Hipergrafy i liczby strukturalne układów prętowych jako modele w syntezie ciągłych układów mechanicznych

(1)

Seria: MECHANIKA z. 91 Nr kol. 1026

XIII MIĘDZYNARODOWE KOLOKWIUM

"MODELE W PROJEKTOWANIU I KONSTRUOWANIU MASZYN"

13th INTERNATIONAL CONFERENCE ON

"MODELS IN DESIGNING AND CONSTRUCTIONS OF MACHINES"

25-iS.04.1989 ZAKOPANE

Andrzej BUCHACZ, Józef WOJNAROWSKI

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechnika Śląska w Gliwicach

HIPERGRAFY I LICZBY STRUKTURALNE UKŁADÓW PRĘTOWYCH JAKO MODELE W SYNTEZIE CIĄGŁYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH

Streszczenie: W celu rozszerzenia klasy syntezowanych struktur układów ciągłych metodami syntezy układów dyskretnych, w pracy wyznaczono charakterystyki dynamiczne podukładów dwuprętowych metodą obciążonych hipergrafów i liczb strukturalnych.

Przedstawiono różne postacie tych charakterystyk, implikowane zarówno warunkami brzegowymi, jak i miejscem przyłączenia podukładu cwuprątowego do pozostałej części układu ciągłego. W zakończeniu podano warunek współmierności złożonego n - odcinkowego układu ciągłego, umożliwiający syntezę jego charakterystyki dynamicznej.

1.Wpr owadzeni e

Pomimo bardzo dobrze poznanych metod syntezy układów dyskretnych oraz osiągniętych na ich podstawie rezultatów w dziedzinie filtrów mikr©elektronicznych Cpor. np. [1,2,3,415, problem syntezy układów fizycznych - w tym również mechanicznych - o parametrach rozłożonych w sposób ciągły znajduje się w dalszym ciągu na etapie formułowania.

Zagadnienie utworzenia modeli pojedynczych prętów z klasycznymi i nieklasycznymi warunkami brzegowymi w postaci hipergrafów przedstawiono w pracach [5,63. Takie ujęcie umożliwia wykorzystanie wąskiej klasy metod syntezy układów dyskretnych do syntezy ciągłych drgających układów prętowych.

W celu rozszerzenia zarówno klasy metod, Jak i syntezowanych struktur o ciągłe układy rozgałęzione w pracy wyznaczono charakterystyki dynamiczne układów prętowych dwuodcinkowych, modelując je hipergrafami i liczbami strukturalnymi. Ponadto, ze względu na sposób połączenia podukładu dwuprętowego z pozostałą częścią układu przedstawiono możliwe Jego położenia względem niej oraz postać charakterystyki implikowaną tym położeniem.

(2)

20 A. Buchacz, J. Wojnarowski

2.Charakterystyki dynamiczne dwuodcInkowych układów prętowych Jak już nadmieniono we wprowadzeniu,charakterystyki dynamiczne złożonego drgającego wzdłużnie lub skrętnie układu prętowego można określać nie tylko poprzez podatności dynamiczne pojedynczego pręta,lecz także za pomocą podatności dynamicznych podukładów zbudowanych z dwóch prętów.

Aby zatem wyznaczyć podatności lub/i sztywności dynamiczne n odcinkowego modelu drgającego układu prętowego, opisuje Się go hipergrafem obciążonym - obciążonym grafem blokowym trzeciej kategorii C por. np.£7,8331

< V j>,3x <k>> , » 1 C13

który pokazano na rys. la.

Rys. 1

Liczba strukturalna dopełniająca szkieletu równa;

A0 = £bj ak 3.

Crys. Ib3 Jest C23

natomiast liczby strukturalne aA oraz 3A są następujące:

Ąą = Cbj ok] * i 2*j 1 ,

3A0j : ioj] i [ 3a] = r 2Ajob ^Ajo 1 i 2AkQ J

C33

gdzie: ł oznacza operację przeniesienia wskaźników dolnych Cpor.np. £ 73 3.

W przypadku n = 2, j = i, k = i+1 oraz gdy struktura bloków 2, wówczas liczby Jest pokazana na rys.

