Zadania Zakresmateriału ˙Zebywjaknajwi˛ekszymstopniuskorzysta´cz´cwicze´n,wszystkoto,cojestwcz˛e´sciteore-tycznej(oznaczenia,terminologia,twierdzenia,wzory)trzebarozumie´cizna´cnapami˛e´c. 20 lutego 2021 ) obliczaniepochodnychcz˛astkowychfunkcjiwieluzmien

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Analiza matematyczna – pochodne cz ˛astkowe Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

obliczanie pochodnych cz ˛astkowych funkcji wielu zmiennych (wersja: 20 lutego 2021)

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Obliczanie pochodnej cz ˛astkowej z definicji;

2. Obliczanie pochodnych cz ˛astkowych pierwszego i drugiego rz ˛edu;

Zadania

1. Korzystaj ˛ac z definicji obliczy´c pochodne _∂x^∂ oraz _∂y^∂ funkcji f(x, y) =xy+x²+y−2x w punkcie (1, 0).

2. Obliczy´c wszystkie pochodne cz ˛astkowe pierwszego rz ˛edu funkcji:

(a) f(x, y) =xy+x²+y−2x, (b) f(x, y) = ^ex

ln(x+y), (c) f(x, y) =sin²(x−y²). 3. Obliczy´c wszystkie pochodne cz ˛astkowe drugiego rz ˛edu funkcji f(_{x, y}) =_ln(_x−y)i sprawdzi´c,

czy pochodne mieszane s ˛a funkcjami ci ˛agłymi.

Twierdzenie Schwarza Je˙zeli pochodne mieszane funkcji f(x, y)s ˛a ci ˛agłe w punkcie(x0, y0), to s ˛a sobie równe w tym punkcie, czyli f_xy(x₀, y₀) = f_yx(x₀, y₀).

4. Obliczy´c pochodn ˛a _∂x∂y^∂3f2(x, y)_{dla f}(x, y) =_cos(^y_x)_.

5. Obliczy´c pochodne cz ˛astkowe pierwszego rz ˛edu nast ˛epuj ˛acych funkcji:

(a) f(x, y) =x²y³−x sin y,

(b) f(x, y, z) =x⁵y¹⁰−x³sin z+y²e^z, (c) f(x, y) =x^ydla x >0,

(d) f(x, y, z) = (3x²y+z⁴)¹⁰, (e) f(x, y) = (ln x)^{sin y},

(f) f(x, y, z) = (x tg z)^{ln y}_{dla x}>_{0, y} >_0,

(g) f(x, y, z) = (2x+3z)^yz,

(h) f(x, y, z) =y²(5y−2z)^xz dla 5y−2z>0, (i) f(x, y, z) = (sin x)^{tg z}(ctg z)^{cos y} dla sin x >

0, ctg z> 0,

(j) f(x, y, z) =x^yz dla x>_{0, y} >_0.

6. Wykaza´c, ˙ze funkcja u=ln(e^x+e^y)spełnia równanie ^∂u_∂x + ^∂u_∂y =1.

7. Wykaza´c, ˙ze funkcja u= x^yy^x spełnia równanie x^∂u_∂x +y^∂u_∂y = (x+y+ln u)u.

8. Sprawdzi´c, czy funkcja u=e

x

y2 spełnia równanie 2x^∂u_∂x +y^∂u_∂y =0.

9. Sprawdzi´c, czy funkcja u= x+^x_y⁻₋^y_z spełnia równanie ^∂u_∂x + ^∂u

∂y +^∂u

∂z =1.

10. Sprawdzi´c, czy funkcja u=px²+y²+z²spełnia równanie ^∂u_∂x
2

+ ^∂u_∂y
²+ ^∂u_∂z
²=1.

11. Zbada´c, z jak ˛a pr ˛edko´sci ˛a zmienia si ˛e obj ˛eto´s´c V = ¹₃πR²h sto ˙zka (a) przy zmianie wysoko´sci h,

(b) przy zmianie promienia podstawy R.

12. Obliczy´c, pod jakim k ˛atem przecinaj ˛a si ˛e krzywe otrzymane przez przeci ˛ecie powierzchni z₁ =x²+^y

2

6 oraz z₂ = ^x

2+y³ 3 płaszczyzn ˛a y=2.

Bibliografia

1. Analiza matematyczna w zadaniach cz. I/II K. Krysicki, W. Włodarski