tr lab tb

1 f(t) 2 AF(s) + BG(s) Af(t) + Bg(t) 3 sF(s) – f(+0) f′(t) 4 f(n)_(t) 5 6 7 F1(s)F2(s) 8 –F′(s) tf(t) 9 (–1)n_F(n)_{(s) t}n_f(t) 10 11 F(s – a) eat_f(t) 12 e–bs_{F(s) f(t – b), where f(t) = 0; t < 0} 13 F(cs) 14 F(cs – b) 15 f(t + a) = f(t) periodic signal 16 f(t + a) = –f(t)

17 f1(t), the half-wave rectification of f(t) in No. 16.

18 f2(t), the full-wave rectification of f(t) in No. 16.

19 20 0 ∞ −

∫

e stf t dt_{( )} s F s s f s f f n _{( )−} n−1 _{(+ −0)} n−2 ( )1_{(+ − −0)} (n−1)₍₊₀₎ L 1 sF s( ) 0 t f d

∫

( )τ τ 1 2 s F s( ) 0 0 τ λ λ τ

∫

∫

t f( )d d 0 1 2 1 2 t f t f d f f

∫

( −τ) ( )τ τ= ∗ s F x dx ∞

∫

( ) 1 t f t( ) 1 cf t c    1 ce f t c bt c ( ) /    0 1 a st as e f t dt e

∫

− − − ( ) 0 1 a st as e f t dt e

∫

− − + ( ) F s e as ( ) 1− − F s( ) cothas 2 p s q s q s s a s a s am ( ) ( ), ( )= −( 1)( − 2)L( − ) p a q a e n n a t m n ( ) ( ) ′

∑

1 p s q s s s ar ( ) ( ) ( ) ( ) = − φ e a r n t n at r n n n r φ( )_{( )} ( )! ( )! − − = − − +

∑

1 1 1 L

F(s) f(t) 1 sn _δ(n)_{(t) n}th _{derivative of the delta function}

2 s 3 1 δ(t) 4 1 5 t 6 7 8 s–3/2 9 10 tk–1 11 eat 12 teat 13 14 15 16 17

18 e–at _{valid for complex a}

19 20 21 22 23 d t dt δ( ) 1 s 1 2 s 1 1 2 sn(n= , ,L) t n n− − 1 1 ( )! 1 s 1 πt 2 t π s− +[n( / )]1 2 ₍n_{= , , )} 1 2 L 2 1 3 5 2 1 1 2 n n_t n − ⋅ ⋅ − ( / ) ( ) L π Γ( )k _{( )} sk k≥ 0 1 s−a 1 2 (s−a) 1 1 2 (s₋a)n(n= , ,L) 1 1 1 (n )!t e n at − − Γ( ) ( ) ( ) k s₋ak k≥ 0 tk−1eat 1 (s−a s)( −b) 1 (a b)(e e ) at bt − − s s a s b ( − )( − ) 1 (a b)(ae be ) at bt − − 1 (s−a s)( −b s)( −c) − − + − + − − − − ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) b c e c a e a b e a b b c c a at bt ct 1 (s+a) 1 s s( +a) 1 1 a e at ( − − ) 1 2 s s( +a) 1 1 2 a e at at ( − + − ) 1 3 s s( +a) 1 1 2 1 2 2 a a t at ae at − + −       − 1 (s+a s)( +b) 1 (b a)(e e ) at bt − − − − 1 s s( +a s)( +b) 1 1 1 ab a b be ae at bt + − −    _{( )}( − − )_

