Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i m, n ∈ N.

GEOMETRIA ALGEBRAICZNA, Lista 11

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i m, n ∈ N.

1. Udowodni¢, »e dla ka»dego i ∈ {1, . . . , n + 1}, funkcja ψ

: A

∼ = U

jest izomorzmem.

2. Niech V b¦dzie rozmaito±ci¡ aniczn¡ i f ∈ K[V ]. Udowodni¢, »e K[V

] ∼ = K[V ]

.

3. Udowodni¢, »e ka»da rozmaito±¢ ma baz¦ otwart¡ skªadaj¡c¡ si¦ z rozmaito±ci anicznych.

4. Udowodni¢, »e GL

(K) jest aniczn¡ grup¡ algebraiczn¡.

5. Niech V b¦dzie wªa±ciwym lokalnie domkni¦tym podzbiorem A

traktowanym jako rozmaito±¢

quasi-aniczna. Udowodni¢, »e V  A

.

6. Udowodni¢, »e (zakªadaj¡c, »e O(V ) = K dla rozmaito±ci rzutowej V ) je±li rozmaito±¢ jest rzutowa i quasi-aniczna, to jest punktem.

7. Niech V, W b¦d¡ rozmaito±ciami algebraicznymi i ϕ : V → W b¦dzie morzmem. Udowodni¢,

»e:

(a) ϕ jest izomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego v ∈ V homomorzm lokalnych pier±cieni

ϕ

: O

→ O

jest izomorzmem;

(b) je±li ϕ(V ) jest g¦sty w W , to dla ka»dego v ∈ V homomorzm ϕ

jest monomorzmem.

8. Niech M

, . . . , M

∈ K[X

, . . . , X

] b¦d¡ wszystkimi unormowanymi jednomianami stopnia m . Niech

ρ

: P

→ P

, ρ

(x) := [M

(x) : . . . : M

(x)].

Udowodni¢, »e:

(a) odwzorowanie ρ

jest dobrze okre±lone;

(b) obraz ρ

jest domkni¦tym i nierozkªadalnym podzbiorem P

; (c) ρ

jest izomorzmem pomi¦dzy P

a ρ

( P

) .

9. Niech F ∈ K[X

, . . . , X

] b¦dzie jednorodny stopnia m oraz H := {x ∈ P

| F (x) = 0}.

Udowodni¢, »e rozmaito±¢ P

\ H jest aniczna (wskazówka: u»y¢ ρ

z poprzedniego zadania).

10. Niech v ∈ V b¦dzie rozmaito±ci¡ i v ∈ V . Znale¹¢ odwracaj¡c¡ inkluzje bijekcj¦ pomi¦dzy:

• domkni¦tym podzbiorami nierozkªadalnymi w V zawieraj¡cymi v;

• ideaªami pierwszymi pier±cienia O

.