Wyznaczanie parametrów modeli dyskretnych na podstawie odpowiedzi skokowej obiektu

(1)

ZESZYTY HAPKOWK POUTECHHIKI ŚLĄSKIEJ

S a r l a : AUTOMATYKA a . 71 Hr k o l . 7 7 2

H a r ta ŚWIERHIAK

Z a k ła d P r ó b ie « ó w O r g a n l s a o j l 1 Z a r a ą d s a n ia PIH

YYZHACZAHIE PARAMETRÓW MODELI BPSBRETIfYCH HA PODSTAWIE ODPOWIEDZI SKOKOWEJ OBIEKTU

S t r a a a o a a n l a . W p r a o y p r o p o n u j e a l p u ż y o l e a p r o k a y n a c j i P ad a w o o l u w y a n a o s a n la p a r a n e t r ó w n o d e l i d y s fc r e tn y o h d l a o b ie k t ó w n l e o o o y - la o y J n y o ta n a p o d s t a w i e l o h o d p o w ia d a ł c a a k o k j a d c o a t k o w y . S a y b k a 1 p r o s t a p r o o e d a r a o b l l e s a n l a w a p ó lo s y n n lk ó w a o d e l u l u b l o b p r a e l l o o a - n l a p r s y a a d la n ła o k r a a u p r ó b k o w a n ia u tao U l w l a o s p s t o a a a t o a o w a n la po Jo dyn o aa g o n i k r o p r o c on o r a J a k o r e g u l a t o r a c y f r o w e g o .

1 . WSTĘP

R oaw óJ n lk r o p r o o e e o r ó w i a a a t o s o w a n i e s t a r o w a n i a w o p a r o l u o a l k r o t a o b - n o l o g l p o t w o r a y l o now e n o A ll w o ó o i w y k o r a y a t a n la o y fr o w y o h a lg a r y t a ó w s t a  r o w a n ia s a r ó w n o k o n w o a o j o n a ln y o b ( P I , P I D ) , J a k 1 o p a r t y o b n o w s p ó l o s e a - n e j t e n w l ł s t a r o w a n i a [ i ] . W i e l e a t y o b a l g o r y t n ó w w y k o r a y s t n j o d y a k r o t n y m o d e l w e j ó o io w o —w y j ó o lo w y [2] , [>] , k t ó r e g o p a r a m e tr y I d e n t y f ik o w a n e s ą n a b i e ż ą c o . Z d r u g i e j s t r o n y s t a r o w a n e p r o o e e y s ą n a j o a p ó o i e j o i ą g l e w c s a - a l e 1 n o g ą b y ó a p r o k s y n e w a n e p r a e s w o d e la t r a n s n l t a n o y J n a , p r s y o a y n o k r e -

R y a . 1 . S o h o n a t b lo k o w y p r o s t e g o n o d o lu d y s k r e t n e g o

(2)

13*» M. Ś w lo r n l a k

A l e n i e p a ra m etró w t y o h m o d e l i byw a m o Z liw e n a p o d s t a w ia o d p o w ia d a ! o b ie fc - t6w DB s k o k J e d n o s tk o w y . Z a s t o s o w a n ia m ik r o p r o c e s o r ó w do s t e r o w a n i a wysm - g a o t y c i a J a k n a j p r o a t s z y o h m o d e li ( p r s y B a d a n eJ d o k l a d n o ó o i ) 1 p r o s t e g o s p o s o b u o b l l o z a n i a i o h p a r a m e tr ó w .

J e s t t o s z c z e g ó l n i e i s t o t n e p r a y x a i a n i e o k r a s o p r ó b k o w a n ia p r o w a d s ą o e J de a a iia n y w s p ó lo s y n n ik ó w m o d e lu .

