5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

$QDOL]DHIHNW\ZQRĞFLREOLF]HQLRZHMRSFMLQDSU]\NáDG]LHPRGHOX

149

Wy k r e s 5

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQDZ\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6

RUD]%6/HGODRSFML270$70L,70

ϭϬ

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

OTM, ATM i ITM 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLe

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Le

LĊG

S₀ 55, K 60, r 0,05 na

dla t mod

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05

5yĪQLFD SRPLĊG]\

6 6 6 6

Le

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]



6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

,05 Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ϭϬ

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

OTM, ATM i ITM 

6 6 6 6

Le

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

,05

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLe

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Le

LĊG

S₀ 60, K 60, r 0,05 na

dla t modela

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05

6 6 6 6

Le

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]



6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ϭϬ

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLe

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Le

LĊG

S₀ 65, K 60, r 0,05 na

dla t mod

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]



6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

0,2

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ħUyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

dr Arkadiusz Orzechowski

150

Wy k r e s 6

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQDZ\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6

RUD]%6/LGODRSFML270$70L,70

ϭϬ



5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\

5yĪQLFD SRPLĊG]\

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

OTM, ATM i ITM 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLi

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Li

LĊG

S₀ 55, K 60, r 0,05 na

dla t mod

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05 Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ϭϬ

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\



5yĪQLFD SRPLĊG]\

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

OTM, ATM i ITM 

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ modelach

,05

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLi

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Li

LĊG

S₀ 60, K 60, r 0,05 na

dla t mod

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05

6 6 6 6

Li

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ϭϬ

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]

5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\



5yĪQLFD SRPLĊG]\

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

5yĪQLFHSRPLĊG]\WHRUHW\F]Q\PLFHQDPLRSFMLNXSQD Z\]QDF]RQ\PLPHWRGą%6RUD]



5yĪQLFD SRPLĊG]\ 5yĪQLFD SRPLĊG]\

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSLi

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Li

LĊG

S₀ 65, K 60, r 0,05 na

dla t mod

0, 1 elach

0,5 0,2 0,05

 ħUyGáR SUDFRZDQLHZáDVQH

ħUyGáRRSUDFRZDQLHZáDVQH

151

Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...

Wy k r e s 7

RóĪnice pomiĊdzy teoretycznymi cenami opcji kupna wyznaczonymi metodą BS oraz BS-Au dla opcji OTM, ATM i ITM

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSAu

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Au

ĊG

S₀ 55, K 60, r 0,05 na

dla t od

0, 1 ch

0,5 0,2 0,05

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSAu

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Au

ĊG

S₀ 60, K 60, r 0,05 na

dla t od

0, 1 ch

0,5 0,2 0,05

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4. 10 6 2. 10 6 0 2. 10 6 4. 10 6

Czas do wykupu t

BSBSAu

5yĪQLFD SRPLĊG]\ cenami opcji kupna w modelach BS i BS Au

ĊG

S₀ 65, K 60, r 0,05 na

dla t od

0, 1 ch

0,5 0,2 0,05

ħródáo: opracowanie wáasne.

Uwa Īna analiza wykresów 1–7 pozwala stwierdziü, Īe we wszystkich modelach opartych na transformacie Fouriera, wraz z przybli Īaniem siĊ do momentu wyga- ĞniĊcia opcji, funkcja podcaákowa zaczyna gwaátownie oscylowaü. W konsekwen- cji, numeryczne wyznaczenie odwrotnej transformacji Fouriera staje si Ċ káopotliwe.

Na szczególn ą uwagĊ zasáuguje spostrzeĪenie, zgodnie z którym w modelach

BS-CM Į = 1 i BS-A rejestrowane zakáócenia zaczynają siĊ pojawiaü stosunkowo

wcze Ğnie przed koĔcem „Īycia” kontraktów. W pierwszym przypadku dotyczy to przede wszystkim opcji b Ċdących OTM, w drugim zaĞ ITM. Pozostaáe podejĞcia wydaj ą siĊ ze sobą porównywalne. BS-BM okazuje siĊ najlepszy dla opcji OTM i ITM, podczas gdy BS-B, BS-Le, BS-Li i BS-Au generuj ą mniejszy báąd wyceny, gdy cena wykonania jest ni Īsza od kursu rynkowego aktywów bazowego. Biorąc jednak pod uwag Ċ wszystkie uwzglĊdnione relacje pomiĊdzy cenami aktywów bazowych a cen ą wykonania opcji, naleĪy stwierdziü, Īe pod wzglĊdem dokáad- no Ğci obliczeniowej najlepszym modelem jest BS-Au.

