XII Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
Zadania konkursowe - juniorzy 12 czerwca 2021 r.
1. Czy istnieje liczba naturalna taka, że po wykreśleniu pierwszej cyfry jej zapisu dziesiętnego otrzymujemy liczbę 111 razy mniejszą?
2. Wyznacz najmniejsze liczby całkowite dodatnie a, b takie, że b > 1 oraz r
a q
a√ a = b.
3. Punkt X leży wewnątrz sześciokąta foremnego o boku długości 2021. Oblicz sumę odległości punktu X od sześciu prostych zawierających boki tego sześciokąta.
4. Prostokątny stół bilardowy ma wymiary m × n, gdzie m, n są parzystymi liczbami naturalnymi. Z jego środka wypuszczono bilę pod kątem 30◦ względem jednego boku stołu. Wykaż, że niemożliwe jest, że po pewnej liczbie odbić bila trafi do rogu stołu.
Informacje dla uczestnika konkursu
1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań należy przepisać tekst każdego zadania na od- dzielnym arkuszu.
3. Należy pisać wyłącznie na papierze dostarczonym przez organizatorów. Na jednym arkuszu nie należy zamieszczać rozwiązań różnych zadań.
4. W czasie zawodów nie wolno korzystać z kalkulatorów, telefonów komórkowych ani innych urządzeń elektronicznych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie ogłoszona na stronie konkurs.wi.pb.edu.pl do 16 czerwca 2021 r.
6. Ze względów organizacyjno-sanitarnych tradycyjnego zakończenia konkursu nie przewidu- jemy; nagrody zostaną dostarczone do szkół.