V p r a c y roaw aZ a o l ę p r z y p a d e k o b ie k t ó w u l e o s o y l a o y j n y o h , d l a k t ó r y o b w y s t a r o z a j ą e o dobrym J e s t s t a o j o n a r n y m o d e l l i n i o w y d a j ą o y s i ę p r s y b ll Z y ó t r a n s m l t a n o j ą w p o s t a o i e le m e n t u i n a r o y j n o g o p i e r w s z e g o r z ę d u a c z a s ó w m artw ym . J e s t t o o s ę s t o k o r z y s t n a a p r o k a y m a o ja o k ła d ó w l i n i o w y c h w y s o k ie  g o r z ę d u W . O d p o w ia d a ją o a J * J t r a n s m i t a n o j a *z" p r z y z a l o t e n i u e k s t r a p o - l a t o r a z a r o w a g o r z ę d u d l a s t a r o w a n ia J e s t p o szu k iw a n y m d y s k r e tn y * » m o d e lc e w e J ó cio w o -w y J A c io w y a * . Z a l e l n o ó ó m ię d z y w s p ó łc z y n n ik a m i m o d e lu c i ą g ł e g o 1 d y s k r e t n e g o J e s t t y p u w y k ła d n i c z e g o , p r o p o n u j e s i ę z a te m u Z y o ie aprokaym a- o j l P a d s do w y z n a c z a n ia p a r a m e tr ó w m o d o ln d y s k r e t n e g o .

2 . ngnr£lJWTW PARAMETRÓW MODELU DYSKKBTVZGO HA PODSTAWIE ODPOWIEDZI OBIEK

TU HA SKOK JEDNOSTKOWY

O d p o w ie d z i o b ie k t ó w s t a o j o n a r n y o h w z a k r e s i e i o h l i n i o w o ó o i z w y k ło da

j ą s i ę a p r o k sy sto w a ó j e d n ą z t y po wy oh t r a n s m it a n o J Ł o z a s o w y o b . D la n ie o s o y - l a c y j n y o h o b ie k t ó w z sam ow yrów nan iem ( o o n a j m n ie j t r z e c i e g o r z ę d n ) p r o s  tym p r z y b l i ż e n i e m J e s t a p r o k s y m a c ja na p om ocą e le m e n t u i n e r c y j n e g o p i e r  z a s te g o r z ę d u z c z a s e m martwym ( r y s . 2) .

C i ą g ł y m o d e l o b i e k t u ma Z atem p o s t a ó t r a n e m i t a n o j i -sT ^

G (a ) T

o

♦ s ł * (1)

H o d e l d y s k r e t n y o t r z y m u j e a l ę , z o a j d u j ą o sn so d y f ik o w a n ą t r a n s - m l t a n o j ę d y s k r e t n ą po u w z g lę  d n i e n i u e k a t r a p c i a t o r a z e r o w e  g o r z ę d u ( r y s . O 1 p r s y p r z y j ę c i u o k r s s u I m p u ls o w a n ia T# . M od el t e n ma p o s t a ó [5] j

-sT

0 ( Z ) m Z 1-0 _{G ( s )}

U z- k b o + b1* -1 1 + a ^ z^{- 1}

(2)

R y s . 2 . Aproksymaoja transformacji oza-

aowoj elsmontn nieoscylaoyjnego wy Za ze -

g o rzędn

(3)

W y z n a c z a n ie p ł r M w t f ó » » o d e l l d y s k r e t n y o h . . 135

P rzy o z y « p t r u u t n b o , b ^ , a^ n t ą u a e s ą z c , T0 i Ta r « X » o J * » i:

T = ( k- 1 )T + Z 0 < ł < T H )

O ■ •

b . = k _ T . | l - e x p [ - ~ < 1 - k c T | l - o x p ( --- 2 ^ —

( 5 )

