Geometria obrazu

Geometria obrazu

Wykład 3

Filtry i Transformaty Filtry c.d.

1.Filtr kombinowany Sobela.

2.Filtr adaptacyjny uśredniający 3.Filtr cząsteczkowy Kalmana.

4.Filtry dla filmów.

Rozpoznawanie wielokątów

1. Dualizacja liniowa - Problem prostej przecinającej 2. Transformata Hougha

3. Transformata Radona

4. Inne transformaty

Filtry kombinowane Sobela.

Filtry kombinowane są filtrami nieliniowymi.

Tworzy się je znajdując gradienty w dwóch prostopadłych kierunkach (niekoniecznie równolegle do osi układu współrzędnych), a następnie obliczając ich nieliniową kombinację.

http://ics.p.lodz.pl/~adamwoj/WSFI/PO/4_wyklad_PO.pdf

Wzorzec

Filtr pionowy Filtr poziomy

Kombinacja euklidesowa

L’(x,y)=((L₁(x,y))²+(L₂(x,y))²)^1/2

Filtr adaptacyjny uśredniający.

Filtry adaptacyjne zmieniają charakterystykę działania w zależności od cech analizowanego obrazu.

Np. adaptacyjny filtr uśredniający działa tylko w miejscach, które nie

zostały zakwalifikowane jako krawędzie (różnica wartości parametrów dla odpowiednich pikseli nie jest zbyt duża).

[http://atol.am.gdynia.pl/tc/Radzienski/Adaptacyjne.htm]

Filtr cząsteczkowy Kalmana.

Jest to algorytm rekurencyjnego wyznaczania estymaty wektora stanu modelu liniowego dyskretnego układu dynamicznego na podstawie

pomiarów wyjścia oraz wejścia tego układu. Przyjmuje się założenie, że zarówno pomiar, jak i proces przetwarzania wewnątrz układu jest

obarczony błędem o rozkładzie gaussowskim. Można go wykorzystać do przewidywania ruchu obiektów lub odnajdywania ich na filmie.

Badany proces możemy zapisać w postaci:

x(t+1) = Ax(t)+Bu(t)+v(t), y(t) = Cx(t)+w(t),

gdzie x jest wektorem stanu, u – wektorem wejścia, y – wektorem

pomiarowym, v i w – zaburzeniami przetwarzania i pomiaru, A - macierzą przejścia stanów, B – macierzą wejścia, C – macierzą wyjścia.

Otrzymujemy zależności stanu układu w chwili t od chwili t-1:

x’(t|t-1) = Ax’(t-1|t-1)+Bu’(t-1), P(t|t-1) = AP(t-1|t-1)A^T+Q,

gdzie x’(t|t-1) i x’(t-1|t-1) są estymatami stanu przed i po pomiarze,

P(t|t-1) i P(t-1|t-1) – kowariancjami przed i po pomiarze różnic położenia i jego estymaty, a Q - kowariancją szumu.

Przykład.

https://www.youtube.com/watch?v=7Z_8-Ew7u2k

https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

Rodzaje filtrów w zależności od sposobu filtracji obrazu filmowego.

1.Filtry przestrzenne – analizują obraz znajdujący się tylko na jednej klatce filmu.

2.Filtry czasowe – porównują piksele znajdujące się na sąsiednich klatkach filmu.

3.Filtry czasowo-przestrzenne – łączą powyższe dwie metody (zwykle są najbardziej efektywne)

Problemy, które mogą wystąpić podczas filtracji filmu.

1.Przenikanie sąsiednich klatek.