24 25 26 27 28 29 30 31 cos at 32 33 cosh at 34 35 36 37 38 39 t cos at 40 41 42 eat _{cos bt} 43 1 2 s s( +a s)( +b) 1 1 2 2 2 (ab) (a b)(a e b e ) abt a b bt at − − + − −    − − _ 1 3 s s( +a s)( +b) 1 1 2 1 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b ab a b t a b ab t a b b a e a b e at bt − − + − + ₊ −  −        − − 1 (s+a s)( +b s)( +c) 1 1 1 (b a c)( a)e (a b c)( b)e (a c b)( c)e at bt ct − − + − − + − − − − − 1 s s( +a s)( +b s)( +c) 1 1 1 1 abc a b a c a e b a b c b e c a c b c e at bt ct − − − − − − − − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 s s( +a s)( +b s)( +c) ab ct ac bc abc a b a c a e b a b c b e c a c b c e at bt ct ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) − − − ₊ − − + − − + − −        − − − 1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 s s( +a s)( +b s)( +c) 1 1 2 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 ( ) [( ) ( )] ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) abc ab ac bc abc a b c ab ac bc abc t abct a b a c a e b a b c b e c a c b c at bt ct + + − + + − + + + − − − − − − − − −        − − ε− 1 2 2 s +a 1 asinat s s2+a2 1 2 2 s −a 1 asinhat s s2−a2 1 2 2 s s( +a ) 1 1 2 a ( −cosat) 1 2 2 2 s s( +a ) 1 3 a (at−sinat) 1 2 2 2 (s +a ) 1 2a3(sinat−atcosat) s s a ( 2₊ 2 2) t a at 2 sin s s a 2 2 2 2 ( + ) 1 2a(sinat+atcosat) s a s a 2 2 2 2 2 − + ( ) s s a s b a b ( 2 2)( 2 2)( ) 2 2 + + ≠ cosat cosbt b a − − 2 2 1 2 2 (s−a) +b 1 be bt at_sin s a s a b − − + ( )2 2 1 2 2 [(s₊a) ₊b ]n − − − −     − − − = −

∑

e b n r n t d dt bt at n n r n r r r 4 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) [cos( )]

44

45

46 sin at cosh at – cos at sinh at

47

48

49

50 (1 + a2_t2_{) sin at – cos at}

51

[Ln(t) is the Laguerre polynomial of degree n]

52 where n is a positive integer

53 54 55 56 57 58 59 60 61 s s a b n [( + )2+ 2] e b n r n t d dt a bt b bt b r n r n t d dt bt at n n r n r r r r n r r r − − = − = − − − − −         − + − − − −     −           

∑

∑

4 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) [ cos( ) sin( )] ( ) [sin( )] 3 2 3 3 a s +a e e at at at at − ₋  ₋    ( ) /2 _cos 3 _sin 2 3 3 2 4 4 3 4 4 a s + a s s4₊₄a4 1 2_a2(sinatsinhat) 1 4 4 s −a 1 2_a3(sinhat−sinat) s s4₋a4 1 2_a2(coshat−cosat) 8 3 2 2 2 3 a s s a ( + ) 1 1 s s s n −    L t e n d dt t e n t n n n t ( ) ! ( ) = − 1 (s₊a)n t e n n at ( ) ( )! − − − 1 1 1 2 s s( +a) 1 1 2 a e ate at at [ − − − − ] 1 2 2 s s( +a) 1 2 2 3 a at ate e at at [ − + − + − ] 1 3 s s( +a) 1 1 1 2 1 3 2 2 a a t at e at −_ + + _    − _ 1 2 (s+a s)( +b) 1 1 2 (a b) {e [(a b t) ]e } at bt − + − − − − 1 2 s s( +a s)( +b) 1 1 1 2 2 2 2 2 ab a a b e b a b t a b b a b e at bt − − − − + − −    _ − − ( ) ( ) ( ) 1 2 2 s s( +a s)( +b) 1 1 1 ₂ 1 2 2 2 2 2 3 2 a a b e ab t a b b a b t a b b b a b e at bt ( ) ( ) ( ) ( ) − +  − − + − + − − −    _ − − 1 2 (s+a s)( +b s)( +c) 1 ₂ 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) c b c a t c a b c a c b e b a c a e a b c b e ct at bt − − + − − −−    _ + − − + − −        − − − 1 2 2 (s+a s)( + ω ) 1 1 2 2 _{2 2} 1 a e _a t a at +ω − +_{ω +ω} ω −φ φ= −  ω sin( ); tan 1 2 2 s s( +a s)( + ω ) 1 1 1 1 2 2 2 2 a a t a t ae at ω − +ω ωsinω +ω cosω + − 

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 1 2 2 2 s s( +a s)( + ω ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 a t a a a e a t a at ω ω ω ω ω ω φ φ ω − + + + + + =           − − ( ) cos( ); tan 1 2 2 2 [(s+a) + ω ] 1 2_ω3e ωt ωt ωt at − _{[sin − cos ]} 1 2 2 s −a 1 asinhat 1 2 2 2 s s( −a ) 1 1 3 2 a sinhat−a t 1 3 2 2 s s( −a ) 1 1 1 2 4 2 2 a (coshat− −) a t 1 3 3 s +a 1 3 3 2 3 3 2 2 2 a e e at at at at − ₋  ₋            cos sin 1 4 4 4 s + a 1