O o

t ■ k cT - | e x p { - - 2 ^ — ) - e x p ( - ^ 2 ) 1 T

• x pp ( - ę Ł ) <«>

H a J c z ę ć o la J w y s t ę p u j ą o y a l t u f u n b o j a » ! s ą e k s p o n e n t y 1 s t ą d z a o b o d z i p o  t r z e b a w y k o r z y s t a n ia a l g o r y t m , k t ó r y u a o i l i w l o p r o s t ą (w s e n s i e l i o z b y 1 ty p u o p e r a c j i a r y t n e t y o z n y o h ) 1 s z y b k ą (w s e n s i e l l o a b y o p a r a o J Ł c z a s o  c h ło n n y c h ) r o a l l z a o j e f u n k c j i e x . V s a y a t k l a w y s t ę p u j ą o e w a p ó ło z y b n l k i s ą f u n k o j o a l o k r a a u p r ó b k o w a n ia Ta , c o p o w o d u ją k o n l e o z n o ó ć l o b p r z e l i o z a - n l a p r z y z a l a n i e t e g o o k r a a u . W y a a g a n la od no 4 n i e d o a l g o r y t n u w y z n a o a a n ia w a r t o ó o i f u n k o j l w y k ł a d n l o z e j s p e ł n i a a p r o k a y ia a o J a P a d ó . S a o a a g ó l n la k o  r z y s t n e w ł a s n o ó o l p o s i a d a j ą a p r o k s y a a o j e P ad a o ró w n y » s t o p n i u l l o a n l f c a 1 n la n o w n ik a [ó] . H la b a a z n a o z a n l a J e s t t u f a k t , * e a r g t s s e n t y f u n k c j i e x w y s t ę p u j ą o e w r o z w a ż o n y c h w s p ó l c s y n n lk a o h s ą u j e a n e , a w a a k r e a l e u j c a  c y oh a r g u a e n tó w a p r o k s y a a o j a P ad a p o s ia d a w i ę k s z ą d o k ł a d n o ó ć . V y z n a c a a n la p a r a a a t r u k n o ż n a d o k o n a ć , s t o s u j ą o f u n k c j ę EJJTIER, n l a b ę d z i e w ię c t o

( z e w z g lę d u na p r o s t o t ę ) p r z e d z i o t o » d a l s z y c h r o z w a l a ć .

3 . ALGORYTM WY ZK AC ZA HI A WARTOŚCI FOMSCJI WTKLADHIC ZT CH

U ż y c i e a p r o k s y a a o J 1 P a d a d o w y s n a o z a n la w a r t o ć c i f u n k o j l w y k ł a d n i c z e j J a s t o z ę a t o s p o t y k a n e w b i b l i o t e k a c h f u n k c j i s ta n d a r d o w y o h d l a a l n l k o a p u - ta r ó w [7] , [8] . Wadą t a j » e t o d y J a s t w a w o st b ł ę d u w r a z z o d d a l a n i e » s i ę od z o r a . J e d n a k J u ż w p r z e d z i a l e [ - 0 , 7 5 , 0 .7 5 ] n a j » n l e j a z y b ł ą d z a p e w n ia a - p c-o k a y sa o J a P ad ó o ró w n y o h s t o p n i a c h l l o z n l k a 1 » i a n o w n l k a . Wwówozaa w s p ó ł

c z y n n i k i p r z y r ó ż n y c h p o t ę g a c h a r g u a e n t u w l l o z n i k u 1 » la n o w n lk u s ą t a k i e s a n a c o d o w a r t o ć c i b e z w z g l ę d n e j , p o n a d t o d l a p r z y j ę t e j a p r h k s y z a o j l t r z e - o i e g o s t o p n i a a n o Z a n la p r z e z t a w s p ó ł c z y n n i k i d a s i ę z r e a l i z o w a ć z a p o a o - o ą p r z e s u n i ę ć . B łą d p r z y b l i ż e n i a » a l e j a w r a z z e z w ę ż a n ia » p r z e d z i a ł u d o z o r a , p r z y o z y » J e s t o n » n l e j s z y d l a u j e a n y e h a r g u a e n t ó w , 00 n i e j e s t b a z z a a o z e n i a w r o z w a ż a n y o h z a s t o s o w a n l a o h . W y k ła d n ik e k s p o n e n t y w y s t ę p u j ą c y w w y r a ż e n ia c h ( 4 ) - ( ó ) J e s t b o w le a z a w s z e u j a s n y 1 z r e g u ł y u ła n fc o w y , g d y * z w y k le d o b i e r a s i ę T # < T . P r z y p a d e k o b ie k t ó w » s z y b k ic h * (w s t o s u n k u d * o k r a s a 1» p u l s o w a n ia ) z o s t a n i a s k r ó t o w o r o z w a ż o n y w d a l s z e j k o l a j n a ó o i . W p ro p o n o w a n y » a l g o r y t » l e d o k o n a j ą s i ę d o d a tk o w o p r s e e u n l ę o i a a r g u a e n t u w

