Algebra z geometrią 2012/2013

Algebra z geometrią 2012/2013

Seria XXIII, 22 IV 2013 r.

Zadanie 1. Niech k będzie niezerowym przemiennym pierścieniem, a B i C bazami wolnego k- modułu M. Udowodnij że, jeśli α

i α

są macierzami formy kwadratowej α : M → k odpowiednio w bazach B i C, to α

= M

(id)

α

M

(id), gdzie elementy macierzowe M

macierzy M

(id) są zdefiniowane przez b =:

cM

.

Zadanie 2. Znajdź wszystkie wartości parametru λ ∈ R dla którego podane formy kwadratowe Q : R

→ R są dodatnio określone:

a) Q(x) = 5 x

+ x

+ λ x

+ 4 x

x

− 2 x

x

− 2 x

x

, b) Q(x) = 2 x

+ x

+ 3 x

+ 2λ x

x

+ 2 x

x

,

c) Q(x) = x

+ x

+ 5 x

+ 2λ x

x

− 2 x

x

+ 4 x

x

, d) Q(x) = x

+ 4 x

+ x

+ 2λ x

x

+ 10 x

x

+ 6 x

x

.

Zadanie 3. Niech dim

(V ) =: n ∈ N \ {0}. Udowodnij że forma kwadratowa α : V → R jest a) dodatnio określona ⇔ jej sygnatura to (n, 0),

b) ujemnie określona ⇔ jej sygnatura to (0, n).

Zadanie 4. Poniższe rzeczywiste formy kwadratowe sprowadź do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a i podaj ich sygnatury:

a) Q(x) = x

+ x

+ 3 x

+ 4 x

x

+ 2 x

x

+ 2 x

x

, b) Q(x) = x

+ 2 x

+ x

+ 2 x

x

+ 4 x

x

+ 2 x

x

,

c) Q(x) = x

− 3 x

− 2 x

x

+ 2 x

x

− 6 x

x

, d) Q(x) = x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

.

Zadanie 5. Oblicz sygnatury form kwadratowych z poprzedniego zadania metodą minorową.

Zadanie 6. Rozwiąż Zadanie 3 metodą minorową.