Lista zadań z matematycznych podstaw informatyki nr 4.
Zad. 1. Pokaż, że jeżeli T ` α ⇒ ϕ oraz T ` β ⇒ ψ, to T ` (α ∨ β) ⇒ ϕ ∨ ψ.
To samo zadanie zapisane bez implikacji i z dokładnością do podwójnej negacji i rozstawienia nawiasów: jeżeli T ` ¬α∨ϕ oraz T ` ¬β ∨ψ, to T ` ¬(α∨β)∨ϕ∨ψ.
Zad. 2. (Jedno z praw rozdzielności.) Udowodnij, że jeżeli T ` ¬α ∨ ϕ oraz T `
n
_
i=1
¬βi
!
∨ ψ, to T `
n
_
i=1
¬(α ∨ βi)
!
∨ ϕ ∨ ψ.
Wskazówka: oczywiście stosujemy indukcję ze względu na n. Nietrudno zauważyć, że dla n = 2, ϕ = α i ψ = β1∧ β2 otrzymujemy tezę postaci
` ¬(α ∨ β1) ∨ ¬(α ∨ β2) ∨ α ∨ (β1∧ β2), czyli
` ((α ∨ β1) ∧ (α ∨ β2)) ⇒ (α ∨ (β1∧ β2)).
Zad. 3. Udowodnij, że jeżeli
T `
m
_
i=1
¬αi
!
∨ ϕ
oraz
T `
n
_
j=1
¬βj
∨ ψ, to
T `
m
_
i=1 n
_
j=1
¬(αi∨ βj)
∨ ϕ ∨ ψ.
Wskazówka: oczywiście stosujemy indukcję ze względu na m.
Zad. 4. (Twierdzenie o sprowadzaniu do koniunkcyjnej postaci normalnej zapisa- ne bez koniunkcji.) Dla każdej formuły Φ rachunku kwantyfikatorów istnieje ciąg ϕ1, . . . , ϕn alternatyw zmiennych losowych i negacji zmiennych losowych taki, że
` Φ ⇒ ϕi dla wszystkich i = 1, . . . , n oraz
`
n
_
i=1
¬ϕi
!
∨ Φ.
Wskazówka: indukcja ze względu na budowę formuły Φ. Najlepiej dowodzić istnie- nie takich ciągów dla formuł Φ i ¬Φ.
Zad. 5. (Ważna z historycznego i z informatycznego punktu widzenia podstawa al- gorytmów dowodzenia twierdzeń z rachunku zdań.) Niech Φ będzie dowolną formu- łą rachunku zdań, a ψ1, . . . , ψn – ciągiem formuł spełniającym tezę poprzedniego zadania dla formuły ¬Φ. Udowodnij, że Φ jest prawem rachunku kwantyfikatorów (` Φ) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór formuł {ψ1, . . . , ψn} jest sprzeczny (można z niego wyprowadzić pewną formułę i jej negację).
