Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

(1)

Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadania na ¢wiczenia

1. Wyznacz dziedziny naturalne funkcji:

(a) f (x, y) = x

²

y

³

− x sin y; (b) f (x, y, z) = x

⁵

y

¹⁰

− x

³

ln z + y

²

e

^x

; (c) f (x, y) =

^x

√

²^{sin x+y}³⁻¹

x²+y²−9

; (d) f (x, y) = ln(4x + yx);

(e) f (x, y) = arcsin

^x_y

; (f ) f (x, y) = p2x

²

− y

²

.

2. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania):

(a) f (x, y) = x

²

y

³

− x sin y; (b) f (x, y, z) = x

⁵

y

¹⁰

− x

³

sin z + y

²

e

^z

; (c) f (x, y) = x

^y

; (d) f (x, y) = (ln x)

^{sin y}

;

(e) f (x, y, z) = (2x + 3z)

^yz

; (f ) f (x, y, z) = xy

^z

; (g) f (x, y) = ln sin(x − 2y); (h) f (x, y) = ye

^x+xy

;

(i) f (x, y) = ln(x + px

²

+ y

²

); (j) f (x, y) = (x + y) ln

²

(1 − x − y);

(k) f (x, y) =

_{5+2xy ln x}^{x ln y}

; (l) f (x, y) = e

^3x

arctg(xy).

3. Oblicz pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du podanych funkcji:

(a) f (x, y) =

¹₂

ln(x

²

+ y

²

); (b) f (x, y) = arctg

_1−xy^x+y

;

(c) f (x, y) = sin xy; (d) f (x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y);

(e) f (x, y, z) = e

^xyz

; (f ) f (x, y, z) = px

²

+ y

²

+ z

²

. 4. Napisz ró»niczk¦ zupeªn¡ podanych funkcji:

(a) f (x, y) = ln px

²

+ y

²

; w (x

0

, y

₀

) = (−4, 3) (b) f (x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y);

5. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

(a) f (x, y) = x

²

+ xy + y

²

, P

₀

= (0, 1, z

₀

); (b) f (x, y) = sin x + cos(x + y), P

₀

= (

^π₆

,

^π₆

, z

₀

);

(c) f (x, y) =

^x₂²

− y

²

, P

₀

= (2, −1, z

₀

); (d) f (x, y) = y ln(2 + x

²

y − y

²

), P

₀

= (2, 1, z

₀

).

6. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:

(a) 1, 07

^3,97

; (b) p1, 04

²

+ 3, 01

²

;

(c) arctg

^1,02_0,95

; (d) ln(0, 09

³

+ 0, 99

³

);

(e) sin 29

^o

· sin 46

^o

, zakªadaj¡c, »e π = 3.142; (f )

^1,03²

q3

098·

√

⁴

1,05³

. 7. Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie:

(a) f (x, y) = 5x

²

y − 3xy

³

+ y

⁴

, (x

₀

, y

₀

) = (1, 2);

(b) f (x, y) = sin

πpx

²

+ y

²

(x

₀

, y

₀

) = (3, 4);

(c) f (x, y, z) =

^xy_z2³

(x

₀

, y

₀

, z

₀

) = (−2, 1, 3).

8. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x

0

, y

₀

) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~v z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = y

²

+ ln(xy), (x

₀

, y

₀

) = (2, 1), ~ v = [1, 1]

(b) f (x, y) = x

²

y, (x

₀

, y

₀

) = (5, 1), w kierunku punktu (x

1

, y

₁

) = (−1, −2);

(c) f (x, y) = ln(e

^x

+ e

^y

), (x

₀

, y

₀

) = (1, 1), α = 45

^o

; (d) f (x, y) = 3x

⁴

+ xy + y

³

, (x

₀

, y

₀

) = (1, 2), α = 135

^o

;

(e) f (x, y) = xy, (x

₀

, y

₀

) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu.

1

(2)

9. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:

(a) f (x, y) = 3x

²

y − 6xy + y

³

; (b) f (x, y) = x

⁴

+ 4xy + 2y

²

;

(c) f (x, y) = 4x

²

y + 24xy + y

²

+ 32y − 6; (d) f (x, y) = x

⁴

+ y

⁴

− 2x

²

+ 4xy − 2y

²

; (e) f (x, y) = e

^x²

(x + y

²

); (f ) f (x, y) = x

⁴

+ y

⁴

− 8x

²

− 2y

²

− 2.