Podsumowanie

W niniejszym artykule prezentowane s ą najwaĪniejsze modele wyceny opcji bazuj ące na transformacie Fouriera oraz dokonywana jest analiza ich efektywno- Ğci pod wzglĊdem zarówno szybkoĞci, jak i dokáadnoĞci obliczeniowej. Ponadto, autor proponuje podej Ğcie, które wydaje siĊ stanowiü interesującą alternatywĊ w stosunku do istniej ących juĪ koncepcji. Uzasadnienie takiego stwierdzenia jest rezultatem wyników wykonanych eksperymentów, które wskazuj ą na:

• zbli Īoną szybkoĞü obliczeniową modelu BS-Au w stosunku do podejĞü BS-BM, BS-B, BS-Le i BS-Li;

• wi Ċkszą dokáadnoĞü obliczeniową modelu BS-Au w relacji do pozostaáych metod okre Ğlania wartoĞci teoretycznych kontraktów bazujących na prawach pochodnych, przy czym stwierdzenie to jest prawdziwe, gdy poszczególne relacje pomi Ċdzy cenami aktywów bazowych a ceną wykonania opcji rozpa- trywane s ą áącznie.

Pomimo Īe podejĞcie BS-Au charakteryzuje siĊ najwiĊkszą efektywnoĞcią pod wzgl Ċdem szybkoĞci i dokáadnoĞci obliczeniowej, to nie moĪna pominąü tego, Īe wniosek ten jest formuáowany przy zaáoĪeniu prawdziwoĞci zaáoĪeĔ F. Blacka i M. Scholesa. Inn ą kwestią jest wybór najlepszego podejĞcia w modelach, w któ- rych transformata Fouriera znajduje swoje podstawowe zastosowanie, tj. modelach typu affine, np. modelu S. Hestona. Analiza z tym zwi ązana wymaga rozbudowy przeprowadzanych bada Ĕ.

Bibliografia

Attari, M., Option Pricing Using Fourier Transform: A Numerically Efficient Sim- plification, 2004, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=520042 (data dostĊpu 29.08.2016).

Bakshi, G., Madan, D., Spanning and derivative – security valuation, „Journal of Finan- cial Economics” 2000, nr 55.

Ball, C., Roma, A., Stochastic volatility option pricing, „Journal of Financial and Quan-

titative Analysis” 1994, nr 29.

153

Analiza efektywnoĞci obliczeniowej opcji na przykáadzie modelu...

Barndorff-Nielsen, O., Processes of normal inverse Gaussian type, „Finance and Sto- chastics” 1998, nr 2.

Bates, D., Maximum Likelihood Estimation of Latent Affine Processes, „Review of Financial Studies” 2006, nr 19.

Black, F., Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities, „The Journal of Political Economy” 1973, nr 81.

Carr, P., Geman, H., Madan, D., Yor, M., The fine structure of asset returns: an empi- rical investigation, „Journal of Business” 2002, nr 75.

Carr, P., Madan, D., Option Valuation Using the Fast Fourier Transform, „Journal of Computational Finance” 1999, nr 2(4).

Cont, R., Volatility clustering in financial markets: empirical facts and agent based models, in: G. Teyssiere, A. Kirman, Long memory in economics, Springer 2007.

Fama, E., French, K., Common risk factors in the returns on stock and bonds, „Journal of Financial Economics” 1993, nr 33.

Fleming, J., Kirby, C., Long memory in volatility and trading volume, „Journal of Banking and Finance” 2011, nr 35.

Hagan, P., Kumar, S., Lesniewski, A., Woodward, D., „Managing smile risk, Wilmott Magazine” z 26 lipca 2002.

Heston, S., A closed-form solution for options with stochastic volatility with applica- tions to bond and currency options, „The Review of Financial Studies” 1993, nr 6.

Hull, J., White, A., The pricing of options on assets with stochastic volatilities, „The Journal of Finance” 1987, nr 42.

Jondeau, E., Rockinger, M., Testing for differences in the tails of stock-market returns,

„Journal of Empirical Finance” 2003, nr 10.

Kou, S., Jump-diffusion model for option pricing, Columbia University Working Paper 2002.

Lewis, A., A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and other Exponential Levy Processes, 2001, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=282110 (data dostĊpu 29.08.2016).

Lipton, A., The Vol Smile Problem, „Risk” 2002, February.

Lux, T., Marchesi, M., Volatility clustering in financial markets: a micro-simulation of interacting agents, „International Journal of Theoretical and Applied Finance”

2000, nr 3(4).

Madan, D., Carr, P., Chang, E., The variance gamma process and option pricing,

„European Finance Review” 1998, nr 2.

Mandelbrot, B., The variation of certain speculative prices, „Journal of Business” 1963, nr 36.

Orzechowski, A., Czy moĪna wyceniü opcje lepiej niĪ w modelu P. Carra i D. Madana?

Przegląd modeli opartych na transformacie Fouriera, Studia Ekonomiczne nr 182, Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach, Katowice 2014.

Stein, E., Stein, J., Stock price distributions with stochastic volatility: an analytic appro- ach, „The Review of Financial Studies” 1991, nr 4.

S áowa kluczowe: wycena opcji, model Blacka–Scholesa, transformata Fouriera

Computational efficiency of option pricing in the Black–Scholes model

Summary

The article presents the most important option pricing models based on Fourier transform. Additionally, alternative model of European option pricing to the previously developed concepts is derived. Then all models are compared in terms of computatio- nal speed and accuracy. Based on obtained results it can be concluded that the new model is the best way of option pricing.

Keywords: option pricing, Black–Scholes model, Fourier transform