4_a3(sinatcoshat−cosatsinhat)

1 4 4 s −a 1 2_a3(sinhat−sinat) 1 2 2 [(s+a) − ω ] 1 ωe ωt at − _sinh s a s s b + + + [( )2 _ω2] a b a b b e t b a b bt 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + − + − + + + = _ _+ −           − − − ω ω ω ω ω φ φ ω ω ( ) sin ( ); tan tan s a s s b + + + 2_{[( )}2 _ω2_] 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b at ab b a b b e t a b b bt + + − + + − + + + = −   +          − − − ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω [ ] ( ) ( ) ( ) sin ( ) tan tan s a s c s b + + + + ( )[( )2 _ω2] a c c b e a b c b e t a b c b ct bt − − + + − + − + + = −   − −           − − − − ( ) ( ) ( ) sin ( ) tan tan 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ω ω ωω ω φ φ ω ω s a s s c s b + + + + ( )[( )2 _ω2] a c b c a c b c e b a b b c e t b a b c b ct bt ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) sin( )

tan tan tan

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 + + − − + − + − + − + + = _ _+ −   −  −             − − − − − ω ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω ω s a s s b + + 2_{( )}3 a b t b a b a b b a b b t a b b t e bt 3 4 4 2 2 3 3 3 2 2 + − + − + − + −    −

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 s a s c s b + + + ( )( )3 a c b c e a b c b t c a c b t a c c b e ct bt − − + − − + − − + − −    _ − − ( )3 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 s s a s b s c 2 ( + )( + )( + ) a b a c a e b a b c b e c a c b c e at bt ct 2 2 2 ( − )( − ) +( − )( − ) +( − )( − ) − − − s s a s b 2 2 ( + )( + ) a b a e b a b t b ab a b e at bt 2 2 2 2 2 2 ( − ) + ( − ) + ( ) − −       − − s s a 2 3 ( + ) 2 2 2 2 2 − +       − at a t e at s s a s 2 2 2 ( + )( + ω ) a a e _a t a at 2 2 2 _{2 2} 1 ( + ) − ₊ sin( + ); =tan    − − ω ω ω ω φ φ ω s s a s 2 2 2 2 ( + ) ( + ω ) a a t a a e a t a at 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( )sin( ); tan + − +       − ₊ + = − _ _        − − ω ω ω ω ω ω φ φ ω s s a s b s 2 2 2 ( + )( + )( + ω ) a b a a e b a b b e a b t a b at bt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )

sin( ); tan tan

− + + − + − + + + = −   +      _        − − − − ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω s s a s 2 2 2 2 2 ( + )( + ω ) − − − − a a at a t (ω )sin( ) ( )sin( ) ω ω ω 2 2 2 2 s s 2 2 2 2 ( + ω ) 1 2ω(sinωt+ωtcosωt) s s a s b 2 2 2 ( + )[( + ) + ω ] a a b e b b a b e t b b a b at bt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 2 ( ) ( ) ( ) sin( ) tan tan − + + − + − + + = − −   −  −         − − − − ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω ω s s a s b 2 2 2 2 ( + ) [( + ) + ω ] a a b te a b a a b a b a e b b a b e t b b a at at bt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 4 2 2 ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) [( ) ] sin( ) tan tan − + − − + + − − +       + − + − + + = − −   − − − − − − ω ω ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω ω −−                b s a s s b 2 2 + + ( ) b a b e a bt a b bt 2 2 2 + − _{+ −} s a s s b 2 3 + + ( ) a bt a b t b b a a b e bt 2 1 2 2 3 2 2 − + _[ + −₍ + ₎ − _] s a s s b s c 2₊ + + ( )( ) a bc b a b b c e c a c b c e bt ct +( ₋+ ) − − +₋ − ( ) ( ) ( ) 2 2 s a s s b s c 2 2 + + + ( )( ) b a b c b e c a c b c e a bct a b c b c bt ct 2 2 2 2 2 2 + − + + − + − + − − ( ) ( ) ( )

