Geometria z algebrą liniową II, 2020/2021 ćwiczenia 18.
4 maja 2021
1. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią unitarną. Rozważmy przekształcenie ξ0: V → V∗ zdefiniowane jako (ξ0(v))(w) = ξ(w, v). Udowodnij, że ξ0 jest bijekcją oraz ξ0(av + bw) = ¯aξ0(v) + ¯bξ0(w), czyli, że ξ0 jest izomorfizmem V → V?, gdzie V? jest przestrzenią V∗ ze zmodyfikowaną operacją mnożenia: (a · f )(v) =
¯ a · f (v).
2. Udowodnij, że przy opisanym w poprzednim zadaniu utożsamieniu V i V∗, endomorfizmy φ : V → V oraz Φ : V∗→ V∗ są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy ξ(φ(v), w) = ξ(v, Φ(w)) dla dowolnych v, w ∈ V . 3. (·) Udowodnij, że endomorfizm ϕ : V → V jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = ϕ∗.
4. Udowodnij, że jeśli hV, ξi jest przestrzenią unitarną, dla każdego endomorfizmu ϕ : V → V zachodzi ϕ = ϕ∗∗.
5. Niech ϕ będzie endomorfizmem samosprzężonym w przestrzeni unitarnej (V, ξ). Udowodnij, że wszystkie jego wartości własne są rzeczywiste.
6. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią unitarną z bazą ortonormalną A oraz niech ϕ : V → V będzie endomorfi- zmem. Niech A = M (ϕ)AA. Wykaż, że M (ϕ∗)AA= ¯AT.
7. Rozstrzygnij, czy endomorfizm ϕ : C3→ C3 zadany wzorem ϕ((z1, z2, z3)) = (z1+ iz2, −iz1+ (2 − i)z2+ z3, z2+ iz3) jest samosprzężony.
8. (··) Udowodnij, że endomorfizm ϕ : C3→ C3zadany wzorem ϕ((z1, z2, z3)) = (z1+iz2, −iz1+2z2+z3, z2+ z3) jest samosprzężony oraz znajdź bazę własnę tego endomorfizmu złożoną z wektorów ortonormalnych w sensie standardowego iloczynu hermitowskiego.
9. Endomorfizm ϕ : V → V nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ ◦ ϕ∗= ϕ∗◦ ϕ. Wykaż, że a) każdy automorfizm unitarny jest normalny,
b) każdy endomorfizm samosprzężony jest normalny.
10. (?) Wykaż, że endomorfizm ϕ : V → V przestrzeni unitarnej (V, ξ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalny.
1
