. 1. Zaªó»my, »e e

(1)

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 6

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, R b¦dzie pier±cieniem i m, n ∈ N

>0

. 1. Zaªó»my, »e e

1

, . . . , e

m

∈ R s¡ takie, »e:

(a) e

²1

= e

1

, . . . , e

²_m

= e

m

; (b) e

1

+ . . . + e

_m

= 1 ;

(c) dla ka»dych i 6= j mamy e

i

e

_j

= 0 . Udowodni¢, »e funkcja:

f : R → e

1

R × . . . × e

m

R, f (r) = (re

1

, . . . , re

m

) jest izomorzmem pier±cieni (przemiennych z 1).

2. Zaªó»my, »e I, J s¡ ideaªami w R takimi, »e I + J = R. Udowodni¢, »e I

ⁿ

+ J

^m

= R . 3. Dla i ∈ {1, . . . , n + 1} okre±lamy:

π

i

: P

ⁿ⁻¹

→ P

ⁿ

, π

i

([a

1

: . . . : a

n

]) = [a

1

: . . . : a

i−1

: 0 : a

i

: . . . : a

n

].

Udowodni¢, »e funkcja π

i

jest dobrze okre±lona i »e jest ró»nowarto±ciowa.

4. Dla i ∈ {1, . . . , n + 1} okre±lamy:

ϕ

_i

: A

ⁿ

→ P

ⁿ

, ϕ

_i

(a

₁

, . . . , a

_n

) = [a

₁

: . . . : a

_i−1

: 1 : a

_i

: . . . : a

_n

] i deniujemy U

i

:= ϕ

i

(A

ⁿ

) ⊂ P

ⁿ

.

(a) Udowodni¢, »e w przypadku n = 1 mamy

ϕ

⁻¹₁

(U

1

∩ U

₂

) = ϕ

⁻¹₂

(U

1

∩ U

₂

) = A

¹

\ {0};

∀x ∈ A

¹

\ {0} ϕ

⁻¹₂

(ϕ

₁

(x)) = 1/x.

Czyli P

¹

mo»emy rozumie¢ jako dwie kopie A

¹

sklejone wzdªu» podzbioru (tego samego dla obu kopii) A

¹

\ {0} ⊂ A

¹

dzi¦ki nast¦puj¡cej funkcji sklejenia:

A

¹

\ {0} → A

¹

\ {0}, x 7→ 1/x.

(b) Uogólni¢ podpunkt (a) powy»ej z przypadku n = 1 na przypadek dowolnego n ∈ N

>0

. (c) Zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ Zariskiego na P

ⁿ

u»ywaj¡c podpunktu (b) powy»ej.

(d) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ euklidesow¡ na P

ⁿ

u»ywaj¡c podpunktu (b) powy»ej.

(e) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) struktur¦ rozmaito±ci (zespolonej b¡d¹ ró»niczkowej) na P

. 1. Zaªó»my, »e e

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 6

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym, R b¦dzie pier±cieniem i m, n ∈ N

. 1. Zaªó»my, »e e

, . . . , e

∈ R s¡ takie, »e:

(a) e

= e

, . . . , e

= e

; (b) e

+ . . . + e

= 1 ;

(c) dla ka»dych i 6= j mamy e

e

= 0 . Udowodni¢, »e funkcja:

f : R → e

R × . . . × e

R, f (r) = (re

, . . . , re

) jest izomorzmem pier±cieni (przemiennych z 1).

2. Zaªó»my, »e I, J s¡ ideaªami w R takimi, »e I + J = R. Udowodni¢, »e I

+ J

= R . 3. Dla i ∈ {1, . . . , n + 1} okre±lamy:

π

: P

→ P

, π

([a

: . . . : a

]) = [a

: . . . : a

: 0 : a

: . . . : a

].

Udowodni¢, »e funkcja π

jest dobrze okre±lona i »e jest ró»nowarto±ciowa.

4. Dla i ∈ {1, . . . , n + 1} okre±lamy:

ϕ

: A

→ P

, ϕ

(a

, . . . , a

) = [a

: . . . : a

: 1 : a

: . . . : a

] i deniujemy U

:= ϕ

(A

) ⊂ P

.

(a) Udowodni¢, »e w przypadku n = 1 mamy

ϕ

(U

∩ U

) = ϕ

(U

∩ U

) = A

\ {0};

∀x ∈ A

\ {0} ϕ

(ϕ

(x)) = 1/x.

Czyli P

mo»emy rozumie¢ jako dwie kopie A

sklejone wzdªu» podzbioru (tego samego dla obu kopii) A

\ {0} ⊂ A

dzi¦ki nast¦puj¡cej funkcji sklejenia:

A

\ {0} → A

\ {0}, x 7→ 1/x.

(b) Uogólni¢ podpunkt (a) powy»ej z przypadku n = 1 na przypadek dowolnego n ∈ N

. (c) Zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ Zariskiego na P

u»ywaj¡c podpunktu (b) powy»ej.

(d) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ euklidesow¡ na P

u»ywaj¡c podpunktu (b) powy»ej.

(e) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) struktur¦ rozmaito±ci (zespolonej b¡d¹ ró»niczkowej) na P

) jest izomorzmem pier±cieni (przemiennych z 1).

] i deniujemy U

. (c) Zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ Zariskiego na P

(d) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) topologi¦ euklidesow¡ na P

(e) Dla K = C zdeniowa¢ (sensownie!) struktur¦ rozmaito±ci (zespolonej b¡d¹ ró»niczkowej) na P

(f) Dla K = C, udowodni¢ »e mamy dyfeomorzm P