On note U le groupe multiplicatif des nombres com- plexes de module 1 et q un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2

LXXI.2 (1995)

R´epartition des fonctions q-multiplicatives dans la suite ([n^c])_n∈N, c > 1

par

Christian Mauduit (Marseille) et Jo¨el Rivat (Villeurbanne) 1. Introduction. On note U le groupe multiplicatif des nombres com- plexes de module 1 et q un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

On appelle fonction q-multiplicative une fonction χ : N → U telle que si (a, b, k) ∈ N³ et b < q^k, alors χ(q^ka + b) = χ(q^ka)χ(b).

Une fonction q-multiplicative est donc enti`erement d´etermin´ee par la donn´ee de sa valeur sur l’ensemble {jq^k : (j, k) ∈ {0, . . . , q − 1} × N} car si n =P

k∈Njkq^k (avec jk ∈ {0, . . . , q − 1} pour tout k ∈ N), alors χ(n) = Q

k∈Nχ(jkq^k).

Les exemples les plus simples de fonctions q-multiplicatives sont les fonc- tions χ(n) = exp(2iπnα) et χ(n) = exp(2iπsq(n)α) o`u α ∈ R et sq(n) d´esigne la somme des chiffres du nombre entier n ´ecrit en base q.

Cette notion a ´et´e introduite en 1948 par R. Bellman et H. N. Shapiro dans [1]. Les propri´et´es arithm´etiques, spectrales et ergodiques des fonctions q-multiplicatives ont depuis ´et´e ´etudi´ees par de nombreux auteurs : [2]–[4], [7], [9], [12]–[15], [17], [20], . . .

En 1968, A. O. Guelfond a montr´e dans [7] que pour tout polynˆome P `a coefficients entiers positifs de degr´e 1, la suite (sq(P (n)))<sub>n∈N</sub>est bien r´epartie dans les progressions arithm´etiques en donnant des estimations pr´ecises des sommes trigonom´etriques associ´ees. Lorsque le degr´e de P est sup´erieur `a 1, le probl`eme devient extrˆemement difficile et on ne connaˆıt aucun r´esultat analogue dans ce cas.

Le but de ce travail est de pr´eciser la r´epartition des fonctions q-multipli- catives dans la suite ([n^c])_n∈N, c > 1. On peut consid´erer cette suite comme un cas interm´ediaire entre les polynˆomes de degr´e 1 et ceux de degr´e 2.

Notons que les propri´et´es arithm´etiques de cette suite ont ´et´e ´etudi´ees

`

a partir de 1953 par I. Piatetski-Shapiro qui a montr´e en particulier dans [19] que #{n ≤ x : [n^c] est un nombre premier} ∼ x/(c ln x) pour tout c ∈ [1, 12/11[ . Ce r´esultat a depuis ´et´e am´elior´e par [10], [11], [8], [16] et [22].

[171]

Lorsque χ(n) = exp(2iπnα) des estimations de la somme trigono- m´etrique P

1≤n≤xχ([n^c]) valables pour tout c > 1 ont ´et´e donn´ees par J. M. Deshouillers en 1973 (voir [5]) et dans ce contexte plus g´en´eral, li´e `a l’obtention de th´eor`emes ergodiques pour des suites extraites, r´ecemment par R. Nair (voir [18]).

Nous montrons le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme. Soit χ une fonction q-multiplicative et c un nombre r´eel , c ∈ [1, 4/3[ . Alors, en posant γ = 1/c, on a pour ε = ε(γ) > 0 assez petit

X

1≤n≤x

χ([n^c]) = γ X

1≤m≤x^c

χ(m)m^γ−1+ Oγ(x^1−ε).

Il en r´esulte en particulier les corollaires suivants (on d´esigne par sq(n) la somme des chiffres du nombre entier n ´ecrit en base q) :

Corollaire 1. Si c ∈ [1, 4/3[, alors la suite (sq([n^c])α)_n∈N est ´equir´e- partie modulo 1 pour tout nombre irrationnel α.

Corollaire 2. Si c ∈ [1, 4/3[ , alors pour tout (a, m) ∈ N × N^∗ on a

N →+∞lim 1

N#{n < N : sq([n^c]) ≡ a (mod m)} = 1 m. 2. D´emonstration du th´eor`eme

2.1. D´etection de la suite [n^c]. Soit c > 1 et γ = 1/c. On a m = [n^c] ⇔ m ≤ n^c< m + 1

⇔ m^γ ≤ n < (m + 1)^γ

⇔ −(m + 1)^γ < −n ≤ −m^γ

⇔ [−m^γ] − [−(m + 1)^γ] = 1.

