Podróże po Imperium Liczb Część 01.

Część 01. Liczby Wymierne

Rozdział 9

9. Liczby postaci x

₁

/x

₂

+ x

₂

/x

₃

+ · · · + x

_s

/x

₁

Andrzej Nowicki 7 grudnia 2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spis treści

9 Liczby postaci x

₁

/x

₂

+ x

₂

/x

₃

+ · · · + x

_s

/x

₁

87

9.1 Podstawowe własności zbiorów B

_s

i A

_s

. . . . 87

9.2 Zbiór B

₂

. . . . 90

9.3 Zbiór B

₃

i liczby (a

³

+ b

³

+ c

³

)/abc . . . . 91

9.4 Nieskończoność zbioru A

₃

. . . . 93

9.5 Przykłady liczb naturalnych należących do A

₃

. . . . 94

9.6 Występowanie danej liczby w rozkładach liczb ze zbioru A

₃

. . . . 98

9.7 Zbiór B

₃

. . . . 100

9.8 Liczby postaci x/y + y/z + z/x, gdzie x, y, z są liczbami całkowitymi . . . . 103

9.9 Zbiór A

₄

. . . . 106

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L

^A

TEX.

Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie

autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

Niech s ∈ N. Interesować nas będą dodatnie liczby wymierne postaci x

1

x

₂

+ x

2

x

₃

+ · · · + x

s

x

₁

,

gdzie x

₁

, x

₂

, . . . , x

_s

są liczbami naturalnymi. Zbiór wszystkich takich dodatnich liczb wymier- nych oznaczać będziemy przez B

_s

. W szczególności interesować nas będą liczby naturalne tej postaci. Zbiór wszystkich takich liczb naturalnych oznaczać będziemy przez A

_s

. Mamy więc A

_s

= B

_s

∩ N, A

1

= B

₁

= {1} oraz

B

_s

=

(

q ∈ Q

⁺

; ∃

x1,...,xs∈N

q =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

^x_x^s

1

)

,

A

_s

=

(

n ∈ N; ∃

x1,...,xs∈N

n =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

_x^xs

1

)

,

dla s > 2. Przez Q

⁺

oznaczamy zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od zera.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.1 Podstawowe własności zbiorów B

s

i A

s

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.1.1. Niech s ∈ N, q ∈ Q

⁺

. Jeśli q ∈ B

_s

, to q > s. W szczególności, jeśli liczba naturalna n należy do zbioru A

s

, to n > s.

D.

Niech q ∈ Bs. Wtedy q = ^x_x¹

2 + ^x_x²

3 + · · · + ^x_x^s

1, dla pewnych x1, . . . , xs ∈ N. Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną liczb ^x_x¹

2, . . . ,^x_x^s

1 otrzymujemy:

q = s ·¹_s_x

1

x2 +^x_x²

3 · · · +^x_x^s

1

> s ·q^s _x

1

x2

x₂ x3· · ·^x_x^s

1 = s ·√^s 1 = s.

Zatem q> s. Stąd oraz z faktu, że As= Bs∩ N wynika, że jeśli n ∈ As, to n> s. 

9.1.2. Niech s ∈ N. Wtedy s ∈ A

s

. Jeśli x

₁

, . . . , x

_s

są liczbami naturalnymi takimi, że s =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

^x_x^s

1

, to x

₁

= x

₂

= · · · = x

_s

. D.

Liczba s należy do As, gdyż s = ^x_x¹

2+^x_x²

3+ · · · +_x^xs

1, dla x1= x2= · · · = xs= 1. Załóżmy teraz, że s = ^x_x¹

2+^x_x²

3+ · · · +^x_x^s

1, gdzie x1, . . . , xs∈ N. Wtedy średnia arytmetyczna liczb ^x_x¹₂, ^x_x²

3. . . . ,^x_x^s

1, jest równa średniej geometrycznej tych liczb. Wszystkie więc te liczby są jednakowe. Niech a = ^x_x¹

2 = ^x_x²

3 =

· · · = ^x_x^s

1. Wtedy s = sa, więc a = 1 i stąd x1= x2= · · · = xs.

9.1.3. Niech s ∈ N. Jeśli x

1

, . . . , x

_s

są liczbami naturalnymi takimi, że s =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

^x_x^s

1

oraz nwd(x

₁

, . . . , x

_s

) = 1, to x

₁

= x

₂

= · · · = x

_s

= 1.