(3)

2 2

strukturalne A i A wynoszą odpowiednio:

ai

‘ *16 * ] - Aj*l 2aoi- ^ai= Aiab % 1

-*i*1 Ai*1,o -*

C 45

gdzie: = oznacza równość strukturalną liczb strukturalnych drugiej i trzeciej kategorii Cpor. np. [7,813.

Q)

* > W

Rys. 2

2 2

W tablicach rzędów pochodnych liczb strukturalnych A i A

nie ma kolumn identycznych, zatem liczby strukturalne zupełne są równe:

^ = ^ i b ^ i + l + 'rfi ^ i + l , a *

~ ^ i a b ^ i +1 + ^ i a ^ i + l . a ' Podatność dynamiczna czyli w punkcie.

przyporządkowano współrzędną s Crys. 23 f wynosi:

r»Bt> YÓłY'Ł,Xi4fi, , rib+rmo

a wyrażając ją przez podatności dynamiczne pojedynczych prętów otrzymuje się*

C53 k tóremu

CS3

i w sth7'i,s

„ ( i) , (EF)!'Vli)S (EF)f')jl«*S (EFl,'V li'ri 7 EF)W Ij W is rBrs

Yss£Yai= ,(i) l*‘l ii lll*il ,(¡*11 ,^,i

F i r r ^ 5* r e ~FV ^ (EF^lyOs 7 (EFlI^lj^Hs gdzie: CEF3 = E<iłl>F<i+1>;

(4)

są • modułami Y o u n g a p r ę t ó w o d p o w i e d n i o “i" oraz “i + 1 1 F ,u, F<lłl>- przekrojami p o p rzecznymi prętów;-

 / _ 1 . _ 1 i ‘i*1*-.

Y ~Vp^{/ E} ^{1 s ,} ^y ⁼ ^{r p} ^{/ E} ⁱ ^{s ;}

p <l>, p <i'*’ł>- gęstościami t w o r z y w prętów; 1<l>, 1 długościami prętów; s = /-I u, <o jest c z ę s t o ś c i ą dr g a ń własnych.

Jeżeli n = 2, J » i . k = i+1 oraz sX<j>= IX <llCrys. 25 i 9X<k,= 2X,x*u Crys. 35, t o l i c z b y s t r u k t u r a l n e 2 A i 2A s ą równe;

2*!

[

Âjb Âj ¹ ZAoj* 3Aoj=rAiab Aio Aj*1,b Ai»\ab J ‘-AjłÂrtnb-*

o) , t ’ bl

Aj»lbArtąb-* C75

*i+1

Ag l

Rys. 3

natomiast l i c z b y s t r u k t u r a l n e z u p e ł n e p o w y z n a c z e n i u tablic r z ę d ó w pochodnych:

( S ) ‘ v ( S )

i stwierdzeniu, iż n i e ma w n i c h k o l u m n identycznych, przy j m ą p o s t a ć ; |"

^ i b i +1, b i i +1 , ab

Isi = jtf. .st. .. . + Jt. d. ,, , . C85 a^ lab l + l , b la i + 1 , a b

Podatność d y n a m i c z n a d w uodcinkowego, u t w i e r d z o n e g o w praw y m koń c u u k ł a d u p r ę t o w e g o 03, l i c zona w t y m p u n k c i e układu, k t ó r e m u p r z y p o r z ą d k o w a n o w s p ó ł r z ę d n ą s*° Cpor. rys. 25, wynosi:

Y - - ^mh 3fj»Yb+YjQ Y>,tQb^i»tb

Ql *1b f+lb + ^„lob YH1b C 95

a w y r ażając ją pr z e z podatności d y n a m i c z n e p o j e d y n c z y c h p r ę t ó w o t r z y m u j e się ostatecznie»

tlL. .. i(i+ł)

w (¡) , i ? ? f r s rt^ i^ i V M 8 + ^ cłh?li>llł4' Y SU ®Yqi = ---- »---rrr---*-- — --- <--- — .

ll,i fil llH)

(5)

iii rłhnlilc — łi l « ~ M k

W y z n a c z a j ą c n a t o m i a s t p o d a t n o ś ć d y n a m i c z n ą 13 w p u n k c i e ts^U =

