1
Fusee Ceramique daken,
IOI Loders Croklaan, Wormerveer
Het versterken en verstijven met diagonalen van de Fusee Ceramique dakconstructie op de dozenhal, IOI Loders Croklaan te Wormerveer.
d.d. 26-08-2014 ir. M.W.Kamerling
TUDelft, Delft University of Technology Faculty of Architecture and the Built Environment
Department of AE +T
- 2 - Inhoudopgave
Inleiding 3
Constructieve onderbouwing dozenhal 4
Gegevens 4
Belastingen 5
Vorm en kromming 7
Berekening van het breukmoment 8
Ontwerpberekening 10
Berekening van de stijfheid, uiterste grenstoestand 11
Berekening huidige constructie met Matrix frame 16
Berekening constructie versterkte met diagonalen 20
Berekening stijfheid, uiterste grenstoestand 23
Tweede orde effect, inclusief hangstaven 23
Diagonalen 25
Conclusies 25
Literatuur 26
Bijlage 1 27
Bijlage 2 28
3 Inleiding
In 1956 werden te Wormerveer twee bedrijfshallen gemaakt met cilindervormige overkappingen, de fabriekshal en de dozenhal, met keramische elementen, bekend als Fusee Ceramique. In deze daken zijn scheuren opgetreden loodrecht op de overspanning. In eerste instantie zijn de cilinderschalen zo ontworpen dat door gelijkmatig verdeelde symmetrische belastingen alleen drukspanningen in de dakconstructie ontstaan. Door asymmetrische belastingen ontstaan echter ook buigende momenten. De doorsneden worden dan excentrisch belast. Door deze excentrische belastingen kunnen in de doorsneden trekspanningen ontstaan. Door trekspanningen kunnen scheuren ontstaan. trekspanningen kunnen ook ontstaan door temperatuurwisselingen, krimp en kruip. De krimp en kruip van het beton is groter dan de krimp en kruip van de fusees, met als gevolg dat na een zekere tijd in de doorsneden een herverdeling van de krachten optreedt, waardoor de drukspanningen in de fusee's toenemen ten koste van de drukspanningen in het beton. Door de herverdeling kunnen in het beton zelfs trekkrachten ontstaan.
Door de scheurvorming zal de stijfheid van de constructie sterk afnemen. In een constructie belast met een drukkracht zal de afname van de stijfheid leiden tot een toename van het tweede orde effect, met als gevolg dat de vervormingen, momenten en ook de scheuren toenemen. In een extreme situatie kan de constructie door de toename van het tweede orde effect bezwijken.
Om het ontwerp te beoordelen is in eerste instantie een reconstructie van de oorspronkelijke berekening voor de dozenhal gemaakt, uitgaande van de toen gebruikelijke methoden en belastingen. Vervolgens is de constructie berekend volgens de huidige methoden en het breukmoment, het scheurmoment, het vloeimoment, de stijfheid en het tweede orde effect bepaald [Kam]. Uit de berekening blijkt dat in het verleden voor de stijfheid een te hoge waarde werd aangehouden. Door krimp en kruip ontstaan in het beton trekspanningen, met als gevolg dat in de loop van de tijd de stijfheid aanmerkelijk afneemt. Door de afname van de stijfheid neemt het tweede orde effect en de daaruit voortvloeiende spanningen sterk toe, met als gevolg een aanmerkelijke afname van het draagvermogen van de constructie.
Figuur 2: Boog met extra trekstaven tussen de top en opleggingen.
De constructie kan op verschillende wijzen versterkt en verstijfd worden. Bijvoorbeeld met gelijmde lamellen van koolstof, aan de boven en onderzijde, een stortlaag op de betonconstructie, een spuitlaag of met extra diagonalen. Door de constructie te versterken met koolstoflamellen zal de momentweerstand toenemen, maar de stijfheid van de constructie nauwelijks vergroot worden. toenemen. Om tevens de stijfheid van de constructie te verhogen kan men de doorsnede vergroten door op het dak een extra laag gewapend beton te storten. Het eigen gewicht van de constructie neemt dan toe en door de krimp van de betonnen opstort zullen in de aangebrachte laag trekspanningen ontstaan. Ook door een spuitlaag zal het gewicht toenemen en zullen door krimp trekspanningen in de spuitlaag ontstaan. In dit rapport wordt de toename van het draagvermogen onderzocht door diagonalen toe te voegen tussen de top en de opleggingen. De toename van de permanente belasting
- 4 - door de extra staven is vergeleken met het eigen gewicht van de dakconstructie gering en de
aanpassing van de bestaande constructie is beperkt tot de verbindingen van de staven met de top van het dak en de opleggingen.
Constructieve onderbouwing dozenhal
Gegevens
De Fuseedaken zijn toegepast in de fabriekshal en in de dozenhal. Uit werktekening nummer 1384 800-01-19 zijn de volgende gegevens afgeleid. In beide daken zijn om de 5,0 m krimpvoegen gemaakt..
De dozenhal heeft een dagmaat van 14,25 m. De lengte van hanger halverwege de overspanning tussen trekstang en de onderkant van het dak is 1,78 m. Het dak wordt ondersteund met balken 400 * 400 mm2 en kolommen 400 × 400 mm2 met een hart op hart afstand gelijk aan 3,283 m. De dagmaat van de dakconstructie is 14,25 m. De hart op hart afstand van de balken die het dak van de dozenhal ondersteunen is 14,25 + 0,4 = 14,65 m.
De dikte van de schalen is 110 mm. In de betonnen cilinderschalen zijn in het hart van de doorsnede holle keramische elementen geplaatst met een diameter van Ø80 mm en een wand dikte van 10 mm. De daken zijn gewapend met een onder en bovenwapening Ø6 – 180 parallel aan de overspanning. Er is geen verdeelwapening aangebracht. Volgens tekening 800-01-021 is de dekking op de wapening 15 mm. De voorschriften van 1950 schreven voor dat voor een constructie met een dikte van 120 mm of meer minimaal een dikte van 15 mm op de wapening moest worden toegepast. Daar de dikte slechts 110 mm is, is de vereiste dekking op de wapening 10 mm. De toegepaste dekking voldoet aan de toen voorgeschreven dekking.