10. Dany jest sto»ek o wysoko±ci h = 10 cm oraz promieniu podstawy R = 5cm. Jak zmieni si¦

obj¦to±¢ sto»ka, gdy wysoko±¢ wzro±nie o 2 mm a promie« zmaleje o 2 mm?

11. Promie« podstawy sto»ka wynosi R = 10, 2 ± cm, a tworz¡ca l = 44, 6 ± 0, 1 cm. Znajd¹

obj¦to±¢ sto»ka, oraz okre±l jaki popeªniamy maksymalny bª¡d bezwzgl¦dny oraz wzgl¦dny

przy obliczaniu tej obj¦to±ci.

(3)

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

0

, y

0

). Po- chodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej x w punkcie (x

0

, y

₀

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂x (x

0

, y

0

) := lim

h→0

f (x

₀

+ h, y

₀

) − f (x

₀

, y

₀

)

h .

Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej y w punkcie (x

₀

, y

₀

) okre±lamy wzorem:

∂f

∂y (x

₀

, y

₀

) := lim

h→0

f (x

₀

, y

₀

+ h) − f (x

₀

, y

₀

)

h .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje

∂f

∂x

(x, y) ,

^∂f_∂y

(x, y) nazywamy pochodnymi cz¡stkowymi pierwszego rz¦du funkcji f w zbiorze D.

Uwaga 2. Pochodna cz¡stkowa

^∂f_∂x

(x, y) jest pochodn¡ funkcji f(x, y), gdzie zmienna y traktowana jest jako staªa. Analogicznie mo»na interpretowa¢ pochodn¡ cz¡stkow¡

^∂f_∂x

(x, y) :

∂f

∂x (x, y) = d

d x [f (x, y)|

_y=_const.

)];

∂f

∂y (x, y) = d

d y [f (x, y)|

_x=_const.

)].

Zatem obliczanie pochodnych cz¡stkowych mo»na wykonywa¢ z wykorzystaniem znanych reguª ró»- niczkowania. Pami¦taj¡c, »e przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem x (symbol

^∂f_∂x

(x, y) lub f

x

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem y (symbol

^∂f_∂y

(x, y) lub f

y

(x, y) ) nale»y uwa»a¢ x za staªa.

Denicja 3. (ró»niczka funkcji trzech zmiennych)

Niech funkcja f ma pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

0

, y

₀

, z

₀

). Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) nazywamy wyra»enie:

df (x

₀

, y

₀

, z

₀

)

^def

= ∂f

∂x (x

₀

, y

₀

, z

₀

)(x − x

₀

) + ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

, z

₀

)(y − y

₀

) + ∂f

∂z (x

₀

, y

₀

, z

₀

)(z − z

₀

). (1) Fakt 4. (zastosowanie ró»niczki do oblicze« przybli»onych) Niech funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

0

, y

₀

, z

₀

). Wówczas ∆f ≈ df co oznacza :

f (x, y, z) ≈ f (x

₀

, y

₀

, z

₀

) + df (x

₀

, y

₀

, z

₀

). (2) Fakt 5. (równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji)

Niech funkcja z = f(x, y) ma ci¡gle pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie (x

0

, y

₀

). Wów- czas dowolny wektor normalny pªaszczyzny stycznej do funkcji f w punkcie (x

0

, y

₀

) jest postaci

~ n = h

∂f

∂x

(x

₀

, y

₀

),

^∂f_∂y

(x

₀

, y

₀

), −1 i, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

₀

, y

₀

) wyra»a si¦ wzorem:

− z − z

₀

+ ∂f

∂x (x

₀

, y

₀

)(x − x

₀

) + ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

)(y − y

₀

) = 0. (3)

3

(4)

Denicja 6. Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji dwóch zmiennych f(x, y) oznaczamy symbolami

^∂_∂x²^f2

,

_∂x∂y^∂²^f

,

_∂y∂x^∂²^f

,

^∂_∂y²^f2

nazywamy pochodne cz¡stkowe jej pochodnych cz¡stkowych

^∂f_∂x

,

^∂f_∂y

tzn.

∂

²

f

∂x

²

= ∂

∂x

∂f

∂x

, ∂

²

f

∂x∂y = ∂

∂x

∂f

∂y

,

∂

²

f

∂y∂x = ∂

∂y

∂f

∂x

, ∂

²

f

∂y

²

= ∂

∂y

∂f

∂y

.

