VI Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
Zadania konkursowe - gimnazjum 17 maja 2014 r.
1. Dany jest trójkąt ABC. Okręgi, których średnicami są boki AC i BC tego trójkąta, przecinają się w punktach C i X. Wykazać, że punkty A, B oraz X są współliniowe.
2. Trójkę liczb dodatnich (a, b, c) nazwiemy trójkątną, jeśli a < b < c oraz z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt. Jaka jest największa liczba różnych trójek trójkątnych, jakie można utworzyć ze 100 różnych dodatnich liczb całkowitych?
Odpowiedź uzasadnić.
3. Liczba naturalna n jest taka, że zapis dziesiętny liczby n3 kończy się ciągiem cyfr 000000001. Uzasadnić, że również zapis dziesiętny liczby n kończy się tym ciągiem cyfr.
4. Liczby a, b oraz √ a + √
b są wymierne. Dowieść, że liczby √ a i √
b są również wymierne.
Informacje dla uczestnika konkursu
1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań należy przepisać tekst każdego zadania na od- dzielnym arkuszu.
3. Należy pisać wyłącznie na papierze dostarczonym przez organizatorów. Na jednym arkuszu nie należy zamieszczać rozwiązań różnych zadań.
4. W czasie zawodów nie wolno korzystać z kalkulatorów i telefonów komórkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie ogłoszona na stronie internetowej http://konkurs.ptm.pb.edu.pl/ w dniu 21 maja 2014 r.