©1999 CRC Press LLC 91 92 93 94 95 t cosωt 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 s a s b s c s d 2₊ + + + ( )( )( ) b a c b d b e c a b c d c e d a b d c d e bt ct dt 2₊ 2 2 − − + + − − + + − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s s b s c s d 2₊ + + + ( )( )( ) a bcd b a b b c d b e c a c b c c d e d a d b d d c e bt ct dt + ₋2+ ₋ − + ₋2+ ₋ − + ₋2+ ₋ − ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s s b s c s d 2 2 + + + + ( )( )( ) a bcdt a b c d bc cd db b a b b c b d e c a c c b c d e d a d d b d c e bt ct dt − + + + + − − + + − − + + − −        − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s 2 2 2 2 + + ( ω ) 1 2 1 2 3 2 2 2 ω (a+ω )sinωt− ω (a−ω ) cost ωt s s 2 2 2 2 2 − + ω ω ( ) s a s s 2 2 2 2 + + ( ω ) a a t t a t ω ω ω ω ω ω 4 2 3 4 2 −( − ) sin − cos s s a s b s c ( ) ( )( ) + + + 2 b ab c b e c ac b c t c bc ab b c e bt ct 2 2 2 2 2 2 − − + − − + − − +       − − ( ) ( ) s s a s b s c s d ( ) ( )( )( ) + + + + 2 b ab c b d b e c ac b c d c e d ad b d c d te a bc d d db dc bc b d c d e bt ct dt dt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − + − − − + − − − + − + + − − −        − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a s a s s b o 2 1 2 + + + ( ) b a b a b e a b t a b a b o bt o o 2 1 2 1 2 − + − _{+ +} − s a s a s s b o 2 1 3 + + + ( ) a b b a b e a bt a b a b t b a b a b o bt o o o 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 − − − _{+ +} − ₊ − + s a s a s s b s c o 2 1 + + + + ( )( ) a bc b a b a b b c e c a c a c c b e o₊ − + o bt o ct − + − + − − − 2 1 2 1 ( ) ( ) s a s a s s b s c o 2 1 2 + + + + ( )( ) a bct a bc a b c b c b a b a b c b e c a c a c b c e o ₊ − o + ₊ − + o bt o ct − + − + − − − 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) s a s a s b s c s d o 2 1 + + + + + ( )( )( ) b a b a c b d b e c a c a b c d c e d a d a b d c d e o bt o ct o dt 2 1 2 2 1 1 − + − − + − + − − + − + − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s a s s b s c s d o 2 1 + + + + + ( )( )( ) a bcd b a b a b c b d b e c a c a c b c d c e d a d a d b d c d e o ₋ − + o bt o ct o dt − − − − + − − − − + − − − − − 2 1 2 1 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s a s s b o 2 1 2 + + + ( ) a b b a b a b t e b a b e o o bt o bt 2 2 1 2 2 − − + − + − − s a s a s s b o 2 1 2 2 + + + ( ) a b t a b a b b a b a b t a a b b e o o o bt o bt 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 + − + − + _ε− + − − s a s a s b s c o 2 1 2 + + + + ( )( ) b a b a c b e c a c a b c t e c bc a b a b c e o bt o ct o ct 2 1 2 2 1 2 1 2 2 − + − + − + − + − + − − − − − ( ) ( ) ( ) s s b s c s d 3 2 ( + )( + )( + ) b b c d b e c c b d c e d d b c d t e d d d b c bc b d c d e bt ct dt dt 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) ( ) − − + − − + − − + − + + − −        − − − −

109 110 111 112 113 114 115 cos(ωt) cosh(ωt) 116 s s b s c s d s f 3 2 ( + )( + )( + )( + ) b b c d b f b e c c b d c f c e d d b c d f d e f f b c f d f t e f b f c f d f f b f c f b f bt ct dt ft 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) [( )( ) ( − − − + − − − + − − − + − − − + − − −    + − − + − − − − − )( )( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) d f c f d f b f c f d f dt − + − − − − −                   2 2 2 ε− s s b s c 3 2 2 ( + ) ( + ) − − + − − − − + − − − − − − b c b t e b c b c b e c b c t e c b c b c e bt bt ct ct 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s d s b s c 3 2 2 ( + )( + ) ( + ) − − − + − − + − − + + − − −       + _{− −} + − − − − − − d b d c d e b c b b d t e b c b d b b c d b c b d b e c b c c d t e c b c d c dt bt bt ct 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ + − − −                   − c b d c b c d c e ct 3 3 2 2 3 ( ) ( ) ( ) s s b s c s 3 2 2 ( + )( + )( + ω ) b b c b e c c b c e b c t c b bt ct 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) sin( ) tan tan − + + − + − + + + = _ _− _ _            − − − − ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω s s b s c s d s 3 2 2 ( + )( + )( + )( + ω ) b b c d b b e c c b d c c e d d b c d d e b c d t b c bt ct dt 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) cos( )

tan tan tan

− − + + − − + + − − + − + + + − = _ _+ _ _+ − − − − − − ω ω ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω ω d d                   s s b s 3 2 2 2 ( + ) ( + ω ) − + + + + − + + = _ _− _ _        − − − − b b t e b b b e b t b b bt bt 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 ω ω ω ω ω ω φ φ ω ω ( ) ( ) ( )sin( ) tan tan s s 3 4_{+ ω4} 4 s s 3 4_{− ω}4 1 2[cosh(ωt)+cos(ωt)]