Figuur 3: Doorsnede fuseedak {Vri]
Destijds werden de volgende gegevens aangehouden voor de spanning en de elasticiteitsmodulus van het staal, het beton en de fusees:
staal: σs = 140 N/mm 2 , Es = 2,1 × 10 5 N/mm2 beton: σc = 6 N/mm 2 , Ec = 2,1 ×10 4 N/mm2 fusee's: Ef = 1,7 ×10 4 N/mm2
Uit deze spanningen kan worden afgeleid dat de toegepaste beton en staalkwaliteit overeenkomt met respectievelijk C12/15 en Feb220. Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie wordt de stijfheid bepaald met: EA = Ec.(Ac + nf.Af + ns .As) (1) EI = Ec.(Ic + nf.If + ns.Is) (2) Verhoudinggetallen: nf = Ef/Es = 1,7 × 10 4 / (2,1 × 104) = 0,81 ns = Es/Ec = 2,1 × 10 5 / (2,1 × 104) = 10
5 Tabel 1. Oppervlakte en kwadratisch oppervlaktemoment voor een doorsnede met breedte b = 1,0 m. Oppervlak Fusée's Af = 11 × π × (802- 602)/4 = 24,2 × 10 3 mm2 Beton: Ac = 110 × 1000 - 11 × ¼ π.802 = 54,7 × 10 3 mm2 Wapening boven: As = ¼ π 62 × 1000/180 = 157 mm 2 Wapening onder: As = ¼ π 62 × 1000/180 = 157 mm2 Fusée's: If = 11 × π. (804 - 604)/64 = 15,1 × 10 6 Beton: Ic = 1000 × 1103/12 – 11 × π.804/64 = 88,8 × 10 6 Wapening: Is = 2 × 157 × (110/2-18) 2 = 0,43 × 106
Met de gegevens ontleend aan tabel 1 wordt de stijfheid:
EA = 2,1×104 × (54,7 × 103 + 0,81 × 24,2 × 103 + 10 × 2 × 157) = 1,63 × 109 Nmm2 EI = 2,1× 104 × (88,8 × 106 + 0,81 × 15,1 × 106 + 10 × 0,43 × 106 ) = 2,2 × 1012 Nmm2 Belastingen Permanente belastingen eigengewicht: pg = 0,0547 × 24 + 0,0242 × 18 = 1,75 kN/m 2 dakbedekking, wapening: 0,25 kN/m2 permanente belasting: 2,0 kN/m2 Veranderlijke belastingen
Momenteel worden de belastingen op constructies voorgeschreven in de Eurocodes. De belastingen op daken zijn naast de veranderlijke belasting door sneeuw en wind ook de belasting voortkomende uit het gebruik voor onderhoud en inspectie, zijnde pe = 0,5 kN/m
2
. Windbelasting
Windbelasting volgens de NEN-EN 1991-1-4. Het gebouw ligt ten zuiden van de noordgrens van de gemeenten Uitgeest, Wormerland, Purmerend en valt derhalve in gebied 2. Uitgaande van een bebouwde omgeving en een gebouwhoogte van 12,5 m is de stuwdruk gelijk aan qp = 0,74 kN/m
2
. De windbelasting volgt uit p = c. qp [kN/m2] ter bepaling van de coëfficiënt c wordt in de norm voor
cilindervormige daken drie gebieden (A, B en C) onderscheiden. Daarnaast wordt gerekend met een coëfficiënt voor de onderdruk en overdruk van respectievelijk 0,3 en 0,2.
Figuur 4: Windzuiging op cilindrische daken De windzuiging op dakdeel A, B en C zijn voor h/d > 0,5 en f/l = 0,125:
Zuiging met onderdruk: Zuiging met overdruk:
deel A: p = (-1,2 + 0,3) × 0,74 = -0,67 kN/m2; p = (-1,2 - 0,2) × 0,74 = -1,04 kN/m2; deel B: p = (-0,83 + 0,3) × 0,74 = -0,39 kN/m2; p = (-0,83- 0,2) × 0,74 = -0,76 kN/m2; deel C: p = (-0,4 + 0,3) × 0,74 = -0,07 kN/m2; p = (-0,4 - 0,2) × 0,74 = -0,45 kN/m2; B A C f
- 6 - Sneeuwbelasting
Het cilinderdak wordt volgens de NEN-EN 1991-1-3 belast met een gelijkmatig verdeelde belasting is
gelijk aan: psn = u1 × 0,7 kN/m2.
Voor f/l = 0,125 is de coëfficiënt u3 gelijk aan u1 = 0,8: psn = 0,7 × 0,8 = 0,56 kN/m 2
. De sneeuwbelasting kan ook driehoekig verdeeld zijn met een maximum:
psn max = u3 × 0,7 kN/m 2
. Voor f/l = 0,125 is de coëfficiënt u3 gelijk aan: u3 = 0,2 + 10 * 0,125 = 1,45.
De maximale waarde is dan: psn max = 1,45 × 0,7 = 1,02 kN/m 2
.
Figuur 5: Driehoekig verdeelde sneeuwbelasting
Het dak van de dozenhal grenst aan het hoger gelegen dak van de machinehal. Een deel van de sneeuwbel asting op het dak van de machine hal kan afschuiven en vallen op het aanliggende dak van de dozenhal. Naast de gelijkmatig verdeelde belasting moet het dak van de dozenhal grenzend aan het hoger gelegen dak van de machine hal berekend worden met een driehoekig verdeelde belasting.
Figuur 6: Driehoekig verdeelde sneeuwbelasting, opstuwing en afschuiving
Door windstuwing kan het dak van de dozenhal grenzend aan de machinehal belast worden met een driehoekig verdeelde sneeuwbelasting gelijk aan maximaal: psn = 4,0 × 0,7 = 2,8 kN/m
2
.
Deze sneeuwlast is driehoekig verdeeld over een lengte van: lo = 2 × h, h is het verschil in hoogte. Met h = 3,0 m wordt de lengte lo gelijk aan: lo = 2 × 3,0 = 6,0 m.
f q sn max ½ q sn max l h l0 q sn max q sn
7 Daarnaast moet rekening gehouden worden met een extra driehoekig verdeelde sneeuwbelasting door het afschuiven van sneeuw van het hoger gelegen dak op het dak van de dozenhal. Uitgaande van een afschuivende sneeuwlast van 50% van de totale last op het dak van de machinehal is de sneeuwlast op de dozenhal:
F = ½ × 0,5 × 11,15 × 0,56 = 1,56 kN
Deze sneeuwlast is ook driehoekig verdeeld over een lengte van: lo = 6,0 m. De maximale sneeuwbelasting door de afschuivende sneeuwlast is dan:
q = 2 × 1,56/6 = 0,52 kN/m2
Naast de gelijkmatig verdeelde belasting psn = 0,7 × 0,8 = 0,56 kN/m 2
wordt het dak over een lengte van lo = 6,0 m belast met een driehoekig verdeelde belasting door stuwing en afschuiving met een maximale waarde gelijk aan:
psn max = 2,8 + 0,52 – 0,56 = 2,76 kN/m
2
.