Par cons´equent, X

1≤n≤x

χ([n^c]) = X

1≤m≤x^c

χ(m)([−m^γ] − [−(m + 1)^γ]).

2.2. Terme principal. Terme d’erreur. Soit ψ(x) = x − [x] − 1/2. On a l’´egalit´e

X

1≤n≤x

χ([n^c]) = X

1≤m≤x^c

χ(m)((m + 1)^γ− m^γ)

+ X

1≤n≤x^c

χ(m)(ψ(−(m + 1)^γ) − ψ(−m^γ)).

On a

X

1≤m≤x^c

χ(m)((m + 1)^γ− m^γ) = γ X

1≤m≤x^c

χ(m)m^γ−1+ Oγ(1) ce qui nous donne le terme principal.

Reste `a d´emontrer X

1≤m≤x^c

χ(m)(ψ(−(m + 1)^γ) − ψ(−m^γ)) = Oγ(x^1−ε).

2.3. Passage aux sommes trigonom´etriques. Pour tout nombre r´eel x, on pose e(x) = exp(2iπx).

Nous utilisons maintenant une approximation classique de ψ(x), sous la forme donn´ee par Vaaler (voir [23], th´eor`eme A.6 de [6]) :

Lemme 1. Soit H > 0. Il existe des suites ah et bh telles que ψ(x) = ψ^∗(x) + O(δ(x)) avec

ψ^∗(x) = X

1≤|h|≤H

ah

h e(hx), |a_h|  1, δ(x) = X

|h|≤H

bh

He(hx), |b_h|  1.

Ce lemme nous ram`ene `a d´emontrer les estimations suivantes : X

1≤m≤x^c

χ(m)(ψ^∗(−(m + 1)^γ) − ψ^∗(−m^γ)) = Oγ(x^1−ε), 1

H X

|h|≤H

X

1≤m≤x^c

e(hm^γ)  

= Oγ(x^1−ε).

Par d´ecoupage dyadique de l’intervalle [1, x^c], il suffit de d´emontrer en fait

S1:= X

M ≤m≤M⁰

χ(m)(ψ^∗(−(m + 1)^γ) − ψ^∗(−m^γ)) = Oγ(M^1−ε),

S2:= 1 H

X

|h|≤H

X

M ≤m≤M⁰

e(hm^γ)  

= Oγ(M^γ−ε) pour tout M ∈ [1, x^c] et tout M⁰ tel que M < M⁰≤ 2M.

2.4. Majoration d’une somme d’exponentielles. Nous allons utiliser le th´eor`eme 2.9 de [6] avec q = 0.

Lemme 2. Soit A 6= 0 et α ∈ R, α 6= 0, 1, 2. Soit N ≥ 1 et N⁰ tel que N < N⁰≤ 2N. Alors on a l’estimation

X

N ≤n≤N⁰

e(An^α)  |A|^1/2N^α/2+ |A|⁻¹N^1−α.

2.5. Majoration de S2. D’apr`es le lemme 2 on a S2 1

H X

0<|h|≤H

(h^1/2M^γ/2+ h⁻¹M^1−γ) + M/H



H^1/2M^γ/2+ln H H M^1−γ



+ M/H.

On choisit H = M^1−γ+ε, d’o`u

S2 M^1/2+ε/2+ M^γ−ε.

Donc pour ε suffisamment petit et γ > 1/2 on a S2 M^γ−ε, ce qui termine la majoration de S2.

2.6. Transformation de S1

S1= − X

1<|h|≤H

ah

h

X

M ≤m≤M⁰

χ(m)(e(−hm^γ) − e(−h(m + 1)^γ)).

On d´efinit φh(x) = 1 − e(h(x^γ− (x + 1)^γ)) et on obtient S1= − X

1<|h|≤H

ah

h

X

M ≤m≤M⁰

χ(m)e(−hm^γ)φm(m)

= − X

1<|h|≤H

ah

h φh(M⁰) X

M ≤m≤M⁰

χ(m)e(−hm^γ)

+

M⁰

R

M

X

1<|h|≤H

ah

h ·∂φh(x)

∂x

X

M ≤m≤M⁰

χ(m)e(−hm^γ) dx.