Występuje w filtracji czasowej lub czasowo-przestrzennej, gdy obraz bardzo szybko się zmienia. Wtedy mogą być porównywane piksele nie mające ze sobą żadnego związku.

http://www.videoquality.pl/metody-redukcji-szumu-w-obrazie-filmowym/

2. Efekt „halo”.

Może pojawić się, gdy przesadzimy z parametrami przy filtrowaniu (np.

w filtrze górnoprzepustowym) i zwiększymy różnicę jasności wzdłuż krawędzi obszarów.

http://www.videoquality.pl/metody-redukcji-szumu-w-obrazie-filmowym/

3. Efekt bandingu (pasmowania).

Zależy od filtracji (np. filtry statystyczne z obszarami generowanymi przez pojedyncze piksele). Może powstać przy kompresji. Polega na pojawianiu się rozróżnialnych jednobarwnych pasm zamiast łagodnych zmian kolorów.

http://www.videoquality.pl/metody-redukcji-szumu-w-obrazie-filmowym/

4. Efekt brzegowy.

Podobnie jak w przypadku statycznym, pomijamy początkowe i końcowe klatki, dla których filtr byłby trudny do określenia.

5. Zniekształcenia detali wynikające z zastosowania filtru (tak samo jak w przypadku statycznym).

Dualizacja liniowa (linear duality).

Definicja.

Dualizacją liniową nazywamy przekształ- cenie D : R²  R² przyporządkowujące punktowi (a,b) prostą o równaniu y = ax-b.

Przestrzeń obrazów nazywamy przetrzenią dualną.

Podobnie możemy zdefiniować przekształ- cenie prostych (niepionowych) w zbiór punktów płaszczyzny.

Przykład.

Obrazem dualnym punktu p należącego do paraboli y = 0,5x² jest styczna do tej para- boli w punkcie p.

Problem prostej przecinającej (stabbing line) w R².

Definicja.

Dany jest zbiór n odcinków na płaszczyźnie.

Problem: Czy istnieje prosta przecinająca wszystkie odcinki ? Jeśli tak, to określ zbiór prostych przecinających.

Fakt.

Zbiór prostych przecinających odcinek ab w przestrzeni dualnej przyjmuje postać pod- wójnego klina, którego ramiona są wyzna- czane przez proste D(a) i D(b).

Wniosek.

Aby rozwiązać problem wystarczy określić w przestrzeni dualnej część wspólną klinów odpowiadających danym odcinkom.

Fakt.

Część wspólna n podwójnych klinów od- powiadających danym odcinkom może mieć co najwyżej n spójnych składowych (utożsa- miając punkty w nieskończoności, otrzymu- jemy jedną składową mniej). Składowe są wypukłe (co najwyżej dwie nieskończone).

Transformata Hougha (Hough transform).

Prostą o równaniu y = ax + b możemy zapisać w postaci

y = (- cos /sin )x + (r/sin ), gdzie (r, ) są biegunowymi współrzędnymi punktu (x,y) względem punktu (0,0).

Zatem równanie prostej ma postać r = x cos  + y sin .

Przestrzeń, którą tworzą pary (r, ), gdzie r

 R⁺{0} i   [0,), nazywamy przestrzenią Hougha.

Gdy ustalimy punkt (x₀,y₀), przez który przechodzą badane proste otrzymamy równanie

r() = Abs(x₀ cos  + y₀ sin ).

Zatem punktowi w przestrzeni Hougha odpowiada funkcja sinusoidalna.

Transformatą Hougha rozpoznajemy obrazy binarne.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform]

[http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform]

Przykład.

Przykład.

[http://lapasoft.wordpress.com/2009/11/04/wykrywanie-linii-za-pomoca-transformaty-hougha/]

Przykład.

Twierdzenie.

Z pomocą transformaty Hougha można jednoznacznie wyznaczyć położenie dowolnego wielokąta wypukłego (Rozenfeld, Weiss 95).

Transformata Hougha nie określa jednoznacznie położenia wielokąta niewypukłego (Milanfar 96).

Transformatę Hougha można wykorzystać również do znajdywania np.

okręgów o określonym promieniu.

Wychodząc z równania (x-a)² + (y-b)² = r² w przestrzeni Hougha odpowiadającej parom (a,b) jaśniejsze będą środki poszukiwanych

okręgów i koła o tym samym środku i dwa razy większym promieniu.