(Wynika z 9.1.2)

.

9.1.4 (Bondarenko 2000). Każda liczba naturalna n > 12 należy do zbioru A

12

.

([Bond])

.

87

9.1.5. Niech s > 2. Jeśli q jest dodatnią liczbą wymierną, to następujące warunki są równo- ważne.

(1) q ∈ B

_s

. (2) q =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

^x_x^s

1

, dla pewnych x

₁

, . . . , x

s

∈ N takich, że nwd(x

1

, . . . , x

s

) = 1.

(3) q =

^y_y¹

2

+

^y_y²

3

+ · · · +

^y_y^s

1

, dla pewnych y

₁

, . . . , y

s

∈ Q

⁺

.

(4) q = u

₁

+ u

₂

+ · · · + u

_s

, dla pewnych u

₁

, . . . , u

s

∈ Q

⁺

takich, że u

₁

u

2

· · · u

_s

= 1.

D.

(1) ⇐⇒ (2). Załóżmy, że q ∈ B_s. Niech q = ^a_a¹

2+^a_a²

3+ · · · +^a_a^s

1, gdzie a₁, . . . , a_s∈ N. Niech d = nwd(a₁, . . . , a_s). Istnieją wtedy liczby naturalne x₁, . . . , x_stakie, że a₁= x₁d, a₂= x₂d, . . . , a_s= x_sd.

Wtedy nwd(x1, . . . , xn) = 1 oraz ^x_x¹

2+^x_x²

3+ · · · +^x_x^s

1 = ^x_x^1d

2d+^x_x^2d

3d+ · · · +^x_x^sd

1d = ^a_a¹

2 +^a_a²

3+ · · · +^a_a^s

1 = q.

Wykazaliśmy więc implikację (1) ⇒ (2). Implikacja (2) ⇒ (1) jest oczywista.

(1) ⇐⇒ (3). Jest oczywiste, że zachodzi implikacja (1) ⇒ (3). Wykażemy implikację (3) ⇒ (1).

Niech q = ^y_y¹

2+^y_y²

3+· · ·+^y_y^s

1, gdzie y1, . . . , ys∈ Q⁺. Niech d będzie wspólnym mianownikiem wszystkich liczb wymiernych y1, . . . , ys. Wtedy y1= ^x_d¹, y2= ^x_d², . . . , ys= ^x_d^s, dla pewnych x1, . . . , xs∈ N. Mamy wtedy ^x_x¹

2 +^x_x²

3 + · · · +^x_x^s

1 =^x_x^1/d

2/d+^x_x^2/d

3/d+ · · · + ^x_x^s/d

1/d = ^y_y¹

2 +^y_y²

3 + · · · +^y_y^s

1 = q. Zatem q ∈ Bs. (3) ⇐⇒ (4). Załóżmy, że q = ^y_y¹

2+^y_y²

3+· · ·+^y_y^s

1, gdzie y1, . . . , ys∈ Q⁺. Niech u1=^y_y¹

2, u2= ^y_y²

3, . . . , u_s= ^y_y^s

1. Wtedy u1, . . . , u_s są dodatnimi liczbami wymiernymi, u1· · · us= 1 oraz q = u1+ · · · + us. Wykazaliśmy więc implikację (1) ⇒ (4).

Niech teraz q = u₁+ · · · + u_s, gdzie u₁, . . . , u_s są dodatnimi liczbami wymiernymi takimi, że u₁· · · u_s= 1. Niech

y₁= 1, y₂= _u¹

1, y₃= _u¹

1u2, . . . , y_s−1=_u ¹

1u2···us−2, y_s=_u ¹

1u2···us−1. Wtedy ^y_y¹

2 +^y_y²

3 + · · · +^y_y^s

1 = u1+ u2+ · · · + us= q.