= i3 ,1*1*’ n a l e ż y o b l i c z y ć p o c h o d n ą a l g e b r a i c z n ą l i c z b y strukturalnej z u p e ł n e j j4 w C85 w z g l ą d e m krawędzi b^ Cpor. rys. 25 lub krawędzi * i+1 Cpor. r y s . 35, czyli:

Jfbi = Jfai+1= ^ i b ^ i + l . a b ’ natomiast p o d a t n o ś ć d y n a m i c z n a Y. = Y wynosi:

b i ai +1 Yhi. v . . Yib Yjv1,gt> Ti T.b—

° t * r YibYi*bkYrtnbY»lb Cl 05

a po p o d s t a w i e n i u p o d a t n o ś c i d y n a m i c z n y c h p o j e d y n c z y c h p r ę t ó w otrzymuje s i ę j

¿■Ybi*YQi4 = . . i wi . . iW) tu* 9 CIOD.

(Eoiiyns^’1 is* ,ef',w )2ii*i)Sc^ m

W y z n a c z o n e p o d a t n o ś c i d y n a m i c z n e u k ł a d ó w dwuprętowych:

swobodnego - w z .C65^ i u t w i e r d z o n e g o - w z .C 9 5 ^ i C 1 0 5 ^ s ą oprócz podatności d y n a m i c z n y c h e l e m e n t ó w j e d n o o d c i n k o w y c h zależnościami wyjściowymi d o s y n t e z y u k ł a d ó w prętowych.

Wa r t o podkreślić, ż e w y z n a c z o n e pod a t n o ś c i d y n a m i c z n e u k ł a d ó w dwupr ę t o w y c h C wz. C 6 5 C 95 ,C 105^] s ą zależno ś c i a m i takich podukładów, r o z w a ż a n y c h w p o ł ą c z e n i u z p o z o s t a ł ą c z ę ś c i ą układu prętowego. G r a f y b a d a n y c h u k ł a d ó w C l i n i e ciągłe5 wraz z g r a f e m trzeciej k a t egorii sX <Ł+2>, m o d e l u j ą c y m tę p o z o s t a ł ą część ukł a d u pokazano na rys. 4.

Na rys. 4 n i e o z n a c z o n o p r z y p a d k u d o ł ą c z e n i a "ę»ozostał e j części układu" Cpor. rys. 4a5 d o w i e r z c h o ł k ó w 1 2 s = 1 1s i o c z y w i ś c i e s , p o n i e w a ż p o d a t n o ś ć d y n a m i c z n ą w y z n a c z o n ą w z g l ę d e m krawędzi b

i O Ł

i t y m s a m y m a m o ż n a s p r o w a d z i ć d o p o datności p o j e d y n c z e g o pr ę t a przy z a ł o ż e n i u w a r u n k u w s p ó ł m i e r n o ś c i z ł o ż o n e g o ukł a d u prętowego.

^ R o z w a ż a n e g o u t w i e r d z o n e g o w p r a w y m k o h c u d w u o d c i n k o w e g o ukła d u prętowego.

(6)

Rys. 4

3. Warunek współ ml erności d r g a j ą c y c h u k ł a d ó w p r ę t o w y c h

P r o p o n o w a n e u j ę c i e c h a r a k t e r y s t y k d y n a m i c z n y c h z ł o ż o n e g o w i e l o o d c i n k o w e g o u k ł a d u p r ę t o w e g o b a z u j e na współmie r n o ś c i c h a r a k t e r y s t y k odcinków. O z n a c z a to, że wielkości

y 11= V p ‘ L’ / E ('’>lu> C i = l , 2 n, g d z i e n jest l i c z b ą p r ę t ó w o

o d c i n k o w o s t a ł y m p r z ekroju! są m i ę d z y s o b ą w s p ó ł z a l e ż n e oraz

ż e istnieje taka w a r tość y, ż e y = y - ... - Y - Y- Ta

z a l eżność maj ą c a sens f i z y c z n y Jest n a j bardziej o g ó l n ą p o s t a c i ą warunku współ m i e r n o ś c i , u m o ż l i w i a j ą c ą r e a l i z a c j ę p r a k t y c z n ą wy n i k ó w s y n t e z y w i e l o o d c i n k o w e g o u k ł a d u prętowego. W t a k i m