Przykład.

[http://members.chello.pl/j.kaprzyk/cw2/Proj02.pdf ]

Dyskretna transformata Fouriera.

Dyskretna transformata Fouriera (Fourier transform) i transformata odwrotna dla dyskretnego sygnału dwuwymiarowego dane są wzorami:

gdzie w_N = e^i(2π/N).

http://eletel.p.lodz.pl/pstrumil/po/fft_0.pdf

Stosuje się ją m.in. do wyszukiwania elementów podobnych na obrazie, wykrywania zakłóceń, wygładzania funkcji itp.

http://eletel.p.lodz.pl/pstrumil/po/fft_0.pdf

Transformata Radona (Radon transform).

Transformata Radona podaje liczbę pikseli obrazu binarnego w rzucie na prostą umieszczoną pod kątem



względem osi x-ów. Transformacja jest dana wzorem

, gdzie

.

Transformację Radona stosuje się m.in.. w tomografii.

Przykład.

Obraz kwadratu przy transformacji Radona.

[http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/images/transfo9.html]

Stosując w różny sposób transformacje odwrotne do transformacji Radona możemy otrzymać obraz początkowy.

W tym celu stosujemy np. złożenie z transformatą Fouriera lub tzw.

projekcję wsteczną, tzn. rozsmarowujemy obraz z odpowiednią gęstością dla każdego kierunku rzutowania, a następnie dzielimy otrzymaną w

każdym pikselu sumę wartości przez liczbę rzutowań.

[http://users.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w8_2015.pdf]

[http://users.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w8_2015.pdf]

Dyskretna Transformata Cosinusowa (discrete cosine transform) ma zastosowanie w kompresji obrazów jpg oraz konwersji mpeg.

DCT przekształca skończony ciąg N liczb rzeczywistych g(0), …, g(N-1) w ciąg liczb rzeczywistych G(0), …, G(N-1) zgodnie z zależnościami:

G(k) są nazywane współczynnikami DCT lub transformatą.

Definiuje się również odwrotną dyskretną transformację cosinusową (IDCT):

Zaletą stosowania transformaty DCT w kompresji jest to, że większość współczynników jest zwykle bliska 0 – po kwantyzacji wyzerują się, co redukuje liczbę bitów potrzebną do reprezentacji sygnału bez wnoszenia dużego błędu.

Standardowy algorytm to podział obrazka na bloki o stałych rozmiarach (np. 8x8), transformacja tych bloków, kwantyzacja i kompresja bezstratna.

Transformaty falkowe (wavelet transforms).

s jest funkcją sygnału,  - falką, a i b – parametrami skalującymi (wielkość i przesunięcie falki).

Stosuje się ją do lokalizacji zaburzeń – eliminacji szumów lub dekompozycji obrazu.

Dyskretna transformata falkowa (DWT) ma postać y[n]=(xg)[n]=k(-,)x[k]g[n-k].

Realizacja w praktyce.

Wielorozdzielczość.

aproksymata

detale

[http://home.agh.edu.pl/~jsw/oso/FT.pdf]

Algorytm Mallata

.

LL – filtr dolnoprzepustowy dla wierszy i kolumn,

LH – dolnoprzepustowy dla wierszy, górnoprzepustowy dla kolumn, HL – górnoprzepustowy dla wierszy, dolnoprzepustowy dla kolumn, HH – górnoprzepustowy dla wierszy i kolumn.

[http://home.agh.edu.pl/~jsw/oso/FT.pdf]

Przykład.

http://www.cs.toronto.edu/~mangas/teaching/320/slides/CSC320L11.pdf

Transformata Gabora (Gabor transform).

Stosuje się np. do analizy tekstur, wykrywania regularności.

[http://sound.eti.pg.gda.pl/akmuz/index.php/Transformacja_Gabora]

https://en.wikipedia.org/wiki/Gabor_filter

Dziękuję za uwagę.