Jeśli w 9.1.5 założymy dodatkowo, że q jest liczbą naturalną, to otrzymamy następujące twierdzenie.

9.1.6. Niech s > 2. Jeśli n jest liczbą naturalną, to następujące warunki są równoważne.

(1) n ∈ A

_s

. (2) n =

^x_x¹

2

+

^x_x²

3

+ · · · +

^x_x^s

1

, dla pewnych x

₁

, . . . , x

s

∈ N takich, że nwd(x

1

, . . . , x

s

) = 1.

(3) n =

^y_y¹

2

+

^y_y²

3

+ · · · +

^y_y^s

1

, dla pewnych y

₁

, . . . , y

s

∈ Q

⁺

.

(4) n = u

₁

+ u

₂

+ · · · + u

_s

, dla pewnych u

₁

, . . . , u

s

∈ Q

⁺

takich, że u

₁

u

2

· · · u

_s

= 1.

Następne fakty są wnioskami z twierdzeń 9.1.5 i 9.1.6.

9.1.7. Każda liczba postaci

^xs1+x_x ^{s2+···+xss}

1x2···xs

, gdzie x

₁

, . . . , x

_s

∈ Q

⁺

, należy do zbioru B

_s

. D.

Oznaczmy: q = ^xs1+x_x ^{s2+···+xss}

1x₂···xs , gdzie x1, . . . , xs∈ Q⁺. Pokażemy, że q ∈ Bs. (Sposób I). Niech ui = _x ^xsi

1x2···xs, dla i = 1, . . . , s. Wtedy u1, . . . , u_s ∈ Q⁺, u1u₂· · · us = 1 oraz q = u₁+ u₂+ · · · + u_s. Teza wynika zatem z twierdzenia 9.1.5.

(Sposób II). Oznaczmy w = x1x2· · · xs i niech yi = _w¹ x_i^sx^s−1_i+1x^s−2_i+2 · · · x²_i+s−2x¹_i+s−1
, dla i = 1, 2, . . . , s przy czym xs+j = xj dla j ∈ N. Wtedy y¹, . . . , ys są liczbami naturalnymi oraz ^y_y¹

2 +^y_y²

3 +

· · · + ^y_y^s

1 =^xs1+x_x ^{s2+···+xss}

1x₂···xs = q. Zatem q ∈ Bs.

9.1.8. Niech s > 2. Każda liczba postaci

^x

s−1

1 x2+x^s−1₂ x3+···+x^s−1_s−1xs+x^s−1s x1

x1x2···xs

, gdzie x

₁

, . . . , x

_s

∈ Q

⁺

, należy do zbioru B

_s

.

D.

Oznaczmy: q = ^x

s−1

1 x2+x^s−1₂ x3+···+x^s−1_s−1xs+x^s−1_s x1

x₁x₂···xs , gdzie x1, . . . , xs∈ Q⁺. Niech ui = ^x

s−1 i xi+1

x₁x₂···xs, dla i = 1, . . . , s, przy czym xs+1= x1. Wtedy u1, . . . , u_s ∈ Q⁺, u1u₂· · · us = 1 oraz q = u1+ u2+

· · · + us. Teza wynika zatem z twierdzenia 9.1.5.

9.1.9. B

_n

+ B

_m

⊆ B

_n+m

, dla n, m ∈ N.

D.

Niech a ∈ B_n, b ∈ B_m. Pokażemy, że a + b ∈ B_n+m.

(Sposób I). Z twierdzenia 9.1.5 wynika, że istnieją dodatnie liczby wymierne u1, . . . , un oraz v1, . . . , vm takie, że u1· · · un = 1, v1· · · vm = 1, a = u1 + · · · un i b = v1 + · · · + vm. Wtedy u1u2· · · unv1v2· · · vm = 1 oraz a + b = u1+ · · · + un+ v1+ · · · vm. Teza wynika więc z twierdze- nia 9.1.5.