Vorm en kromming
De constructie volgt een kettinglijn. De verhouding van de pijlmaat tot de overspanning is: f/l = 1/8. De vergelijking van een kettinglijn met oorsprong in de top en een pijlmaat f = l/8 luidt:
y/ l = [cosh (x/l) –1]
De functie cosh(x/l) kan worden geschreven als een reeks: cosh (y/l) = 1 + (x/ l)2 /2! + (x/ l)4 /4!... Voor een lage boog zijn de termen met een hoge orde klein. De kettinglijn kan worden benaderd met een parabool:
y = f.(x/a)2 met a = ½ l (3)
De coördinaten van de boog zijn in tabel 2 berekend met (3) uitgaande van een overspanning gelijk aan de dagmaat vermeerder met aan beide zijde de halve oplegging, l = 14,25 + 2 * 0,15/2 = 14,4 m en een pijlmaat gelijk aan: f = 1,78 + 0,11/2 = 1,835 m.
Tabel 2. coördinaten x/a = y = 0,125 0,029 0,25 0,115 0,375 0,258 0,5 0,459 0,625 0,717 0,75 1,032 0,875 1,405 1,05 1,835
De straal van de parabolische boog varieert. De halve overspanning is gelijk aan a. De straal van de boog voor x = a volgt nu uit de volgende vergelijking
R = a2.(1+ 4.f2/a2)1/2 (4)
2.f
- 8 - R = 7,22 × (1+ 4 × 1,8352/7,22)0,5 = 15,9 m
2 × 1,835
Voor een parabool kan de hoek α tussen de tangent en de horizontale lijn door de opleggingen worden berekend met:
tan α = 2.f = 2 × 1,835 = 0,51 → α = 270
= 0,47 rad. ½ l ½ × 14,4
De booglengte volgt bij benadering uit: s = R.φ = 15,9 * 0,47 = 7,5 m
Berekening van het breukmoment
De berekening van het uiterst opneembaar moment is gebaseerd op de volgende uitgangspunten: • Hypothese van Bernouilli, een vlakke doorsnede belast met een buigend moment blijft vlak; • Het beton neemt geen trekspanningen op: σc ≤ 0;
• De spanning in het beton is kleiner dan of gelijk aan de uiterst opneembare spanning: σc ≤ fc;
• De spanning in het staal is kleiner dan of gelijk aan de uiterst opneembare spanning: σs ≤ fs;
Doorsnede symmetrisch gewapend belast met excentrisch aangrijpende normaalkracht
De constructie heeft een breedte b en een hoogte h. De doorsnede van de fuseedaken wordt geschematiseerd met een I-vormige doorsnede. de flensen hebben een hoogte cf.
De dekking op de wapening is c. De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de plaat is gelijk aan d. Voor een plaat zonder verdeelwapening wordt d berekend met: d = (½ø + c)
De constructiewordt belast met een excentrisch aangrijpende normaalkracht, Nd met een excentriciteit
ed, met: ed = Md/Nd
De hoogte van de beton drukzone is gelijk aan: x = kx.h.
De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: As2 = As1. De wapeningsfractie volgt uit: ω = As1 + As2
b . h
Figuur 7. Spanning rek diagram voor een doorsnede van het fuseedak.
Het opneembaar moment wordt berekend met de vergelijkingen voor de spanning-rek relaties σ = E.ε , het evenwicht van krachten ΣF = 0 en het momentenevenwicht ΣΜ = 0:
De doorsnede is gereduceerd met sparingen voortkomende uit de fusees.
Fs1 Fc Fs2 kx.h h εs2 εc εs1
9 De drukzone van het beton is geschematiseerd met een rechthoekig spanningdiagram, met:
Nc = 0.8×b.kx.h.σc
De drukkracht in het staal in de gedrukte zone is gelijk aan: Nsc = ½ ω.b.h.σsc
De trekkracht in het staal in de getrokken zone is gelijk aan: Nst = ½ ω.b.h. σs1
Gegevens doorsnede
breedte × hoogte, 1000 × 110 mm; in het hart is de doorsnede gereduceerd met 0.4× b Beton: C12/15; uiterste drukspanning: fcd = 12/1,5 = 8 N/mm
2
;
rek bij breuk: εcd = 3,5
o /oo Elasticiteitsmodulus: Ec = 8/(1,75*10 -3 ) = 4571 N/mm2, Wapening: Ø6-180 o/b, As1 = As2 = 157 mm 2 ,
Staal FeB220; uiterste spanning: fs = 220/1,15 = 191 N/mm 2
; Elasticiteitsmodulus staal: Es = 2,0 × 105 N/mm2
dekking op de wapening c = 15 mm, d/h = (15+6/2)/110 = 0,164; De wapeningsfractie is gelijk aan: ω = As1 + As2 = 2 * 157 = 0,00285
b × h 110 * 1000
Grafiek 1 toont voor waarden van Nd/(b.h.fd) het uiterst opneembaar moment met Mu/(b.h 2
.fd) voor
waarden van de drukzone kleiner dan 0.85 h. C12/15 d/h = 0.164 ω =0,00285 Md/(b.h2.fcd) Nd/(b.h.fcd) 0,0192 -0,02826 0,0368 0,011739 0,060461 0,074516 0,086318 0,148576 0,10296 0,2 0,11416 0,24 0,11953 0,262 0,12273 0,278 0,12529 0,294 0,12721 0,31 0,12849 0,326 0,12913 0,342 0,12913 0,358 0,125193 0,383802 0,120567 0,40975 0,11572 0,434454 0,110576 0,458134
Grafiek 1. Opneembaar moment en normaalkracht, voor een symmetrisch gewapende fuseeconstructie C12/15, wapeningsfractie ω = 0,0028, kx ≤ 0.85 Fusee FeB220 C12/15 w = 0,0029 d/h=0.16 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,05 0,1 0,15 Md/(b.h.h.fc) N /(b ;h .fc )
- 10 - Ontwerpberekening
Met een ontwerpberekening worden ter verificatie van de computerberekeningen de krachten en de spanningen bepaald met de lineaire elasticiteitstheorie. De constructie werd geschematiseerd als een boog ondersteund met twee scharnierende opleggingen met een breedte van 1,0 m. De overspanning en pijlmaat is respectievelijk 14,4 m en 1,835 m. De vervorming van de trekstangen is verwaarloosd.
Figuur 8. Schema van de constructie belast met de symmetrisch aangrijpende permanente belasting. Symmetrische belastingen
Permanente belasting qg = 2,0 kN/m, veranderlijke belasting q = 0,5 kN/m.
De verticale and horizontale reacties volgen uit: VA = VB = ½ q.l (6)
H = qg.l 2
(7)
8.f
De normaalkracht bij de oplegging volgt uit: N = (H2 + V2)0,5 (8) Voor x = l/4 = 3,6 m is de normaalkracht gelijk aan: N = [H2 + (q.x)2]0,5 (9)
Tabel 3. Symmetrische permanente en symmetrische veranderlijke belasting krachten permanente belasting
q = 2,0 kN/m veranderlijke belasting q = 0,5 kN/m permanent + ver belasting V = 14,4 kN 3,6 kN 18,0 kN H = 28,25 kN 7,1 kN 35,3 kN x = ¼ l , N = 29,15 kN 7,3 kN 36,4 kN Asymmetrische belasting
Door een asymmetrische belasting wordt de boog belast met buigende momenten. De veranderlijke belasting is gelijk aan qe = 0,5 kN/m
2
.
