Une racine du générateur de la fonction cosinus bornée

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE XXV (1985) ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXV (1985)

S la w o m ir T y m o w s k i (Olsztyn)

Une racine du générateur de la fonction cosinus bornée

I. Introduction

1. Soit L (E , E ) espace de Banach des opérateurs linéairs et continus opérant dans l’espace de Banach E, I — opérateur identité. Toutes les limites utilisées ici et plus loin sont prises dans le sens de la convergence dans la topologie normée d’espace E.

On dit que l’application S: [0,oo) -+ L (E , E) est un demi-groupe fortement continu d’opérateurs à un paramètre si les conditions

sont vérifiées et en outre

lim S (t)x — S (t0)x pour tout roe [ 0 , °0 ) et pour tout x e E .

On appelle générateur infinitésimal du demi-groupe S fortement continu un opérateur A du domaine D(A) défini par les conditions

On appelle fonction cosinus fortement continue de valeurs d’opérateur une application C: ( — 00, 00) - + L ( E , E) qui vérifie l’équation de d’Alembert

C (t + s) + C ( t - s ) = 2C (t)C (s) pour t, s e ( - o o , 00), C(0) = I

lim C (t)x = C (t0)x pour t0 e ( — 00, 00) et pour tout x e E . i - ï 0

On appelle générateur infinitésimal de la fonction cosinus C fortement S(t-l-s) = S (t)S (s) peur t, s e [ 0 , 00), S(0) = I

A x = lim - (S (t)x — x) pour x eD (A ).

ainsi que

continue un opérateur A du domaine D(A) défini par D(Â) — |

£ : lim ^ ( C ( f ) x — x) existe j ,

Ax — lim -y (C (r) x — x) 2 pour x

Z) (Л).

t ->o t

On peut trouver: les définitions, propriétés et les théorèmes de base de la théorie des fonctions cosinus d’opérateur, par exemple dans les travaux [7]

M. Sova et [2 ] H. O. Fattorini.

On obtient les définitions du groupe d’opérateurs et son générateur en changeant dans les définitions du demi-groupe d’opérateurs et son générateur le domaine de définition du paramètre t en prenant l’ensemble des nombres réels entier et au lieu de limites à droite les limites tout simplement.

On dit que la fonction cosinus C fortement continue à valeurs dans L (E , E), où E signifie l’espace de Banach, a une représentation exponenti­

elle, s’il existe un groupe d’opérateur fortement continu à un paramètre G: ( — 00, oo)-» L (E , E ) tel que

C(t) = \ G(t) + j G ( — t) pour f e ( — oo, oo).

Une fonction cosinus C a la représentation exponentielle donnée par un groupe d’opérateurs G si et seulement si A — B 2, A étant le générateur de C et B étant le générateur de G (cf. [3]). Compte tenu de cela, il est naturel de se poser la question de l’existence d’une racine du générateur de la fonction cosinus.

On sait qu’il y a des fonctions cosinus non bornées dont les générateurs n’ont pas de racine. D ’autre part, il y a des fonctions cosinus bornées n’ayant pas de représentation exponentielle, donc on ne peut pas en général extraire une racine du générateur de la fonction cosinus bornée de façon à obtenir le générateur d’un groupe d’opérateurs (cf. [3], [4]). Néanmoins on montre dans ce travail que le générateur d’une fonction cosinus quelconque admet une sorte de racine qui multipliée par i est le générateur d’un demi-groupe d’opérateurs. Ce résultat est -étroitement lié à quelques résultats de Fattorini et de Bafakrishnan de la théorie des demi-groupes d’opérateurs.

2 .

Soit E l’espace de Banach et A un générateur infinitésimal d’une

fonction cosinus bornée et fortement continue C: ( — oo, oo) -> L (E , E). On va utiliser le fait suivant. Dans le travail [2] Fattorini a démontré (sans supposer C bornée), que l’opérateur A est aussi un générateur infinitésimal d’un demi-groupe^) fortement continu S: [0, o o )-» L (£ , E) défini par C et

(') Ce demi-groupe s’étends au demi-groupe holomorphe dans le demi-plan droit Re t > 0.