(Sposób II). Istnieją liczby naturalne x1, . . . , xn, y1, . . . , ym takie, że a = ^x_x¹

2 + · · · + ^x_xⁿ

1, b =

y₁

y₂ + · · ·^y_y^m

1. Mamy wtedy

a + b = ^x_x^1y1

2y₁ +^x_x^2y1

3y₁ + · · · +^x_x^ny1

1y₁ +^y_y^1x1

2x₁ +^y_y^2x1

3x₁ + · · ·^y_y^mx1

1x₁. Zatem a + b ∈ Bn+m.

9.1.10. B

_m

B

_n

⊆ B

_mn

, dla n, m ∈ N.

D.

Niech a ∈ Bm, b ∈ Bn. Pokażemy, że ab ∈ Bnm.

(Sposób I). Z twierdzenia 9.1.5 wynika, że istnieją dodatnie liczby wymierne u1, . . . , u_m oraz v₁, . . . , v_n takie, że u₁· · · um= 1, v₁· · · vn= 1, a = u₁+ · · · u_m i b = v₁+ · · · + v_n. Niech w_ij = u_iv_j, dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Iloczyn wszystkich liczb postaci w_ij jest równy 1 i ich suma wynosi ab.

Teza wynika więc z twierdzenia 9.1.5.

(Sposób II). Istnieją liczby naturalne x1, . . . , xm, y1, . . . , yn takie, że a = ^x_x¹

2 + · · · + ^x_x^m

1, b =

y₁

y2 + · · ·^y_yⁿ

1. Przyjmijmy:

z(p−1)n+i= xⁿ⁻ⁱ⁺¹_p xⁱ⁻¹_p+1
yi,

dla p = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . , n, przy czym xm+1 = x1. Mamy wtedy mn liczb naturalnych z₁, z₂, . . . , z_mn. Zauważmy, że _z^z(p−1)n+i

(p−1)n+i+1 = _x^xp

p+1

yi

yi+1, dla p = 1, 2, . . . , m oraz i < n. Ponadto,

z_(p−1)n+n z_pn+1 =_x^xp

p+1

y_n

y₁, dla p = 1, 2, . . . , m. Stąd wynika, że

z1

z₂ +^z_z²

3 + · · · +^z_z^mn

1 =

x1

x₂ + · · · + ^x_x^m

1

 _y

1

y₂ + · · · + ^y_yⁿ

1



= ab.

Zatem ab ∈ Bmn.

Z powyższych faktów wynika:

9.1.11. A

_m

+ A

_n

⊆ A

_m+n

, A

_m

A

_n

⊆ A

_mn

, dla m, n ∈ N.

9.1.12. Jeśli q ∈ B

s

, to q + 1 ∈ B

_s+1

. Jeśli n ∈ A

_s

, to n + 1 ∈ A

_s+1

.

F Klaudia Kubiak, Twierdzenia Bondarenki i Rusina o sumach liczb wymiernych, [Pmgr] 2009.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.2 Zbiór B

₂

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.2.1. Jedyną liczbą naturalną n należącą do zbioru B

2

jest n = 2. Innymi słowy: A

₂

= {2}.

D.

Niech n ∈ A₂= B₂∩ N. Niech n = ^x_y+^y_x, gdzie x, y ∈ N, nwd(x, y) = 1. Wtedy x²+ y²= nxy.

Przypuśćmy, że x> 2. Istnieje wtedy liczba pierwsza p taka, że p | x. Wtedy prawa strona równości x²+ y²= nxy jest podzielna przez p, więc (ponieważ p | x²i p | x²+ y²) liczba y również jest podzielna przez p. To jest jednak sprzecznością, gdyż nwd(x, y) = 1. Zatem x = 1 i analogicznie y = 1. Stąd n = ¹₁+¹₁ = 2.

9.2.2. Niech p będzie liczbą pierwszą i n liczbą naturalną. Liczba

ⁿ_p

należy do zbioru B

₂

wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2p lub n = p

²

+ 1.

D.

Oczywiście liczby ^2p_p = 2 = ¹₁ +¹₁ i ^p2_p⁺¹ = ^p₁ +_p¹ należą do B2. Pokażemy, że innych tego typu liczb w zbiorze B₂nie ma.