De verticale en horizontale reacties werkende op de opleggingen zijn gelijk aan: VA = 1 /8 qe . l (10) VB = 3 /8 qe . l (11) H = qe . l 2 (12) 16. f
Het buigende moment volgt uit: Mo = qe . l 2 (13) 64 φ R f ½ l qg +qe α s
11 Resulterende normaalkracht voor x = ¼ l: N = [H2 + (VB – q.x)
2
]0,5 (14)
Figuur 9. Schema van de boog belast met een symmetrische en asymmetrische belasting
Tabel 4: Symmetrische permanente en asymmetrische veranderlijke belasting krachten/moment permanente belasting
q = 2,0 kN/m
veranderlijke. belasting q = 0,5 kN/m
perm.+ ver belasting
V = 14.4 kN 2.7 kN 17.1 kN
H = 28.25 kN 3.53 kN 31.8 kN
M = - kNm 1.62 kNm 1.62 kNm
x = l/4 N = 29.15 kN 3.64 kN 32.8 kN
De rekenwaarde van het moment door de asymmetrische veranderlijke belasting, exclusief tweede orde, is:
Md = 1.5 × 1.62 = 2.43 kNm.
Rekenwaarde permanente en asymmetrische belasting: qd = 1.2 × 2.0 + 1.5 × 0.5 = 3.15 kN/m
Vd = 1.2 × 2.0 × 7.2 + 3/8 ×1.5 × 0.5 × 14.4 = 21.3 kN Hd = ( 1 /8 × 1.2 × 2.0 + 1 /16 × 1.5 × 0.5) × 14.4 2 /1.835 = 39.2 kN Nd = [ 39.2 2 + (21.3 – (1,2 × 2.0 + 1,5 × 0.5)×3,6)2 ]1/2 = 40,5 kN.
Bepaling van het breukmoment voor deze belasting met grafiek 1 met: Nd = 40500 = 0,046
b.h.fcd 110000*8
Uit grafiek 1 volgt het uiterst opneembaar moment: Mu/(b.h 2
.fd) = 0.05
Het uiterst opneembare moment is dan gelijk aan: Mu = 4.8 kNm.
Om de grootte van het tweede orde effect te bepalen wordt in de volgende paragraaf de stijfheid van de constructie bepaald voor de uiterste grenstoestand.
φ R f ½ l
qe
- 12 - Stijfheid uiterste grenstoestand
De stijfheid van een betonconstructie wordt bepaald door de scheurvorming. Deze wordt bepaald door een groot aantal parameters zoals de normaalkracht, de excentriciteit van de belasting en de materiaaleigenschappen. Daar de stijfheid niet constant is wordt deze met een MNκ diagram bepaald. Voor het bepalen van het MNκ diagram wordt het scheurmoment en het vloeimoment bepaald met de bijbehorende krommingen. De krommingen worden bepaald met κ = εc/x. Vervolgens wordt met het
MNκ voor een gegeven normaalkracht en een gegeven moment de stijfheid bepaald met EI = M/ κ Uitgangspunten
De momenten worden berekend met de n-methode, n is de verhouding van de elasticiteitsmodulus van het staal en beton, n = Es/Ec. Deze methode is gebaseerd op de volgende veronderstellingen:
• Hypothese van Bernouilli: een vlakke doorsnede belast met een buigend moment blijft vlak; • De verlengingen door de buigende momenten zijn recht evenredig met de afstand tot het
zwaartepunt van de doorsnede;
• De spanning in het beton is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σc ≤ fc
• De spanning in het staal is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σs ≤ fs
• De wet van Hooke, de verlengingen zijn recht evenredig met de spanningen: ε = σ /Ε • De verhouding van de elasticiteitsmodulus van het staal en beton is constant: n = Es/Ec
Geometrie doorsnede
De constructie heeft een breedte b en een hoogte h. De doorsnede van het fuseedak wordt geschematiseerd met een I-vormige doorsnede. Op de doorsnede grijpt een normaalkracht N aan met een excentriciteit e, e =M/N. De hoogte van de betondrukzone is gelijk aan: x = kx * h . De diameter
van de wapening is gelijk aan ø. De dekking op de wapening is c. De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de doorsnede is gelijk aan d. Er wordt geen verdeelwapening toegepast zodat d volgt uit: d = (½ø + c). De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: As2 = As1. Het wapeningspercentage volgt uit:
ω = As1 + As2
b.h
De momenten worden berekend met de vergelijkingen voor het evenwicht van krachten: ΣF = N, het evenwicht van momenten: ΣΜ = 0 en de spanning-rek relatie: σ = E. ε .
Door de krimp en kruip verandert de verdeling van de krachten in een constructie samengesteld uit fusees, beton en staal. Door scheurvorming zal de stijfheid afnemen. In een scheur treedt geen trekspanning op, σct = 0. In het moment/kromming diagram worden de scheuren verdisconteerd door
de trekspanning in het beton te verwaarlozen, σct = 0.
Kruip
Door kruip neemt een vervorming ε0 toe met ∆εt=∞ = ε0 × φ, φ is de kruipcoëfficiënt deze wordt
bepaald door de kwaliteit van het beton, de doorsnede afmetingen, de ouderdom bij belasten t0, de
tijdsduur van belasten en de relatieve vochtigheid van de omgeving. De NEN-EN 1992-1-1, Euro code 2, geeft tabellen en grafieken voor het bepalen van de kruipfactor.
De dikte van de constructie is 110 mm, de afstand tussen de krimpvoegen is 5.0 m. De specifieke dikte h0 volgt uit: h0 = 2 A/u, u is de omtrek.
h0 = 2 × 110 × 5000 = 108 mm
2 × (5000+ 110)
13 RH = 50% φ(∞,t0) = 5.5
RH = 80% φ(∞,t0) = 3.8
Voor een relatieve vochtigheid van RH = 61.5% wordt de kruipcoëfficiënt: φ(∞,t0) = 3.8 + (5.5- 3.8) × (80-61.5)/30 = 4.9
Voor de berekening van de stijfheid mag worden uitgegaan van effectieve kruipcoëfficiënt φeff deze
volgt uit:
φeff = φ(∞,t0) × M0Eφ/MoEd
Met: M0Eφ = representatieve moment door de permanente belasting MoEd
MdEφ = rekenwaarde van het moment door de MoEd
Het dak wordt alleen incidenteel belast door een veranderlijke belasting. Door het verschil tussen een parabool en een kettinglijn ontstaan in de boog kleine momenten ter grootte van: M0Eφ = 2/81 ∆q.a
2
De maximale belasting bij de opleggingen volgt uit: qmax = q/cos α
Met: tan α = 2.f/a = 2×1.835/7.2 = 0.51 α = 270 en cos α = 0.89.
qmax = q/cos α =2.0/0.89 = 2.25 kN/m
De toename is gelijk aan: ∆q = 2.25 – 2.0 = 0.25 kN/m, M0Eφ = 2/81 ∆q.a
2
= 2/81 × 0.25 × 7.2 2
= 0.32 kNm
Het moment door de veranderlijke belasting is gelijk aan: MdEφ = 1.5 × 1.62 = 2.43 kNm.
