Buigtrillingsberekeningen met gyroscopische effecten met de eindige elementen methode

Buigtrillingsberekeningen met

gyroscopische effecten met de

eindige elementen methode

G.B. van Zwienen

februari 1994

Technische Universiteit Delft

Lijst

van

gebruikte 'iterated/ inheedsopgave

Samenvatting

INLEIDING

2 HET EIGENWAARDEPROBLEEMa

2.1 Systemen zonder demping en Zander gyroscopie 9 2.2 Systemen zonder demping en met gyroscopie 11

2.3 Algemene systemen 12

3 BUIGTRILLINGSBEREKENINGEN ₁₄

3.1 Bepaling van kritische toerentallen ₁₄

3.2 Invloed demping en lagering ₁₆

3.3H Evaleatie in de praktijk ₁₇

4 OPSTELLEN VAN DE BEWEGINGSVERGELIJKINGEN VOOR DE EEM 20

4.1 De eindige elementen methode _gp

4.2 Opbouw van de matrices ₂₁

5 ONDERZOEK NAAR GESCHIKT PROGRAMMA ₃₁ 5.1 Probleem van de contra-roterende assen 31

5,2 Inventarisatie van EEM-programma's ₃₂ 5.3 Brulkbare programme's uit gemaakte selectie ₃₃

6 ONDERZOEK NAAR PROGRAMMA DAT GYROSCOPISCHE EFFECTEN

.KAN VERWERKEN IN MASSAMATRIX ₃₇

Methode om gyroscopisch effect te verdisconteren

in massamatrix ₃₇

6.2 Programme's waarmee Methods toegepast.kan worden ₄₃ 6-3 Methode toegepast op contra-reterende assen 45

7' CONCLUSIE ₄₈

49

4 1 ₆ 9 6.1

Bijlage 1: Lijst van leveranciers 51

Bijlage 2: Principeschets van het probleem 53 Bijlage 3: Tekeningen van de testcase 54

Bijlage 4: Resultaten berekening testcase door LIPS,

met ANSYS en met de formule van Jasper 57

Bijlage 5: Resultaten berekening gekoppelde systeem

Samenvatting

Het kunnen berekenen van buigeigenfrequenties _van

gecompli-ceerde as/rotorsystemen is van groot belang, cm te voorkomen dat in het bedrijfstoerengebied van een installatie

hinder-lijke en/of schadehinder-lijke resonanties kunnen optreden. Stan-daard EEM-programma's waarmee deze berekeningen, ook voor gecompliceerde systemen met contra-roterende assen,

uitge-voerd kunnen worden, met inbegrip van gyroscopische effecten en lagerstijfheden, zijn niet voorhanden. bit wordt onder meer veroorzaakt doordat veel EEM-programma's eisen stellen aan de wijze waarop de matrices zijn opgebouwd. Deze dienen

veelal positief definiet te zijn, wat bij een

gyroscopiema-trix niet het geval is.

Men dient bij buigtrillingsberekeningen, waarbij _het gyro-scopisch effect in rekening is gebracht, _{onderscheid te} maken tussen forward eigenfrequenties, _{waarbij resonantie} kan

ontstaan

_{als zij samenvallen met gelijkloop} aanstoot-frequenties en reverse eigenaanstoot-frequenties, _{waarbij resonantie}

kan ontstaan als zij samenvallen _{met tegenloop}

aanstoot-frequenties. Onbalansaanstoting is van het type gelijkloop en aanstoting in den richting, bijvoorbeeld ten gevolge van de schroefbladaanstoting, bevat zowel componenten van het

type gelijkloop als van het type tegenloop. Demping wordt in

de praktijk meestal verwaarloosd, daar dit slechts een beperkte invloed heeft op de ligging van de

eigenfrequen-ties. Men dient wel de nodige aandacht _{te schenken aan de} wijze waarop men de lagering modelleert: met name de positie van het effectieve ondersteuningspunt van het achterste

schroefaskokerlager kan grote invloed hebben op de ligging

van de eigenfrequenties.

Het toepassen van de EEM bij buigtrillingsberekeningen _{is op} standaard wijze niet mogelijk, daar geen gyroscopiematrix aangemaakt kan worden in de onderzochte _{programma's. Past}

men echter een methode toe wadrbij. het gyroscopisCh effect

verdisconteerd wordt in de massamatrix van het rotorelement, dan hoeft er geen gyroscopiematrix aangemaakt te worden. _De methode bestaat uit het vervangen van het diametraal massa-traagheidsmoment van de rotor (Id,) door Id-Ip/q. Hierbij is Ip

het polaire massatraagheidsmoment van de rotor en q is het

ordegetal. Met deze methods client er dus een aanpassing van

de massamatrix plaats te vinden, waarbij _{een negatief}

ele-ment op de diagonaal kan komen te staan. Hij veel EEM-pro-gramma's kan hierdoor de methode niet warden _{toegepast. Met.} het programma ANSYS

la

_{deze methode echter wel toepasbaar,} ook bij systemen met contra-roterende !seen, wat gecontro-leerd is door het uitvoeren vanenkele, _{testberekeningen.}

1 INLEIDING

Voor het ontwerpen, van een meer of minder gecompliceerd

as/rotorsysteem, bijvoorbeeld de schroefasleiding van een scheepsvoortstuwingsinstallatie, kan het van groot belang zijn om de ligging van de buigeigenfrequenties te kunnen berekenen. Valt zo'n eigenfrequentie namelijk semen met een bedrijfstoerental van de installatie of met een. aanstootfre quentie ten gevolge van hogere ordeaanstoting, dan kunnen

er door resonantie ongewenste en gevaarlijke situaties

ntstaan. Als voorbeeld kunnen onder enders genoemd wordeaz grate lagerreacties, grate vervorming _{van (elastische)}

koppelingen, buigende momenten in de asleiding _en ongelijk-matige belasting van tanden van een tandwieloverbrenging-.i Dit kan tot gevolg hebben dat er versnelde slijtage zal

optreden en mogelijk zelfs breuk in een Machineonderdeel met elle mogelijke gevolgen _{van dien.}

Om een dergelijke situatie te voorkomen kan men

op

tweeerlei wijze te werk gaan [Klein Woud,1990].

Als eerste kan men zorgen dat de buigeigenfrequenties zo hoog liggen ten opzichte van het bedrijfstoerengebied, dat de resonantietoerentallen, zowel els gevolg van eerste orde onbalansaanstoting als ook van de togere orde _aanstoting,

ruim boven het maximale bedrijfstoerental _liggen.

ten tweede kan men de buigeigenfrequenties _zodanig positio-neren dat het resonantietoerental ten gevolge van de eerste orde aanstoting boven het maximale _{bedrijfstoerental ligt eni}

het resonantietoerental, ten gevolge van de hogere orde aan=

Stating beneden het minimale bedrijfstoerental. _{Wanneer men} volgens de tweede wijze. te werk gaat, moeten de

buigeigen-frequenties op een zeer nauwkeurige wijze berekend kunnen

warden..

Er bestaan verschillende computerprograMmes.waarmee, buigei= genfrequenties berekend kunnen worden, nameIijk _programmes

die specifiek voor dit doel zijn geMaakt aldthede algekene

programme's die gebaseerd zijn op de eindige elementen

methode. Bij eanvang van dit onderzoek was ons echter niet,

bekend of er programmers op de markt zijn, gesdhikt voor het gebruik op ten Personal Computer, die gecompliceerde

as/rotorsystemen kunnen doorrekenen, zoals een schroefas-sensysteem voor contra-roterende schroeven, waarbij tevens lagerstijfheden en gyroscopische effecten in rekening ge-bracht dienen te worden.

Met doel van dit; rapport is een.geschikt computerprogramme

te vinden Weermee,buigeigenfrequenties van complexe

s/rotorsystemen berekend kunnen worden, eventueel nadat de invoer van dit programme met een bepaalde methode is _aange

past voor het in, rekening kunnen brengen van gyroscopie.

Ms eerste zal in dit rapport een korte mathematische

be-schouwing worden gehouden over het oploseen van enkele eigenwaardeproblemen, waarmee de eigenfrequenties bepaald barmen worden. Er zal beschreven worden welke effecten de Verschillende matrices hebben op de eigenwaarden _en

eigen-tvectoren.,

In het derde hoofdstuk zal wat nader worden ingegaan _{op de} diverse aspecten die bij buigtrillingsberekeningen _{aan de} orde komen en zal tevens worden bezien wat dit _{voor de}

praktijk betekent.

In hoofdstuk vier wordt een korte beschrijving _{van de}

eindi-ge elementen methode eindi-geeindi-geven en wordt aaneindi-geeindi-geven hoe de,

diverse matrices, die bij buigtrillingsberekeningem _van

belang zijn, zijn opgebouwd.

Hierna zal dan het onderzoek naar de programme's die in standaard von voor onze probleemsituatie een juiste oplos-sing kunnen geven aan de orde komen. Getracht zal Worden. om

een aanbeveling te geven voor het meest geschikte _programme. In het zesde boofdstuk zal een beschrijving gegeven worden hoe de massamatrix van ten rotorelement kan worden aange-past, zodat het gyroscopisch effect daarin verdisconteerd

kan worden, waardoor er in de berekening geen gebruik ge-maakt hoeft te worden van een gyroscopiematrix. Tevens wordt

onderzocht welke programma's met deze methode een juiste

oplossing kunnen geven.

