Podróże po Imperium Liczb Część 01.

(1)

Część 01. Liczby Wymierne

Rozdział 1

1. Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych

Andrzej Nowicki 7 grudnia 2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spis treści

1 Równości i wstępne informacje o liczbach wymiernych 5

1.1 Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr . . . 5

1.2 Równości wynikające z twierdzenia Abela . . . 9

1.3 Następne równości z liczbami wymiernymi . . . 11

1.4 Całkowitość pewnych liczb wymiernych . . . 13

1.5 Wymierność pewnych liczb rzeczywistych . . . 17

1.6 Przedstawianie liczb wymiernych w szczególnej postaci . . . 18

1.7 Podzbiory zbioru liczb wymiernych . . . 19

1.8 Dodatkowe fakty i zadania z liczbmi wymiernymi . . . 21

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L^ATEX.

Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

(2)

(3)

Każdą liczbę postaci ^a_b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b 6= 0, nazywamy liczbą wymierną. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy przez Q.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.1 Równości z liczbami wymiernymi i dopisywanie cyfr

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.1.1. Zachodzą równości:

(1) 1 5 = 19

95 = 199

995 = 1999

9995 = · · · , 2 5 = 26

65 = 266

665 = 2666 6665 = · · · . (2) 1

4 = 16

64 = 166

664 = 1666

6664 = · · · , 4 8 = 49

98 = 499

998 = 4999

9998 = · · · .

Równości te są konsekwencjami następującego stwierdzenia. Przez a₁a₂. . . a_s oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi są odpowiednio a₁, a2, . . . , as.

1.1.2. Jeśli a, b, c są takimi cyframi, że ab/bc = a/c, to a

c = ab

bc = abb

bbc = abbb

bbbc = abbbb

bbbbc = · · · .

([Fom] 14/64, [Kw] 9/72 21).

D. Załóżmy, że ab/bc = a/c. Wtedy ^10a+b_10b+c = ^a_c i stąd 9ac + bc − 10ab = 0. Dla każdej liczby naturalnej n oznaczmy:

un = a bb . . . b

| {z }

n

, vn= bb . . . b

| {z }

n

c, en = 11 . . . 1

| {z }

n

.

Należy udowodnić, że ^u_vⁿ

n = ^a_c dla n ∈ N. Zauważmy, że un = 10ⁿa + be_n oraz v_n = 10be_n+ c. Mamy więc:

cu_n− av_n = c(10ⁿa + be_n) − a(10be_n+ c) = (10ⁿ− 1)ac + bce_n− 10abe_n

= 9enac + bcen− 10aben= en(9ac + bc − 10ab) = en· 0 = 0, a zatem ^u_vⁿ

n =^a_c.

1.1.3. Jeśli a, b, c są takimi niezerowymi cyframi, że ab/bc = a/c, to (a, b, c) jest jedną z czterech trójek: (1, 6, 4), (1, 9, 5), (2, 6, 5), (4, 9, 8).

W stwierdzeniu 1.1.2 liczby naturalne występujące w licznikach i mianownikach zapisane były w dziesiętnym systemie numeracji. Wykażemy teraz, że w systemie numeracji o podsta- wie q > 2 również zachodzi podobne stwierdzenie.

Przez (a₁a₂. . . a_s)_q oznaczamy liczbę naturalną, której kolejnymi cyframi w systemie nu- meracji o podstawie q> 2 są odpowiednio a1, a₂, . . . , a_s, tzn.

(a₁a₂. . . a_s)_q= a₁q^s−1+ a₂q^s−2+ · · · + a_s−1q + a_s 5

(4)

i przy tym liczby a₁, . . . , a_s należą do zbioru {0, 1, . . . , (q − 1)}. W szczególnym przypadku, gdy q = 10, mamy:

(a₁a₂. . . a_s)₁₀= a₁10^s−1+ a₂10^s−2+ · · · + a_s−110 + a_s=a₁a₂. . . a_s.

1.1.4. Jeśli a, b, c są takimi cyframi w systemie numeracji o podstawie q > 2, że ^(ab)_(bc)_q^q = ^a_c, to

a

c = (ab)_q

(bc)_q = (abb)_q

(bbc)_q = (abbb)_q

(bbbc)_q = (abbbb)_q

(bbbbc)_q = · · · . D. Załóżmy, że ^(ab)_(bc)^q

q = ^a_c. Wtedy ^qa+b_qb+c = ^a_c i stąd (q − 1)ac + bc − qab = 0. Dla każdej liczby naturalnej n oznaczmy:

u_n= (a bb . . . b

| {z }

n

)q, v_n = (bb . . . b

| {z }

n

c)_q, e_n= (11 . . . 1

| {z }

n

)q.

n = ^a_c dla n ∈ N. Zauważmy, że uⁿ = qⁿa + be_n oraz vn = qben+ c. Mamy więc:

cun− avn = c(qⁿa + ben) − a(qben+ c) = (qⁿ− 1)ac + bcen− qaben

= (q − 1)e_nac + bce_n− qaben= e_n((q − 1)ac + bc − qab) = e_n· 0 = 0, a zatem ^u_vⁿ

n =^a_c.