B. Nagy dans le travail [6] montre, en corrigeant l’erreur dans l’exemple qui donne M. Sova

dans [7], que le réciproeque n’est pas vrai. Notamment, que dans tout espace de Hilbert à

dimension infinie dénombrable il existe toujours un opérateur étant générateur d’un demi-groupe

fortement continu, mais n’est pas un générateur d’une fonction cosinus fortement continue.

Générateur de la fonction cosinus bornée 393

I 2

l’intégrale de Gauss (avec densité de probabilité g (s) = — Т ^ е ~% /4f> 1 > 0, de 2yjnt

la distribution de Gauss à valeur esperée 0, variance 2t) par les formules ( ¹ ) ^{S(t) = 1}

GO

j e “s2/4‘ C {s)ds

' 00 pour s > 0,

5(0) = /.

Nous définissons opérateur ( — A)1/2 au moyen de demi-groupe 5 par la formule

( 2 ) ( ~ A ) 1/2 x =

00

p : J / Г 3 / 2 ( 5 ( А ) - / ) х Л

к о

sur l’ensemble des x e E tels que l’intégrale ci-dessus, impropre de Riemann, converge dans l’espace de Banach E (2). Le domaine /)(( —A)1/2) d’opérateur ( — A)112 contient le domaine D(A) du générateur A (voir [9], p. 260) alors

dense dans E. La formule

( - A f x = Г ( - а ) ~ 1 J 2 - a- 1( 5 ( 2 ) - / ) x ^ pour x e D (A ), о

où 0 < a < 1 et opérateur A est un générateur infinitésimal du demi- groupe 5 fortement continu provient de V. Balakrishnan (voir [1]). Nous allons définir maintenant deux familles {7 i (t)}t6f0fOo), (T2 (f)}t6[0)00) des opérateurs opérants dans l’espace de Banach E. Définissons la première famille au moyen de C et de l’intégrale de Poisson (avec densité de

t 1

probabilité f ( s ) = — ■ 2, t > 0, de la distribution de Cauchy) par les formules

t 00 1

T1 (t) = - | ,2- 2 C (S) ds P °Ur 1 > 0 ’

(Ъ\ K - ao

t + 5

^ (0 ) = !.

Définissons la deuxiènae famille au moyen du demi-groupe 5 par la formule

(4) T2 (t) = j 2 _ « .-*S (f7 4 A )4 / l.

4/7t 0 yJA

1 e

(2) C’est-à-dire il existent les limites lim J A~3,2(S(A) — I)xdÀ, lim J À~3/2(S(À) — I)xdA

cjO £ в~*oo j

des intégrales de Riemann dans E (voir [9], p. 237).

II. Le principal résultat

T héorème . Soit E Г espace de Banach. Soit C : ( — 00, 00 ) - + L ( E ,E ) une fonction cosinus fortem en t continue et bornée d’un générateur infinitésimal A.

Dans ces conditions:

(a) 7j (?) = T2(t)e L (E , E ) pour tout t e [ 0 , 00);

(b) Tj: [0, 00 ) - + L ( E ,E ) est un demi-groupe à un param ètre fortem ent continu du n générateur infinitésimal — ( — A)112 (j = 1 ,2 );

R e m a rq u e s . Notions des 7j(t), T2(t), ( — A)112 ont été définis dans l’introduction 1.2 (voir les formules (1)—(4)). La barre sur le symbole de l’opérateur signifie sa fermeture. Dire que l’opérateur ( — A)l/2 est une racine du générateur A (que n’est pas tout à fait justifié) est lié avec le fait que (c).

D é m o n s t r a t io n . On va utiliser le même symbole pour la norme d’opérateur de L (E , E ) et pour la norme d’élément d’espace E de Banach.

La linéarité de 7j(t), f e [ 0 , 00), est évidente. Ce sont aussi les opérateurs continus:

(c) ( i ( - A )112)2 = A.

1171(011= sup H T, (f)x|| ^ sup ||C(s)|| — f —---2 ds

pour t > 0.

