelijking

dv 2dx

~ + x(l + x2)

=

0 (v 1- 0, x 1- 0)

We beperken ons nu tot een gebied waar x 1-

o.

Op de bekende manier vinden we v

=

Co(l + x2)x-2. Overgaan op u:

u

=

CoI(1 + x2)x -2dx

=

Co(x

-

~)

+ Cl'

X

v en scheiding der

Dit geeft weer de algemene oplossing van de homogene vergelijking: y

=

Co(x 2 - 1) + Clx (*)

Een particu lie re oplossing van de gegeven verge lijking zoeken we met behulp van de met hode van de vari at i e der cons tan ten . In (*) zet ten we co(x) en Cl ( X) in plaats van Co en Cl en krijgen dan

y'

=

co·2x + cl + c

_Ó(x

2 - 1) + ci.x Óstel len .

OpZos sing : Stel y = ux, y' Invullen en herleiden geeft u"x(l + x2) + 2u'

=

O.

(Controle: de termen met u vallen weg.) Met u' variabelen:

tweede lid coëff . van y")

À-1.1..~

3j

DV'Jc,\ ..,... y" +

cl

6(x2 + 1)2 x2 + 1 stellen (= Door oplossen: Co

=

6x, Co

=

3x2 ci = -6x2 _{+ 6, cl = -2x}3 _{+ 6x}

Hierbij vermelden we geen nieuwe integratieconstanten daar we met één particuliere oplossing tevreden zijn.

Deze is y

=

x4 + 3x2, zoals na eni g ge r eke n bli jk t. De algemene oplossing van de gegeven vergelijking luidt nu

y

=

Co (x2 _{- 1) + Clx + x}4 _{+ 3x}2_.

We moeten nog ki j ken naar het geval v = O. Di t cor re spo ndeer t met u

=

constant, y

=

Cx en die zit in (*) als we Co

=

0 zet ten. Opmerking : Door te let t en op de graad van de coëfficiënten en van het tweede lid komt men op de geda cht e met een vierd egra ad s veel -term in x in de vergel ij kin g te duiken.

Stellen we y

=

Ax4 _{+ Bx}3 _{+ Cx}2 _{+ Dx + E, dan komt er na invullen in}

de gegeven vergelijking en enig gereken A

=

1, B

=

0, C + E

=

3, D

=

willek eur i g .

Dit laatste is natuurlijk vanzelfsprekend daa r Dx een deel is van de op loss i ng van de homogene vergelijking. Door C= 3 te ki e zen en E= 0 vinden we de oplossing zoals die boven vermeld is. Graag nodigen we de lezer uit zelf andere waarden voor C en E te kiez en. Bedenk ech te r goed dat iedere door u verkregen particuliere oplossing ook t evoor-schi j n komt door in de door ons behande lde algemene oplossing geschikte waarden voor Co en Cl te nemen (!).

8.3. Ook voor vergelijkingen van hogere orde kan men de methode van 8.1.

toepassen.

Voor beeld:

(49)

I

(2x - 3)y'" + (7 - 6x)y" + 4xy' - 4y = 0

I

Oploss ing: Een oplossing van de verge lijking is y

=

eX. We nemen nu y

=

ue x en vinden door differentiëren y'

=

(u' + u)eX,

y" = (u" .. 2u' + u)e X en y'"= (u'"+ 3u" + 3u' + u)ex. Na invullen en rangschikken geeft dit

(2x - 3)u'" - 2u" (2x - 5)u' O.

(Controle: de termen met u mogen niet meer voorkomen.)

We stellen u' = v en los s en verder op de vergelijking (2x - 3)v" - 2v' - (2x - 5)v

=

O. (*)

Deze vergelijking heeft weer eX als oplossing. Opdezelfde manier als boven vinden we met de subs titutie v

=

wex de vergelijking

en lossen op

dz 4x - 8

z f

o

.

z ~dx

Er komt dan achtereenvolgens

z

=

C_o(2x - 3) e-2X,

w

=

C

_o

J(2x - 3)e-2Xdx _Co

_Cl

_{- x)e- 2}X _{+ Cl,} Co

Cl

- x)e -x + Clex

v

=

u

=

CoJ(l - x)e-xdx + CIJ eXdx + C2 Coxe-x + Cle x + C2·

Als a_{l gemene oplossing van de geg ev en vergelijking vindt men}

dan y = ue x = Cox + Cle2X+ C_2ex.