(7)

u k ł a d z i e z a w s z e m o ż n a w y r ó ż n i ć e l e m e n t podstawowy, s c h a r a k t e r y z o w a n y w i e l k o ś c i ą y i w ó w c z a s uk ł a d ten można rozważać; jako ¡złożony d r g a j ą c y w z d ł u ż n i e ł u b s k r ę t n i e m e c h a n i c z n y ukł a d p r ę t o w y o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h w s p o s ó b ciągły, utworzony z e l e m e n t ó w podstawowych. P o n a d t o p r ę t y r o z p a t r w a n e g o ukł a d u - e l e m e n t y p o d s t a w o w e l u b z b u d o w a n e z e l e m e n t ó w p o d s t a w o w y c h - mogą być w y k o n a n e z t w o r z y w o r ó ż n y c h w ł a s n o ś c i a c h i to nie tylko mechanicznych. W a r t o r ó w n i e ż dodać, ż e p r z e d s t a w i o n e ujęcie w a r u n k u w s p ó ł m i e r n o ś c i jest t a k ż e w ś w i e t l e racji technologicznej w y t w o r u z a g a d n i e n i e m b a r d z o z ł o ż o n y m g ł ó w n i e w konkretnej realizacji w y n i k ó w s y n t e z y .

W p r a k t y c e jednak, bez n a r u s z e n i a ogólności rozważań, można przyjąć s z c z e g ó l n ą p o s t a ć w a r u n k u współ mi er noś ci , j a k o 1 <1>= 1.

O z n a c z a to, że w s z y s t k i e odcinki s y n t e z o w a n e g o u k ł a d u c i ą g ł e g o są w y k o n a n e z t e g o s a m e g o tworzywa, czyli p<u-p, E =E C i = 1 , 2 , . . . , rO Innymi słowy, w k a ż d y m n ~ o d c i n k o w y m u k ł a d z i e mo ż n a wyróż n i ć e l e m e n t p o d s t a w o w y o długości 1 i w ten s p o s ó b długość 1' k a ż d e g o p r ę t a o s t a ł y m p r z e k r o j u F a> jest r ó w n a długości e l e m e n t u podstawowego.

4. U w a g a k o ń c o w a

W y z n a c z o n e w p r a c y p o d atności i t y m s a m y m sztywności d y n a m i c z n e p o d u k ł a d ó w dwuprętowych: s w o b o d n e g o — wz.C63 i u t w i e r d z o n e g o — wz.C93^ i C I O ^ s ą po d a l s z y c h p r z e k s z t a ł c e n i a c h - po d s t a w ą s y n t e z y d r g a j ą c y c h w z d ł u ż n i e l u b s k r ę t n i e r o z g a ł ę z i o n y c h u k ł a d ó w m e c h a n i c z n y c h o p a r a m e t r a c h r o z ł o ż o n y c h w s p o s ó b ciągły.

P r a c ę w y k o n a n o w r a m a c h C. P. B. P.. 02. 13

LITERATURA

[13 W„iS.Henlein.W. H. Holmes, A k t i v n y e f i l * t r y dl ja i n t e g r a l ’n y c h schem, S v j a z ’ ,M o s k v a 1980,

[23 G. C. Temes.S. K. M i t r a red., T e o r i a i p r o j e k t o w a n i e filtrów, WNT, W a r s z a w a 1978,

[33 M . B i a ł k o red.. F i l t r y a k t y w n e RC, WNT, W a r s z a w a 1979,

[43 F. Kamiński, S y n t e z a o b w o d ó w l i n i o w y c h o s t a ł y c h rozłożonych.

I. S y n t e z a s c h o d k o w y c h t o r ó w niejed n o r o d n y c h , PWN, W a r szawa 1976.

^ M i ę d z y innymi dlatego, ż e w t e d y stanowi r ó w n i e ż pole d o c i e k a ń inżynierii materiałowej.

^ U p r a s z c z a t o p r a k t y c z n ą r e a l i z a c j ę w y n i k ó w syntezy, zwł a s z c z a w ś w i e t l e wspom n i a n e j racji tech n o l o g i c z n e j wytworu.