Het laatste hoofdstuk tenslotte bestaat uit enkele

2 HET EIGENWAARDEPROBLEEM

Mathematisch warden eigenfrequenties van lineaire discrete systemen bepaald door de homogene oplossing van de set

lineaire differentiaalvergelijkingen die de bewegingsverge-lijking van het systeem vormen. In het hierna volgende

zullen we voor drie verschillende gevallen de eigenfrequen-ties van een systeem bepalen met de daarbij behorende eigen-vectoren. Deze stellen de oplossing van de

bewegingsverge-lijking voor behorende bij een bepaalde eigenfrequentie.

2.1 Systemen zonder demping en zonder gyroscopie

De homogene bewegingsvergelij king van een systeem waarbij de

demping is verwaarloosd en geen gyroscopie in rekening is

gebracht luidt (in matrixvorm) als volgt:

Mil(t) + Ku(t) = 0.

De matrices M en K (afmetingen n * n) warden hier geacht de redle en symmetrische massa- en stijfheidsmatrix voor te stellen; de vector u(t) is de n-dimensionale

verplaatsings-vector.

Door nu een algemene oplossing u(t) = xest te substitueren in de bewegingsvergelij king ontstaat er na delen door est en s2

te vervangen door -p de volgende algebralsche vergelijking:

(K - pM)x = 0.

Deze matrixvergelijking heeft slechts van nul verschillende oplossingen x als de determinant van de karakteristieke

matrix nul is, dus bij det(K - gM) = 0.

Dit probleem, waarbij de constante p bepaald moet warden, staat bekend als het eigenwaardeprobleem.

Het oplossen van dit probleem leidt tot de karakteristieke vergelij king

aniin

ap..-1

alp + Po 0

die in het algemeen n wortels _{Pk (k=1...n) heeft, die men de} eigenwaarden noemt. Hij iedere eigenwaarde _{Pk behoort een}

eigenvector xk die voldoet aan:

(K - pk1M)xk = 0.

Omdat gesteld is s2 = -pr behoren bij iedere eigenwaarde _Pk die uit het eigenwaardeprobleem volgt twee exponenten

sk

= f(-pk)

en sk =

De eigenoplossing wordt nu van de vorm

uk( t ) _{= xk(ake' + bke't)}

waarbij wk= wk =

De vector uk(t) is regel, waaruit volgt dat ak en bk elkaars

complex geconjugeerde moeten zijn. Na _{enige omwerking}

ont-staat dan de volgende vergelijking:

u(t) _cosOokt Ok).

Hierin is wk een eigenfrequentie _{van het systeem en zijn} en (bic de amplitude en de fasehoek van de eigenvector _uk(t), waarvan de waarden afhangen van de begincondities.

Daar de matrix M over het algemeen _{positief definiet is, is} het systeem positief definiet als K _{eveneens positief} defi-niet is. Alle eigenwaarden zijn dan reeel en positief. Is K

(en daarmee het systeem) positief semidefiniet _{dan zijn ook}

eigenwaarden gelijk aan nul mogelijk. Dit zijn de zogenaamde

'rigid body modes' waarbij _{een beweging als star lichaam} mogelijk is.

4

*

2.2 Systemen zonder demping en met gyroscopie

Een syStedm waarvan de demping wordt verwaarloosd maar waarbij wel het gyroscopisch effect in rekening wordt ge-bracht, heeft de volgende bewegingsVergelijkinv

+ GA + Ku(t) =O.

Me matrices M en A en de vector u hebben dezelfde betekeniS als in het systeem dat hiervoor behandeld is. De matrix G is de reele keer-symmetrischegyroscopiematrix.

Door een_algemene oplossing u(t) a set te substitueren en vervolgens te delen door et ontstaat het volgende eigenwaar= deprobleem:,

(Mp2 + Gp + K)x = 0.

Om cplossingen te krijgen waarbiji z niet gelijkiaan nul stelt men weer det(Mp2 + Gp + K) _{0, wat leidt tot de}

volgende karakteristieka vergelijking:

aall!

+,-

4

p 4 ao

0-Deze is bij n vrijheidsgraden van de gtaad M 2n.

Deze vergelijking heeft n paar complex geconjugeerde

eigen-waarden pk 7 isk en = -isk complex geconjugeerde van

Pk)-De eigenvectoren moeten nu voldoen aan

(K - 61/42)1 ± itakG)sk

a

_0.

Hieruit volgen ni paar complex geconjugeerde eigenvectoren rk + isk en Aka rk - isk.

De eigenoplossing wordt dan

tik(t) *Ace + zkbkel° Me(t) is, = + + = = = =

irei

ar,

t

(e)

f

on6)4774e)

4

L

waarbij p = pk.

Ook hier volgt weer dat wegene hat redel zijn van ukr ak en bk elkaars complex geconjugeerde zijn en na enig herschrijven

krijgt men dan tenslotte

Ook hier zijn c, en $.. door de beginvoorwaarden bepaalch

Een dergelijk systeem, M en K sytmetriach. en C

keer-symme-trisch, heeft eigenbewegingen die niet aangroeien, echter

zowel de eigenfrequenties als de eigenbewegingen zijn door.

het gyroscopisch moment afhankelijk geworden van de hoek-Jsnelheid van de betreffende Eta.

2.3 Algemene systemen

Crider algemene systdmen wokden hier verstaan systemen met. demping, gyroscopie en een niet-symmetrische stijfheidsma.

trix, waarvan de bewegingsvergelij king luAdt:'

.140(t) + (G +C)á + Ku(t) = 0.

be extra matrix die nu verschenen is, is de dempings-matrix C. Door weer te substitueren u(t) = xe!" wordt het

eigenwaardeprobleem

(0 10x - 0'

met

aid

karakteristieke vergelijking

Ewe'

%1p

.4

_{gip( +}

ac, = 0

van de graad m 2n biji nwijheidsgraden.

Ook deze vergelijking heeft n paar complex geconjugeerde eigenwaarden en wel van de vorm

_{Pk -}

au + iwk en ilk =

-Invullen in het eigenwaardeprobleem levert.

ii uk( t 5 = c.k[rks

in(

okt. + 4k ) + skcos( ekt, + fk ) .

weer

(Mp2 + + C)p +

+ +

=

01,/ 4 (G + ₄

lOrk

.

0!

en de n paar complex geconjugeerde eigenvectoren zijn van de vorm xk

rk

+

isk

en ick

-

rk -

iskt

De eigenoplossing is nu

ul(t)

n

xoket

4Neat

met

0 .

uk en ak en bk als complex geconjugeerde, van elkaart

tare cplossing kan oak geschreven worden als

uk(t) - eatck[rksin(akt _tik) + ,skcos(ukt + 4k)]..,

Of de eigenbeweging stabiel of onstabiel is hangt af van de factor ak. De eigenbeweging is gedempt bij a, . 0, en groeit

aan bij a > D.

Zoals uit het voorgaande blijkt zijn biji systemen _met

symme-trische matrices en zonder demping de eigenbewegingen sta-i biel. Hetzelfde geldt voor systemen met een symmetrische stijfheidsmatrix, zonder demping en met een

keer-symmetri-sche gyroscopiematrix. Zijn er echter niet-symmetrikeer-symmetri-sche matrices (bij buigtrillingsproblemen met glijlagerelementen is de stijfheidsmatrix niet-symmetrisch) of een dempingsma-trix aanwezig, dan ken de trilling uitdempen of

aangroeidh-Tot, slot wordt er nog gewezen op het feit dat bet _oplossen

van het eigenwaardeprobleem neerkomt op het bepalen van de

wortels van de karakteristieke vergelij king. _{taar geen}

analytische oplossingen bestaan als de greed _{van de}

karakte-ristieke vergelij king groter is dan vier; _{wat in de praktijk} bij veel vrijheidsgraden altijd het geval is, _{dient gebruik}

gemaakt te warden van een methode die in principe _iteratief is (Hathe,19821. Men dient in aanmerking _{te nemen dat veel} computerprogramma's, gebaseerd op de eindige elementen

methode, hierbij eisen stellen aan de wijze waarop de matri-ces zijn opgebouwd.

13

( C )pk

=

+

3 ,BUIGTRILLINGSBEREKEN1NGEN

3.1 Bepaling van kritische toerentallen

Neehit Men bij' het bepalen van buigeigenfrequentieS de in-,

vloed van de gyroscopie in achti dan zullen er eigenfrequen= ties (w) ontstaan van het type gelijkloop (forward whirl) en van het type tegenloop (counter/reverse whirl) die absoluut gezten niet aan elkaar gelijk zijn. Bovendien zijn deze

frequenties afhankelijk van het toerental (D) van de betref-fende rotoras. Bij de gelijkloop eigenfrequentie doorloopt het asmiddelpunt een baan waarvan de omlooprichting overeen-komt met de cmlooprichting van de draaiende as. Bij de

tegenloop eigenfrequentie zijn de omlooprichtingen tegenge= steld aan elkaar. Wordt echter geen gyroscopie in rekeninj gebracht, dan iullen de kritische toerentallen van het type gelijkloop en tegenloop absoluut gezien samenvallen. Om te bepalen welke resonantietoerentallen er kunnen ontstaan,

dient men onderscheid te maken tussen twee soorten aansto-,

ting, namelijk gelijkloop- en tegenloopaanstoting.