De effectieve kruipcoëfficiënt is: φeff = φ(∞,t0) × M0Eφ/MoEd = 4.9 × 0.32 /2.43 = 0.65
Vloeimoment
Berekening van het moment waarbij de wapening vloeit. De normaalkracht is klein zodat ook de drukzone klein is en in de wapening aan de getrokken zijde de uiterste spanning zal worden bereikt. Verder wordt verondersteld dat de maximaal optredende betonspanning kleiner is dan de uiterste drukspanning en het beton aan de trekzijde gescheurd is. De berekening van het vloeimoment wordt in bijlage 1 en bijlage 2 uitgewerkt.
De procedure om de stijfheid te bepalen is als volgt: • Bepaal de hoogte van de drukzone kx
• Bepaal het moment Met
• Bepaal de kromming voor dit moment met: κet = fs/Es
(1 – d/h - kx).h
• Bepaal de stijfheid met: EI = Me/κe
Berekening de stijfheid voor het vloeimoment, uiterste grenstoestand
De stijfheid wordt berekend voor een I-vormige doorsnede een breedte b = 1000 en een hoogte ht =
110 mm belast met een normaalkracht: Nd = 40.5 kN.
De doorsnede is gewapend met ø6-180 o/b, Feb220, As = As’ = 157 mm 2
- 14 - De maximale spanning in het staal is gelijk aan: fs = 220/1.15 = 191 N/mm
2
De dekking op de wapening is gelijk aan: c = 15 mm.
De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de doorsnede is gelijk aan d, d/h = (½ø + c)/h= (½.6+ 15)/110 = 0,164
De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: A's = As.
De wapeningsfractie volgt uit: ω = A's + As = 2 × 157 = 0.00285
b . h 1000×110 Betonkwaliteit C12/15. Ecd = 27000/1.2 = 22500 N/mm
2
,
lange duur: Ecd, t = Ecd/(1+φeff ) = 22500/1.65 = 13636 N/mm 2
, Verhouding elasticiteitsmodulus van het staal en beton: n = Es/Ec = 2×10
5
/13636 = 15 n.ω = 0.042
Belasting Nd = 40.5 kN, → n.Nd = 15×40500 = 0.029
b.h.fs 110000×191
Verondersteld wordt dat in deze constructie, die wordt belast door een relatief kleine normaalkracht, de vloeispanning wordt bereikt in de trekwapening en dat de optredende betonspanning kleiner is dan de maximale drukspanning. Verder wordt verondersteld dat de drukzoene kleiner is dan de flensdikte cf = 27.5 mm, cf/h = 0.25.
Berekening van de grootte van de drukzone, volgens bijlage 1 (1.7):
kx = - (n.ω + n.N ) + [ (n.ω + n.N )2 + 2. n.N (1 – d/h) + n.ω]1/2 fs.b.h fs.b.h fs.b.h kx = - (0.042 + 0.029) + [ (0.042 + 0.029) 2 + 2 × 0.029×(1-0.164) + 0.042]1/2 = 0.24 kx = 0.24 < cf/h = 0.25
Vervolgens worden de spanningen in de gedrukte zijde bepaald voor het staal (18) en het beton (19): σsc = fs .(kx – d/h) = 191 × (0.24- 0.164) = 24 N/mm 2 (1 – d/h - kx ) (1-0.164-0.24) σc = fs × kx = 191 × 0.24 = 5.1 N/mm 2 n.(1 – d/h - kx) 15×(1- 0.164- 0.24)
De spanning in de drukzone is kleiner dan de maximale spanning, σc < fc
De krachten zijn: Fc = 67.3 kN, Fs1 = 30.0 kN, Fs2= 3.8 kN
Het moment wordt berekend met (1.8):
Met = Fc.h.(0,5 – kx/3)+ (Fs1 + Fs2) × (½ h - d)
Met = 67300 ×110 × (0,5– 0,24/3) + (30+3.8) ×10
3×(½ ×110 - 18) = 4,4×106
15 De kromming voor dit moment volgt uit (1.9):
κet = εs = 191/200000 = 14.5×10 -6
[1/mm] (1 – d/h - kx).h (1– 0,164-0,24)×110
De stijfheid van de constructie voor het moment waarbij de trekwapening vloeit volgt uit (1.10): EIet = Met/κet = 4.4×10
6
/ (14.5 × 10-6) = 0.3×1012 Nmm2 Tweede orde effect
Uitgaande van deze stijfheid is de knikkracht gelijk aan: Ncr =π2EI = π2 × 0,3 ×10
12
= 53 × 103 N s2 (7,5× 103)2
Voor de permanente en asymmetrisch belasting is de normaalkracht voor x = ½ * a gelijk aan Nd =
40,5 kN. Het knikgetal is dan gelijk aan: n = Ncr/Nd = 53/40.5 = 1.3.
Het moment neemt toe met een factor n/(n-1),
Md = 1.5 × 1.62 ×n/(n-1) = 10.5 kNm > Mu = 4.8 kNm.
- 16 - Berekening constructie met matrixframe
Met het programma Matrixframe worden de momenten en krachten in de huidige constructie berekend.
Belastingen
Figuur 11,12,13,14 en 15 tonen de belastingen op de constructie:
Figuur 11: Permanente belasting
Figuur 12: Veranderlijke belasting
17 Figuur 14: Sneeuwbelasting, driehoekig verdeeld
Figuur 15: Wind + onderdruk
Figuur 16: Wind + overdruk
- 18 - Figuur 17: Momentenlijn, veranderlijke belasting
Figuur 18: Momentenlijn sneeuwbelasting, opstuwing
19 Figuur 20: Momentenlijn wind + onderdruk
Figuur 21: Momentenlijn wind + overdruk
De maximale representatieve waarden van de krachten en momenten zijn weergegeven in tabel 2 Tabel 2: Uitvoer
belasting positie normaalkracht N
[kN]
moment M [kNm]
permanente belasting boog - 30.4 0.24
trekstang +29.0
veranderlijke belastng boog -3.8 1.62
trekstang +3.5
sneeuwbelasting, opstuwing boog -13.1 4.5
trekstang +12.7
sneeuwbelasting, driehoekig boog - 6.0 1.7
trekstang +5.7
windbelasting onderdruk boog +5.9 1.2
trekstang -4.7
windbelasting overdruk boog +11.6 1.1
trekstang -9.7
De momenten en normaalkrachten door de veranderlijke belasting komen goed overeen met de globale berekening. Het maximale moment treedt op als de constructie belast wordt door sneeuw. De rekenwaarde van de normaalkracht en het moment exclusief tweede orde is respectievelijk:
- 20 - Md = 1.5 × 4.5 = 6.75 kNm
Daar de normaalkracht groter is dan de eerder berekende knikkracht zal de constructie bezwijken in de uiterste grenstoestand. De constructie moet worden versterkt.