Eenvoudi g blijkt dat het geval z

=

0 geen nieuwe _{oplossingen geeft.} 8.4 . OEFENOPGAVEN.

(50) x2y " + xy ' - Y = x3 (x > 0) y

=

x voldoet aan de gereduceer-de vergelij king.

Bepaal de algemene oplossing.

(Met y

=

ux, y'

=

u'x + u, y"

=

u"x +2u' komt er x3u" + 3x2u'

=

0, x > 0 (!) . Stel u'

=

v. v

=

Cx-3,

u = _Clx-2 + C_2, Y= Cl x-l + C_2x.

(Met y

=

ue- x komt er (x + l)u" - u'

=

O. Via v

=

u':

u'

=

C(x + 1). Daarna y

=

Co(x + 1)2e- X + Cle- x. Men dient zich tebeperken tot een gebied waar x + 1 f ·0 . )

lid

van "y" )

O. _{Bepaal de algemene oplossing}

als gegeven is dat y

=

~x een

oplossing is. Variatie der constanten:

c'x- l₁ + c'x 0 2 2 tweede

-

cix-

+

Cl

= X (= ~C~O~ë~f~f=.-=~~~· lx4 _{c = .lx}2 Cl

=

-8

"

'

2 4 ' Oplossing: y Clx-l + C_2x +

~x

3

algemene oplossing van de vergelijking

d2y dy

- log x)dx₂ + x

dx - Y

=

0 als gegeven is dat y

=

x

aan de vergelijking voldoet. Gebied: x > O. (52) Bepaal de

(Met y = ux vindt men na rekenen

u"x(l - log x) + u' (3 - 2log x) O. Via u'

log x - I 1

u' =C xZ ,u = Cox- log x + C

l,-Algemene oplossing: y = Colog x + Clx.)

v dan

d2y ~

(53) tg xdXï + (tg 2x - 2)dx + 2cotg X.y = tg2x,

o

< X <

t

De bijbehorende homogene vergelijking heeft als oplossing y = sin x. Bepaal de algemene oplossing.

(Uit de homogene vergelijking vindt men met y = usin x en

daarna u' = v: v' + vtg x = 0, u = Cosin x + Cl' Algemene

oplossing van de homogene vergelijking is

y = Cosin 2x + Clsin x.

Variatie der constanten geeft

c6sin2x + ci s i n x = O. t 2

cO·2cos xsin x + cicos x = ti

~

1

waaruit Co = tg x en CI= cos x Particuliere oplossing:

y -sin xcos x. Gevraagde algemene oplossing:

y Cosin 2x + Clsin x - sin xcos x.)

8.5. OPMERKINGEN.

Soms kan men een oplossing van een gegeven vergelijking direct

zien:

~ voorbeelden 8.3 en 8.3(*): som der coëfficiënten is nul, zodat

y = eX een oplossing is;

voorbeeld (SI): som der coëfficiënten van y" en y is gelijk aan

·de coëfficiënt van y: dus.y = e- x is een oplossing;

voorbeeld (47): aan Axy' - Ay = 0 wordt voldaan door y = x en

dan is y" = O. Men ziet bv. ook dat y = x een oplossing is van

de vergelijking in 8.3 (maar niet meer van 8.3(*)).

Extra oefeningen kunt u maken door uit te gaan van de door u

gevonden oplossingen. Bij (53) bv. kunt u stellen y = usin2x,

enz.

8.. ONAFHANKELIJKHEID VAN OPLOSSINGEN.

Door gebruik te maken van de determinant van Wronski kan men nagaan

of een stel oplossingen van een lineaire differentiaalvergelijking

een integraalbasis vormen.

sin x cos x .

Voorbeeld: Toon aan dat de functies --x-- en --x--- een

lntegraal-basis (fundamenteel stelsel) vormen voor de vergelijking

y" + 2x- Iy' + Y = 0, (x > 0).