Załóżmy, że ⁿ_p ∈ B2. Niech ⁿ_p =_y^x+^y_x= ^x2_xy^+y2, gdzie x, y ∈ N, nwd(x, y) = 1. Wtedy p(x²+ y²) = nxy.

Załóżmy najpierw, że p | n. Niech n = pa, a ∈ N. Wtedy x²+ y²= axy, więc a =^x2_xy^+y2 = ^x_y+^y_x∈ A₂. Ale A₂= {2}, więc a = 2. Jeśli więc p | n, to n = 2p.

Załóżmy teraz, że p - n. Wtedy p | xy, więc p | x lub p | y. Dla ustalenia uwagi niech p | x. Wtedy p - y, gdyż nwd(x, y) = 1. Niech x = p^αa, a ∈ N, p - a, α > 1. Wtedy p^2α+1a²+ py² = np^αay. Stąd wynika, że α = 1 (bowiem gdy α> 2, to mamy sprzeczność z tym, że p - y). Zatem (pa)²+ y²= nay Przypuśćmy, że a> 2. Niech q będzie liczbą pierwszą dzielącą a. Wtedy z równości (pa)²+ y²= nay wynika, że q | y; wbrew temu, że nwd(x, y) = 1. Zatem a = 1, tzn. x = p. Mamy więc p²+ y²= ny, p - n, p - y. Jeśli y > 2, to mamy oczywistą sprzeczność. Zatem y = 1 i stąd n = p²+ 1.

9.2.3. Niech n ∈ N. Liczba

ⁿ₂

należy do zbioru B

₂

wtedy i tylko wtedy, gdy n = 4 lub n = 5.

(Wynika z 9.2.2 dla p = 2)

.

9.2.4. Niech n ∈ N. Liczba

ⁿ₃

należy do zbioru B

₂

wtedy i tylko wtedy, gdy n = 6 lub n = 10.

(Wynika z 9.2.2 dla p = 3)

.

9.2.5. Niech p będzie liczbą pierwszą oraz s, n ∈ N, p - n. Liczba

_pⁿs

należy do zbioru B

₂

wtedy i tylko wtedy, gdy n = p

^2s

+ 1.

D.

Jeśli n = p^2s+ 1, to _pⁿs ∈ B2, gdyż wtedy _pⁿs =^p2s_p⁺¹s = ^p₁^s +_p¹s. Załóżmy teraz, że _pⁿs ∈ B2 i niech x, y będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi takimi, że ^x_y+^y_x = _pⁿs. Wtedy

(1) p^s(x²+ y²) = nxy.

Ponieważ p - n, więc p | x lub p | y. Zmieniając ewentualnie kolejność występowania liczb x, y, możemy założyć, że p | x. Wtedy p^s| x oraz p - y. Niech x = p^tu, u ∈ N, p - u, t > s. Jeśli t > s, to prawa strona równości (1) jest podzielna przez p i lewa strona tej równości nie jest podzielna przez p. Zatem t = s i mamy p^2su²+ y²= nuy. Jeśli u> 2, to istnieje liczba pierwsza q dzieląca u i wtedy z równości

p^2su²+ y²= nuy wynika, że q | y wbrew temu, że nwd(x, y) = 1. Zatem u = 1, czyli x = p^s. Mamy więc równość p^2s+ y² = ny. Jeśli y > 2, to mamy oczywistą sprzeczność z tym, że nwd(x, y) = 1.

Zatem y = 1. Ostatecznie n = p^2s+ 1.

9.2.6. Niech a, b, c, d będą liczbami naturalnymi takimi, że a 6 b, c 6 d, nwd(a, b) = 1 oraz nwd(c, d) = 1. Jeśli

^a_b

+

_a^b

=

_d^c

+

^d_c

, to a = c i b = d.

D.

