EGZAMIN
z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”
I termin, 4 czerwca 2007 roku
Zadanie 1. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego o gęstości f (x) = 1
π · 1 1 + x2. Wyznacz gęstość zmiennej Y = 2X2+ 1.
Zadanie 2. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = (x2+ 2y2)1(0,1)(x)1(0,1)(y).
Wyznacz gęstość warunkową f (x | y) oraz wykaż, że EX | Y = 12= 35. Zadanie 3. Znajdź granicę według rozkładu ciągu
Zn= cos
1 n
+ 1 n2/3
n
X
k=1
Xk,
gdzie X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1).
Czy ciąg Zn jest zbieżny według prawdopodobieństwa?
Zadanie 4. X1, X2, . . . , Xn jest próbą prostą z rozkładu Poissona P o(λ). Zbadaj, dla ja- kich a ∈ R \ N
θn= n +Pnk=11{2}(Xk) n − a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a esty- mator ten jest nieobciążony?
Zadanie 5. Wykonano 100 prób polegających na rzucaniu monetą do chwili otrzymania pierwszego orła. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki:
Liczba rzutów 1 2 3 4 5 6 7 i więcej Liczba prób 44 27 10 9 3 4 3
Wykaż, że otrzymane wyniki potwierdzają hipotezę, że czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie prób Bernoulliego polegających na rzucie monetą ma rozkład geometryczny z parametrem p = 12. Przyjmij poziom istotności α = 0, 01 i skorzystaj z podanych niżej wartości z tablicy rozkładu χ2.
k 1 2 3 4 5 6 7 8
χ21−0,01 6, 635 9, 210 11, 345 13, 277 15, 086 16, 812 18, 475 20, 090
