LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 4 - Relacje
Relacją dwurgumentową na zbiorze A nazywamy dowolny podzbiór R iloczynu kartezjańskiego A × A.
Intuicyjnie: relację definiuje się poprzez podanie, które pary elementów ze zbioru A są ze sobą w związku (relacji).
Zwyczajowo zamiast pisać (x, y) ∈ R piszemy xRy (i czytamy: x jest w relacji R z y).
Własności relacji:
Relacja dwuargumentowa R na zbiorze A jest
• zwrotna, jeśli ∀x ∈ A xRx;
• przeciwzwrotna, jeśli ∀x ∈ A ¬xRx;
• symetryczna, jeśli ∀x, y ∈ A xRy ⇒ yRx;
• przeciwsymetryczna, jeśli ∀x, y ∈ A xRy ⇒ ¬yRx;
• antysymetryczna, jeśli ∀x, y ∈ A xRy ∧ yRx ⇒ x = y;
• przechodnia, jeśli ∀x, y, z ∈ A xRy ∧ yRz ⇒ xRz;
• spójna, jeśli ∀x, y ∈ A xRy ∨ yRx ∨ x = y;
Relacja dwuargumentowa R na zbiorze A jest
• relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia;
• relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia;
• relacją liniowego porządku, jeśli jest relacją częściowego porządku i jest spójna.
Klasą abstrakcji relacji równoważności R (na zbiorze A) elementu x nazywa się zbiór:
[x]R= {y ∈ A : xRy}
Relacją dwurgumentową na iloczynie kartezjańskim X × Y nazywamy dowolny podzbiór R iloczynu kar- tezjańskiego X × Y .