117 118 119 120 121 122 123 124 s a s a s a s s b s c o 3 2 2 1 2 + + + + + ( )( ) a bct a b c a bc b c b a b a b a b c b e c a c a c a c b c e o o o bt o ct − + − +− + − + − +− + − + −        − − ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 s a s a s a s s b s c s d o 3 2 2 1 + + + + + + ( )( )( ) a bcd b a b a b a b c b d b e c a c a c a c b c d c e d a d a d a d b d c d e o o bt o ct o dt −− + − + − − − − + − + − − −− + − + − −        − − − 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) s a s a s a s s b s c s d o 3 2 2 1 2 + + + + + + ( )( )( ) a bcdt a bcd a bc bd cd b c d b a b a b a b c b d b c a c a c a c b c d c e d a d a d a d b d c d o o o bt o ct o + − + +   + − + − + − − +− + − + − − + − + − + − − − − 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ε )) e dt −        s a s a s a s b s c s d s f o 3 2 2 1 + + + + + + + ( )( )( )( ) − + − + − − − + − + − + − − − +− + − + − − − + − + − + − − − − b a b a b a c b d b f b e c a c a c a b c d c f c e d a d a d a b d c d f d e f a f a f a b f c o bt o ct o dt o 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( −− −        _{f d f} e−ft )( ) s a s a s a s s b s c s d s f o 3 2 2 1 + + + + + + + ( )( )( )( ) a bcdf b a b a b a b c b d b f b e c a c a c a c b c d c f c e d a d a d a d b d c d f d e f a f a f o o bt o ct o dt −− + − + − − − − − + − + − − − −− + − + − − − − − + − + − − − 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) a a f b f c f d f e o ft ( − )( − )( − )        − s a s a s a s b s c s d s f s g o 3 2 2 1 + + + + + + + + ( )( )( )( )( ) − + − + − − − − + − + − + − − − − + − + − + − − − − + − + − − − b a b a b a c b d b f b g b e c a c a c a b c d c f c g c e d a d a d a b d c d f d g d e f a f o bt o ct o dt 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) −− + − − − − + − + − + − − − −            − − a f a b f c f d f g f e g a g a g a b g c g d g f g e o ft o gt 1 3 2 2 1 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) s a s a s a s b s c s d o 3 2 2 1 2 + + + + + + ( )( )( ) − + − + − − + − + − + − − +− + − + − − + − − + − + + − − − − b a b a b a c b d b e c a c a c a b c d c e d a d a d a b d c d te a d b c a bc d a d db dc bc o bt o ct o dt o 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 1 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )++ − − + − −              _{b d} d_c d_d db dc bc e−dt 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) s a s a s a s s b s c s d o 3 2 2 1 2 + + + + + + ( )( )( ) a bcd b a b a b a b c b d b e c a c a c a c b c d c e d a d a d a d b d c d t e d a d a d b d c d e o o bt o ct o dt 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 3 2 −− + − + − − − − + − + − − −− + − + − − − − + − − − − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) −− − − − + − + − − − − − − − −            dt o dt d a d a d a b d c d d b d d c d d b d c d e ( )[( )( ) ( ) ( )] ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2 2

125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 s a s a s a s b s c s d s f o 3 2 2 1 2 + + + + + + + ( )( )( )( ) − + − + − − − + − + − + − − − +− + − + − − − + − + − + − − − − b a b a b a c b d b f b e c a c a c a b c d c f c e d a d a d a b d c d f d e f a f a f a b o bt o ct o dt o 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ff c f d f te f a f a b f c f d f e f a f a f a b f c f b f d f c f d f b f c f d f e ft ft o ft )( )( ) ( )( )( ) ( )[( )( ) ( )( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) − − + − + − − − − − + − + − − + − − + − − − − −        − − − 3 2 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2       s s a ( ₋ )3 2/ 1 1 2 π t e at at_{( + )} s− −a s−b 1 2 _{π t}3 e e bt at ( − ) 1 s+a 1 2 π t ae a t a t − erfc ( ) s s−a2 1 2 π t ae a t a t + erf ( ) s s+a2 1 ₂ 2 2 0 π π λ λ t a e e d a t a t − −