Ten gevolge van onbalans en/of scheefstelling van de _rotor-.

schijf zal er een eerste orde onbalansaanstoting ontstaan,

die alleen bij samenvallen met de gelijkloop eigenfrequentie tot resonantie zal leiden. Dit kan men aannemelijk maken door te beseffen dat in het complexe

via

_de

onbalansaansto-tingskracht, met 10 als krachtsamplitude, voorgesteld kan

warden als

F' sin = foeiat

Wet jezida het positieve taken van fit van het type gelijk-loop, is. De gelijkloop eigenfrequentie kan beschreven worden

met de factor et, waarbij wt eveneens positief is, zodat men kan stellen dat er slechts resonantie kan ontstaan als de gelijkloop aanstootfrequentie samenvalt met de _gelijkloop

eigenfrequentie.

Bij

een tegenloop eigenfrequentie daarentegen zal slechts

resonantie

kunnen

optreden als de aanstootfrequentie even-eens in tegenloop is. Hierbij ken men denken aan een rote-rende as waarop een harmonisch veranderlijke aanstootkracht

in een vaste richting werkzaam is [Gasch,1975].

Stel bijvoorbeeld dat de aanstootkracht loodrecht op de

roterende as werkt, bijvoorbeeld in de z-richting van een x-y-z coOrdinatenstelsel, waarvan de x-as in de richting van

de rotoras ligt, dan kan deze worden voorgesteld als:

F = facos(C2t) = +

Hierbij is f, de krachtsamplitude. Er is zowel een

loop- (et) als oak een tegenloopterm (et) aanwezig, zodat het systeem in beide eigenfrequenties, gelijkloop en

tegen-loop, aangestoten kan worden. In de praktijk kan men hierbij denken aan bijvoorbeeld de aanstoting van een

scheeps-schroef, waarbij het dus hogere orde aanstoting betreft ten

gevolge van de schroefbladen.

Wordt geen gyroscopie in rekening gebracht, dan zal het niet van belang zijn of de aanstootkracht van het type gelijkloop of tegenloop is. Beide typen zijn namelijk in de eigenfre-quentie aanwezig, daar de algemene homogene oplossing van de

differentiaalvergelij king van een rotorsysteem dan luidt:

U = a1e1 + a2e-i*t.

Hierbij is u de rotoruitwijking en zijn al en a2 complexe

constanten. Resonantie zal dan due optreden ongeacht de aanstootfrequentie van het type gelijkloop of van het type

3:2 Invloed demping en lagerinq

Voor het bepalen van de buigeigenfrequenties van een

as/rotorsysteem is de invloed van de demping in het algemeen

van ondergeschikt belang en wordt dan ook meestal weggela=.

ten. tdt is een gevolg van het felt dat de demping _{in het} algemeen maar een zeer kleine waarde beeft. Weliswaar warden

de uitslagen tij dens bedrijf in _{een resonantie toerehgebied}

door de aanwezige demping niet oneindig groat, toch zijn ze dan zo groat dat een stationair bedrijf in dat gebied niet mogelijk it. De ligging van het kritische toerental wordt door de aanwezige demping echter nauwelijks beinvloed, zodat deze meestal voldoende nauwkeurig bepaald _{kan worden door'}

:het systeem ale ongedempt to beschouwen

Bij foluigtrillingen dient _{men bovendien eefi Ohderscheid te} maken tussen inwendige demping _{(materiaaldemping) en} uitwen-dige demping (veroorzaakt door _{omgevend medium). Bij} niet-roterende assen hebben deze _{twee soorten demping dezelfde} werking, zij werken dan namelijk tegengesteld aan de

bewe-ging van de as.! Betreft het daarentegen roterende. assen, dan

kan bij een toerental boven het kritische toerental van de as een situatie ontstaan waarbij de inwendige _{damping juis:&} voor opslingering gaat zorgen en _{er dus een onstabiele}

toestand kan ontstaan [Gasch,1975]. _{Dit zal afhankelijk zije}

van de verhouding tussen de uitwendige en de inwendige demping. Hierop wordt in _{alt verband niet verder ingegaan;}

of) de ligging van de eigenfrequenties _{heeft dit fenomeen} geen invloed van betekenis.

Bij buigeigenfrequentieberekeningen _{ken men de lagering van} het as/rotorsysteem als star _{veronderstellen, dan wel als}

elastisch, wearbij het laatste nog onderverdeeld kan worden

in wentellagering en glijlagering.

Door de elasticiteit van de lagering in _{aanmerking te nemen,} zullen er eigenfrequenties _{ontstaan die lager zijn dan in,}

het geval er sprake.id Van _{een starre asondersteuning.}

Bovendien zullen door de anisotropie de, _{lagerstijfheden in} verticale err horizontale richting in het _{algemeen Met}

gelijk zijn, zodat er bij, wentellagering twee

eigenfrequen-ties ontstaan, die meestal dicht bij elkaar liggen en onder de eigenfrequentia liggen van het systeem met starre

lage-ring.,

Glijlagers bezitten daarnaast _{nog de, eigenschap dat Novell} een bepaald toerental instabiliteit op kan treden, wet met name van belang is voor assen die met een hoog toerental draaien. De fysische oorzaak van deze instabiliteit is

gelegen in het felt dat het glij_{lager aandrijfenergie aan}

het systeem onttrekt _{en ideze, door de oliefilm, aan de}

buigtrillingsbeweging van de as toevoegd. Mathematisch volgt dit uit de bewegingsvergelij king en ken worden aangetoond dat dit het geval is wanneer de stijfheidsmatrix niet-symme7 trisch is en het systeem dan _{niet-conservatief is.} Getal-waarden voor de elementen van de stijfheidsmatrix van glijT

lagers zijn afhankelijk _{van de lagergeometrie en van, het} dimensieloze lagerkengetal _{van Sommerfeld. Over stabili-_}

teitsproblemen ten ,gevolge van glij lagers wordt in dit

rapport mlet verder ingegaan.

3.3 Evaluatie in de praktijk

In dime situatie zullen _{lover het algemeen genomen de} instal-laties waarvoor buigtrillingsberekeningen uitgevoerd dienen te worden schroefasleidingen van scheepsinstallaties zijn. De belangrijkste _{aanstootfrequenties zijn in dit geval de,} eerste orde aanstoting ten gevolge van onbalans en de

_re

orde

aanstoting ten gevolge van de schroefbladen, waarbij n staat

voor het aantal bladen.

De laagste eigenfrequentie van het systeem van het type gelijkloop, het laagste kritische toerental, dient buiten het bedrijfstoerengebied

ten gevolge van onbalansaanstoting

_{geen resonantte'kan}

optreden. Voor asleidingsystemen met korte

en, zwaar gedimen=

sioneerde assen zal alt kritische toerental veelal

ruim

L,

boven het maximale bedrijfstoerental liggen. Er dient dan

echter nog wel. gelet te warden op ns orde aanstoting

_ten

gevolge van de schroefbladen. Deze kan, zoals

we reeds

hebben gezien in 3.1, resonantie veroorzaken ten gevolge

van

het samenvallen met rowel gelijkloop als tegenloop eigenfrer

quenties. 'Oak het resonantietoerental dat ontstaat ten

gevolge van deze aanstoting client boven het, maximale

be-drijfstoerental te liggen.

Vcior systemen met licht gedimensioneerde

_{assen en relatief}

lange afstanden tussen de lagers kan het voorkomen

_{dat het}

resonantietoetental ten gevolge van eerste orde gelijklodp

Aanstoting net boven het maximale bedrijfstoerental

_ligt

_In

dit geval is het vaak niet mogelijkide

_{eigenfrequentie}

zodanig te verhogen <let

oak

het resonantietoerental ten

gevolge van de scbroefbladaanstoting boven het

_maximale

bedrijfstoerental 'komt te liggen. Men dient

er dan voor te

zorgen dat dit toerental juist beneden het- minimale

bedrijfstoerental komt te liggen, om. zonder

_{resonantiegevaat}

probleemloos binnen het bedrijfstoerengebied

_{werkzaam te}

,kunnen,zijnr

De nauwkeurigheid. Van de uitkomsten

_{van de buigeigenfrequen=}

tieberekeningen, hangt af van de nauwkeurigheid

waarmee men

het as/rotorsysteem heeft gemodelleerd.

De as ken

in het algemeen nauwkeurig gemodelleerd worden,

evenals de rotor (scheepsschroef). De nauwkeurigheid

_{van de}

berekening hangt voornamelijk af van de wijze waarop de

asondersteuningen, de lagers, in. het model zijn

opgenomen

met betrekking tot de stijfheden en de positie van de

la-gers. Wat dit laatste betreft gaat het

_{dan vooral om de}

positie waar de as effectief wordt ondersteund

_{in het}

ten gevolge van de overhangende schroefmassa zal _doorbuigen, zal het effectieve ondersteuningspunt niet in het midden van het lager liggen maar zal het zich naar de achterzijde van het lager verplaatsen. Het verplaatsen van het effectieve

ondersteuningspunt heeft, vooral bij het achterste lager,

een behoorlijk grote invloed op de ligging van de eigenfre-quenties [Veritec,1985]. Hier dient men dan ook bij het uitvoeren van een berekening de nodige aandacht aan te schenken.

De stijfheid van een glijlager kan het meest nauwkeurig gemodelleerd worden door zowel de stijfheid van de oliefilm als ook die van de fundatie in rekening te brengen. Voor conventionele asleidingsystemen is het voor een berekening die nauwkeurig genoeg is vaak voldoende om slechts de stijf-heid van de oliefilm in rekening te brengen, daar de funda-tiestijfheid meestal vale malen groter is dan de oliefilm-stijfheid. De stijfheidscoefficienten van de oliefilm kunnen worden verkregen uit diverse tabellen die daarvoor zijn

bestemd of tilt experimenten.