Bewijs: Door invullen zien we direct dat we te maken hebben met

sin x x xcos x - sin x x2 cos x x -xsin x - cos x x2 I -x2

#

o.

De gegeven functies zijn daarom onafhankelijk en vormen dus een integraalbasis.

9.

9.1.

LINEAIRE _{DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN MET CONSTANTE COËFFICIË}

NTEN.

(n) (n-l) _,

VORM. aaY + alY + .• •..• • • + an_Iy + any f(x). De coëfficiënten zijn reëel en aa

#

O.

Als f(x)

=

_{0 krijgen we de bijbehorende homogen e vergelijking of de}

gereduceerde vergelijking.

Oplossing:

A) _{Bepaal n lineair onafhankelijke oplossingen van de g}

ereduceerde vergelijking: Yl' Y2' ·· ·· ··, Yn· Zie 9.2.

B) Bepaal een _{particuliere oplossing van de hele vergelijking.} Zie 9.3. _{Noem die oplossing Y t·}

par C) De algemene oplossing is

Y

=

CIYl + C2Y2 + + CnY

n + Ypar t ·

9. 2. ONAFHANKELIJKE OPLOSSINGENvan de gereduceerde vergelijking bepaalt

men als volgt:

1) _{Los op de karakteristieke vergelijking}

(*)

particuliere oplossing kan worden bepaald door proberen,

met behulp van de methode van de variatie van de constanten (deze methode is altijd toepasbaar, wegens het vaak vele reken-werk echter niet klakkeloos toepassen!)

door (als _{de omstandigheden aanwezig zijn) de volgende stelling}

toe te passen: n n-l

aaÀ + alÀ + +an_IÀ+ a_n = 0

Als À._J een enkelvoudige wor t e l van (*) is, is Y

=

eÀjX

een oplossing van de homogene vergelijking.

3) Als À

i een k-voudige wortel is van (*) zijn

À·x À· x k-l Ài x

Y

=

e 1 Y

=

xe 1 , , Y

=

x e

oplossingen van de bijbehorende homogene vergelijking.

De zo verkregen n oplossi ngen zijn lineair onafhankelijk.

Het is de gewoonte de oplossingen niet in de complexe vorm te_l a t en staan, zie de voorbeelden.

4)

9.3. Een 1 ) 2)

Stelling : Als het tweede lid van de vergelijking uit 9.1. de gedaant e P(x)eÄx heeft, waarin P(x) een veelterm in x van de graad m is en Ä een k-voudige wortel van de karakteristieke vergelijking, dan is er een particuliere oplossing van de vorm y = Q(x).xkeÄx, met Q(x ) een veelterm in x van de graad m.

4) met de operatorenmethode, zie hiervoor het appendix 9.4. VOORBEELDEN (HOMOGENE VERG ELIJKINGEN).

(54)

I

y" -

3y' + 2y

=

0. [

Oplo s sing : De karakteristieke vergelijking luidt Ä2 - 3Ä+ 2 = 0

en heeft als oplossing Ä

=

1 en Ä

=

2. Lineair onafhankelijke opl os-singen van de gegeven vergelijking zijn

eX en e2x. Algemene oplossing:

y

=

Aex + Be2X (55)

k

' -

4y' + 4y

=

0·

1

Oplos sing : De karakteristieke vergelijking Ä2 - 4Ä+ 4 = 0

heeft de dubbele wortel Ä zijn dan

e2X en xe2X. Algemene oplossing

y

=

Ae2X + Bxe2x (56) jY" + 2y' + 5y

=

0 Oplos sing : De vergelijking

Ä2 + 2Ä+ 5

=

0

2. Lineair onafhankelijke oplossingen

geeft Ä -1 ±

e(-1+2i)x

2i. Lineair onafhankelijke oplossingen zijn

(-1-2i)x

en e ,

zodat we voor de algemene oplossing krijgen y = Ae(-1+2i)x + Be(-1-2i)x.

Aangezien meestal reële oplossingen worden gevraagd, gaan we als volgt tewe r k .

Door e ia

=

cos a + isin a te gebruiken (zie appendix C.l.) komt er na herleiding