Zanotujmy kilka konsekwencji stwierdzenia 1.1.4.

1.1.5. W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości:

1

2 = (13)₄

(32)₄ = (133)₄

(332)₄ = (1333)₄

(3332)₄ = · · · . 1.1.6. W szóstkowym systemie numeracji zachodzą równości:

1

3 = (15)₆

(53)₆ = (155)₆

(553)₆ = (1555)₆

(5553)₆ = · · · , 2

4 = (25)₆

(54)₆ = (255)₆

(554)₆ = (2555)₆

(5554)₆ = · · · . 1.1.7. W ósemkowym systemie numeracji zachodzą równości:

1

4 = (17)₈

(74)₈ = (177)₈

(774)₈ = (1777)₈

(7774)₈ = · · · , 3

6 = (37)₈

(76)₈ = (377)₈

(776)₈ = (3777)₈

(7776)₈ = · · · . 1.1.8. W dziewiątkowym systemie numeracji zachodzą równości:

1

3 = (14)₉

(43)₉ = (144)₉

(443)₉ = (1444)₉

(4443)₉ = · · · , 2

6 = (28)₉

(86)₉ = (288)₉

(886)₉ = (2888)₉

(8886)₉ = · · · . Stosując stwierdzenie 1.1.4 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym.

1.1.9.

1

34 = 151

5134 = 15151

515134 = 1515151

51515134 = · · · , 2

24 = 227

2724 = 22727

272724 = 2272727

27272724 = · · · , 7

40 = 742

4240 = 74242

424240 = 7424242

42424240 = · · · , 36

80 = 3681

8180 = 368181

818180 = 36818181

81818180 = · · · .

(5)

1.1.10.

(1) 1

250 = 1333

333250 = 1333333

333333250 = 1333333333

333333333250 = 1333333333333

333333333333250 = · · · , (2) 7

250 = 7259

259250 = 7259259

259259250 = 7259259259

259259259250 = 7259259259259

259259259259250 = · · · , (3) 13

494 = 13513

513494 = 13513513

513513494 = 13513513513

513513513494 = 13513513513513

513513513513494 = · · · , (4) 115

736 = 115740

740736 = 115740740

740740736 = 115740740740

740740740736 = 115740740740740 740740740740736 = · · · .

W powyższych ułamkach dopisywaliśmy do licznika i mianownika pewne liczby; do licznika z prawej strony, a do mianownika z lewej. Teraz będziemy dopisywać pewne liczby w środkowe miejsca liczników i mianowników. Spójrzmy na następujący przykład.

1.1.11. 26

53 = 286

583 = 2886

5883 = 28886

58883 = · · · . ([KoM] Gy1959).

Pokażemy, że tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. W tym celu udowodnimy najpierw następujące stwierdzenie.

1.1.12. Niech a, b, c, d będą cyframi takimi, że 10a + b 6= 10c + d i niech u = 10(c−a)+(d−b)^9(bc−ad) . Jeśli u ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, to

ab

cd = aub

cud = auub

cuud = auuub

cuuud = auuuub

cuuuud = · · · . D. Załóżmy, że u jest jedną z cyfr 0, 1, . . . , 9 oraz oznaczmy:

un= a uu . . . u

| {z }

n

b, vn = c uu . . . u

| {z }

n

d, en = 11 . . . 1

| {z }

n

.

n = ^10a+b_10c+d dla n ∈ N. Zauważmy, że uⁿ = 10ⁿ⁺¹a + 10uen+ b oraz vn = 10ⁿ⁺¹c + 10uen+ d. Mamy więc:

(10a + b)vn− (10c + d)un = (10a + b) 10ⁿ⁺¹c + 10uen+ d − (10c + d) 10ⁿ⁺¹a + 10uen+ b

= +10ⁿ⁺²ac + 10²aue_n+ 10ad + 10ⁿ⁺¹bc + 10ube_n+ bd

−10ⁿ⁺²ac − 10²uce_n− 10bc − 10ⁿ⁺¹ad − 10ude_n− bd

= 10ⁿ⁺¹− 10 bc − 10ⁿ⁺¹− 10 ad +10²auen+ 10uben− 10²ucen− 10uden

= 90e_nbc − 90e_nad + 100aue_n+ 10ube_n− 100uce_n− 10ude_n

= 10e_n

9(bc − ad) − u (10(c − a) + (d − b))

= 10en

9(bc − ad) − 9(bc − ad)

= 0, a zatem ^u_vⁿ

n =^10a+b_10c+d.

(6)

Z tego stwierdzenia wynikają następujące serie równości.

1.1.13.

14

23 = 154

253 = 1554

2553 = 15554

25553 = · · · , 14

56 = 134

536 = 1334

5336 = 13334

53336 = · · · , 15

51 = 165

561 = 1665

5661 = 16665

56661 = · · · , 16

25 = 176

275 = 1776

2775 = 17776

27775 = · · · , 17

34 = 197

394 = 1997

3994 = 19997

39994 = · · · , 22

31 = 242

341 = 2442

3441 = 24442

34441 = · · · , 26

71 = 286

781 = 2886

7881 = 28886

78881 = · · · , 34

61 = 374

671 = 3774

6771 = 37774

67771 = · · · .