Dempingsfactoren voor glij lagers kunnen _{eveneens uit}

tabel-len worden gehaald en voor de inwendige demping _{van de as is}

deze waarde ook bekend. _{Moeilijker is het om de juiste}

dempingsfactor voor de schroef _{te verkrijgen; hierover}

bestaat slechts weinig betrouwbare _{informatie. Echter, zoals} al eerder vermeld, geen van daze dempingsbronnen zijn van grote invloed op de ligging _{van de eigenfrequenties.}

Vanwege eventuele bovengenoemde _{veronderstellingen die bij}

het modelleren gemaakt zijn, _{de positie van de} lageronder-steuning en de juiste stijfheidsfactoren, dient men bij het

beoordelen van een al of niet _{toegestaan bedrijfstoerental} gewoonlijk een marge van ongeveer twintig procent aan te houden tussen het berekende kritische _{toerental en het}

4 OPSTELLEN VAN DE BEWEGINGSVERGELIJKINOEN VOOR 'DE EEM

44

De elndige.elementen. methode.

De eindige elementen methods [Bathe0.982;Kramer,1984; Rao,1989] is een numerieke methode voor het oplossen van

verschillende soorten technische problemen, waaronder

_oak

dynamische.problemen. Hoewel het concept van deze methode al langer bekend was, is deze pas goed tot ontwikkeling _gekomen

met de opkomst van de digitale computer. Mdj bet gebruikeni

van deze methode wordt de ingewikkelde geometria _{.van een}

totale constructie namelij)c opgedeeld in een groat aantal eenvoudige deelgeometrien, de eindige elementen, die in

knooppunten onderling met elkaar verbonden zijn. _{Door nu} -voor ieder knooppunt de evenwichtsvergelijkingen te

formule-ren, worden de deelproblemen betreffende de eindige elemen-ten, die in vergelijking met het totals probleem eenvoudig op te lossen zijn, met elkaar gekoppeld. Zo ontstaan _er

grote stelsels, vergelijkingen die opgelost dienen te worden.

met behulp van een computer.

In het algemeen warden bij de eindige elementen _{'methods de} volgende, stappengenomen:

geometrie in elethenten Verdelan i(diacretiseren)

van ieder element gedrag

vastleggen(element-matri-ces bepalen)

elementen samenvoegen tot totale geometrie _(globate

matrices bepalen)

oplossen van de systeemvergelijkingen.

De eindige elementen die na uitvoeren _{van, de eerste Sta0}

zijn ontstaan kunnen bestaan uit staven, _{balken of willekeu=}

sige andere elementen als platen en schalen. Linealre buig-,

trillingen van as/rotorsystemen kunnen over het algemeen goed beschreven worden door gebrUik te maken van elastische

balkelementen (met verdeelde of discrete massa's) en starre

rotorelementen (met geconcentreerde massa en

massatraag-heidsmomenten), waarbij de laatste van belang zijn om het

gyroscopisch effect in rekening te kunnen brengen; voor de

asondersteuningen kan men gebruik maken van veer- en

demper-elementen.

Voor ieder element dient nu het gedrag bepaald te worden door middel van het formuleren van de massa-, stijfheids- en dempings-/gyroscopiematrix van ieder element; dit wordt

behandeld in 4.2.

Vervolgens kunnen dan, na voor ieder element _een coordina-tentransformatie te hebben uitgevoerd waarbij de lokale

verplaatsingen van ieder element worden uitgedrukt in globe-le verplaatsingen, de totaglobe-le matrices van het systeem worden opgesteld door de matrices van de afzonderlijke _elementen samen te voegen. Deze matrices hebben de _{afmetingen n * n,} waarbij n staat voor het totale aantal vrijheidsgraden van het systeem dat betrekking heeft op de verplaatsingen en de

rotaties van de knooppunten.

De op deze wijze ontstane matrixvergelijking dient men nu op te lossen; in onze probleemsituatie betreft dit het

eigen-waardeprobleem.

4.2 Opbouw van de matrices

Na op de hiervoor beschreven wijze de matrices bepaald te hebben die het gedrag van het systeem beschrijven, kan men de homogene bewegingsvergelijking _{van het systeem opstellen:}

Mu + (G + Ku = 0.

De hier gebruikte symbolen hebben dezelfde betekenis als in 2.3. We zullen nu gaan zien hoe de matrices in het algemeen

zijn opgebouwd.

De massamatrix M' is een symmetrische matrix waarbij de

massa"s en massatraagheidsmomenten, als die direct met de vrijheidsgraden van het systeem gekoppeld zijn, op de diago-naal staan. Als er echter massa buiten de knooppunten aanwe-zig is, bijvoorbeeld bij een balkelement met verdeelde

massa, dan zijn er ook buiten de diagonaal termen aanwezig.

be elementen van de donsistente tasSematrix van een. balkele-ment kunnen bepaald worden met behulp van het principe van de virtuele arbeid. Hiertoe dient eerst het

verplaatsings-verloop over het element beschreven te, worden en vervolgens

kan dan, door het gelijk stellen van de virtuele aibeid vans de traagheidskrachten ten gevolge van virtuele

verplaatsin-gen

au(

x)' _{de virtuele arbeid ten gevolge van de virtuele} knooppuntsverplaatsingen bu - (Sul, 45u2)T, per balkelement de

consistente massamatrix M worden bepaald:

tm6uTilkia buNit

JlOi

1(1=lengte balkelement; m=verdeelde Sassa; u=verplaatsings-, vector),

Bij een rotatorisch symmetrisch rototeletheht is, de

traar

heidstensor een diagonaalmatrix. De massamatrix van een

xotorelement is dan eveneens een diagonaalmatrix, waarbij _op de diagonaal de masses en massatraagheidsmomenten _{staan die} gekoppeld zijn met de bijbehorende vrijheidsgraden,

be

_{stijfheidsmatrix K van een element geeft de relatie aan}

tussen de verplaatsingen van de knooppunten en de krachten die daarbij optreden. Deze matrix is in het algemeen

symme-trisch, wat af te leiden is uit de stelling van Maxwell. De elementen van deze matrix kunnen voor balkelementen afgeleid worden met behulp van de elementaire formules voor bulging' van balken. Is er een glijlager aanwezig in het systeem, den

zal er echter een niet-symmetrisdhe stijfheidsmatrix

ont-staan als men bij de modellering de. glijlagereigenschappen Nolledig in rekening brengti. Dit wordt veroorzaakt door het

aan

elastische gedrag van de oliefilm, dat afhankelijk is van de lagergeometrie en het dimensieloze lagerkengetal van Sommer-feld, zie ook 3.2. Het rotorelement, dat bij buigeigenfre-quentieberekeningen als star wordt verondersteld, levert

geen bijdrage aan de stijfheidsmatrix.

De dempingsmatrix C heeft dezelfde opbouw als de stijfheids-matrix; voor eigenfrequentieberekeningen is deze matrix

echter van weinig belang, omdat de dempingsfactoren meestal een te verwaarlozen invloed op de ligging van de

eigenfre-quenties hebben.

De gyroscopiematrix G, tenslotte, is een keer-symmetrische

matrix die op dezelfde pleats in de bewegingsvergelij king is

opgenomen als de dempingsmatrix, als de demping ale snel-heidsevenredig wordt verondersteld. Hoewel in theorie de as (het balkelement) ook een bijdrage levert aan de gyroscopi-sche krachten en momenten, is deze bijdrage zo klein dat dit

in de praktijk niet wordt meegenomen in de berekening.

Aileen de gyroscopische werking van het starre rotorelement

wordt in de berekening van belang geacht.

De gyroscopiematrix G zal dan bij rotatie-symmetrische ro-torelementen bestaan uit slechts twee van nul verschillende elementen die symmetrisch ten opzichte van elkaar in matrix G zijn opgenomen. Dit kan men afleiden door de impulsmo-mentstelling toe te passen op het rotorelement [Gasch,1975].

Bet rotorelement dat zich bevindt in een lokaal assenstelsel x'-y'-z', waarvan de x'-as de rotatieas is, roteert met een hoeksnelheid Q om die as. Alle bewegingen van het rotorele-ment warden door dit assenstelsel gevolgd, behalve de rota-tie om de x'-as. Wanneer de translarota-ties y en z en de

hoek-verdraaiingen 9T en oh van het rotorelement nul zijn, valt

het lokale assenstelsel x'-y'-z' samen met het ruimtevaste

Het rotorelement heeft massa m, het polair massatraagheids-moment om de x'-as is gelijk aan Ip en het diametraal massa-traagheidsmoment om de dwarsassen y° en z' is gelijk aan

_Id.

Met betrekking tot het lokale assenstelsel heeft het

rotor-element de volgende impulsmomenten ( zie figuur I):

hi = ;12

hy/ = _Id9y hx/ = Id02.

2

Figuur I. Verplaatsingen, hoekverdraaiingen _{en de}

impulsmo-menten he, by. en

he

van het rotorelement.

Projecteert men deze impulsmomenten op het ruimtevaste

assenstelsel dan ontstaat (als verondersteld wordt dat 97 en

pi klein zijn, dus sing = 9 en cos, = I):

hy = IdOT + IpaPz

hi =

IA -

I9097 .

De komponent hx, die voor kleine hoeken bijna gelijk is aan

Ilia,

is in dit geval niet van belang omdat _{0 = constant wordt}

verondersteld. Volgens de impulsmomentstelling geldt _{dat het} moment de eerste afgeleide naar de tijd is _{van het}

impulsmo-ment, zodat geldt:

MT = fiy = I d4ly + Ipil4ix

Mr = ill = Id9, - ipnoy.

zi

1

kl'

Hierbij beschrijven de termen Ipf20. en I4 de momenten die

ontstaan ten gevolge van de gyroscopie.