Nous montrerons que 7 j(t) = T2 (t) pour t e l 0, 00):

J e - Xs2lt2C (s)x d sjd À

00

J C ( s ) ( j e X(1+s2/t2) xdX)ds 0

On a appliqué le théorème de Fubini en changeant l’ordre d’intégra­

tion. On a aussi appliqué la linéarité et continuité des opérateurs C(s),

s e ( — 00, 00). Remarquons, que T = Tj = T2 est une fonction d’opérateur

Générateur de la fonction cosinus bornée 395

fortement continue. En effet, le demi-groupe S fortement continu est bornée

| | S ( 0 I K sup ||C(s)||—

— 0 0 < S < 0 0 2 - v / T t f

Z/4tds

= sup ||C(s)|| • I - j e 1,2/2 d v = sup ||C(s)||

Y Л о — oo < s < oo

— 00 < S < 00

et

1 00 1 , H 00

— f —— e~ x dX = /— f e~ v2,2dv = 1, У л о V я V * о

en appliquant le théorème de Lebesgue on peut „introduire la limite sous le signe d’intégrale”:

f 00 f

lim T2 (f) x = —= J —jz e XS (tl/4X) xdX = T2 (t0) x v 71 0 V я

pour toe [ 0 , oo) et x e E . Maintenant nous démontrerons, que la fonction-opérateur Tx fortement continue et bornée à valeurs dans L (E , E) est un demi-groupe à opérateur infinitésimal  défini par

Щ Л) = | x e £ : lim — j ~ ^~ ~ 2 ~ ^s existe t-»o я - a, t H-s

Âx = lim — f 2 ds on x eD (Â ).

t ->0 TU - oo t -fs t 1

Les noyaux de Poisson Pt(s) = — ~----=-, t e ( 0, oo), s e ( — oo, oo), vérifient la n £ + s

condition Pt * P f2 = Pt l +t2- On démontre ce fait par application de la transformate de Fourier. Puisque Tj (0) = /, il suffit de montrer des propriétés de demi-groupe T1(tl + t 2) = 7 i ( t j - 7 i (t2) pour tit t2e (0 , oo).

On a

Tt ( t1 + 12 ) h + h J

i я -•’„ ( * i + * î ) 2 + s 2

= î (Pn *P,t)(s)-C(s)ds

t t

1 £-> 1

C(s)<fe = J P,1+,2(s) C(s)ds

— 00

oo / oo. + j

I ( I

---

— ;---

-« V-OD я £? + <т2 Я ^+(s-tr)2 /

00 / 0 0

vUUa ^{C (s) ds h 7Г}

ⁱ

do

Puisque

et

alors

t j + ( s ~ o ) 2

00 t 1 00 * 1

J T-7TT72C (ff+8) <i'; = J T - j T T ^ C I 0 - 8) * Л f î + t Я h t t

С (cr + e) + C (cr — e) = 2 C ( o ) C (e)

-oo я ti + £2 С(бт + г)^£ = J __ c ( o ) ‘ C (e)de

K t

2 + £

et on peut continuer les calculs comme suit:

1 J

i

K tj + S2 C (o + e) de 1

n t j + o 2

do

-C C i л tî + e2C(E)dS) C (a) n t\ + a l i a

t

U

= - J л - т ' с н р J T C ( £) ^ h / (T = T 1 ^{( r} 1 ^{) - r} 1 ^{( t 2).}

7ü

J ^ t i + o* \ n

On a utilisé le théorème de Fubini ainsi que linéarité et continuité des opérateurs C(s), s g ( — oo , oo ). Opérateur A défini ci-dessus est un générateur infinitésimal du demi-groupe Tx. Cela découlé directement de la définition du

t 00 1

générateur de demi-groupe et de fait que — [ -=---~ds = 1. On montrera __________ П Л , r + S z

l’égalité des opérateurs  = —( — А)1'2 .

Opérateur ( — A)il2 a été défini dans l’introduction et la barre signifie la formeture d’opérateur dans l’espace E de Banach.