Tego rodzaju równości istnieje znacznie więcej. Drobne zmiany w dowodzie stwierdzenia 1.1.12 pozwalają udowodnić analogiczne stwierdzenie dla dowolnych systemów numeracji.

1.1.14. Niech a, b, c, d będą cyframi w systemie numeracji o podstawie q > 2 takimi, że qa + b 6= qc + d i niech u = (q−1)(bc−ad)

q(c−a)+(d−b). Jeśli u ∈ {0, 1, 2, . . . , (q − 1)}, to (ab)_q

(cd)_q = (aub)_q

(cud)_q = (auub)_q

(cuud)_q = (auuub)_q

(cuuud)_q = · · · . D. Załóżmy, że u ∈ {0, 1, . . . , (q − 1)} i oznaczmy:

un= (a uu . . . u

| {z }

n

b)q, vn= (c uu . . . u

| {z }

n

d)q, en= (11 . . . 1

| {z }

n

)q.

n = ^qa+b_qc+d dla n ∈ N. Zauważmy, że un = qⁿ⁺¹a + que_n + b oraz v_n = qⁿ⁺¹c + que_n+ d. Mamy więc:

(qa + b)v_n− (qc + d)u_n = (qa + b) qⁿ⁺¹c + que_n+ d − (qc + d) qⁿ⁺¹a + que_n+ b

= +qⁿ⁺²ac + q²auen+ qad + qⁿ⁺¹bc + quben+ bd

−qⁿ⁺²ac − q²uce_n− qbc − qⁿ⁺¹ad − qude_n− bd

= qⁿ⁺¹− q bc − qⁿ⁺¹− q ad + q²auen+ quben− q²ucen− quden

= qen

(q − 1)(bc − ad) − u (q(c − a) + (d − b))

= qe_n

(q − 1)(bc − ad) − (q − 1)(bc − ad)

= 0, a zatem ^u_vⁿ

n =^qa+b_qc+d.

Zanotujmy kilka równości wynikających ze stwierdzenia 1.1.14.

1.1.15. W trójkowym systemie numeracji zachodzą równości:

(11)₃

(20)₃ = (121)₃

(220)₃ = (1221)₃

(2220)₃ = (12221)₃

(22220)₃ = (122221)₃

(222220)₃ = · · · .

(7)

1.1.16. W czwórkowym systemie numeracji zachodzą równości:

(11)₄

(20)₄ = (121)₄

(220)₄ = (1221)₄

(2220)₄ = · · · , (12)₄

(21)₄ = (132)₄

(231)₄ = (1332)₄

(2331)₄ = (13332)₄

(23331)₄ = · · · , (12)₄

(30)₄ = (132)₄

(330)₄ = (1332)₄

(3330)₄ = · · · , (12)₄

(33)₄ = (112)₄

(313)₄ = (1112)₄

(3113)₄ = (11112)₄

(31113)₄ = · · · , (13)₄

(32)₄ = (133)₄

(332)₄ = (1333)₄

(3332)₄ = · · · , (21)₄

(30)₄ = (231)₄

(330)₄ = (2331)₄

(3330)₄ = (23331)₄

(33330)₄ = · · · . 1.1.17. Pewne równości w piątkowym systemie numeracji.

(11)₅

(20)₅ = (121)₅

(220)₅ = (1221)₅

(2220)₅ = · · · , (12)₅

(21)₅ = (132)₅

(231)₅ = (1332)₅

(2331)₅ = (13332)₅

(23331)₅ = · · · , (12)₅

(30)₅ = (132)₅

(330)₅ = (1332)₅

(3330)₅ = · · · , (12)₅

(41)₅ = (122)₅

(421)₅ = (1222)₅

(4221)₅ = (12222)₅

(42221)₅ = · · · , (13)₅

(31)₅ = (143)₅

(341)₅ = (1443)₅

(3441)₅ = · · · , (22)₅

(31)₅ = (242)₅

(341)₅ = (2442)₅

(3441)₅ = (24442)₅

(34441)₅ = · · · . Stosując stwierdzenie 1.1.14 dla systemów numeracji o podstawach q będących potęgami dziesiątki, otrzymujemy nowe serie przykładów w systemie dziesiętnym.

1.1.18.

(1) 144

1035 = 14544

104535 = 1454544

10454535 = 145454544

1045454535 = 14545454544

104545454535 = · · · , (2) 147

224 = 19047

29024 = 1909047

2909024 = 190909047

290909024 = 19090909047 29090909024 = · · · , (3) 3712

3910 = 374912

394910 = 37494912

39494910 = 3749494912

3949494910 = 374949494912

394949494910 = · · · . 1.1.19. Dany jest ułamek 1010 1 0101

1100 1 0011 zapisany w dowolnym systemie numeracji. Jeśli w licz- niku i mianowniku środkową cyfrę 1 zastąpimy dowolną nieparzystą liczbą następujących po sobie jedynek, to ułamek ten nie zmieni wartości. (N. Anning, [S64] 159).