Załóżmy, że ^a_b +_a^b = ^c_d + ^d_c. Wtedy cd(a²+ b²) = ab(c²+ d²). Ponieważ nwd(a, b) = 1 i nwd(c, d) = 1, więc nwd(ab, a²+ b²) = 1 i nwd(cd, c²+ d²) = 1. Zatem ab | cd i cd | ab, czyli ab = cd i stąd a²+ b²= c²+ d². Stąd dalej mamy: (b − a)²= b²− 2ab + a² = d²− 2cd + c²= (d − c)², czyli b − a = d − c = u, gdzie u > 0. Zatem b = a + u, d = c + u. Ale ab = cd, więc a²+ ua = c²+ cu i stąd (a − c)(a + c + u) = 0. Ponieważ a + c + u > 0, więc a = c i stąd wynika, że b = d.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.3 Zbiór B

3

i liczby (a

³

+ b

³

+ c

³

)/abc

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Przypomnijmy, że B

₃

jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb wymiernych

^x_y

+

^y_z

+

^z_x

, gdzie x, y, z ∈ N, natomiast A

3

jest zbiorem wszystkich naturalnych liczb tej postaci. Wiemy już, że A

₁

= {1}, A

₂

= {2}. Oczywiście 3 ∈ A

₃

. Do zbioru A

₃

należą również inne liczby naturalne, na przykład 5 =

¹₂

+

²₄

+

⁴₁

lub 6 =

₁₂²

+

¹²₉

+

⁹₂

. Wykażemy w następnym podrozdziale, że zbiór A

₃

jest nieskończony. W tym podrozdziale wykażemy, że dodatnia liczba wymierna q należy do zbioru B

₃

wtedy i tylko wtedy, gdy q =

^a3+b_abc^3+c3

dla pewnych liczb naturalnych a, b, c.

9.3.1. Niech q będzie liczbą wymierną taką, że x

²

z + y

²

x + z

²

y = qxyz, dla pewnych liczb całkowitych x, y, z. Niech

a = xyz(x + y + z)(x

²

+ y

²

+ z

²

− xz − yz − xy),

b = (xz + yz + xy)(x

²

y

²

+ z

²

x

²

+ y

²

z

²

− y

²

zx − yzx

²

− z

²

yx), c = (x

²

y

⁴

+ y

²

z

⁴

+ z

²

x

⁴

) − xyz(x

²

y + y

²

z + z

²

x).

Wtedy a, b, c są liczbami całkowitymi takimi, że a

³

+ b

³

+ c

³

= qabc.

([BrG], [Rus1])

. D.

Standardowy rachunek; sprawdziłem to za pomocą Maple.

9.3.2. Zachodzi równość zbiorów:

B

₃

=

^nx_y

+

^y_z

+

^z_x

; x, y, z ∈ N

^o

=

^na3+b_abc^3+c3

; a, b, c ∈ N

^o

.

([BrG], [Rus1])

.

D.

Oznaczmy zbiór po prawej stronie przez C3. Inkluzja C3 ⊆ B3 wynika z 9.1.7. Niech q ∈ B3, niech q = ^x_y +^y_z+_x^z, gdzie x, y, z ∈ N. Możemy założyć, że nwd(x, y, z) = 1. Jeśli x = y = z = 1, to q = 3 i wtedy 3 = ¹³⁺¹_1·1·1³⁺¹³. Dalej możemy więc założyć, że (x, y, z) 6= (1, 1, 1). Z równości q =^x_y+^y_z+_x^z wynika, że x²z + y²x + z²y = qxyz. Zatem a³+ b³+ c³ = qabc, gdzie liczby a, b, c są zdefiniowane w twierdzeniu 9.3.1. Korzystając z klasycznych nierówności łatwo stwierdzamy, że a, b, c ∈ N. Zatem q ∈ C3 i tym samym wykazaliśmy, że B3⊆ C3. Ostatecznie B3= C3. 

Z powyższych faktów otrzymujemy:

9.3.3 (Erd¨ os, Niven 1946). Niech q będzie dodatnią liczbą wymierną. Następujące warunki są równoważne.

(1) q ∈ B

₃

tzn. istnieją liczby naturalne x, y, z takie, że q =

^x_y

+

^y_z

+

^z_x

.