De elementen van de gyroscopiematrix van balkelementen zijn dus altijd nul en bij rotorelementen is de gyroscopiematrix keer-symmetrisch en bevat slechts twee van nul verschillende

elementen.

Na het voorgaande in overweging genomen te hebben kunnen we inzien dat het rotorelement, dat de gyroscopische effecten veroorzaakt, de volgende massa- en gyroscopiematrix bezit:

I M o o m 1 0 at o o

10

0 Id 0 0 0 0 Id

fo

o o o G I 0 0 0 0

10

0 0

lip

10

o

-Ipn o

De bijbehorende verplaatsingsvector van het rotorelement is

UT _{[ y z fy fz} ]

waarbij de verplaatsingen en hoekverdraaiingen betrekking

hebben op het hiervoor beschreven assenstelsel.

We zullen nu als voorbeeld de totale systeemmatrices bepalen

voor een eenvoudig geval (zie figuur 2).

De globale verplaatsingsvector hiervan luidt:

1T.1,

"

_{[y1, Z11}

CPyl 1 Pzir Y2 r 12 r 9421 922 Y3/ 13 y3l _Z3

3-0

Figuur 2. Eenvoudige Asopstelling met 3 knopen, 2

Vaerele-menten, 2: balkelementen en een rotorelement.

De Verplaatsingsvectoren van de balkelementen luidenz

1 Yr.zLA 421,Yz,

Z2Pr2t

*a UT2 =- _{[ Y2, Z21 'yr,9nrY3, Z3o 473,offl}

Balkelement 1 (1 _{1,2) heeft de volgende consistente}

massa-en stijfheidsmatrix [Kramer,_1984] M = 3

.

-

b3,1 b2.1 - -b4,1 ₁ b1,1--b3,1. .2 ,se: b2,1 b4,1 1 b5,1. 1 . A:4,1 b6,1 . 1 1 b5,1 14,1 _{b6,1 1} b1,1 - -b3,1 M symmetrisch. _{b1,1 b3,1.} ,. 1 IF 1 b5,1 . I b5,1 1 a14. . 1 alr1 . a2,1 a2,1 -a1,1 -al,1 ., =a2,1 a241 i r. ₁

1 a3,1 _{a2,1 a4,1}

11

Jr

A3,1 -a2,1,

alri

.

-a2,1a4,1

I

I

hr syfthietrisch

I

1m a1,1 a2,1, 33,1, . 11 , 1I a3,1

I

or

2

1 ] bl,i . . . . .

De dbefficienten luiden als volgtv al - 12E1/13 a2 - 6E1/12 a3 - 4E1/1 as a 2E1/1 bi 156m1/420 b2 a 54m1/420 b3 a 22m1/420 b. a 13m1/420 bs 4m1/420 bs a 3m1/420.

Hierbij is m de massa per lengteeenheid, 1 _{de lengte van het,} element, E de elasticiteitsmodulus en I het traagheidsmoment

tegen bulging van het betreffende balkelement. _De

afschufl-vervorming is

verwaarloosd-Veerelement 4. (I - 1,2) heeft als stijfheidsmatrix:

K ky,1

kz,i

Hier zijn ky en kz de stijfheden in _{respectievelijk de y- en}

z-richting van de asondersteuning.

De massa- en gyrescopiematrix _{Van de rotor luidenz}

karat Id 1 ta * ,,

j

1

.

-

'LAI

1

-

-Ip0

,

1 =

-M=

. . . . . . Id G = . = =

Doordat de lokale caOrdinaten Van de elementen dezelfde richting hebben als de globale coordinaten van het globale x-y-z assenstelsel, is er geenicoOrdinatentransformatie

nodig- De totale systeemmatrices kunnen nu eenvoudig bepaald.

worden door de juiste elementen van de verschillende

matri-ces sasen te

voegen-ALS kesultaat krijgt men Aan systeemmatrices van_de -1rO1gendb

vormz N.,. . 1 x x X: .:

i

1 x X w. J a' it - .. i-1 .1 x. F.-, XI! I 4

-

-

.1

IIit

it

.

X _fp * St -1 1 [ X X _xl 1 X at .0 ..

X

X

.1

/II X, X .X:

.4

1 x x

xf

IF lt

4

1 symmetrisch. it X II at 1 XI II 4. W

-JO

. . . . Ipil . .

X X X X 1 symmetrisch 1 1

De met 'x' gemarkeerde elementen hebben een waarde niet gelijk aan nul en de met '.' gemarkeerde elementen zijn

gelijk aan nul.

Bij het bepalen van de consistente massamatrix van een

balkelement is rekening gehouden met de werkelijke massaver-deling over het element, waardoor de massamatrix geen diago-naalmatrix is. Daar dit voor numerieke oplossingsmethoden onaantrekkelijk is, wordt in de praktijk meestal de discrete massamatrix gebruikt, waarbij de werkelijke massaverdeling wordt vervangen door twee discrete massa's in de knooppun-ten. Op daze wijze wordt de massamatrix van een balkelement een diagonaalmatrix. Voor het balkelement luidt _{deze dan:}

Mb.ik ml 1 0.5 0.5 0 0 1 0 1 0.5 1 0 0.5 1 1 0 0 . I

De Inessamatrix _{Van. het totale systeem wordt dan eveneens een}

diagonaalmatrix en luidt in tilt gevalt

Het gebruik Van de discrete massamatrix in plaats van de

consistente massamatrix Is verantwoord, omdat dit in de praktijk weinig effect heeft op de nauwkeurigheid van de eigenfrequenties. Men dient hierbij wel te bedenken _{dat de} berekening nauwkeurigek Wordt, vooral voor de hogere

eigen-frequenties, naarmate men een fijnere elementverdeling aanbrengt. Bij het gebruiken van de discrete massamatrix treden er geen wijzigingen _{op in de gyroscopie- en stijf=s}

heidsmatrix. 0 0.5(m111+m212) 0.5(m111+m212) 0 0 0.5m212 rot o 5m2124-strot _II Id Id III 0.5m111 0.5m111 0 0 .

5 ONDERZOEK NAAR GESCHIKT PROGRAMA

5.1 Probleem van de contra-roterende assen

Als uitgangspunt in het onderzoek naar een programma geba-seerd op de eindige elementen methode voor het bepalen van

de buigeigenfrequenties van as/rotorsystemen, _{is genomen dat}

het geschikt moet zijn voor het oplossen van een specifiek

probleem. flit betreft het bepalen van de buigeigenfrequen-ties van een schroefassensysteem bestaande uit twee contra-roterende assen, waarbij tevens de gyroscopische effecten van de rotors in rekening gebracht moeten kunnen worden. In

figuur 3 ziet u hiervan een principeschets.

Figuur 3. Principeschets _{van stelsel contra-roterende assen.}

flit betreft _{een ontwerp dat nog in ontwikkeling is. Met de}

huidige programmes _{waarmee buigeigenfrequenties (whirl}

frequencies) van as/rotorsystemen berekend worden is het slechts mogelijk om

een

_{enkele as door te rekenen. Het}

is

daarmee dus niet mogelijk om een gecompliceerde installatie door te rekenen zoals geschetst in _{figuur 3, waarbij de}

assen met betrekking tot buigtrillingen met elkaar gekoppel-de bewegingen uitvoeren. Hierdoor is men dus aangewezen op het zelf (laten) ontwikkelen van een geschikt programma of het aanschaffen van een meer algemeen toepasbaar

Aangezien de eerste optie

pas

_{in aerimerking komt als er geen} standaard programme's voorhanden zijn die de berekening op juiste wijze kunnen uitvoeren dient dus eerst onderzocht te worden of er standaard programm&B bestaan die het geschets-te probleemicunnen oplossen. Eventueel kan, mocht dat nodig

zijn, daarna nog bekeken warden of _{er een standaard}

program-me bestaat dat na een kleine aanpassing alsnog geschikt _is

voor, de probleemsituatie.

5.2 Inventarisatie van EEM-programma's

Voor het wel of niet beschouwen _{van een bepaald EEM-prograra} ma in dit onderzoek

_4p

_{van een drietal eisem uitgegaan;}

1. Net EEm-programMa dient _{geschikt te.zijn,Viook het}

oplossen van dynamische problemen.

2-, Het programme dient gebruikt te kunnefi worden

op

een Personal Computer.

De leverancier of vertegenwoordiger _{van het} pro-gramme dient in Nederland gevestigd te, zijn.

De eerste eis spreekt _{voor zichzelf, dear het gaat om, het} bepalen van buigeigenfrequenties van as/rotorsystemen. De tweede eis is gesteld omdat de eventuele gebruiker van het programme, we denken dan vooral aan een technisch

advi-seur van een klein ingenieurs-/adviesbureau, _{gebruik maakt}

van een PC en niet de beschikking heeft over een 'zwaarderet

computer.