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.2 Równości wynikające z twierdzenia Abela

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.2.1 (Twierdzenie Abela). Niech f (x) i g(x) będą niezerowymi wielomianami o współczyn- nikach rzeczywistych. Załóżmy, że deg g(x) = n > 2, deg f (x) 6 n − 2 oraz, że wielomian g(x) ma n parami różnych pierwiastków rzeczywistych a1, . . . , an. Wtedy

f (a1)

g⁰(a₁)+ f (a2)

g⁰(a₂) + · · · + f (an) g⁰(a_n) = 0,

gdzie g⁰(x) jest pochodną wielomianu g(x).([InvM] 35(1976) 321-390, [Mon] 116(2009) 629-630).

(8)

Pewne dowody tego twierdzenia podane będą w [N12] (w rozdziale o funkcjach wymiernych). Teraz podamy tylko wnioski wynikające z tego twierdzenia.

1.2.2. Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami rzeczywistymi (lub ogólniej, zespolonymi), to:

(1) 1

(a − b)(a − c)+ 1

(b − a)(b − c) + 1

(c − a)(c − b) = 0,

(2) a

(a − b)(a − c)+ b

(b − a)(b − c) + c

(c − a)(c − b) = 0.

D. Niech f (x) = 1, h(x) = x, g(x) = (x − a)(x − b)(x − c). Wtedy g⁰(x) = (x − b)(x − c) + (x − a)(x − c) + (x − a)(x − b), g⁰(a) = (a − b)(a − c), g⁰(b) = (b − a)(b − c), g⁰(c) = (c − a)(c − b). Na mocy twierdzenia Abela mamy:

1

(a−b)(a−c)+_{(b−a)(b−c)}¹ +_{(c−a)(c−b)}¹ = _g^{f (a)}0(a)+_g^{f (b)}0(b)+_g^{f (c)}0(c)= 0

a

(a−b)(a−c)+_{(b−a)(b−c)}^b +_{(c−a)(c−b)}^c = _g^h(a)0(a)+_g^h(b)0(b)+_g^h(c)0(c)= 0 i to kończy dowód.

W podobny sposób wykazujemy następne równości.

1.2.3. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami to:

(1) (a−b)(a−c)(a−d)¹ + (b−a)(b−c)(b−d)¹ +(c−a)(c−b)(c−d)¹ + (d−a)(d−b)(d−c)¹ = 0, (2) (a−b)(a−c)(a−d)^a + (b−a)(b−c)(b−d)^b +(c−a)(c−b)(c−d)^c + (d−a)(d−b)(d−c)^d = 0, (3) (a−b)(a−c)(a−d)^a² + (b−a)(b−c)(b−d)^b² +(c−a)(c−b)(c−d)^c² + (d−a)(d−b)(d−c)^d² = 0.

1.2.4. ^Pⁿ

i=1

a_i ^Q

j6=i 1 ai−a_j

!

= 0, dla n> 3 i parami różnych liczb a1, . . . , a_n.([Crux] 2000 s.486).

Można również udowodnić:

1.2.5. Jeśli x, y, z są parami różnymi liczbami całkowitymi i n jest liczbą naturalną, to liczba xⁿ

(x − y)(x − z) + yⁿ

(y − x)(y − z) + zⁿ (z − x)(z − y) jest całkowita. ([Kurs] 175(1959), [Bryn] 1.1).

1.2.6. Niech n > 2 będzie liczbą naturalną oraz a1, . . . , an parami różnymi liczbami rzeczy- wistymi (lub zespolonymi), i niech g(x) = (x − a₁) · · · (x − a_n). Wtedy

aⁿ⁻¹₁

g⁰(a₁) + aⁿ⁻¹₂

g⁰(a₂) + · · · + aⁿ⁻¹_n

g⁰(a_n) = 1, aⁿ₁

g⁰(a₁) + aⁿ₂

g⁰(a₂) + · · · + aⁿ_n

g⁰(a_n) = a₁+ · · · + a_n, gdzie g⁰(x) jest pochodną wielomianu g(x).

(9)

Zanotujmy szczególne przypadki tego stwierdzenia.

1.2.7. Jeśli a, b, c są parami różnymi liczbami, to:

(1) a²

(a − b)(a − c)+ b²

(b − a)(b − c) + c²

(c − a)(c − b) = 1,

(2) a³

(a − b)(a − c)+ b³

(b − a)(b − c) + c³

(c − a)(c − b) = a + b + c.

1.2.8. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to:

(1) (a−b)(a−c)(a−d)^a³ +(b−a)(b−c)(b−d)^b³ +(c−a)(c−b)(c−d)^c³ +(d−a)(d−b)(d−c)^d³ = 1,

(2) (a−b)(a−c)(a−d)^a⁴ +(b−a)(b−c)(b−d)^b⁴ +(c−a)(c−b)(c−d)^c⁴ +(d−a)(d−b)(d−c)^d⁴ = a + b + c + d.