Pour x ∈ [M, 2M ] on a

φh(x)  hM^γ−1, ∂φh(x)/∂x  hM^γ−2. Donc on a

S1 M^γ−1 max

M⁰∈[M,2M ]

X

0<h≤H

X

M ≤m≤M⁰

χ(m)e(−hm^γ)   .

Il suffit donc de d´emontrer, pour M⁰ ∈ [M, 2M ] et |ε_h| = 1 l’estimation S₁⁰  M^1−ε o`u

S₁⁰ = X

0<h≤H

εh

X

M ≤m≤M⁰

χ(m)e(hm^γ).

2.7. χ est q-multiplicative. On pose m = q^ka + b, et on remplace la sommation sur m par une sommation sur a et b.

Soit k un entier ≥ 1 et B = q^k. On suppose B ≤ M. Par la division euclidienne, on a

M = AB − R avec 0 ≤ R < B, M⁰ = A⁰B + R⁰ avec 0 ≤ R⁰< B.

Donc

S₁⁰ = X

0<h≤H

εh

X

AB≤m<A⁰B

χ(m)e(hm^γ) + O(HB)

= X

0<h≤H

εh

X

A≤a<A⁰

X

0≤b<B

χ(Ba + b)e(h(Ba + b)^γ) + O(HB).

Or χ est q-multiplicative, donc on a

χ(Ba + b) = χ(q^ka + b) = χ(Ba)χ(b) puisque b < q^k. Par cons´equent,

S₁⁰ = X

0<h≤H

εh

X

A≤a<A⁰

X

0≤b<B

χ(Ba)χ(b)e(h(Ba + b)^γ) + O(HB) avec A ≤ A⁰≤ 2A, M ≤ AB ≤ 2M.

2.8. S´eparation des variables a et b. On a h(Ba + b)^γ = hB^γa^γ

 1 + b

Ba

γ

= hB^γa^γ



1 + γ b

Ba +¹₂γ(γ − 1) b²

B²a² + Oγ

 b³ B³a³



= hB^γa^γ+ γhbB^γ−1a^γ−1

+¹₂γ(γ − 1)hb²B^γ−2a^γ−2+ Oγ(HB³M^γ−3),

donc e(h(Ba + b)^γ) = e hB^γa^γ+ γhbB^γ−1a^γ−1+¹₂γ(γ − 1)hb²B^γ−2a^γ−2
+ Oγ(HB³M^γ−3), ce qui donne, en rempla¸cant dans S⁰₁,

S₁⁰ = X

0<h≤H

εh

X

A≤a<A⁰

X

0≤b<B

χ(Ba)χ(b)

× e hB^γa^γ+ γhbB^γ−1a^γ−1+¹₂γ(γ − 1)hb²B^γ−2a^γ−2
+ O(HB) + Oγ(H²B³M^γ−2).

En faisant l’hypoth`ese B ≤ M<sup>(1+γ)/3−2ε</sup>, on a l’estimation souhait´ee pour les termes d’erreur intervenant dans S<sub>1</sub><sup>0</sup> (rappelons que γ > 1/2). Il reste donc `a estimer

S := X

0<h≤H

εh

X

A≤a<A⁰

X

0≤b<B

χ(Ba)χ(b)

× e hB^γa^γ+ γhbB^γ−1a^γ−1+ ¹₂γ(γ − 1)hb²B^γ−2a^γ−2
.

2.9. “Lissage” de la variable a. Par Cauchy–Schwarz, on a S² HA X

0<h≤H

X

A≤a<A⁰

X

0≤b<B

χ(b)

× e(γhbB^γ−1a^γ−1+ ¹₂γ(γ − 1)hb²B^γ−2a^γ−2)   

2

.

On pourrait maintenant d´evelopper simplement le carr´e, mais il est plus agr´eable de faire appel `a l’in´egalit´e de Weyl–van der Corput :

Lemme 3. Soit L > K, Q > 0 et zk des nombres complexes. On a l’in´egalit´e

X

K≤k<L

zk

2

≤



2 +L − K Q

 X

|q|<Q

 1 −|q|

Q



X

k K≤k−q,k+q<L

zk+qzk−q.

La preuve de ce lemme est similaire `a la preuve du lemme 2.5 de [6].