z a k r e s [• 0 , 7 5 , - 0 .2 5 ] - O g r a n i c z e n i e d o l n e » a n a o e l u z a p e w n i e n i e o d p o  w i e d n i e j d o k ła d n o ó o i r e p r e n e n t a o J i s t a ł o p r z a o i n k o w e j a r g w a n t u .

(4)

136 M. świtrnlik

Żądany z a k r e s z m le n n o ó o i a r g u m e n tu o s i ą g a s i ę o d o jm u ją o od n l s g o l / k , gdy J o a t o n w i ę k s z y od - 1 / 2 1 d o d a j ą c \ / k , gd y J e s t a n ł a j i i y od - 1 / 2 .

S to s o w a n a a p r o k s y m a c ja f u n k o j i a x p ( x ) a a p o s t a ć [6] :

_ 120 + 60x + 12x2 + x ^ /_»

■ ■ I ■ ? o C7)

120 - Ć0x + 12x*

R e a l i z a c j i f u n k o j i (7) m ożna d o k o n a ć s t a ł o p r s e o i n k o w o po o d p o w ie d n ia p r z e - a k a lo w a n lu . Ze w z g lę d u n a , w o z e ć n i e j z a p o m n ia n ą , r ó w n o ić w a p ó ło z y n n ik ó w w l i c z n i k u i M ian ow n ik u n i e a t o a u j e a l ę a o b e a a t n H o m e r a d o w y z n a c z a n ia w a r- t o ó o l w ie lo m ia n ó w , tym b a r d z i e j , ł t m n o ż e n ia p r z e z w a p ó lo z y n n l k l m ożna z a  s t ą p i ć w M ik r o p r o c e s o r z e p r z e s a u l ę o i a m i i d o d a w a n ia m i.

P r z y Jarając bow iem w s p ó ł c z y n n ik a k a lo w y 2 “ , m ożna (7) z a p i a a ó j a k o :

x 3

(8)

. . L i k i

5£ - 5l x * s £ x2 - s 5 5 x 3

c ( ł - ,k ) ł ( y ~ h * ) x + ( ł s - b t ) x Z ♦ s ł s x 3

(5 " ~{S “ + (T5 ~ W )x2 “ 55* x3

N a le ż y z a u w a ż y ć , ż e d z i ę k i u j e m n o ó o i a r g u m e n tu x l i c z n i k u ła m k a J e s t 00 d o w a r t o ó o i b e z w z g l ę d n e j n a pew no m n i e j s z y od m ia n o w n ik a , 00 u m o ż liw ia a t a ł o p r z e o in k o w ą r e a l i z a c j ę d z i e l e n i a .

S ch em at b lo k o w y p rogram u r e a l l z n j ą o e g o a l g o r y t m w y z n a c z a n ia w a r t o ó o l fu n k  o j i e x p ( x ) aut p o s t a ć j a k n a r y s . 3.

Zauważm y, ż e w y z n a c z a n ie w a r t o ó o l p a ra m etró w b o , b < 1 a f wymaga o b l i c z a  n i a f u n k c j i w y k ła d n ic a y o h d l a dw óch w a r t o ó o i a r g u m e n tó w , m ia n o w io le x a

Ta Tm~ *

c - — o r a z x s - ■ - y , p r z y czy m w p r z y p a d k u z m ia n y o k r e s u próbkow ania o b i e t e w a r t o ó o i u l e g a j ą z a i a u l e . V p r z y p a d k u o b ie k t ó w " a z y b k io b * > T k o n i e c z n e j e s t s p r o w a d z e n i# a r g u m e n tu d o p r z o d z i a l u j e d n o s t k o w e g o .