Berekening constructie versterkt met diagonalen
De constructie wordt versterkt met twee diagonalen, zowel de momenten als de kniklengten nemen sterk af. Door de asymmetrische belastingen ontstaan positieve en negatieve momenten in de constructie zodat in de toegevoegde diagonalen trek en drukkrachten ontstaan. De slanke staven zullen door een drukkracht uitknikken en geen belasting opnemen. In de berekening wordt het uitknikken van de trekstaven verdisconteerd door deze staven uit de constructie te verwijderen. De belastingen op de constructie zijn conform de belasting op de niet versterkte constructie.
Uitvoer versterkte constructie
Figuur 22, 23,24 en 25 tonen de momentenlijnen voor de veranderlijke, de sneeuw en de wind belasting.
Figuur 22: Momentenlijn veranderlijke belasting
21 Figuur 24: Momentenlijn sneeuwbelasting
Figuur 25: Momentenlijn wind + onderdruk
- 22 - Tabel 3: Uitvoer versterkte constructie
belasting positie normaalkracht
N, veld [kN] moment M, veld[KNm] normaalkracht N, top [kN] moment M, top [kNm]
permanent boog met diag. -31.9 0.33 -29.1 0.30
veranderlijk boog met diag. - 9.4 0.25 -8.6 1.12
sneeuw, opstuwing boog met diag. -27.0 1.30 -24.5 1.58
sneeuw, driehoekig boog met diag. - 10.4 0.21 -10.4 0.27
wind,onderdruk boog met diag. + 2.3 0.15 + 2.3 0.88
wind, overdruk boog met diag. + 8.1 0.10 +8.2 0.97
permanent trekstang +29.0
veranderlijk trekstang + 2.9
sneeuw, opstuwing trekstang +11.2
sneeuw, driehoekig trekstang + 5.1
wind,onderdruk trekstang - 5.2
wind, overdruk trekstang -10.1
permanent diagonaal + 0.1
veranderlijk diagonaal + 5.9
sneeuw, opstuwing diagonaal +13.7
sneeuw, driehoekig diagonaal + 5.0
wind,onderdruk diagonaal + 4.0
wind, overdruk diagonaal + 3.8
permanent boog -31.8 0.13 -29.2 0.27
veranderlijk boog - 3.1 0.83 -3.0 0.40
sneeuw, opstuwing boog -11.9 0.83 -11.4 0.72
sneeuw, driehoekig boog - 5.6 0.16 -5.6 0.10
wind,onderdruk boog + 6.1 0.92 + 6.2 0.58
wind, overdruk boog + 11.8 1.06 +11.9 0.66
Het maximale moment in boog versterkt met diagonaal treedt op als de constructie belast wordt door sneeuw. De rekenwaarde van de normaalkracht en het moment is respectievelijk:
veld: Nd = 1.2 × 31.9 + 1.5 × 27.0 = 78.8 kN, Md = 1.2 × 0.33 + 1.5 × 1.3 = 2.31 kNm
top: Nd = 1.2 × 29.1 + 1.5 × 24.5 = 71.7 kN, Md = 1.2 × 0.3 + 1.5 × 1.58 = 2.73 kNm
Aan de andere zijde in de boog zonder diagonaal treedt het maximale moment op bij de windbelasting, zuiging + overdruk. De rekenwaarde van de normaalkracht en het moment is respectievelijk:
veld: Nd = 1.2 × 31.8 - 1.5 × 11.8 = 20.5 kN, Md = 1.2 × 0.13 + 1.5 × 1.06 = 1.75 kNm
Door de sneeuwbelasting is het moment kleiner maar de normaalkracht groter:
veld: Nd = 1.2 × 31.8 + 1.5 × 11.9 = 56.0 kN, Md = 1.2 × 0.13 + 1.5 × 0.83 = 1.4 kNm
Het moment wordt vergroot door het tweede orde effect. Met het M-N-Kappa diagram wordt de stijfheid opnieuw bepaald.
23 Stijfheid uiterste grenstoestand
De stijfheid wordt opnieuw bepaald met de eerder beschreven formules voor het vloeimoment. Met een spreadsheet zijn de stijfheden berekend, zie tabel 4
Tabel 4 stijfheid N = [kN] kx = kappa * 10^6 1/mm M kNm EI = [Nmm] 20,5 0,20593 13,97266899 3,456755324 2,47394E+11 56 0,274858 15,18110251 4,961511684 3,26822E+11 71,7 0,295922 15,6838315 5,596029802 3,56802E+11 78,8 0,304708 15,91118028 5,875485243 3,69268E+11
Tweede orde effect, versterkte constructie inclusief hangstaven
Palkowski [Pal] geeft voor een constructie de volgende formule voor de knikkracht: Ncr = π 2 EI (β.s)2 Met:
s = de booglengte van de halve boog,
β = een reductie coëfficient deze wordt bepaald door het aantal hangers en de verhouding pijlmaat/overspanning.
De booglengte volgt uit: s = R.φ = 16,1 * 0,463 = 7,5 m
Door het aanbrengen van trekstaven tussen de top en de opleggingen wordt de kniklengte drastisch verkort. Als de trekstaaf naar behoren functioneert wordt de kniklengte van de boog gehalveerd, β = 0,5.
Het maximale moment in boog versterkt met diagonaal treedt op als de constructie belast wordt door sneeuw. De rekenwaarde van de normaalkracht, het moment en de stijfheid is respectievelijk:
top: Nd = 71.7 kN, Md = 2.73 kNm, EI = 0.356 × 10 -12
Uitgaande van deze stijfheid is de knikkracht gelijk aan: Ncr = π2.EI = π2 ⋅× 0.356 × 1012 = 250 × 103 N
(β.s)2 (0,5 × 7500)2
Het knikgetal is dan gelijk aan: n = Ncr/N = 250/71.7 = 3.5
Het moment door de asymmetrische belasting wordt inclusief tweede orde: Md = 2.73 × 3.5/(3.5 -1) = 3.8 kNm.