Net is verder oak van belang dat de gebruiker met eventuele vragen en onduidelijkheden terug ken vallen op een leveran-cier of vertegenwoordiger die _{zich in Nederland bevindt. Met'} name in de beginperiode, net na installatie van het program ma, kunnen er nog wel eens problemen optreden _{waarbij het} raadzaam is dat een deskundige ter plekke komtedviseren wat wel of niet te doen in _{een bepaalde probleemsituatie. Dit,} rechtvaardigt de hierboven gestelde _derde

eis-Bovenstaande eisen in aanmerking genomen zijn, met

behu10

van [CIAD,1990], de volgende programmes geselecteerd am nader onderzocht te warden op eventuele geschiktheid voor

het oplossen van het in 5_1 gestelde probleem:

ANSYS CDA/Sprint COSMOS/M 4, GIFTS LUSAS NISA STARDYNE SUPERSAP

In bijlage 1 treft u een lijet aan van de leveranciers _van bovenstaande

programme's-5-3 Bruikbate programma4s uit semaakte selectie!

Na de inventarisatie zoals in 5.2. beschreven te hebbeh uitgevoerd, dient onderzocht te warden welke programmes _in

de praktijk bruikbaar zijn out het in 5.1 gestelde _probleem

op te kunnen lossen. De volgende punten dienen daarbij

achtereenvolgens In overweging genomen te worden:

Kan het probleem verkelijk divelost warden en

_zijnk

de resultaten juist7

En mocht. aan het eerete pUnt toldaan zljn:

Hoe staat bet met de gebruiksvriendelijkheld en.

efficientle van het programma?

Wat zijn de aanschaffings- en onderhoUdskogten, _van

het programme?

De eerste stap in het onderzoek naar een bruikbaar programme bestaat uit het voorleggen van _{een eenvoudige principeschets}

van het probleem aan de leveranciers van de geselecteerde programma's, zie hiervoor bijlage 2, met daarbij de vraag of het betreffende programma dit probleem

aankan

als ook de

effecten van gyroscopie, lagerstijfheden en contra-roterende assen meegenomen dienen te worden. Na de reacties van de leveranciers hierop geevalueerd te hebben, is direct al gebleken dat de volgende programma's niet geschikt zijn om voor de juiste resultaten te kunnen zorgdragen, omdat er geen gyroscopische effecten in rekening gebracht kunnen

worden:

CDA/Sprint COSMOS /M

SUPERSAP.

De overblijvende programmes zouden in eerste instantie wel geschikt zijn om voor het gestelde probleem de juiste resul-taten te kunnen berekenen. Om zekerheid te krijgen omtrent de praktische bruikbaarheid van deze programmes en om dit

eenduidig vast te kunnen leggen, is besloten om met deze programma's een testberekening uit te laten voeren, voor zover hiervoor door de leverancier de mogelijkheid werd

geboden.

Hiervoor is een testcase opgesteld waarvan de forward en reverse buigeigenfrequenties van de eerste en vierde orde berekend dienen te worden. Deze testcase is gebaseerd op een systeem dat realistische afmetingen heeft; ter vereenvoudi-ging zijn de lagerstijfheden

star

gehouden en zijn er geen

sprongen in de diameters van de assen in rekening gebracht.

Tekeningen van deze testcase, zoals die near de betreffende

leveranciers zijn verstuurd, vindt u opgenomen in bijlage 3.

Om de resultaten van de testberekeningen ergens mee te

kunnen vergelijken zijn voor de ontkoppelde situatie,

wear-bij de assen ieder apart worden beschouwd,

dat bezig is met het ontwerp van het sYeteem met de Contra-roterende assen. Deze berekeningeh zijn uitgevoerd zowel met een recent aangeschaft programme (SHAFT _{ANALYSIS AB),}

als ook met een ouder prograMma dat. door LIPS zelf ontwik=

keld is (SHARP). Beide programma's zijn echter niet _geschikt

voter de situatie met contra-roterende, assen, zodat alleen de. ontkoppelde situatie berekend kan worden.. Bovendien zijn er bij het oude programme beperkingen betreffende de invoer (het kiest zelf waarden voor _{meegenomen water), zodat de} uitkomsten van de berekening met dit _{programme niet els'}

vergelijkingsmateriaal zijn gebruikt.

De resultaten van de berekeningen van LIPS met, SHAFT ANALY-SIS AS zijn opgenomen in bijlage 4; _{tevens is met ten} bena-deringsformule, de formule van Jasper [Jasper,1956],

gecon-troleerd of de uikomsten zoals berekend met de computer en de uitkomsten van de benaderingsformule _{in lorde van grootte} eamelkaar gelijk zijn.

Uit de resultaten kan men opmaken dat de formule _{vah Jasper,} die de eigenfrequenties berekent behorende _{hiji del eerste en}

tweede trilvorm van een buigtrillingssysteem, _{een redelijke} benadering geekt van de, eigenfrequenties _{die bij de eerste}

trilvorm horen. De eigenfrequenties behorende bij de tweede trilvorm zijn met de formule van Jasper aanzienlijk hoger

dan berekend met SHAFT ANALYSIS' AB _{van LIPS. Dit wordt}

veroorzaakt doordat bij de formule _{van Jasper de asmassa:} wordt verwaarloosd, wat vooral invloed blijkt _{te hebben op/} de tweeds trilvorm, die daardoor hoger _{komt,te liggen.} Geconcludeerd kan warden dat in dit geval de formule van

Jasper een redelijk goede benadering geeft van de forward eh

:reverse eigenfrequenties behorende bij de eerste trilvorm.

Nadat de leveranciers getracht hadden om de testcase door te rekenen, is duidelijk geworden dat _{geen enkel programma}

geschikt is' OM zonder peer voor de juiste resultaten te

het programme geen gyroscopische difecten in. rekening kan

brengen, omdat er geen gyroscopiematrix in het _{programma kap,} warden aangemaakt. Een uitzondering betreft het _programme LUSAS; hierbij kuhnen volgens de leverancier wel de

gyrosco-pische effecten in rekening gebracht worden, _{maar de}

bereke-ning dient daarbij iteratief pleats te vinden, waardoor met een 'trial and error' methode de eigenfreguenties bepaald dienen te warden. Dit dient echter als het maar enigszins mogelijk is vermeden te worden dear dit zeer arbeidsinten

sief is en de kans op fouten groot.

Omdatbet blijkbaar niet mogelijk is am' met een standaard

programme gyroscopische effecten in rekening ta brengen, zal

in het volgende hoofdstuk een methode behandeld _warden

waarmee het mogelijk is am het gyroscopisch effect te

vek-disconteren in de massamatrix van het rotorelement. Oak zal onderzocht warden of er programme's zijn die op deze wijze

6 ONDERZOEK NAAR PROGRAMMA DAT GYROSCOPISCHE EFFECTER RAN

VERWERKEN IN MASSAMATRIX

6.1 Methode om gyroscopisch effect te verdisconteren in massamatrix

Zoals blijkt uit het voorgaande hoofdstuk zijn _programme's gebaseerd op de eindige elementen methode niet geschikt om

zonder meer de buigeigenfrequenties van een systeem te bere-kenen, waarbij tevens het gyroscopisch effect wordt meegeno-men. Er bestaat echter een methode waarbij geen gebruik

gemaakt hoeft te worden van een gyroscopiematrix, die _{in een} eindige elementen programma in het algemeen niet _aangemaakt

kan worden, maar waar het gyroscopisch effect wordt meegeno-men door een correctie toe te passen op de massatraagheden

in de massamatrix van het rotorelement.

De methode zal als eerste beschreven warden met behulp van

de systeemvergelij king van het rotorelement zonder daarbij de stijfheidsmatrix in rekening te brengen. _{Dit is een}

zuiver theoretische benadering, omdat in de praktijk de

rotor aan een as bevestigd is en er dus altijd sprake is van een bepaalde stijfheid. Om de methode duidelijk _{te maken is}

dit echter een goed hulpmiddel.

Met de oorspronkelijke matrices luidt de systeemvergelij king

als volgt:

im I St:

m . 2

Id 1414r:

Id :(Pz:

De substitutie y=aeit, z=bei°t, 9y=ae1*t en qi,--Bei", met a, b, a

en B als complexe constanten, levert:

I. 11 Sr:

I.

.

;PI Oy

= 0.

II -mid ; . -moi ; lb; = 0.

1MO"

a' 1 . p

III

-iIpt2co -Ido32; ;13;

Hiervoor bestaat een niet triviale oplossing als de

determi-nant nul is:

(_m02) (_m02 ) ( ) ( _Id02 Iprh) Ip06) = 0 m204 id2 4._ 2---(1) 2 2 0 W U m204( 14204_ ip2 ( 02/02 )04 ) 0

M24)8[(Id-IpQ/0)(Id4-Ipn/G))] -

0.

Uit deze karakteristieke vergelijking volgt dug:

mo4(Id-Ipla/o) - 0 en 0/61)

+Id/Ip -

positief!

of

mo4(Id+Ipia/w) = 0 en 0/6) = -Id/Ip negatief!

Beide vergelijkingen zijn gelijkwaardig; echter, om de for-ward eigenfrequenties te verkrijgen, hierbij hebben n en o

hetzelfde teken, dient men vergelijking (i) te gebruiken. Om de reverse eigenfreguentles te verkrijgen dient dan (ii)

gebruikt te worden.

Bestudeert men (i), de karakteristieke vergelijking die de forward eigenfrequenties levert, dan ziet men dat om deze

vergelijking te verkrijgen de systeemvergelij king ook als volgt kan worden opgesteld:

( )4}

(1)

il YI -" ma -44 n 2

t

II yI d,

IA

II -(Id-Ip/q).co21;

Is:

De determinant nul stellen levert:

1112(08( IdIpien2 IF Or

oftewelT

mw'(rd-Ip/q) F'

Deze vergelijking is dezelfde als (i) eh leVert dile

as

forward eigenfrequenties bij een vaststaand ordegetal,..