Można t e g o d o k o n a ó p o p r z e z o d j ę o l e o z ę ó c l c a ł k o w i t e j o d a r g u m e n tn . Ko

r z y s t n e w y d a je s i ę je d n a k z m o d y fik o w a n ie o m a w ia n e g o a lg o r y t m u p r z e z n a s t ę  pu J ą o ą z m ia n ę a r g u m e n tu . J e ó l i x n a l e ż y d o p r z e d z i a ł u ( - « v ż ] , t o p r z e d  staw m y l i o z b ę Xj * x l o g g e J a k o x^ m [k j] + y , g d z i e

[ * ,] m ENTIER X , + 1 , y a x f - [ x j , - 1 < y < 0

P o n ie w a ż

* , ( * t l +* . W y ł " 2

• a Z = 2 s 2 - O t

a z a te m a r g u m e n t z m ie n i a s i ę w p r z e d z i a l e [ l i n 2, O j .

(5)

V y s n a o s a n i e p a r a a a t r 6 v m o d a l ! d y a k r e t n y o b . . 137 (start ~)

x* Il£L T

x-* x ♦ i

in

1

6' - e a”

x 'i * x p r iu u n ^ t m oaytmot. o l w w o w o

I Z.-XX

t ~

fy = x -Z 1 r ~

y*»y« p*xesuni^tt ovytrviet.o 4 w pvawo

X f » * x p « xe iu n i$ te o * y t m « t . o 2 w p*aw o

---

¡X,» x - x , L" x • u

---

I , ‘» z pnatunitte o»yLmet. o 4 m p»awo

| It-* z - z , - —-1—- I L - L .z

■ V ~

y(‘»z» p»z«woi^ta Log o \ u L*uo |

|H'= L -x ,

~~T~

M!* n - y , I En,ijL FLOAT E I EXP'=G e

~ — r ~ ~ (kONIEO)

R y a . 3 . S a b a a a t b lo k o v y p r o g r a a u r m a lia u J % o « e o a l c o r y t a w y a n a o a a n la fu u k - o j i e x p ( x )

(6)

138 M. P l a m i a k

H a s t ę p n i e p o d o b n i« Jak p o p r z e d n io z m n ie j s z a m y p r z e d z i a ł a r g u m e n tu t y « r a  sem d o y / k l n 2 , - 1/1» l n 2 ] .

t h r s g l ę d n l e n i a [ x j w o a ta t a o z n y m r e s u l t a o l e d o k o n u jem y d o d a j ą » f x ,] d o O*,

« b y KXP. O o s y w i ś o i e w s o r s e o • * -* n a la A y s a a t ą p l ó v s o r o e n S i w p ro

w a d z i ó d o d a tk o w y w z o r z e o l a 2 . I n n a d r o b n o z a la n y a a J ą w z a s a d n i « o h a r a k - t « r k o s m e t y c z n y , o h o ó o o s y w i ś o i e o a i y a l g o r y t a k o m p lik u j e s i ę i moAe Jut n i a b y ć o p ł a o a l n y .

i i . u v a o i K c n łc o r a

V p r a c y za p r o p o n o w a n o z a s t o s o w a n i « a p r o k s y m a c j i P adó d o w y z n a c z a n ia war

t o i o i f u n k o j i w y k ła d n ic z y c h w y * t ę p u J ą o y o h w w y r a A e n la o h w i ą t ą c y t h p aram e- t r y d y s k r e t n e g o m o d e lu o b l o k t n a p a r a m e tr a m i J a g o m o d e la o i ą g l e g o . Rozwa

ż a n i a o g r a n i c z o n o do o b i e k t ó w , k t ó r a m odna p r z y b l i ż y ć e le m e n te m i n a r o y j - nym p i e r w s z e g o r z ę d u z o p ó ź n i e n i e m . P od obn a w y r a A e n ia w y s t ą p i ą w p r z y p a d  ku e le m e n tó w i n e r c y j n y oh w y ż s z e g o r a ę d u , J e d n a k u A y t o o z n o ś ó p r o p o n o w a n ej m eto d y w y d a j e s i ę w ó w cz a s w ą t p li w a z e w z g lę d u n a l i c z b ę k o n i e c z n y c h d o wy*

z n a o z e n la p a r a m e tr ó w .