1.2.9. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami, to

(1) (a−b)(a−c)(a−d)^a⁴⁺¹ +(b−a)(b−c)(b−d)^b⁴⁺¹ +(c−a)(c−b)(c−d)^c⁴⁺¹ +(d−a)(d−b)(d−c)^d⁴⁺¹ = a + b + c + d,

([Crux] 2000 s.511 z.2487, wynika to z poprzednich równości). (2) (d − b)(d − c)

(a − b)(a − c)+(d − c)(d − a)

(b − c)(b − a) +(d − a)(d − b)

(c − a)(c − b) = 1. ([BaL] 145). F P. A. Griffiths, Variations on a theorem of Abel, [InvM] 35(1976) 321-390.

Shui-Hung Hou, On a theorem of Abel, [Mon] 116(2009) 629-630.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.3 Następne równości z liczbami wymiernymi

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.3.1. 25 − 9

10 + 6 = 25 10 −9

6, 121 − 64

55 + 40 = 121 55 −64

40, 50 − 8 5 + 2 = 50

5 −8

2. ([Kw] 9/72 21).

1.3.2.

1 −1

2

1 −1

3

· · ·

1 − 1

n

= 1

n dla n> 2. ^([KoMe]). 1.3.3.

1 − 1

2²

1 − 1

3²

· · ·

1 − 1

n²

= n + 1

2n dla n> 2. ([GeG] 15, [KoMe]).

1.3.4. Jeśli 1 +_a¹1 +¹_b1 +¹_c = 2, gdzie a 6 b 6 c są liczbami naturalnymi, to (a, b, c) = (3, 4, 5), (3, 3, 8), (2, 6, 7), (2, 5, 9) lub (2, 4, 15). ([OM] W.Brytania 1995).

1.3.5. 1⁴

1 · 3 + 2⁴

3 · 5 + 3⁴

5 · 7 + · · · + n⁴

(2n − 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n²+ n + 1)

6(2n + 1) dla n ∈ N.

([Mat] 3/52 49).

1.3.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a³+ b³+ c³

x³+ y³+ z³ = abc

xyz. ([Dlt] 4/1999).

(10)

D. Równość ta jest natychmiastową konsekwencją następującej implikacji:

u + v + w = 0 =⇒ u³+ v³+ w³= 3uvw.

Jeśli bowiem u + v + w = 0, to w = −(u + v) i wtedy: u³+ v³+ w³= u³+ v³−(u+v)³= −3uv²−3u²= 3uv(−u − v) = 3uvw. Wynika to również ze znanej równości

u³+ v³+ w³− 3uvw = (u + v + w)(u²+ v²+ w²− uv − vw − wu), zachodzącej dla dowolnych liczb u, v, w.

1.3.7. Jeśli x = _1+ab^b−c, y = _1+ca^c−a, z = _1+ab^a−b, to x + y + z = xyz. ([BaL] 146).

1.3.8. Jeśli x = ^a−b_a+b, y = ^b−c_b+c, z = ^c−a_c+a, to (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z).

([BaL] 154).

1.3.9. Niech x = ^a²^+b_2ab²^−c², y = ^a²^+c_2ac²^−b², z = ^b²^+c_2bc²^−a², gdzie a, b, c ∈ N.

Jeśli x + y + z = 1, to dwie z liczb x, y, z są równe 1, a pozostała −1. ([OM] Leningrad 1982). 1.3.10. Jeśli _a¹ +¹_b +¹_c = _a+b+c¹ , to _a2n+1¹ +_b2n+1¹ +_c2n+1¹ = _(a+b+c)¹ 2n+1. ([Oss] G75.2-5). 1.3.11. Jeśli ^a_b¹

1 = ^a_b²

2 = ^a_b³

3 oraz (p₁, p₂, p₃) 6= (0, 0, 0), to

a₁ b₁

n

= p₁aⁿ₁ + p₂aⁿ₂ + p₃aⁿ₃ p₁bⁿ₁ + p₂bⁿ₂ + p₃bⁿ₃ dla wszystkich n ∈ N. ([OM] Kanada 1969).

1.3.12. 3⁴+ 25⁴+ 38⁴

7⁴+ 20⁴+ 39⁴ = 3 + 25 + 38

7 + 20 + 39. ([Mat] 5-6/1955 64). Istnieją różne inne równości podobnej postaci.

1.3.13 (Maple).

1²+4²+13²

2²+10²+12² = _2+10+12¹⁺⁴⁺¹³, ₄³²2⁺⁷+5²²⁺⁸+9²² = ³⁺⁷⁺⁸₄₊₅₊₉, ⁵₄²2⁺¹¹+13²²+19⁺²⁰²² = ^5+11+20_4+13+19;

1³+6³+14³

7³+8³+15³ = ¹⁺⁶⁺¹⁴₇₊₈₊₁₅, ₉³³3⁺¹⁴+10³³⁺¹⁷+19³³ = ^3+14+17_9+10+19, ¹⁰₁₁³3⁺¹²+14³³+17⁺¹⁸³³ = ^10+12+18_11+14+17;

2³+4³+16³

2³+11³+17³ = ₂²2²+11⁺⁴²²⁺¹⁶+17²², ⁵₇3³⁺¹⁴+13³³+16⁺¹⁵³³ = ⁵₇²2⁺¹⁴+13²²+16⁺¹⁵²²,

1⁴+5⁴+25⁴

1⁴+10⁴+26⁴ = _1+10+26¹⁺⁵⁺²⁵; ₅³₄⁴₊₁₆⁺⁶⁴₄⁺¹⁸₊₁₇⁴₄ = _5+16+17³⁺⁶⁺¹⁸ ;

