CZY WIDZIMY CZWARTY WYMIAR?

(1)

(2)

CZY WIDZIMY

CZWARTY WYMIAR?

Bronisław Pabich

(3)

Co widzimy oglądając

nieruchomy obiekt trójwymiarowy?

(4)

Co widzimy teraz?

(5)

Co widzimy teraz?

(6)

Czy model krawędziowy sześcianu

widzimy jednoznacznie?

(7)

(8)

(9)

Jak powstał sześcian?

(10)

Jak więc powinien powstać hipersześcian?

?

(11)

HIPERSZEŚCIAN W CABRI II

(12)

Kombinatoryczne spojrzenie na

czwarty wymiar

(13)

Dysponujemy zbiorem {0,1}

(14)

Ile można z niego utworzyć ciągów jednoelementowych?

(15)

(0)

(16)

(0), (1)

(17)

Ile można z niego utworzyć ciągów dwuelementowych?

( ,0), ( ,1)

(18)

(0,0), (0,1)

(19)

(0,0), (0,1) (1,0), (1,1)

(20)

Ile można z niego utworzyć ciągów trójelementowych?

( ,0,0) , ( ,0,1) , ( ,1,0) , ( ,1,1)

(21)

(0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (0,1,1)

(22)

(0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (0,1,1) (1,0,0) , (1,0,1) , (1,1,0) , (1,1,1)

(23)

Ile można z niego utworzyć ciągów czteroelementowych?

(0,0,0,0) , (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,0,1,1) (0,1,0,0) , (0,1,0,1) , (0,1,1,0) , (0,1,1,1) (1,0,0,0) , (1,0,0,1) , (1,0,1,0) , (1,0,1,1) (1,1,0,0) , (1,1,0,1) , (1,1,1,0) , (1,1,1,1)

(24)

Podsumujmy jeszcze raz

(25)

Dla n=1 (0), (1)

(26)

Dla n=1 (0), (1)

(27)

Dla n=2 (0,0) , (1,0)

(0,1) , (1,1)

(28)

Dla n=3

(0,0,0) , (0,0,1) (0,1,0) , (0,1,1) (1,0,0) , (1,0,1) (1,1,0) , (1,1,1)

(29)

Dla n=4

(30)

Zbadajmy liczbę

• wierzchołków,

• krawędzi,

• ścian,

• hiperścianów,

• hiperwielościanów,

(40)

Liczba wierzchołków (W₀)

(41)

Liczba wierzchołków

(42)

₁

= 32

(47)

Liczna krawędzi

(48)

zbudować na jego 16 wierzchołkach.

Ile ich jest?

(53)

To nie jest ściana hipersześcianu

(54)

Ściany hipersześcianu

(55)

(56)

(57)

Liczba ścian

(58)

Liczba ścian

(59)

Liczba hiperścian

(sześcianów) (W₃)

(60)

Hiperściany sześcianu

jest tylko jedna hiperściana – on sam

(61)

Ile ich jest?

(62)

Hiperściany w hipersześcianie innym rzucie

(63)

(64)

(65)

(66)

Podsumowanie

(67)

Liczba k-wymiarowych obiektów hipersześcianu

w n-wymiarowej przestrzeni

(68)

Rzuty sześcianu a

rzuty hipersześcianu

(69)

Rzut środkowy sześcianu

(70)

Rzuty perspektywiczne sześcianu

Perspektywa 1 Perspektywa 2 Perspektywa 3 Perspektywa 4 Perspektywa 5 Perspektywa

Pietera de Hoogh'a (1629-1683)

(71)

Wybrane rzuty hipersześcianu

(72)

Siatka sześcianu

a siatka hipersześcianu

(73)

Siatka sześcianu

(74)

Siatka hipersześcianu

(75)

(76)

Peter Turney i Dan Hoey policzyli, że istnieje 261 wszystkich

możliwych ułożeń tej siatki.