P o n d d to m e to d a t a j e a t p r z y d a t n a j o d y n i e w p r z y p a d k u ó m p l e a e n t a o J i m ik r o  p r o c e s o r o w e j a lg o r y tm ó w s t e r o w a n i a k o r z y s t a j ą o y o h e x p l i c i t « z m o d e ln d y s  k r e t n e g o o b l o k t n , k t ó r y o b w y ż s z o ś ć nad in n y m i n i e j e a t w p a l n i w y k a za n a . P o d o b n ie d y a k u a y j n a J e a t sp r a w a k o r z y a t a n i a s p a ra m etró w o i ą g l e g o m odela o b i e k t u , a n i e e e t y m a o j i b e z p o ś r e d n i e j , o z ę s t o n a b i e t ą o o ( a lg o r y t m y a a - m o n a a t r a j a j ą o e s i ę ) , p a r a m e tr ó w m o d e lu d y s k r e t n e g o . Y y d a je s i ę Jednak;, A*

z e w z g lę d u n a f a k t , iA o b i e k t y s t e r o w a n i a s ą o l ą g l s w o z a s i s , m aleA y d ą -

* y ó do o k r e ś l a n i a u p r o s z o z o n y o h m o d e li o l ą g l y o h , a n a s t ę p n i s n a i o h pod

s t a w i e w y z n a c z e n ia p a r a m e tr ó w m o d e li d y s k r e t n y c h . Z k o l e i e m p ir y c z n y do

b ó r o k r e s u p r ó b k o w a n ia p o w o d u je k o n l e o z n o ś ó z m ia n y t e j w i e l k o ś o i , o o p o - o l ą g a z a s o b ą z m ia n ę w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu ( p r z y n ie z m le n n y o b p a r a m e tr a c h m o d e lu o i ą g l e g o ) d y s k r e t n e g o . I s t n i e j e z a te m p o t r z e b a a s y b k l s g o i p r o s t e  g o w y z n a o z a n ia t y o b w s p ó łc z y n n ik ó w .

LITERATURA

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Wyznaozanie parametrów modeli dyskretnyob.. 139

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[8] S w ie r n la k M. : N i e k t ó r e p r o b le m y k o n s t r u k c j i b i b l i o t e k s ta n d a r d o w y o h f u n k o j l m a te m a ty o z n y o b d l a m in ik o m p u t e r a . Z e s z y t y Naukowe P o l l t e o h n l - k l ś l ą s k i e j , s . I n f o r m a t y k a , z . 3 , G l i w i c e 1 9 8 2 .

R e o o n z e n t : D o o . d r l n * . M a rla J a s t r z ę b s k a

W p ły n ę ło d o R e d a k o j i 2 0 . 1 1 . 1 9 8 2 r .

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DISCRETE MODEL PARAMETER ESTIMATION ON THE BASE OF A PLANT RESPONSE FOR THE UNIT STEP FUNCTION

S u m m a r y

I n t h e p a p e r t h e u s e o f P a d s a p p r o x i m a t i o n I n o r d e r t o e s t i m a t e d i s c r e  t e m o d e l p a r a m e t e r s f o r n o n o s c H a t i n g p l a n t s I s p r o p o s e d . I t i s a ssu m ed t h a t t h e p l a n t r e s p o n s e f o r t h e u n i t s t e p f u n o t i o n o a n b e a p p r o x im a t e d by t h e t r a n s i e n t f u n o t i o n o f t h e f i r s t o r d e r I n e r t i a l e le m e n t w i t h t l m e - d e - l a y . F a s t a n d s i m p l e p r o o e d u r e o f p a r a a o t r o a l o u l a t i o n o r r e o a l o u l a t l o n f o r d i f f e r e n t s a m p lin g I n t e r v a l s i s v e r y im p o r t a n t f o r t h e u s e o f m ic r o  p r o c e s s o r s a s d i g i t a l c o n t r o l l e r s .