1⁴+9⁴+10⁴

5⁴+6⁴+11⁴ = ¹₅2²⁺⁹+6²²+11⁺¹⁰²²; ₅²⁴4⁺¹⁵+13⁴⁴+18⁺¹⁷⁴⁴ = ²₅²2⁺¹⁵+13²²+18⁺¹⁷²²; ³₈⁴4⁺¹³+9⁴⁴+17⁺¹⁶⁴⁴ = ³₈²2⁺¹³+9²²+17⁺¹⁵²²;

1⁵+2⁵+12⁵

4⁵+9⁵+13⁵ = ¹⁺²⁺¹²₄₊₉₊₁₃, ₁¹5⁵+18⁺⁷⁵⁵⁺²⁰+19⁵⁵ = _1+18+19¹⁺⁷⁺²⁰ , ₁₄¹⁵5⁺¹⁰+45⁵⁵⁺⁵⁵+59⁵⁵ = _14+45+59^1+10+55. 1.3.14. 8²+ 9²+ 10²+ 11²+ 12²

5²+ 6²+ 7²+ 8²+ 9² = 2, 1968²+ 1969²+ 1970²+ 1971²+ 1972² 1391²+ 1392²+ 1393²+ 1394²+ 1395² = 2.

([Szu87] 63).

(11)

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.4 Całkowitość pewnych liczb wymiernych

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Liczby a =√

2 oraz b = −√

2 nie są całkowite, a ich suma a + b = 0 i iloczyn ab = −2 są liczbami całkowitymi. Podobną własność mają liczby zespolone a = i oraz b = −i. Wykażemy, że w zbiorze liczb wymiernych takich dwóch niecałkowitych liczb nie znajdziemy. W dowodzie tego faktu wykorzystamy następujące znane twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

1.4.1. Niech f (x) będzie wielomianem monicznym (tzn. współczynnik wiodący jest równy 1) o współczynnikach całkowitych i niech u będzie liczbą wymierną. Jeśli u jest pierwiastkiem wielomianu f (x), to u jest liczbą całkowitą

Teraz możemy udowodnić:

1.4.2. Niech a, b ∈ Q. Jeśli a + b ∈ Z i ab ∈ Z, to a, b ∈ Z.

D. Rozpatrzmy wielomian f (x) = (x − a)(x − b) = x²− (a + b)x + ab. Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a i b. Z twierdzenia 1.4.1 wynika, że liczby a, b są całkowite.

1.4.3. Niech a, b, c ∈ Q. Jeśli a + b + c ∈ Z, ab + bc + ca ∈ Z i abc ∈ Z, to a, b, c ∈ Z.

D.Rozpatrzmy wielomian f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) = x³− (a + b + c)x²+ (ab + bc + ca)x − abc.

Jest to wielomian moniczny o współczynnikach całkowitych i jego pierwiastkami są liczby wymierne a, b, c. Z twierdzenia 1.4.1 wynika, że liczby a, b, c są całkowite.

1.4.4. Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych (x, y, z), dla których wszystkie liczby x + y + z, 1

x +1 y +1

z, xyz są naturalne. ([OM] Polska 1993/1994).

R. Jeśli (x, y, z) jest taką trójką, to x, y, z są liczbami naturalnymi. Wszystkie trójki (x, y, z) takie, że x> y > z: (1, 1, 1), (3, 3, 3), (2, 2, 1), (6, 3, 2), (4, 4, 2).

1.4.5. Niech x = a²− 1

b + 1 , y = b²− 1

a + 1, gdzie a, b ∈ N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, to liczby x i y też są całkowite. ([OM] St Petersburg 1993, [Fom] 17/93).

1.4.6. Każda liczba 1 5n⁵+1

3n³+ 7

15n, gdzie n ∈ N, jest całkowita.([OM] Australia 1994). 1.4.7. Dla każdej liczby naturalnej n liczba

4 −2

1

4 −2

2

4 −2

3

· · ·

4 −2

n

jest całkowita. ([OM] Czechy-Słowacja 1998/1999).

(12)

1.4.8. Niech n ∈ N. Liczby 21n − 3

4 oraz 15n + 2

6 nie mogą być jednocześnie całkowite.

([M-sj] 463).

1.4.9. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ^ab+1_a+b, gdzie a, b są liczbami na- turalnymi. ([OM] Moskwa 1996/1997, [OM] Mołdawia 2001).

D. Niech (a, b) = (2n − 1, 2n + 1) lub (n + 1, n²+ n − 1). Wtedy ^ab+1_a+b = n.

1.4.10. Każdą liczbę naturalną większą od 1 i nie będącą postaci 2ⁿ+ 2 można przedstawić w postaci ^a_b +^a+1_b+1, gdzie a, b ∈ N.([OM] Moskwa 2000/2001).