Uit grafiek 1 volgt voor Nd/(b. ht .fd) = 0.082 het uiterst opneembaar moment: Mu/(b.ht 2
.fd) = 0,063,
Mu = 6.1 kNm
Het maximale moment in boog versterkt met diagonaal treedt op als de constructie belast wordt door sneeuw. De rekenwaarde van de normaalkracht, het moment en de stijfheid is respectievelijk:
veld: Nd = 78.8 kN, Md = 2.31 kNm, EI = 0.369 × 10 -12
- 24 - Ncr = π
2.EI = π2 ⋅× 0.369 × 1012 = 259 × 103
N (β.s)2 (0,5 × 7500)2
Het knikgetal is dan gelijk aan: n = Ncr/N = 259/78.8 = 3.3
Het moment door de asymmetrische belasting wordt inclusief tweede orde: Md = 2.31 × 3.3/(3.3 -1) = 3.3 kNm.
Uit grafiek 1 volgt voor Nd/(b. ht .fd) = 0.09 het uiterst opneembaar moment: Mu/(b.ht 2
.fd) = 0,066,
Mu = 6.4 kNm
Aan de zijde met de gedrukte diagonaal is de kniklengte groter. Door een asymmetrische belasting wordt een deel van de boog belast met negatieve momenten, de boog vervormt opwaarts en de trekstaaf wordt op druk belast. De op druk belaste trekstaaf zal geen invloed op de krachtsafdracht kunnen uitoefenen en zal de kniklengte niet kunnen beinvloeden. De opwaartse vervorming van de boog wordt tegen gewerkt door de hangers die de boog met de trekkabel verbinden.
De constructie heeft drie hangers met hart op hart afstanden van ca 0,4 × l , 0,2 × l , 0,2 × l en 0,4 × l . Palkowski [Pal] geeft voor bogen verbonden met hangers een reductie coefficient voor de kniklengte. Voor een boog met 2 hangers en een verhouding pijlmaat versus overspanning f/l = 0,1: β = 0,69 en voor f/l = 0,2: β = 0,72. Interpolatie voor f/l = 1/8 geeft:
β = 0,69 + (0,72-0,69) * ( 0,125-0,1)/(0,2-0,1) = 0,7
Het maximale moment in boog versterkt met diagonaal treedt op als de constructie belast wordt door wind. De rekenwaarde van de normaalkracht, het moment en de stijfheid is respectievelijk:
veld: Nd = 20.5 kN, Md = 1.75 kNm, EI = 0.247 × 10 -12
Uitgaande van deze stijfheid is de knikkracht gelijk aan: Ncr = π
2.EI = π2 ⋅× 0.247× 1012 = 88.4 × 103
N (β.s)2 (0,7 × 7500)2
Het knikgetal is dan gelijk aan: n = Ncr/N = 88.4/20.5 = 4.3
Het moment door de asymmetrische belasting wordt inclusief tweede orde: Md = 1.75 × 4.3/(4.3 -1) = 2.3 kNm.
Uit grafiek 1 volgt voor Nd/(b. ht .fd) = 0.023 het uiterst opneembaar moment: Mu/(b.ht 2
.fd) = 0,041,
Mu = 4.0 kNm
De normaalkracht is groter als de constructie belast wordt met sneeuw. De rekenwaarde van de normaalkracht, het moment en de stijfheid is respectievelijk:
veld: Nd = 56.0 kN, Md = 1.4 kNm, EI = 0.327 × 10 -12
25 Ncr = π
2.EI = π2 ⋅× 0.327× 1012 = 117.1 × 103
N (β.s)2 (0,7 × 7500)2
Het knikgetal is dan gelijk aan: n = Ncr/N = 117.1/56.0 = 2.1
Het moment door de asymmetrische belasting wordt inclusief tweede orde: Md = 1.4 × 2.1/(2.1 -1) = 2.7 kNm
Uit grafiek 1 volgt voor Nd/(b. ht .fd) = 0.064 het uiterst opneembaar moment: Mu/(b.ht 2
.fd) = 0,056,
Mu = 5.4 kNm
Diagonalen
De diagonalen worden aangebracht ter plaatse van de trekstangen. Deze hebben een hart op hart afstand van 3,283 m.
De belasting op de diagonalen is maximaal Fd = 1,5 * 13.7 * 3,283 = 67.5 kN.
Uitgaande van twee diagonalen ∅20 aan weerzijde van een trekstaaf wordt de spanning in een staaf ∅20:
σ = ½ × 67500/314 = 108 N/mm2
.
Conclusies
De onderbouwing toont dat het aanbrengen van diagonalen de constructie aanzienlijk versterkt. De weerstand van de constructie is voldoende om de belastingen af te dragen. Het tweede orde effect is echter aanzienlijk, doordat het knikgetal lager is dan de gebruikelijke aanbevolen waarde n = 5. De versterkende en verstijvende constructie dient dan ook uiterst zorgvuldig te worden aangebracht. In dit rapport is alleen het versterken van de dakconstructie onderzocht. Uiteraard moet ook de ondersteunende constructie in staat zijn om de belastingen af te voeren.
Verder is er van uitgegaan dat gebreken en onvolkomenheden hersteld worden. In de loop van de tijd is de constructie aangetast. Plaatselijk zijn voorzieningen aan de constructie opgehangen of bevestigd. wellicht dat voor het plaatsen van bouten e.d. plaatselijk wapening is doorboord. De delen van de constructie die de scheiding vormen tussen binnen en buiten zijn aangetast door weer, wind, regen enz. plaatselijk is de dekking op de wapening verdwenen. De bestaande constructie moet zorgvuldig geinspecteerd worden en eventuele gebreken moeten gerepareerd worden.