En appliquant l’égalité 7i(r) = T2 (t) pour r e [ 0 , oo) on peut calculer Âx pour x e D ( ( — A)1/2) comme suit:

J —^ e ~ s (S(t2/4s) — l) x d s 's

T,(r) _ _I

lim 1 Âx — lim - x =

«Ю t <10 y jn t

= lim 1 00 f i j l

<10 yjK t J e~

0 t

t M

4 X2 ^dX

Générateur de la fonction cosinus bornée 397

= lim J r 3/2e~ t2/^ (S (À )-l)x d X tio ч/тс 2 о

1 J X~3l2(S {X )-l)x d X = - { - A ) m x.

2^71 0

On a appliqué le théorème de Lebesgue. On a obtenu la relation

— ( —Л)1/2 c= A. Appliquons le théorème de de Leeuw que l’on trouve dans [5 ]: la restriction du générateur infinitesimal du demi-groupe à un paramètre, fortement continu, d’opérateurs de L (E , E ), où E est un espace de Banach, au tout ensemble dense dans E, linéaire et invariant par rapport aux opérateurs du demi-groupe a la fermeture égale an générateur. On va montrer

1° T M D (A )c z D {A \ 2° - ( - A ) 1'2 \D(A) = Â\D(A)

et en appliquant le théorème de de Leeuw on aura — ( — AŸI2\D{A) = Â.

Puisque — ( — A)XI2 a Â, alors — ( — A)1/2 = Â . Inclusion 1° découle de la définition du domaine du générateur de la fonction cosinus, de la propriété de la commutativité C (s)-T j(r) = Tx( t ) C ( s ) pour t e [ 0 , oo), s e ( —oo, oo) et de la continuité des opérateurs 7j(t), t e [ 0, oo). Égalité 2° découle de l’inclusion D(A)cz D ( — ( — A)1/2) et de la relation démontrée — ( — A)1/2 ci A.

L’inclusion D(A) <z D ( —( — A)1/2) a lieu puisque pour x e D ( - A ) on a 1

n 0 | X 3/2 (S (Л) — l)x d X = —= j 1 ® S (s2) — I x d s + n 0

+ — j= j X~3/2(S (X )-l)x d X . к 1

La première intégrale à droite est convergente comme intégrale de Riemann

S { s 2) — I

d’une fonction continue sur [0, 1] à valeurs dans E (lim --- ~— x = Ax siO S

pour

D ( A ) ) et la norme de la deuxième intégrale est majorée par

GO

c j X~3/2dX, c > 0. Pour terminer nous allons montrer que

(i( —Л)1/2) \ d ( a 2) — A.

Soit x e D (Â 2) n D(A). Puisque la fonction [0, оо)эг -*■ 7j ( t ) x e E pour x s D ( A 2) est de classe C 2 et d 2 7j (t) x

dt2 = Â 2 Tx (r) x (la propriété du générateur du demi-groupe; voir par exemple [4], p. 50-52), alors

d2 7 i(f)x A 2 x = lim

Ц0 dV

14 — Prace Matematyczne 25.2

Puisque pour t ^ £ > 0 on peut majorer les valeurs absoulues des dérivées

d ( L 1 1

par les fonctions d’une seule variable s, dt\n t2 + s2/ dt2 \n t2 + s2/

intégrables sur ( — oo, oo) alors on peut „entrer sous le signe d’intégrale” avec d2/d t2:

d 2 (

®

1 _ . \ “

1

d t ! _{K t + s} ^{1 \} 00 d 2 [ t

- C W * * ) - J dt \Kt2 + s C (s)x d s pour t > 0.

Sous ces conditions, en utilisant la harmonicité de la fonction t 1

Pt(s)

K t + s '

nous pouvons calculer:

A 2 x — lim J ^ ( - ^ + A c ( s ) x d s = h m ]

f i0 ds2 \n t2 + s 2J fio -aods \n t2 + s2J ds

= - l im J t 1 d 2 C (s) x

* 1 0 - Joo n t 2 + S 2 ds' ds = —lim

t|0 - J - _TC _-L t 2 C (s)A x d s

— lim 7j ( t ) A x = —A x.