(77)

(78)

(79)

Budowanie hipersześcianu z siatki w CABRI 3D

(80)

Wielościany foremne w 3d

W przestrzeni 3D mamy

5 wielościanów foremnych wypukłych (wielościany platońskie)

oraz

4 wklęsłe (keplerowskie i poinsotowskie)

(81)

WIELOŚCIANY PLATOŃSKIE WIELOŚCIANY PLATOŃSKIE

Należą do nich:

• czworościan foremny

• sześcian

• ośmiościan

• dwunastościan

• dwudziestościan

(82)

CZWOROŚCIAN FOREMNY CZWOROŚCIAN FOREMNY

• Liczba ścian - 4

• Liczba wierzchołków - 4

• Liczba krawędzi - 6

• Grupa symetrii tetrahedralna

• Dualny z czworościanem

(83)

Siatka czworościanu Siatka czworościanu

foremnego

(84)

SZEŚCIAN SZEŚCIAN

• Liczba krawędzi -12

• Grupa symetrii octahedralna

• Dualny z ośmiościanem

(85)

Siatka sześcianu

(86)

OŚMIOŚCIAN FOREMNY OŚMIOŚCIAN FOREMNY

• Liczba krawędzi -12

• Grupa symetrii octahedralna

• Dualny z sześcianem

(87)

Siatka ośmiościanu Siatka ośmiościanu

foremnego

(88)

DWUNASTOŚCIAN DWUNASTOŚCIAN

• Grupa symetrii icosahedralna

• Dualny z dwudziestościanem

(89)

Siatka dwunastościanu

(90)

DWUDZIESTOŚCIAN DWUDZIESTOŚCIAN

• Grupa symetrii icosahedralna

• Dualny z dwunastościanem

(91)

Siatka dwudziestościanu

(92)

WIELOŚCIANY KEPLERA WIELOŚCIANY KEPLERA

• dwunastościan gwiaździsty mały

• dwunastościan gwiaździsty wielki

(93)

WIELOŚCIANY POINSOTA WIELOŚCIANY POINSOTA

• dwunastościan wielki

• dwudziestościan wielki

(94)

HIPERWIELOŚCIANY HIPERWIELOŚCIANY

FOREMNE FOREMNE

Jest ich dokładnie 6 – dowód Ludwig Schläfli w 1901 r.:

• Hiperczworościan (pentatop, pentahoron)

• Hipersześcian (tessaract)

• Hiperośmiościan (hexadecahoron)

• Hiperdwudziestoczterościan (icositetrahoron)

• Hiperdwunastościan (hecatonicosahoron)

• Hiperdwudziestościan (hexacosihoron)

(95)

Hiper 4-ścian Hiper 4-ścian

5 hiperścian

czworościennych 10 ścian trójkątnych 10 krawędzi

5 wierzchołków

(96)

(97)

Siatka hiper 4-ścianu

(98)

(99)

Hiper 8-ścian Hiper 8-ścian

16 hiperścian

czworościennych 32 ściany trójkątne 24 krawędzie

8 wierzchołków

(100)

Siatka hiper 8-ścianu

(101)

Hiper 24-ścian Hiper 24-ścian

24 hiperścian

ośmiościennych 96 ścian trójkątnych 24 wierzchołków

(102)

Siatka hiper 24-ścianu

(103)

Hiper 12-ścian Hiper 12-ścian

600 hiperścian czworościennych 720 ścian pięciokątnych

1200 krawędzi

600 wierzchołków

(104)

Hiper 20-ścian Hiper 20-ścian

600 hiperścian 1200 ścian

720 krawędzi

120 wierzchołków

(105)

Ćwiczenie:

(106)

Rozwiązanie:

(107)

Rozwiązanie:

(108)

Rozwiązanie:

(109)

Rozwiązanie:

(110)

Przekroje sześcianu a

przekroje hipersześcianu

(111)

Jakimi figurami są przekroje sześcianu płaszczyznami, które przechodzą przez jego wierzchołki

o tej samej sumie współrzędnych?

(112)

Niech suma współrzędnych wierzchołków wynosi 0 lub 3.

x + y + z = 0 lub x + y + z = 3

(113)

Niech suma współrzędnych wierzchołków wynosi 1 lub 2 x + y + z = 1 lub x + y + z = 2

(114)

Niech suma współrzędnych wierzchołków wynosi 1,5

x + y + z = 3/2

(115)

Powtórzmy to na hipersześcianie

(116)

suma = 0 lub suma = 4

(117)

suma = 1 lub suma = 3

(118)

suma = 2

(119)

Wzór Eulera

W

₀

-W

₁

+W

₂

-W

₃

= ?

(120)