1.4.11. Niech n ∈ N. Znaleźć liczbę wszystkich par (x, y) , liczb naturalnych takich, że n = xy

x + y. Przykłady: 1 = ₂₊₂^2·2, 2 = ₃₊₆^3·6 = ₄₊₄^4·4 = ₆₊₃^6·3. ([Putn] 1960).

R. Problem sprowadza się do opisu liczby rozwiązań naturalnych równania (x − n)(y − n) = n². Zachodzi jeden z przypadków: (x − n < 0, y − n < 0) lub (x − n > 0, y − n > 0).

Jeśli x − n < 0 i y − n < 0, to 16 x < n i 1 6 y < n, stąd −n < x − n < n i −n < y − n < n, czyli |x − n| < n i |y − n| < n. W tym przypadku mamy sprzeczność: n²= |x − n||y − n| < n².

Niech x − n > 0 i y − n > 0. Niech (a, b) będzie dowolną parą liczb naturalnych takich, że ab = n². Przyjmijmy: x := a + n, y := b + n. Wtedy (x − n)(y − n) = ab = n². Każda więc taka para (a, b) wyznacza rozwiązanie naturalne rozpatrywanego równania. Takich par jest oczywiście tyle ile jest naturalnych dzielników liczby n².

Odpowiedź. Liczba wszystkich takich naturalnych par jest równa τ (n²), gdzie τ (n²) jest liczbą wszystkich dzielników naturalnych liczby n². Jeśli a jest dzielnikiem naturalnym liczby n², to (x, y) = (n + a, n + n²/a) jest rozwiązaniem naturalnym. Każde rozwiązanie jest tej postaci.

1.4.12. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ^a_ab+1²^+b, gdzie a, b ∈ N.

D. Niech n ∈ N, a = n², b = n. Wtedy ^a_ab+1²^+b = ⁿ_n⁴₃⁺ⁿ₊₁ = n. Liczba n = 1 ma nieskończenie wiele takich przedstawień: 1 = _1·b+1¹²^+b dla dowolnego b.

1.4.13. Każdą liczbę naturalną większą od 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci a²+ b

ab + 1, gdzie a, b są liczbami naturalnymi. ([OM] Moskwa 2000/2001).

1.4.14. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ^a_ab+2²^+b, gdzie a, b ∈ N.

(13)

1.4.15. Niech a, n ∈ N, (a, n) 6= (1, 1). Równanie x²+ y² axy + 1 = n²

ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([Crux] 1990 s.172 z.1556). 1.4.16. Jeśli a 6= b ∈ Z, n ∈ N, to liczba

2²ⁿ⁻¹(a²ⁿ+ b²ⁿ) − (a + b)²ⁿ (a − b)²

jest całkowita. ([OMm] 1997/1998).

1.4.17. Liczba postaci 2a²− 1

b²+ 2 , gdzie a, b ∈ Z, nie jest całkowita. ([IMO] Longlist 1992).

1.4.18. Liczba postaci a²+ b²

a²− b², gdzie a, b ∈ N, a 6= b, nie jest całkowita. ([KoM] Gy1959). 1.4.19. Niech x, y ∈ C, x 6= y oraz an = xⁿ− yⁿ

x − y . Jeśli jakieś cztery kolejne wyrazy cią- gu (a_n) są liczbami całkowitymi, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi.

([OM] Rumunia 2002).

1.4.20. Niech a, b będą liczbami naturalnymi i niech x_n=

a +1

2

n

+

b +1

2

n

.

W ciągu (x_n) jest tylko skończenie wiele liczb całkowitych. (Newman problem 30).

1.4.21. Jeśli liczba (m + 3)ⁿ+ 1

3m jest całkowita, to jest nieparzysta. ([IMO] 1967). 1.4.22. Jeśli liczba m²+ n²+ 1

mn jest całkowita, to jest równa 3. ([LeH] A5). 1.4.23. Jeśli liczba m²+ n²+ 6

mn jest całkowita, to jest sześcianem liczby całkowitej.

([OM] Estonia 1995/1996, [Crux] 2002 s.74).

1.4.24. Istnieje nieskończenie wiele par (n, m) liczb naturalnych takich, że 1 < n < m i liczba m²+ n²− 1

mn jest całkowita. ([Crux] z.1746).

(14)

1.4.25 ([Crux] 2001 z.2534 s.276-279). Oznaczmy:

z_a(x, y) = x²+ y²+ a

xy .

Niech A będzie zbiorem tych wszystkich liczba całkowitych a, dla których liczba z_a(x, y) jest całkowita dla nieskończenie wielu par (x, y) liczb naturalnych. Jeśli a ∈ A, to przez E(a) oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb całkowitych postaci z_a(x, y), x, y ∈ N.

(1) Niech a ∈ Z. Jeśli istnieją liczby naturalne x, y takie, że liczba za(x, y) jest całkowita, to takich par (x, y) ∈ N² jest nieskończenie wiele.

(2) Zbór A jest nieskończony. Każda liczba postaci −d², gdzie d ∈ N, należy do A. Mamy bowiem z_−d2(λd, d) = λ dla wszystkich λ ∈ N.

(3) Liczba 0 należy do A i E(0) = {2}.

