• Nie Znaleziono Wyników

. 1. Zaªó»my, »e rozszerzenie ciaª K ⊆ L jest sko«czone. Udowodni¢, »e:

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share ". 1. Zaªó»my, »e rozszerzenie ciaª K ⊆ L jest sko«czone. Udowodni¢, »e:"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

Algebra 2B, Lista 7

Niech K b¦dzie ciaªem, p liczb¡ pierwsz¡, m, n ∈ N >0 , m|n i ε n = e

2πin

. 1. Zaªó»my, »e rozszerzenie ciaª K ⊆ L jest sko«czone. Udowodni¢, »e:

(a) [L : K] s 6 [L : K] ,

(b) [L : K] s = [L : K] wtedy i tylko wtedy, gdy K ⊆ L jest rozdziel- cze.

2. Niech f ∈ K[X] b¦dzie stopnia n.

(a) Udowodni¢, »e [K(X) : K(f(X))] = n.

(b) Znale¹¢ wielomian minimalny X nad K(f(X)).

3. Zaªó»my, »e char(K) = p. Zbada¢ czy nast¦puj¡ce rozszerzenia ciaª s¡

rozdzielcze:

(a) K(X p + X) ⊆ K(X) , (b) K(X p + 1) ⊆ K(X) ,

(c) K(X 2p + X p ) ⊆ K(X) .

4. Niech s i b¦dzie i-tym wielomianem symetrycznym n zmiennych nad ciaªem K. Udowodni¢, »e:

K(X 1 , . . . , X n ) S

n

= K(s 1 , . . . , s n ).

5. Udowodni¢, »e dla

τ : F p

n

→ F p

n

, τ (x) = x p

m

mamy G(F p

n

/F p

m

) = hτ i .

6. Niech p 1 , . . . , p n b¦d¡ ró»nymi liczbami pierwszymi. Udowodni¢, »e G(Q( √

p 1 , . . . , √

p n )/Q) ∼ = (Z 2 , +) n . 7. Wyznaczy¢ G(Q( √

3

2, ε 3 )/Q) .

8. Zilustrowa¢ zasadnicze twierdzenie teorii Galois (tzn. narysowa¢ L oraz G i odpowiednio±ci pomi¦dzy nimi) na przykªadach nast¦puj¡cych rozszerze«:

(a) Q ⊆ Q( √ 2 + √

3) , (b) Q ⊆ Q(ε 10 ) ,

(c) F p

m

⊆ F p

n

, (d) Q ⊆ Q( √

3

2, ε 3 ) .

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 66.27 KB )

Powiązane dokumenty

1. Zaªó»my, »e rozszerzenie ciaª K ⊆ L jest sko«czone. Udowodni¢, »e:

Zilustrowa¢ zasadnicze twierdzenie teorii

1. Udowodni¢, »e je±li K ⊆ L jest czysto przest¦pne, to dla ka»dego x ∈ L \ K , element x jest przest¦pny nad K.

Udowodni¢, »e z dokªadno±ci¡ do izomorzmu istnieje przeliczalnie.. wiele przeliczalnych ciaª

1. Niech K b¦dzie sko«czone i f ∈ K[X] b¦dzie nierozkªadalny. Udowod- ni¢, »e f jest rozdzielczy.

[r]

Je±li F ⊆ L jest rozszerzeniem ciaª i L jest sko«czenie generowan¡ F -algebr¡, to F ⊆ L jest sko«czonym rozszeniem ciaª.

nie ma elementów nilpotentnych) wtedy i tylko wtedy, gdy ideaª I

1. Zaªó»my, »e V jest rozmaito±ci¡ algebraiczn¡ i f ∈ K(V ). Udowodni¢, »e dom(f) jest podzbiorem otwartym Zariskiego w V .

[r]

. 1. Zaªó»my, »e e

[r]

1. Zaªó»my, »e D ⊆ X jest domkni¦ty. Udowodni¢, »e:

Udowodni¢, »e produkt wªóknisty separowalnych morzmów jest sep- arowalnym morzmem.. Udowodni¢, »e separowalne morzmy s¡ stabilne wzgl¦dem

niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ P , P R P ) .

[r]