Om de methods nu ook praktische betekenis te geven, WOrden dezelfde berekeningen nogmaals uitgevoerd, maar dan met een

systeemvergelijking waarin odic de stijfheidsmatrix is

opge-nomen. Deze luidt nut

1 ITT tpci E Sy I I. ;4 140 JI ii II ri

lc:

t k22 k23 I Z E kn k 33 :97] ikn _ii(1)..IJ

De elementen vah de stijfheidsmatrix zijn stijfheidskompo-henten van de as waarop de rotor zich bevindt. _{Er zijn geen}

cm 0

pobIi

y:

31

a' 0

2:

0. Id-Ip/q _14:tyl A La dip/q ; E 1E

Hier is q een constante die het ordegetal

(0/O)

voorstelt. Men kan nu de eigenfrequenties bepalen behorend biji een vaststaand ordegetal q.

Door weer dezelfde substitutie uit te voeren ontstaatr

E-md II III =-(Id-Ip/q)(02 0. . . . . . . I = 0. 0.

stijfheidskomponenten van de asondersteuning (het lager)

bij, omdat de vrijheidsgraden van het knooppunt van de rotor

niet dezelfde zijn als die van het knooppunt van het

lager-Bovenstaande is wel het geval indien de rotor ziCh in

het-zelfde knoopunt bevindt als het lager, wat in de praktijk

echter nooit voorkomt. Midruit volgt dat Noor een

symmetri-sche as geldt kn = kn =

al

en kn = kn - as. Ook is in dit

geval -ku a kn, = kn

-kn

a2 (zie hiervoor de definitie

van de stijfheidsmatrix op 9., 26/27). De systeemvergelijking

luidt nu dus als volgt:

:m

_1Yr

M 1

' al

-a2E

y:

I

2:

E- 1

ti

. al a2 .

"z

ii

4-L

.Ilk:

4-

.

a2 a3 .

1 144:

Idt

10,:[

f-

711,0 _..

j-a2

-

_.

_A3f

Door dezelfde substitutis uit te yoeren els bij het vorige

geval ontstaat:

-412.

"r

al -mui

a2

t

a2

icaw

t,

tat 5

13'

1 -a2

-iIpOw 83-Ieo2

De determinant nul, stellen levertz

as-m02 ){1( as-mw? )i( (a3-Id02 )2- ( 'pair ) ( a2 (

), )) +

a2 -Carnua2)a2( a3-1-dia2 ),+a2( a2 )r}

= (al-m(62) 2 ( ( a3-Iaw2 )2-(ipa)21-(A1-tw2)a22(a2-146/) +

- a22(al-mw2)(a2-1dw2)+a24

_mn2)(a3_idn2 yi 2_

[ ( a/ [ ( a3rmco2,)( Ipth) ) ]2-2a22( al-mco2 )( a3-Ids2 )+a2;fr'

= r4al-m02y( a3-I0o2 )-ag] 2-

_{( al-mw2 )( irsuo)] 2 a0}

«

geldt. a2-b2=0 oftewel (a-b)(a+b)=0,, dus a-b=0 of a+b=0.,

flit toegepast op, bovenstaande vergelij king geeft:

m . lal-md . . a3-Id : )2 a2 a3-Ido2 + = 0 [ Er

=0

al-m4)2 ) ( a3-Ido? )-a22 ± ( al-m02 ) (

Oho )2)

,Deze vergelij king uitgeschreven levert telislotte op t

ata3-a22-a3mo2-ai( I d± Ipn Met )6)2+m( id±irphi) )4)4 0..

Ook hier zien we weer de term

verschijnen en geldt

er hetzelfde als eerder afgeleid bij de situatie zonder

stij fheidsmatrix

Dezelfde berekening wordt nu nog eens ultgevoerd, maar dan

met een gewijzigde systeemvergelij king waarbij de gyroscoa

piematrix verdwijnt en de massamatrix wordt aangepast op

dezelfde wijze als bij het eerder besproken geval zonder

etijfheidsmatrix...De systeemvergelijking wordt dam

0 m_I11

'

i i b 1 E SP:1 1

al

. . 7a21 : 11- m . il M4 2*t le *

al a2

'

1 : z1 1 1 971

=- O.

N. ,,,

icrip,

m

, i_{M :417.1} + 1_it

a2 a3

_in

IdIp/q 1

1 /0.1

t -a2

,.,

e3

Na, substitutie ontstaat .er::

ihat-ziud2 .

-a2'

1

lal

Fp al -may2 aiZ _`'3 I b 1

,a2

a3-( I6-ip/g)42

1 '11ctii

. ..,

)1' -aZ ,.. _{a3-( Id-1,14 ) 6)2}t: El N

De determinant nul. stellen

( al-m(62)(i( ai-mo2 ) ( a3- ( )02 )2-a2( a2( a3- ( Id-Ip/q )4)2 ) )1} + a2(- ( as-mo2 ) a2 ( a3- ( Id-Ip/q )6.12 )+a2( a22 ) }

0

(a1-mco2 ) 2 (a3-i( Id-Ip/q )co2 )2-a22( al-mco2 ) ( a3- ( id-

ip/q

)6)2 )

-a22( as-mta2 )1( a3- ( Id-Ip/q )6)2 )+a24

[(a).-m02)(

afid-Ip/q)0?)-a227a

,(al-m02)(a3-1(I8-i

wp/g) 2

_)a22

= Oi. ( Ip( 0. = Id±Iptl/w . . . . levert: + = + = = .

tua3-a22-a3mo2-ai( Id-i /q )4)2+m

(

id- 'pig') 4.0

De karakteristieke vergelij king van de gewijzigde

systeem-vergelijking is dezelfde els die van de oorspronkelijke systeemvergelijking, iodat er dus 6ok dezelfde

eigenfrequen-ties zullen ontstaan.

Met de eenvoudige systeemvergelilking Wearmee de 'Method&

beschreven is, ontstaan er geen complex& termen In de karak=

teristieke vergelij king. Dit mag ook niet gebeuren bij een

willekeurig groter systeem, omdat dan de methode niet meer

toegepast kan worden. flat dit niet gebeurt kan men aantonen door de karakteristieke vergelij king te bepalen van een

willekeurig system. Deze ontstaat door het onderling verme-nigvuldigen van de onderdeterminanten van de matrix die men krijgt na het substitueren van een complexe oplossing in de oorspronkelijke systeemvergelijking. In de onderdeterminan-ten zal nooit een complexe term aanwezig zijn, omdat deze ten gevolge van de matrixstructuur of wegvalt door vermenig-vuldiging met een andere complexe term, Of wegvalt door

vermenigvuldiging met nul. Hieruit blijkt dat met deze oethode ook voor willekeurige systemen de juiste

eigenfte-quenties berekend worden.

Door de beschreven methode toe te passen behoeft er geen

gyroscopiematrix meer in rekening gebracht te worden. De

aanpassing' van de massamatrix vindt pleats door het diame-, traal massatraagheidsmoment van de schijf (Id) te vervangen

door Id-Ip/q [Grasso,1984;Holzwei8ig,1979]. De waarden van de

constante q, het ordegetal, zijn als volgt:

niet roterende as:

We

.

C en q

orde forward whir1:1 i - 0,

0/0 .

1 en q- ₁

le orde reverse whirl: to . -0,

0/0 a

_{-1 en q --1,}

ne orde forward whirl: to n0, 0/6) = 1/n en q n,

ne orde reverse whirl: to nfl,

0/0

_{=-1/n en q. --n.}

= = 0.

= =

=

Doordat de mastathatrix met

adze

Methode gewijzigd is en de gyroscopiematrix is gedlimineerd, zullen de eigenvectoren die de trilvormen beschrijven niet meer juist zijn, als ten

gevolge van een lager met verschillende stijfheden in y- en,

z=richting de verplaatsingen y en z niet meer aan elkaar gelijk zijn. Dit kan men vermijden door de trilvormen te bepalen van de niet-roterende am, waarbij 0/0 nul is. Op

deze wijze verkrijgt men de, juiste trilvormen van het sys-teem.

6.2 Programmaos waarmee methoHe toegepast kari ;Jordan

adi het toepassen Van de methode zoals die in' 6A. is

be-schreven, komt men voor twee problemen te staan. Het eerste

probleem is dat de massamatrix aangepast dient te worden.

Sommige programma's bezitten die mogelijkheid namelijk niet, waardoor de methode niettoegepast kan warden.

Het tweede.probleem is dat de massamatrix, nadat deze aange-past is, niet meer altijd positief definiet zal zijn. In de

praktijk treedt dit op bij de eerste orde forward whirl, waar de factor Id-Ip/g kleiner don nul wordt en er dus een

negatief getal op de diagonaal van de massamatrix komt te staan. Dit is een probleem, omdat de meeste BEM-programmats gebruik maken van oplosmethoden die gebaseerd zijn op: het

positief definiet zijn van de matrices, wat bij de meeste eigenwaardeproblemen inderdaad het geval is. De reden am uit

te gaan van positief definiete matrices is dat hiermee een veel economischer wijze de oplossingen van het eigen-waardeprobleem bepaald kunnen warden dan wanneer er

uitge-gaan wordt, van willekeurige matrixvormen.