∫

1 2 s s( −a ) 1 2 ae a t a t_{erf ( )} 1 2 s s( +a ) 2 2 2 0 a e e d a t a t π π λ −

∫

b a s a b s 2 2 2 − − + ( )( ) e b a a t be b t a t2_{[ − erf( )]−} b t2 _{erfc( )} 1 s( s+a) e a t a t2_{erfc ( )} 1 (s+a) s+b 1 b ae b a t at − − − _{erf ( )} b a s s a s b 2 2 2 − − + ( )( ) e b a a t e b t a t2 _{erf( )−1} b t2_{erfc( )}   + ( ) ( / ) 1 1 2 − + s s n n n n t H t H t e d dx e n n x n n x ! ( )! ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 π = =              Hermite polynomial − ( ) ( / ) 1 3 2 − + s s n n − ₊ + n n Hn t ! ( )! ( ) π 2 1 2 1 s a s +2 ₋ 1 ae I at I at I t j J jt J at o n n n n − − + =     [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ] 1

where is Bessel's function of the first kind 1 s+a s+b e I a b t a b t o − +  −   ( / )(1 2 ) 2

141 142 143 144 145 146 Jo(at) 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 Γ( ) ( ) ( ) ( ) k s₊ak s₊bk k≥ 0 π t a b e I a b t k a b t k −     −  − − + − ( / ) ( / )( ) ( / ) 1 2 1 2 1 2 ₂ 1 1 2 3 2 (_s+a)/ (_s+b) / t e I a b t I a bt a b t o − +  −  +  −     _ ( / )(1 2 ) 1 2 2 s a s s a s + − + + 2 2 1 1 te I at at − _{( )} ( ) ( ) ( ) a b s a s b k k k − + + + 2 >0 k t e I a b t a b t k − +  −   ( / )(1 2 ) 2 ( s a s) s s a v + + + −2 _{1 1} 2 1 2 ave I at at v −    ( / )( ) 1 2 2 s +a ( ) ( ) s a s s a v v 2 2 2 2 1 + − + > − a J at v v( ) 1 0 2 2 (s ₊a )k (k> ) π Γ( ) ( ) ( / ) ( / ) k t a J at k k 2 1 2 1 2    − − ( s2₊a2₋s)k (k_>0) ka t J at k k( ) ( ) ( ) s s a s a v v − − − > − 2 2 2 2 1 a I atv v( ) 1 0 2 2 ( ) ( ) s a k k − > π Γ( ) ( ) ( / ) ( / ) k t a I at k k 2 1 2 1 2    − − 1 1

s s+ erf( t);erf( )y the error function oe du y u ∆ ₌

∫

− 2 2 π 1 2 2 s +a J ato st

( ) ; Bessel function of 1 kind, zero order 1 2 2 s +a +s J at at J st st 1 1 ( )

; is the Bessel function of 1 kind, 1 order 1 2 2 [ s ₊a ₊s]N N a J at t N J N N N st th ( )

; = 1 2 3, , ,L, is the Bessel function of 1 kind, N order 1 2 2 s_[ s ₊a ₊s_]N N a J au u du N J N o t N N st th

∫

( ) ; =1 2 3 L, , , , is the Bessel function of 1 kind, N order 1 2 2 2 2 s +a ( s +a +s) 1 1 1 aJ at J st st

( ); is the Bessel function of 1 kind, 1 order 1 2 2 2 2 s ₊a _[ s ₊a ₊s_]N 1 1 2 3 aNJNat N JN st th