On a maintenant, pour Q ≤ B, S² HAB

Q

X

0<h≤H

X

|q|<Q

X

b 0≤b−q,b+q<B

X

A≤a<A⁰

e(2γhqB^γ−1a^γ−1

+ 2γ(γ − 1)hbqB^γ−2a^γ−2)   , d’o`u

S² H²M²

Q +HM

Q

× X

0<h≤H

X

0<q<Q

X

b 0≤b−q<B 0≤b+q<B

X

A≤a<A⁰

e(2γhqB^γ−1(a^γ−1+ (γ − 1)bB⁻¹a^γ−2))   .

2.10. Fin de la majoration. Nous allons achever la majoration de S en appliquant le lemme classique suivant, dˆu `a Kuz’min et Landau (voir th´eor`eme 2.1 de [6]).

Lemme 4. Soit I un intervalle sur lequel la fonction f est continument d´erivable de d´eriv´ee f⁰ monotone et v´erifie

kf⁰k = min

n∈Z{|f⁰(i) − n| : i ∈ I} ≥ λ > 0.

On a alors

X

i∈I

e(f (i))  λ⁻¹. Posons donc

f (a) = 2γhqB^γ−1a^γ−1+ 2γ(γ − 1)hbqB^γ−2a^γ−2.

On a

f⁰(a) = 2γ(γ − 1)hqB^γ−1a^γ−2



1 + (γ − 2) b aB

 et donc si A ≥ 3, f⁰ est monotone sur [A, A⁰[ et

kf⁰(a)k ≥ γ²(1 − γ)hqBM^γ−2

d`es que l’on choisit (B, Q) tel que BQ = o(M^1−ε). On a alors, grˆace au lemme 4,

X

A≤a<A⁰

e(f (a))  1 hqBM^γ−2, d’o`u on d´eduit

S² H²M²

Q + HM^3−γ

Q ln H ln Q  M^4−2γ+2ε

Q + M^4−2γ

Q (ln M )². Choisissons Q = M^2−2γ+4ε; on a donc S² M^2−2ε + M^2−4ε(ln M )², d’o`u pour M assez grand S  M^1−ε.

On v´erifie maintenant sans peine que si γ ∈ ]3/4, 1[ , les conditions impos´ees sont compatibles, c’est-`a-dire qu’il existe ε > 0 et u > 0 tels que

B = M^u, M^2−2γ+4ε= Q ≤ B ≤ M^{(1+γ)/3−2ε} et

B = o M^1−ε Q



= o(M^{2γ−1−5ε}).

Ceci ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

3. D´emonstration des corollaires. Les corollaires 1 et 2 r´esultent du crit`ere de Weyl (voir [21]) et de la proposition suivante :

Proposition. Soit c un nombre r´eel , c > 1, et α un nombre r´eel non entier. Alors en posant γ = 1/c on a

X

1≤m≤x^c

e(sq(m)α)m^γ−1= o(x).

Par le lemme d’Abel on a X

1≤m≤x^c

e(sq(m)α)m^γ−1

= x^c(γ−1) X

1≤m≤x^c

e(sq(m)α) + (1 − γ)

x^c

R

1

X

1≤m≤u

e(sq(m)α)u^γ−2du.

Posons S(N ) =P

m<Ne(sq(m)α). On remarque que S(qⁿ) = (P

j<qe(jα))ⁿ et donc que

|S(qⁿ)| = Kⁿ o`u K =    

sin 2πqα sin 2πα

< q.

Par ailleurs, si

N =

l

X

k=1

jkq^Nk

est l’´ecriture de N en base q, on v´erifie facilement que S(N ) =

l

X

k=1

X

j1+...+jk−1≤j<j1+...+jk

e(jα)S(q^Nk) et donc

|S(N )| ≤

l

X

k=1

jkK^Nk ≤ q − 1

K − 1K^N1+1≤ (q − 1)K

K N^θ

o`u θ = log_qK.

Ceci nous montre donc que   

X

1≤m≤x^c

e(s^q(m)α)    x^cθ et

x^c

R

1

X

1≤m≤u

e(sq(m)α)u^γ−2du   

x^c

R

1

u^θ+γ−2du.

On en d´eduit

X

1≤m≤x^c

e(sq(m)α)m^γ−1 max(1, x^{1−(1−θ)c}), ce qui d´emontre la proposition.

R´ef´erences

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