ПО

Intégrant „par parties” on a utilisé la propriété de C (s) x et dC (s) x/ds d’etre borné sur ( — oo, oo). La propriété de dC (s) x/ds d’etre borné découle de la formule de

d 2 C (s)x

Taylor puisque x e D {A ) et C {s)x et — —=— = C(s)A x

ds' sont

bornés. Cette dernière égalité représente une propriété du générateur de la fonction cosinus (voir [2]). On a démontré, que A 2 x = — Ax pour

xœ D ( 2) n D(A). Puisque D (A 2) = E, S (t)D (A 2) c D (A 2) pour T e[0, oo) et {iÂ)2\D(A2) = A\ d ( a 2) alors du théorème de de Leeuw on obtient (i^4)2|D(^2) = A.

Auparavant on a montré la relation — ( — A)1/2 cz A et de l’inclusion D (A 2) cr Z> ((i ( — AŸ12)2) découle (i'( — ^4)1/2)2| d ( a 2) = ( î Â)2\ d ( a 2)' cette ^er_

nière égalité et du théorème de de Leeuw on obtient (i( — A)1I2^\D{A2) — M c.q.f.d.

III. Problème de la representation exponentielle

Il se pose la question suivante. Peut-on restreindre opérateur i( — A)112 défini dans l’introduction et possédant la propriété

(i( — A)42)2 x = Ax pour x g D (A 2)

de tel manière que dans le domaine D c D ( ( — A)112) il engendre un groupe d’opérateurs dans L (E , E ) fortement continu et qui soit racine du générateur A, c’est-à-dire qu’on ait

( H - a ÿ % Ÿ = a .

Générateur de la fonction cosinus bornée 399

La réponse générale est négative. Supposons qu’on ait ainsi. En désignant par G(t), t e ( — 00, оо) les opérateurs de ce groupe on obtient une fonction opérateur fortement continue

( - 0 0 , oo) 3 t - * i G ( t ) + i G ( - t ) e L { E , E )

qui doit être une fonction cosinus. Du lemme 3, page 50, travail [5] on déduit qu’opérateur (i( — ^4)1/2{z>) = A est un générateur de cette fonction.

Notre supposition conduit à la conclusion, que la fonction cosinus bornée C au générateur A possède une représentation exponentielle

C(t) = jG ( t ) + j G ( — t) pour t e { — oo, oo).

Dans le travail [3 ] on donne un exemple de la fonction cosinus fortement continue et bornée qui n’a pas la représentation exponentielle. Alors la restriction i( — A)1/2\D qui soit racine du générateur A de la fonction cosinus fortement continue et bornée qui engendre un groupe d’opérateurs fortement continu peut ne pas exister.

Du théorème qui le résultat du travail [8 ] découle, que si

Ei = {x e E : fonction ( — со, оо)эt - * C ( t ) x e E est de classe C 1} <= D(( — A)1/2), ( ; ( - л )1,2|Е1)2 = a

et ( — A)1121£ est un opérateur fermé, alors il généré un groupe G d’opéra­

teurs de L (E , E) fortement continu tel, que

C(t) = jG ( t ) + j G ( — t) pour t e ( — со, oo).

Bibliographie

[1] V. B a la k ris h n a n , Fractional powers o f closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math. 10 (1960), 419-437.

[2] H. O. F a tto r in i, Ordinary differential equations in linear topological spaces, I, J. DifT. Eqs.

5 (1968), 72-105.

[3] J. K is y n sk i, On operator valued solutions o f <TAlembert's functional equation, I, Colloq.

Math. 21 (1971), 107-114.

[4] —, On operator valued solutions o f d'Alembert’s functional equation, II, Studia Math. 42 (1972), 43-66.

[5] K. D e Leeuw, On the adjoint semi-groups and some problems in the theory o f approximation, Math. Z. 79 (1960), 219-234.

[6] B. Nagy, On the generators o f cosine operators functions, Publ. Math. Debrecen 21 (1974), 151-154.

[7] M. So va, Cosine operator functions, Rozprawy Mat. 49 (1966), 1-47.

[8] S. T ym o w ski, On the analogue o f the formula cost — ^еа + \ е~ ‘г fo r operator cosine functions, Comment. Math. 23 (1983), 173-182.

[9] K. Y o sid a , Functional Analysis, Springer, 1965.