( ) ; = , , ,L, is the Bessel function of 1 kind, N order 1

2 2

s −a I ato Io

st

( ) ; is the modified Bessel function of 1 kind, zero order

e s ks − S t t k t k k( )= < < >    0 0 1 when when

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 e s ks − 2 0 when 0 when < < − >    t k t k t k e s ks − > µ (µ 0) 0 0 1 when when < < − _>     − t k t k t k ( ) ( ) µ µ Γ 1−e− s ks 1 0 0 when when < < >    t k t k 1 1 1 1 2 2 s e ks s ks ( ) coth − = + − S k t n n k t n k n ( , ) ( ) ( , , ) = _{− < < =}  when 1 1 2 L 1 s e₍ +ks₋a₎ S t t k a a a nk t n k n k n ( ) ( ) ( , , ) = < < + + + + < < + =      − 0 0 1 1 1 2 2 1 when when L L 1 stanhks M k t k n t nk n n ( , ) ( ) ( ) ( , , ) 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − < < =       − when L 1 1 s_{( +}e−ks₎ 1 2 1 2 1 1 2 1 M k t n k t nk n ( , ) ( ) ( ) + = − − − < <      _when 1 2 s tanhks H k t H k t k r k t kn r r k n n ( , ) [ ( , ) ( )( ) ; ; , , , ] 2 2 1 2 0 2 0 1 2 = + − − = + ≤ ≤ =     where L 1 ssinhks 2 2 2 2 1 2 3 2 1 0 S k t k n n k t n k t ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = − − < < − >     when 1 scoshks M k t k n n k t n k t ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 1 2 3 2 1 0 + + = + − − < < − >     when 1 scothks 2 2 1 2 1 2 1 2 S k t n k n t kn ( , ) ( ) − = − − < <     when k s k s k 2 2 2 + coth π _{sin kt} 1 1 1 2 (s ₊ )( ₋e−πs) sin ( ) ( ) ( ) t n t n n t n when when 2 2 2 1 0 2 1 2 − < < − − < <    π π π π 1 se k s − / _{J kt} o(2 ) 1 s e k s − / 1 ₂ πtcos kt 1 s e k s/ 1 ₂ πtcosh kt 1 3 2 s e k s / / − 1 ₂ πksin kt 1 3 2 s e k s / / 1 ₂ πksinh kt

179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 1 0 s e k s µ −/ (µ> ) t k J kt    − − ( ) / ( ) µ µ 1 2 12 1 0 s e k s µ / (µ> ) t k I kt    − − ( ) / ( ) µ µ 1 2 12 e−k s ₍k_>0) k t k t 2 3 4 2 π exp −     1 se k k s − _{( ≥0)} erfc k t 2     1 0 se k k s − _{( ≥ )} 1 4 2 π t k t exp−    s−3 2/ e−k s ₍k_{≥0) 2} 4 2 2 t k t k k t πexp −    −     erfc ae s a s k k s − + ≥ ( ) ( 0) − +    +     e e a t k t k t ak a t2 2 2 erfc erfc e s a s k k s − + ≥ ( ) ( 0) e e a t k t ak a t2 2 erfc +    e s s a k s s a − + + ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 2 2 when when < < − >    − t k e atIo a t k t k ( / ) _{( )} e s a k s a − + + 2 2 2 2 ( ) 0 0 2 2 when when < < − >    t k J a to( k ) t k e s a k s a − − − 2 2 2 2 ( ) 0 0 2 2 when when < < − >    t k I a t_o( k ) t k e s a k k s a s − + − + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 J a to( kt) 2₊₂ e−ks₋e−k s2+a2 0 0 2 2 1 2 2 when when < < − − >     t k ak t k J a t( k ) t k e−k s2+a2 ₋e−ks 0 0 2 2 1 2 2 when when < < − − >     t k ak t k I a t( k ) t k a e s a s a s v v k s a v − − + _ + + _ > − 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 0 0 1 2 2 2 when when < < − +

( )

− >     t k t k t k J a t k t k v v ( / ) ( ) 1 slogs Γ′( )1−logt [Γ′( )1 = −0 5772. ] 1 0 sk logs (k> ) t k k t k k−  ′      1 2 Γ Γ ( ) Γ [ ( )] log ( ) log ( ) s s−a a> 0 e a at at_{[log −Ei(− )]}