Uit onderzoek is riaai-voren gekomen dat van de

EEM-program-ma's die in 5.2 geselecteerd zijn slechts het programma

ANSYS de mogelijkheid biedt am wijzigingen in de massamatrix aan te brengen en daarbij ook niet-positief definiete matri-ces kan verwerken. De volledige versie van ANSYS is oak

43

geschikt voor niet-symmetrische stijfheidsmatrices, waarmee, glij lagers op de theoretisch meest exacte wijlze gemodelleerd

kunnen worden. Met een eenvoudigere versie kunnen glijiagerS

ook gemodelleord worden, maar de, niet-symmetrische elementen buiten de diagonaal van de stijfheidsmatrix.van het glijaa=,

ger kunnen dan niet meegenomen. worden,.

De overige programme's zijn niet in staat berekeningen uit te voeren met negatieve elementen op de diagonaal van de massamatrix. Bovendien is het bij GIFTS zelfs niet mogelijk om zelf een willekeurige massamatrix in te voeren. De

con-clusie is dan ook dat het met deze programme's niet mogelijk is om buigtrillingsberekeningen uit tevoeren voor systemen

met, gyroscopische effecten.

In principe zal ANSYS geschikt dienen te zijn om de

buigei-genfrequenties te berekenen met de methods van 6.1. Out dit te verifieren is met dit programme de testcaseberekening,

(zie bijlage 3) uitgevoerd waarbij gebruik is _{gemaakt van de}

methods van 6.1 om het gyroscopisch effect in rekening

brengen. De aanpassing van de massamatrix vindt pleats door gebruik te maken van een programmeermogelijkheid binnen

ANSYS, waarmee aan de elementen van de massamatrix willekeu= rige waarden kunnen worden toegekend. De op deze wijze

berekende resultaten, betreffende de ontkoppelde situatiei waarbij de binnen- en buitenas apart _{van elkaar zijn} be-schouwd, blijken goed overeen te stemmen met de _resultaten

zoals die door LIPS berekend zijn met het programme SHAFT ANALYSIS AB. De eigenfreguenties berekend met ANSYS liggen

een fractie hoger dan die berekend door LIPS; de oorzaak,

blervan is gelegen in het felt dat de elementenverdeling,

die men bijI ANSYS zelf moet opgeven, bij beide programme's

niet hetzelfde is. In bijlage 4 zijn de resultaten _opgenoMen van de testcaseberekening met ANSYS. Op dezelfde wijze als gedaan bij de ontkoppelde situatie kan nu met ANSYS cok het

totale, qekoppelde systeem berekend worden.

Methode toegepadi Op contra-rbtorende assen

Koppelt men de binnen- en buitenas aan elkaar, dan zijn er twee rotorelementen aanwezig die bovendien in tegengestelde richting aan elkaar roteren. Cm te zien of en hoe de methode uit 6.1 op dit probleem toegepast kan warden, bekijken we

een systeem bestaande uit slechts twee rotorelementen,

zonder daarbij, een stijfheidsmatrix in rekening te brengen. Dit is veer een zuiver theoretische benadering van de werke-} lijkheid, maar eerder is al. aangetoond dat de

stilfbeidsma-trix op deze methode geen invloed.heeft

Aangenomen wordt dat de rotor van de binnenas (element Met

index i) zich in punt 1 bevindt. en de rotor van de buitenas (element met index o) zich bevindt in ,punt Z. De oorspronkei-lijke systeemvergelijking luidt als volgt:,

.1 taq _{4. I ilk} Yi I n Let I 21 . I In. 10 _{141 4$711}

Inns'

ie10fi:

Ii -1402 0.. t 1iI

-II

-1. tit 1%, 9'2 4* 1 ON I0

I

MO 0. IS 22 10 WS :I±2 - I do 4.,

t

1

4/r21iP

L I,nol

144

it 7.

Si.

11 410.21

.

1 ppag

Be substitutie

t

Z1 imb est

, a.z 4071.2°

at.get

_an

41.1,2=8eist levertz1.2

-

-m,)L I.

1b2:1 III 104 . .1.110 fat i I 6000 W: 1a fl

1.9 lel . i I cionotal I &fill

-mcl1 di COV

I a@ f*

".2

ii01,6)- -Idild

6.3 I I I I I I . _{. .} di I . + I =0 I I . I -m I . I I I

Bepaalt Men hierVan de

determinant en

Stelt men deze

aan nul, dan krijgt men de karakteristieke vergelij king van

het oorspronkelijke systeem die de eigenfrequenties levertv

rr11208 [ I4i+TpiC114) ) lm02w8[ IdoIpoC10/0 ) yj

Hieruit volgt:

(1) mimosa C )1 ipor20/(0 ) ria

of

(ii) _rnm0w8( )4_L4.11,000/0)

0.

AIM fl Si

a, gelijk zijnean elkaar dan is eenvoudig in te

zien dat (i) de forward en (ii) de reverse eigenfrequentieS:

oplevert.

OM de forward eigenfrequenties te krijgen, kan de

systeem-vergelijking

met .behulp

van de methode van 6-1 oak als volgt

geschreven

warden,

met Ode . 4, en 41Vs = qa:

kni = 103

-

; lh y: m ₁ 1 A

irIdir"/q,

ok w. _{= m}II 0 ₌

I-I/q1

.., N M . ,. _mo 1 P, 0, ₌ 41 OW J ill ,I

I

I NM _il: * ..' = = do-Ipc/qc le Si '*" .4 .P

Ido-Ipc/q, 1

Na weer de substitutie te hebben uitgevoerd. en de

determi-nant gelijk aan nul gesteld te hebben iontstaat de volgende

karakteristieke vergelijkingl

mimop8( Idi-Ipi/qi )

= 0

gelijk = 0

)(

0.

welke overeenkomt met

my.

Als 0, = 01, dan worden met deze methode de juiste forward en

reverse eigenfrequenties berekend. Bij contra-roterende

assen is echter 00 = -0i; de binnenas roteert dus tegenge-steld aan de buitenas. De substituties 00 = Oi of 00 - -0/, in

de karakteristieke vergelij king van de oorspronkelijke

systeemvergelijking, leiden echter beide tot dezelfde

verge-lijking. Hieruit kan men concluderen dat het op de eigenfre-quenties geen effect heeft of de assen in dezelfde richting

roteren of tegengesteld aan elkaar.

Voor de eigenvectoren geldt hetzelfde ale bij een systeem

met slechts een rotorelement. Deze dient men te bepalen voor de niet-roterende assen waar DA) nul is. Dan verkrijgt men

de juiste eigenvectoren van het systeem.

Op dezelfde wijze ale voor het ontkoppelde systeem is nu met ANSYS ook het gekoppelde systeem berekend. De resultaten

hiervan zijn opgenomen in bijlage 5.

Vergelijkt men de resultaten van het ontkoppelde _{systeem met} die van het gekoppelde systeem, dan ziet men dat er slechts een zwakke koppeling bestaat tussen de binnen- _{en buitenas,} omdat de eigenfrequenties van het ontkoppelde systeem dicht in de buurt liggen van de eigenfrequenties van het gekoppel-de systeem. Dit wordt veroorzaakt doordat gekoppel-de _{lagering van de} binnenas in de buitenas niet yer van de plaats ligt van de

lagering van de buitenas aan de 'vaste aarde'. _Daarom

7 CONCLUSIES

Met de onderzochte EEm-programma's is het niet mogelijk om op standaard wijze de buigeigenfrequenties van

gecompliceer-de as/rotorsystemen te berekenen, als daarbij gecompliceer-de

gyroscopi-sche effecten in rekening gebracht dienen te worden.

Door een methode toe te passen waarbij een wijziging aan de massamatrix van het rotorelement wordt aangebracht, is het met het programma ANSYS mogelijk om de buigeigenfrequenties van gecompliceerde as/rotorsystemen te berekenen. De

gyroscopische effecten zijn hierbij verdisconteerd in de massamatrix door middel van een programmeermogelijkheid

binnen ANSYS.

De wijziging van de massamatrix vindt plaats door het

diametraal massatraagheidsmoment van de rotor (Id) te vervangen door Id-Ip/q, waarbij Ip het polaire massatraag-heidsmoment van de rotor is en q het ordegetal.

Lijst van gebruikte literatuur

Bathe, 1982 Bathe, K.J., Finite element procedures in engineering analyses. Englewood Cliffs, New

Jersey, 1982.

CIAD,1990 Het persoonlijk element. Zoetermeer, 1990.

Eindrapport van de CIAD-projectgroep 'PC-EEM'.

Gasch, 1975 Gasch, R., PfUtzner, H., Rotordynamik. Berlin, Heidelberg, 1975.

Grasso, 1984 Grasso, A., Tomaselli, L., Whirling speed analysis of multispool systems. Fiat aviazi-one s.p.a-Torino. MSC/NASTRAN European

users' conference. Munich, 9-10 May 1984.

Holzwei8ig,1979 HolzweiBig, F.,Dresig, F., Lehrbuch der

Ma-schinendynamik. Wien, New York, 1979.

Hylarides,1975 Hylarides, S., Damping in

propeller-genera-ted ship vibrations. Wageningen, 1975. Netherlands Ship Model Basin.

Jasper, 1956 Jasper, N.H., 'A design approach to the

problem of critical whirling speeds of shaft disk systems'. International Shipbuilding

Progress, 1956, volume 3.

Klein Woud,1990 Klein Woud, Jr Maritieme Werktuigkunde III.

Delft, 1990. Collegedictaat van de TU Delft.

Kramer, 1984 Kramer, E., Maschinendynamik. Berlin, Heidelberg, 1984.

Rao,1989 Rao, S.S., The finite element method in

engineering. Second edition. New York, 1989.

Veritec,1985 Vibration control in ships. Oslo, 1985. A.S. Veritec.