(2) Istnieją liczby naturalne x, y, z takie, że q =

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

oraz nwd(x, y, z) = 1.

(3) Istnieją dodatnie liczby wymierne x, y, z takie, że q =

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

. (4) Istnieją dodatnie liczby wymierne a, b, c takie, że q =

^a3+b_abc^3+c3

. (5) Istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że q =

^a3+b_abc^3+c3

.

(6) Istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że q =

^a3+b_abc^3+c3

oraz nwd(a, b, c) = 1.

([BrG], [Rus1])

.

9.3.4. Niech n ∈ N. Następujące warunki są równoważne.

(1) n ∈ A

₃

tzn. istnieją liczby naturalne x, y, z takie, że n =

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

.

(2) Istnieją liczby naturalne x, y, z takie, że n =

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

oraz nwd(x, y, z) = 1.

(3) Istnieją dodatnie liczby wymierne x, y, z takie, że n =

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

. (4) Istnieją dodatnie liczby wymierne a, b, c takie, że n =

^a3+b_abc^3+c3

. (5) Istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że n =

^a3+b_abc^3+c3

.

(6) Istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że n =

^a3+b_abc^3+c3

oraz nwd(a, b, c) = 1.

(7) Istnieją parami względnie pierwsze liczby naturalne a, b, c takie, że n =

^a3+b_abc^3+c3

.

([Mon] 53(4)(1946) 223-224, [BrG], [Bond], [Rus1])

.

9.3.5 (Erd¨ os, Niven 1946). Niech x, y, z będą liczbami naturalnymi takimi, że liczba

^x_y

+

y

z

+

_x^z

jest naturalna oraz nwd(x, y, z) = 1. Niech a = nwd(x, y), b = nwd(y, z), c = nwd(z, x). Wtedy liczby a, b, c są parami względnie pierwsze oraz x = c

²

a, y = a

²

b i z = b

²

c.

([Mon] 53(4)(1946) 223-224)

.

D.

(Erd¨os, Niven [Mon] 1946). Ponieważ nwd(x, y, z) = 1, więc jest oczywiste, że liczby a, b, c są parami względnie pierwsze. Niech ^x_y+^y_z +_x^z = m ∈ N. Mamy wtedy równość

(1) x²z + y²x + z²y = mxyz.

Część I. Pokażemy najpierw, że a²| y. Jeśli a = 1, to nie ma czego wykazywać. Załóżmy, że a > 2.

Niech a = p^r₁¹· · · p^r_s^sbędzie rozkładem kanonicznym liczby a. Niech i ∈ {1, 2, . . . , s} i oznaczmy p = p_i, r = r_i. Wówczas p | x oraz p | y (gdyż p | a = nwd(x, y)). Stąd p - z (bo nwd(x, y, z) = 1). Niech x = p^αu, y = p^βv, gdzie u, v ∈ N, p - u, p - v, α > r > 1, β > r > 1. Wstawiając to do równości (1) otrzymujemy równość

p^2αu²z + p^2β+αv²u + p^βz²v = mp^α+βuvz,

z której jasno wynika, że β = 2α. Zatem a = nwd(x, y) = nwd(p^αu, p^βv) = nwd(p^αu, p^2αv) = p^αnwd(u, p^αv) = p^αw, gdzie p - w. Stąd wnioskujemy, że α = r i stąd, że β = 2α = 2r. Zatem (p^r)² dzieli y. Dla każdego więc i ze zbioru {1, 2, . . . , s} mamy podzielność (p^r_iⁱ)²| y. To implikuje, że liczba a²=Qs

i=1(p^r_iⁱ)²dzieli liczbę y. W ten sam sposób pokazujemy, że b²| z, c²| x. Zanotujmy:

(2) c²| x, a²| y, b²| z.

Część II. Ponieważ a | x, c² | x oraz nwd(a, c²) = 1, więc ac² | x. Analogicznie ba² | y, cb² | z.

Zatem x = iac², y = jba², z = kcb², dla pewnych i, j, k ∈ N. Pokażemy, że i = j = k = 1.