197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 Si(kt) 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 log s s2+1 costSi( )t −sintCi( )t s s s log 2₊₁ −sintSi( )t −costCi( )t 1 slog (1+ks) (k>0) − −    Ei t k log s a s b − − 1 t e e bt at ( − ) 1 slog (1 k s ) 2 2 + −2Ci_t_ k 1 slog (s a ) (a ) 2₊ 2 _{>0 2loga− Ci2 ( )at} 1 s2 s a a 2 2 ₀ log ( + ) ( > ) 2 Ci a[atloga+sinat−at ( )]at log s a s 2 2 2 + 2 t (1−cosat) log s a s 2 2 2 − 2 t (1−coshat) arctank s 1 t sinkt 1 s k s arctan ek s2 2 ks k 0 erfc ( ) ( > ) 1 4 2 2 k t k π exp −     1 erfc se ks k k s2 2 0 ( ) ( > ) erf t k 2    eks_erfc( ks_{) (}k_{> 0)} k t t k π ( + ) 1 erfc s (ks) 0 0 1 2 when when < < >    − t k t t k (_π) / 1 erfc s e ks k ks _{( ) ( > 0)} 1 π(t+k) erf k s     1 2 πt sin ( k t) 1 erfc s e k s k2_/s     1 2 π t e k t − −eas_{Ei (}−as₎ 1 0 t+a; (a> ) 1 a se as as + Ei (− ) 1 ₂ 0 (t+a) ; (a> ) π 2−     + Si( ) coss s Ci( )sins s 1 1 2 t +

218 Ko(ks) 219 220 221 222 223 πe–ks_I o(ks) 224 225 226 227 228 0 0 2 2 1 2

when is Bessel function of the when second kind of imaginary argument]

< < − >    − t k K t t k t k n [ ( ) ( ) / K k s_o( ) 1 2 4 2 t k t exp−    1 1 se K ks ks _{( )} 1 ₂ k t t( + k) 1 1 s K k s( ) 1 4 2 k k t exp−    1 s e K k s k s o /    2 2 2 πt Ko( kt) [ (_{t k t})] / _{t k} t k 2 0 2 0 2 1 2 − < < >    − _when when e−ksI ks 1( ) k t k t k t t k t k − − < < >     π (2 ) 0 2 0 2 when when 1 ssinh (as) 2 2 1 0 k u t k a = ∞

∑

[ −( + ) ] 1 scoshs 2 1 2 1 0 k k_{u t k} = ∞

∑

(−) ( − − ) 1 s as tanh 2    u t u t ak k k ( )+ (−) ( − ) = ∞

∑

2 1 1 square wave 1 2s 1 2 as +   coth  k u t ak = ∞

∑

− 0 ( ) stepped function

229 230 231 232 233 234 m s ma s as 2− _{2 2} −1  coth  mt ma u t ka k − − − = ∞

∑

1 ( )

saw tooth function

1 2 2 s as tanh   1 triangular wave a t t ka u t ka k k + − − ⋅ −         = ∞

∑

2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 s_{( +}e−s₎ k k_{u t k} = ∞

∑

− − 0 1 ( ) ( ) a s a e as ( 2₊ 2)(₁₋ − π ) k a t k a u t ka = ∞

∑

 _ − _   _ ⋅ _ − _ − 0 sin π π

half wave rectification of sine wave

a s a s a ( 2₊ 2) coth ₂    _ _π _ sin ( )at u t( ) sina t k a u t ka k

[

]

⋅ +  _ − _   _ ⋅ _ − _ − = ∞

∑

2 1 π π

full wave rectification of sine wave

1 se

as −

235 236 237 238 239 240 241 242 1 s e e as bs ( − − − ) u t( −a)−u t( −b) m s e as 2 − m t⋅ − ⋅( a u t) ( −a) ma s m s e as +     − 2 mt u t a ma m t a u t a ⋅ − + −

[

]

⋅ − ( ) ( ) ( ) or 2 s e as 3 − (t−a)2⋅u t( −a) 2 s a s a s e as 3 2 2 2 + +       − t2_⋅u t_{( −}a₎ m s m s e as 2− 2 − mt u t⋅ ( )−m t( − ⋅a u t) ( −a) m s m s e m s e as as 2 2 2 2 2 − − + − mt−2m t( − ⋅a u t) ( −a)+m t( −2a u t)⋅ ( −2a) m s ma s m s e as 2− + 2    − mt−

[

ma+m t( −a)

]

⋅u t( −a)

243 244 245 (1 )2 3 −_e− s s 0 5 0 1 1 0 5 2 0 2 1 2 2 2 . . ( ) t t t t t for for for ≤ < − − ≤ < ≤ (1− ) 3       − e s s 0 5 0 1 0 75 1 5 1 2 0 5 3 2 3 0 3 2 2 2 . . ( . ) . ( ) t t t t t t t for for for for ≤ < − − ≤ < − ≤ < < b s s b e s b s b e s s b e ba ba as ( ) ( ) ( ) − + − + − + − −           − 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e u t e u t a Ke u t a K e bt bt b t a ba − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = − − − 1 1 1 where