U»ywamy nast¦puj¡cych oznacze«:

^∂_∂x²^f²

= f

_xx

,

_∂x∂y^∂²^f

= f

_xy

,

_∂y∂x^∂²^f

= f

_yx

,

^∂_∂y²^f2

= f

_yy

. Denicja 7. (pochodna kierunkowa)

Niech funkcja f(x, y) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x

0

, y

0

). Wówczas pochodn¡

kierunkow¡ funkcji f w kierunku wektora jednostkowego(wersora) ~[v] = [v

1

, v

₂

] okre±lamy wzorem:

∂f

∂~ v (x

0

, y

0

)

^def

= lim

t→0⁺

f (x

₀

+ tv

₁

, y

₀

+ tv

₂

) − f (x

₀

, y

₀

)

t .

Denicja 8. Gradientem funkcji f(x, y) w punkcie (x

0

, y

₀

) nazywamy wektor:

gradf(x

0

, y

₀

)

^def

= ∂f

∂x (x

₀

, y

₀

), ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

)

.

Twierdzenie 9. Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

0

, y

₀

) ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:

∂f

∂~ v (x

₀

, y

₀

) = gradf(x

0

, y

₀

) ◦ ~ v = ∂f

∂x (x

₀

, y

₀

)v

₁

+ ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

)v

₂

.

Twierdzenie 10. Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

0

, y

₀

) ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du, to:

∂f

∂~ v (x

₀

, y

₀

) = gradf(x

0

, y

₀

) ◦ [cos α, cos β] = ∂f

∂x (x

₀

, y

₀

) cos α + ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

) cos β,

gdzie α, β to k¡ty jakie tworzy wektor ~v kolejno z osiami Ox i Oy. Ponadto cos

²

α + cos

²

β = 1, wi¦c cos β = sin α.

W podobny sposób deniujemy gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji trzech zmiennych.

(5)

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Denicja 11. Mówimy, »e funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie (x

0

, y

₀

) maksimum (minimum) lokalne, je»eli istnieje otoczenie O punktu (x

0

, y

₀

) takie, »e dla ka»dego punktu (x, y) ∈ O speªniona jest nierówno±¢ :

f (x, y) ≤ f (x

₀

, y

₀

)

f (x, y) ≥ f (x

₀

, y

₀

)

. (4)

Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych nazywamy ekstremami lokalnymi.

Twierdzenie 12. (warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych)

Je»eli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x

0

, y

₀

) ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej¡ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du

^∂f_∂x

(x

0

, y

0

),

^∂f_∂y

(x

0

, y

0

) to obie w tym punkcie s¡ równe zeru, tzn. zachodzi:

∂f

∂x (x

₀

, y

₀

) = 0, ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

) = 0. (5)

Twierdzenie 13. Niech wyznacznik pochodnych cz¡stkowych drugiego rz¦du funkcji f, w punkcie (x

₀

, y

₀

) tzw. wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez = ∆

2

:

∆

₂

=

∂²f

∂x²

(x

₀

, y

₀

)

_∂x∂y^∂²^f

(x

₀

, y

₀

)

∂²f

∂y∂x

(x

₀

, y

₀

)

^∂_∂y²^f2

(x

₀

, y

₀

) .

Je»eli funkcja f(x, y) posiada pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x

0

, y

0

) oraz obie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w tym punkcie s¡ równe zeru

∂f

∂x (x

₀

, y

₀

) = 0, ∂f

∂y (x

₀

, y

₀

) = 0.

Wówczas:

a) je±li ∆

2

> 0 oraz ∆

1

=

^∂_∂x²^f2

(x

₀

, y

₀

) > 0, to w punkcie (x

0

, y

₀

) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;

b) je±li ∆

2

> 0 oraz ∆

1

< 0, to w punkcie (x

0

, y

0

) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;

c) je»eli ∆

2

< 0, to w punkcie(x

0

, y

₀

) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

d) je»eli ∆

2

= 0 to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x

0

, y

₀

) przeprowadzamy innymi me- todami.

Algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych:

1. wyznaczamy dziedzin¦ funkcji f;

2. obliczamy pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du;

3. wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, tzn. rozwi¡zujemy ukªad równa«

(

_∂f

∂x

(x

₀

, y

₀

) = 0,

∂f

∂y

(x

₀

, y

₀

) = 0, oznaczmy je przez (x

1

, y

₁

), . . . , (x

_n

, y

_n

) -wybieramy tylko te które nale»¡ do dziedziny;

4. w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan ∆

2

oraz warto±¢ ∆

1

; 5. sprawdzamy, który z punktów a) − d) Twierdzenia 13 zachodzi.

5