(4) Jeśli a = −d², gdzie d ∈ N, to a ∈ A i zbiór E(a) jest nieskończony; jest nawet równy N. Wynika to z (2).

(5) Jeśli a ∈ A i a nie jest postaci −d², gdzie d ∈ N, to zbiór E(a) jest skończony.

(6) Niech a ∈ N0. Niech z_a(x, y) = β, gdzie x, y, β ∈ N. Wtedy β 6 a + 2.

1.4.26. Znaleźć wszystkie pary (m, n) liczb naturalnych, dla których n³+ 1

mn − 1 jest liczbą cał- kowitą. Odp. (2, 2), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (1, 3), (5, 2), (2, 5), (5, 3), (3, 5). ([IMO] 1994).

1.4.27. Niech a, b ∈ Z. Jeśli _2ab2^a−b²³+1 jest liczbą całkowitą, to (a, b) = (2n, 1) lub (n, 2n) lub (8n⁴− n, 2n), gdzie n ∈ N. ([IMO] Shortlist 2003).

1.4.28. Znaleźć wszystkie pary (x, y) liczb naturalnych, dla których liczby x + 1

y , y + 1 x

są naturalne. Odp. (3, 2), (2, 3), (1, 1), (2, 1), (1, 2). ([OM] Polska 1994/1995). 1.4.29. Niech a = (x + y + z)²

xyz , gdzie x, y, z ∈ N. Jeśli a jest liczbą całkowitą, to a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 lub 9 (a nie może być siódemką). ([OM] Mongolia 2000).

1.4.30. Jeśli p jest liczbą pierwszą i n ∈ N, to liczba 1

1 + 1(p − 1)+ 2

1 + 2(p − 1)+ · · · + n 1 + n(p − 1) nie jest całkowita. ([Mon] 96(8)(1989) E3249).

F Zagadnienia dotyczące całkowitości pewnych liczb wymiernych znajdziemy również w innych książ- kach z serii ”Podróże po Imperium Liczb”. Przykłady:

Liczby postaci (a²+ b²)/(ab ± 1) i ich uogólnienia, podrozdział w [N-3];

Jednorodne ciągi rekurencyjne, rozdział w [N-7];

Ciągi Somosa i ich uogólnienia, rozdział w [N-7];

Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych, rozdział w [N-7];

Liczby ^n!+a_n+a, podrozdział w [N11];

Całkowitość pewnych liczb wymiernych, podrozdział w [N11];

Symbole Newtona względem danego ciągu, rozdział w [N11].

(15)

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5 Wymierność pewnych liczb rzeczywistych

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1.5.1. Niech a, b ∈ R, a + b = 1. Jeśli liczby a³ i b³ są wymierne, to a i b też są liczbami wymiernymi. ([OM] Polska 1994/1995).

1.5.2. Jeśli a, b są różnymi liczbami zespolonymi takimi, że liczby a² − b², a³− b³, a⁵− b⁵ są wymierne, to a, b, c są liczbami wymiernymi. ([MM] 73(4)(2000) 328).

1.5.3. Istnieje nieskończenie wiele par (x, y) liczb wymiernych takich, że x 6= y oraz^px²+ y³ i ^px³+ y² są liczbami wymiernymi. ([OM] Niemcy 2003/2004).

1.5.4. Niech x, y, z ∈ R r {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx ∈ Q. Wtedy:

(1) x²+ y²+ z² ∈ Q;

(2) jeśli x³+ y³+ z³ ∈ Q, to x, y, z ∈ Q. ([OM] Rumunia 2001).

1.5.5. Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 2005).

1.5.6. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x + ¹_x jest wymierna. Wtedy każda liczba postaci xⁿ+_x¹n, gdzie n ∈ N, jest wymierna. ([G-if] 103, [N10]).

1.5.7. Niech 0 < x ∈ R, k ∈ N. Jeśli liczby x^k+_x¹_k i x^k+1+_x_k+1¹ są wymierne, to x +¹_x jest liczbą wymierną.([KoM] 2000(4) A238).

1.5.8. Niech a, b, c, d ∈ Q, ad 6= bc. Istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych x takich, że ^p(a + bx)(c + dx) jest liczbą wymierną. ([MOc] 2002 z.144).

1.5.9. Jeśli n ∈ N, to liczba √ n +√

n + 1 jest niewymierna. ([Bedn] 178). 1.5.10. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że√

n − 1+√

n + 1 jest liczbą wymierną ? Odp.

Nie istnieje. ([Balt] 1995).

1.5.11. Niech p będzie liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba

√n + p +√

n jest wymierna. ([Bedn] 179).

O. Jeśli p = 2, to takiej liczby naturalnej n nie ma. Jeśli p > 2, to n = ^p−1₂ ² . 1.5.12. Niech x₁, . . . , x_n będą nieujemnymi liczbami wymiernymi. Jeśli liczba

√x₁+ · · · +√ x_n jest wymierna, to liczby √

x1, . . . ,√

xn też są wymierne.([Str1] s.98).

1.5.13. Niech α ∈ R i niech k ∈ N. Jeśli liczby cos(kα) i cos((k + 1)α) są wymierne, to cos α jest również liczbą wymierną. ([N10]).