(8)

26 Ą. Buchacz, u. Wojnarowski

C53 A. Buchacz, T r a n s f o r m a c j e c h a r a k t e r y s t y k d y n a m i c z n y c h na p ł a s z c z y ź n i e zmiennej zespolonej p r ę t ó w p r o s t y c h d r g a j ą c y c h w z d ł u ż n i e j a k o e l e ment s y n t e z y u k ł a d ó w prętowych, Zb. ref. XX S y m p o z j o n u - M o d e l o w a n i e w Mechanice, PTMTS. G l i w i c e C19811, 125-132.

C63 A.Buchacz,J. W o j n a r o w s k i , H i p e r g r a f y p r ę t ó w z nieklasycznymi warunkami brzegowymi j a k o mod e l e d o s y n t e z y u k ł a d ó w ciągłych, Zb. ref. XXVIII S y m p o z j o n u - M o d e l o w a n i e w Mechanice, PTMTS, G l i w i c e C 1 9 8 9 5 , C w druku3.

E7J S.Bellert.H. W o ź n i a c k i ,¡Analiza i[ s y n t e z a u k ł a d ó w elektry c z n y c h m e t o d ą lic z b s t r u k t u ralnych, WNT, W a r s z a w a 1968.

[83 J. W o j n a r o w s k i , Z a s t o s o w a n i e g r a f ó w w a n a l i z i e dr g a ń u k ł a d ó w mechanicznych, PWN, W a r s z a w a - W r o c ł a w 1981.

H Y P E R G R A P H S A N D S T R U C T U R A L N U M B E R S O F R O D S T R U C T U R E S A S M O D E L S F O R S Y N T H E S I S O F C O N T I N U O U S S Y S T E M S

S u m m a r y

In this paper we c o n s t r u c t t h e h y p e r g r a p h s of mechanical co n t i n u o u s systems a n d o b t a i n the dynamical c h a r a c t e r i s t i c s for two - rods subsystems. It is p o s s i b l e than k s to a p p l y i n g loaded h y p e r g r a p h s and structural n u m b e r s of higher cathegory. Various fo r m s of t h e s e c h a r a c t e r i s t i c s d e p e n d e n t on b o u n d a r y c o n ditions a n d p l a c e of j o i n i n g t w o - rods s u b s y s t e m s t o re m a i n i n g part of c o n t i n u o u s s y s t e m are presented. In c o n c l u s i o n c o m m e n s u r a b i l i t y co n d i t i o n for c o n s i s t e d of c o n t i n u o u s s y s tems about n segment was described.

r K H E P r P A G H H C T P X K T y P H M E HHCJIA C T E P K H E B H X C H C T E M K A K MOREJSH B C K K T E 3 E M E X À H H H E C K H X C H C T E M C PACHPEHEJIEIIHKMH HAPAM E T P A M H

P e 3 » m e

HTOÔbl paCIUHpHTb KJiaCC CHHTe3HpOBaHHbtX C T p y K T y p C H C T e w c pacnpenejieHHUMH n a p a w e T p a M H c ncnojib30Ban«eM MeTo n o B C H H T e 3 a C H C T e w c cocpenoTOTeHHUiffl napaMerpawH, B paôoTe onpeaeJisnoTcn xtMHaMHHecKwe x a p a K T e p H C T H K H c r e p x H e B u x n o n c u c T S M nocTpoeHHbix us nsyx o T p e G K O B we t o n o w H a r p y x e H H B X rnneprpaj>oB h cTpyKTypHbix WHceji. HpeECTaBJiHBTC« pa3Hbie b h a b s t h x xapaKTepncTHK, B03HMKaioiaHe

K a x M 3 r p a H H ' I K M X yCJIOBMH, Tax M 3 MeC T a C O e a M H e H M H A S y X O T p e G K O B O H n o n c M C T e M U c ocTajibHOH l a c x b e H cMCTeww. B 3aKJiioHeHKH naioTCH yCJlOBHH C O B M e p K O C T H CJIOXHOH n - O T p e 3 K O B O H C T e p X H e B O H CHCTeHU, n p M nOMOUW KOTOpblX M O X H O Be C T W C H H T e G e e ttHHMMHeCKOM xapaKTepHCTHKH.

Recenzent: doc. dr inż. R. Klus

W p ł y n ę ł o do Redakcji 3.1.1989 r.