Przypuśćmy, że i> 2. Istnieje wtedy liczba pierwsza p taka, że p | i. Wtedy p | x (bo x = iac²). Z równości (1) wynika więc, że p | z²y czyli, że p | y lub p | z.

Przypuśćmy, że p | y. Wtedy p - z (bo p | x, p | y oraz nwd(x, y, z) = 1). Ponadto, p | a = nwd(x, y).

Ale a = nwd(x, y) = nwd(iac², jba²) = nwd(ic², jba)a, więc nwd(ic², jba) = 1. Tymczasem liczba nwd(ic², jba) jest podzielna przez p (bo p | i oraz p | a). Sprzeczność ta implikuje, że p - y.

Zatem p | z, p | x oraz p - y. Stąd wynika, że p | c = nwd(z, x). Niech x = p^αu, z = pγw, gdzie u, w ∈ N, p - u, p - w, α > 1, γ > 1. Wstawiając to do równości (1) otrzymujemy równość

p^2α+γu²w + p^αuy²+ p^2γw²y = mp^α+γuyw,

z której wynika, że α = 2γ. Stąd dalej mamy: p^2γu = p^αu = x = iac² = iap^2γw² = p^2γ+1r, dla pewnego r ∈ N. Zatem p | u wbrew temu, że p - u.

Otrzymana sprzeczność implikuje, że i = 1. Analogicznie dowodzimy, że j = 1 oraz k = 1. Zatem x = ac², y = ba², z = cb² i to kończy dowód.

9.3.6. Niech x, y, z ∈ N. Jeśli

^x_y

+

^y_z

+

^z_x

jest liczbą naturalną, to xyz jest sześcianem.

([OM] Serbia-Czarnogóra 2004)

.

D.

Niech d = nwd(x, y, z), x = dx1, y = dy1, z = dz1, gdzie x1, y1, z1 ∈ N, nwd(x1, y1, z1) = 1.

Ponieważ ^x_y¹

1 + ^y_z¹

1 +_x^z1

1 = ^x_y^1d

1d +^y_z^1d

1d+ ^z_x^1d

1d = ^x_y + ^y_z +^z_x, więc ^x_y¹

1 +^y_z¹

1 + ^z_x¹

1 jest liczbą naturalną. Z twierdzenia 9.3.5 wynika więc, że istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że x1= ac², y1= ba², z1= cb². Mamy zatem xyz = (dx1)(dy1)(dz1) = d³(ac²)(ba²)(cb²) = (abcd)³, czyli xyz jest sześcianem liczby naturalnej.

9.3.7. Niech x, y, z ∈ Z r {0}. Jeśli

^x_y

+

^y_z

+

_x^z

i

^x_z

+

^z_y

+

^y_x

są liczbami całkowitymi, to

|x| = |y| = |z|.

([OM] Moskwa 1995)

.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 9.4 Nieskończoność zbioru A

₃

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Wiemy (patrz 9.3.4), że zbiór A

₃

pokrywa się ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych postaci

^a3+b_abc^3+c3

, gdzie a, b, c ∈ N. Możemy nawet założyć, że liczby a, b, c są parami względ- nie pierwsze. Wykażemy teraz, że liczb naturalnych postaci

^a3+b_abc^3+c3

jest nieskończenie wiele.

Wykażemy to nawet przy dodatkowym założeniu, że c = 1. Przedstawione tu fakty i ich dowo- dy pochodzą z rozwiązania zadania E682 z czasopisma [Mon] 53(4)(1946) 223-224, podanego przez Erd¨ osa i Nivena.

9.4.1 (Erd¨ os, Niven 1946). Niech a, b będą liczbami naturalnymi takimi, że:

(a) nwd(a, b) = 1;

(b) a < b;

(c) ab | a

³

+ b

³

+ 1.

Wtedy a | b

³

+ 1. Oznaczmy u =

^b3_a⁺¹

, m

₁

=

^a3+b_ab³⁺¹

, m

₂

=

^b3+u_bu³⁺¹

. Wtedy u i m

₁

są liczbami naturalnymi oraz:

(1) nwd(b, u) = 1;