- 26 - Geraadpleegde literatuur
[Bis] Bish J.F.: Gewapend beton voorschriften 1950, 2e editie, L.J.Veen uitgevers maatschappij: Amsterdam 1950;
[Boo] Boom G.H. van and J.W.Kamerling, Construeren in gewapend beton deel 1 Delta Press b.v., Oudewater 1977;
[Bra] Braam C.R., Compendicum Eurocode 2, 1th editie, Cement&BetonCentrum: 's Hertogenbosch 2008;
[Eck] Eck P.J.W. van, J.F.Bish: Het Fuseedak, Cement 6 (1954) 240-243;
[Gol] Goldenblat L. A.M.Sisow, Die berechnung von Bauconstructionen auf Stabilitat und Schwingungen, VEB verlag Technik: Berlin, 1955;
[Kam] Kamerling M.W. , Fusee Ceramique daken, IOI Loders Croklaan, Wormerveer, Analyse van de scheurvorming in de fuseedaken van de fabriekshal en de dozenhal van IOI Loders Croklaan te Wormerveer, intern rapport, dd. 03-07-2014
[Lan] Langejan A.: Fusees Ceramiques, een nieuw bouwmateriaal, Bouw (1949) 518-520; [Sche] Scherpbier G.: De invloed van het krimpen en kruipen van het beton op samengestelde constructies, PHD-Thesis, TUDelft: Delft 1965;
[Pal] Palkowski, S. , Buckling of parabolic arches with hangers and tie, Engineering Structures 44 (2012) 128-132;
[Schr] Schrier ir..W. van der, Bouwen in Gewapend beton, studie en handboek voor bouw- en waterbouwkundigen, Deel 2 berekeningen, 12th editie, NV uitgeverij Argus: 's Gravenhage 1965; [Tim] Timoshenko S., Strength of materials, part 2, Advanced Theory and Problems, 2th edition, D Van Nostrant Company: New York 1952;
[Toe] Toeter H.H.: Paddestoelen voor de bouw van textielmagazijnen te Goor, Cement 5 (1953) 177-184;
[Vri] Vriend J.J., Bouwen, handboek voor de praktijk van het bouwen, Kosmos 1955. Normen:
NEN-EN 1991-1-1+C1 (nl) Eurocode 1: Belastingen op constructies – deel 1-1; Algemene belastingen – Volumieke gewichten, eigen gewicht en opgelegde belastingen voor gebouwen;
NEN-EN 1991-1-3 (nl) Eurocode 1: Belastingen op constructies – deel 1-3; Algemene belastingen – sneeuwbelasting;
NEN-EN 1991-1-4 (nl) Eurocode 1: Belastingen op constructies – deel 1-4; Algemene belastingen – Windbelasting;
27 Bijlage 1 Berekening vloeimoment, drukzone kleiner dan flens
In deze bijlage wordt het moment bepaald in een I-vormige doorsnede belast met een relatief kleine normaalkrachten, uitgaande van de uiterste spanning in de wapening aan de getrokken zijde en een drukzone kleiner dan de hoogte van de gedrukte flens. Verder wordt verondersteld dat de maximaal optredende betonspanning kleiner is dan de uiterste drukspanning en het beton aan de trekzijde gescheurd is.
Figuur 1.1 Krachten en vervormingen in een I-vormige doorsnede
Het evenwicht van de krachten luidt: Fc + Fs2 - Fs1 = Nd
De trekkracht in het staal is gelijk aan: Fst = ½ ω.b.h.fs (1.1)
De drukkracht in het beton is gelijk aan: Fc = ½ b.h.kx.σc (1.2)
De kracht in het staal in de drukzone is: Fsc = ½ ω.b.h.σsc (1.3)
Substitutie van de krachten in de evenwichtsvergelijking geeft:
½ b.h.kx.σc + ½ ω.b.h. (σs2 - σs1) = Nd (1.4)
De staalspanning in de drukzone volgt uit: σsc = fs ×.(kx - d/h) (1.5)
1 – d/h - kx
De betonspanning volgt uit: σc = fs . kx (1.6)
n.(1 – d/h - kx)
Substitutie van deze vergelijkingen in het evenwicht van krachten geeft: ½ kx
2
+ (kx – d/h) × ½ ω - ½ ω = N.
n.(1 – d/h - kx) (1 – d/h - kx) fs.b.h
De vergelijking wordt vereenvoudigd door vermenigvuldiging met n.(1 – d/h - kx ):
½ kx 2 + ½ n.ω. (k x – d/h) - ½ n.ω.(1 – d/h - kx ) - n.N.(1 – d/h - kx) = 0 fs.b.h ½ kx 2 + kx.(n.ω + n.N ) - n.N.(1 – d/h) - ½ n.ω = 0 fs.b.h fs.b.h Fs1 Fc Fs2 kx.h h εsc εc εst
- 28 - De oplossing van deze tweede graadsvergelijking luidt: kx = -b + [b
2 + 2 × c]1/2 met: b = n.ω + n.N ; c = n.N ×(1-d/h) + ½ n.ω fs.b.h fs.b.h kx = - (n.ω + n.N ) + [ (n.ω + n.N ) 2 + 2.n.N×(1 – d/h) + n.ω]1/2 (1.7) fs.b.h fs.b.h fs.b.h
Vervolgens wordt het moment bepaald met: Met = Nc .(½ –
1
/3kx).h + (Fsc+Fst).h.(½-d/h) (1.8)
De kromming voor dit moment volgt uit: κet = fs/Es (1.9)
(1 – d/h - kx).h
De stijfheid van de constructie volgt uit: EI = Me/κe (1.10)
Bijlage 2 Berekening vloeimoment, drukzone groter dan flens
In deze bijlage wordt het moment bepaald in een I-vormige doorsnede uitgaande van de volgende veronderstellingen:
De hoogte van de flensen is cf. De doorsnede wordt belast met een relatief kleine normaalkracht. Het
beton aan de trekzijde is gescheurd en in de wapening aan de getrokken zijde wordt de uiterste spanning bereikt σct = fs. De drukzone is groter dan de hoogte van de gedrukte flens, kx > cf/h. De
maximaal optredende betonspanning is kleiner dan de uiterste drukspanning.
Figuur 2.1 Krachten en vervormingen in een I-vormige doorsnede
Het evenwicht van de krachten luidt: Fc + Fsc - Fst = Nd
De trekkracht in het staal is gelijk aan: Fst = ½ ω.b.h.fs (2.1)
De drukkracht in het beton is gelijk aan: Fc = ½ b.cf .σc.× (1+ (kx-cf/h ) (2.2)
kx)
De kracht in het staal in de drukzone is: Fsc = ½ ω.b.h.σsc (2.3)
Substitutie van de krachten in de evenwichtsvergelijking geeft:
½ b.cf .σc.(1+ kx - cf/h ) + ½ ω.b.h × (σsc - fs) = Nd (2.4) kx Fs1 Fc Fs2 kx.h h εs2 εc εs1
29 De staalspanning in de drukzone volgt uit: σsc = fs ×(kx - d/h) (2.5)
1 – d/h - kx
De betonspanning volgt uit: σc = fs × kx (2.6)
n.(1 – d/h - kx)
Substitutie van deze vergelijkingen in het evenwicht van krachten geeft: ½.kx×cf/h×(2.kx-cf/h)/kx) + (kx – d/h) × ½ ω - ½ ω = N.
n.(1 – d/h - kx) (1 – d/h - kx) fs.b.h
De vergelijking wordt vereenvoudigd door vermenigvuldiging met n×(1 – d/h - kx):
½.cf/h ×.(2.kx-cf/h)/kx) + (2kx – 1) × ½ ω = N.n× (1 – d/h - kx)
fs.b.h
De hoogte van de drukzone volgt uit;
kx = +(1-d/h).n.N/(b.h.fs)+ ½ (cf/h)2 + ½ n.ω. (2.7)
(cf/h+ n.w + n.N/(fs.b.h)
Vervolgens wordt het moment bepaald met: Me = ½ cf/h.σc .[(½ – 1 /3 cf/h) +(kx -cf/h)×(½ – 2 /3cf/h)+ (fs +σsc)×(½-d/h) (2.8) b.h2. kx
De kromming voor dit moment volgt uit: κet = fs/Es (2.9)
(1 – d/h - kx).h
