Termodynamika systemów ekonomicznych

(1)

Termodynamika systemów

ekonomicznych

(2)

Lenkowska&Kotowski

Termodynamika systemów ekonomicznych 2

Syllabus

• Klasyfikacja rynków

• Systemy ekonomiczne w stanach równowagi

– Termodynamika równowagowa a systemy ekonomiczne

• Systemy ekonomiczne w stanach nierównowagi

– Maszyna cieplna

– Liniowe fenomenologiczne równania termodynamiki

(3)

Klasyfikacja rynków

Kryteria podziału [1]

1. Przedmiot obrotu

• Rynek dóbr i usług konsumpcyjnych

• Rynek czynników produkcji (ziemia, praca, kapitał) 2. Zasięg geograficzny

• Rynek lokalny

• Rynek regionalny

• Rynek krajowy

• Rynek międzynarodowy

• Rynek światowy 3. Sytuacja rynkowa

• Rynek sprzedawcy (nadwyżka popytu nad podażą)

(4)

Lenkowska&Kotowski

Klasyfikacja rynków c.d.

4. Stopień jednorodności przedmiotu transakcji

• Rynek homogeniczny (np. rynek ropy, pszenicy…)

• Rynek heterogeniczny (np. rynek pracy: różne zawody, również niekonkurujące ze sobą <segmentacja rynku>)

5. Stopień wyrównania cen

• Rynek doskonały

o Rozproszenie popytu i podaży o Brak barier wejścia na rynek o Przejrzystość

o Jednorodność dóbr i usług

• Rynek niedoskonały (monopolistyczny)

Lenkowska&Kotowski 4 Termodynamika systemów ekonomicznych 2008-11-06

(5)

Cechy alternatywnych struktur rynkowych

Cechy rynku

Modele rynku

Rynek doskonały

Rynek niedoskonały Konkurencja

monopolistyczna Oligopol Monopol

Liczba firm bardzo duża dużo kilka jedna

Swoboda wejścia na rynek nieograniczona nieograniczona ograniczona bardzo ograniczona lub zerowa

Cechy produktów jednorodność zróżnicowanie niezróżnicowanie nieporównywalne

Wpływ na cenę niezależna od firmy nieduży znaczący bardzo duży

(6)

Kierunki badań w ekonofizyce

• Fluktuacje cen na różnych rynkach

• Powiązania rynków i ich wzajemne

oddziaływanie (sieci, automaty komórkowe…)

• Rynki niejednorodne

(7)

Równowaga rynków

Entropia i temperatura

Równowaga oznacza brak przepływu zasobów E i agentów N w systemie połączonych rynków

E = E1+E2 = const → ∆ E1 = −∆ E2

Założenia:

• jednakowe prawdopodobieństwo stanów odpowiadających różnej dystrybucji dóbr między agentów

• waga statystyczna stanów w systemach połączonych n_t(E₁,E₂,N₁,N₂) = n₁(E₁,N₁) n₂(E₂,N₂)

(8)

Lenkowska&Kotowski

Równowaga rynków

Entropia i temperatura

Warunek maximum

   

2

2 2 2 1

1 1

1 , ln ,

ln

E

N E n E

N E n



 



n

S ln 

^^ln ⁿ_⁽_E^E^, ^N⁾ ^ _T¹

2

,

1

E

E   



Najbardziej prawdopodobny jest

stan o maksymalnej entropii Równowaga równość temperatur

(9)

Równowaga rynków

Termostat

Rozkład Boltzmanna uniwersalna funkcja dystrybucji dochodów zależna od temperatury systemu

   

^T

E E

E e P

E

P ¹ ²

2 1

 

 _P(E

i) – prawdopodobieństwo stanu o dochodzie E_i

dE e

dE Ee

E

T E







 



/ 0

/

średni dochód agentów

(10)

Lenkowska&Kotowski

Równowaga rynków

Termostat

Prawdopodobieństwo stanu układu oddziaływującego z termostatem

  ^,

0 /

Z E e

p

T

E

  

^E ^T

E

e N

E n

Z

₀

^  ,

^ ^/

δN δN

T E N

e N

E p





^

) ,

(

^Z ^

^

_N^_₀ _k ^exp^_^ ^N^ ^_T^E^k

^{ }

^N ^_^

μ

potencjał migracyjny

(11)

Równowaga rynków

Model „spinowy”

Dystrybucja dochodów w systemie odbywa się według zasady:

•L agentów ma dochód A

•N-L agentów ma dochód zero, N - parzyste

•Liczba stanów , E=L A

•Warunek równowagi



 



 L N

2 L  N

(12)

Lenkowska&Kotowski

Oddziaływanie rynków

Wolny rynek bogaty

T>0

Rynek spinowy biedny

T<0 E

Entropia połączonych systemów rośnie → wolny rynek przejmie część dochodu biednego, ograniczonego rynku!

(13)

Równowaga rynków pracy

Model „spinowy”

• N pracowników na rynku, L - liczba wolnych miejsc

Stan równowagi wolnego rynku połowa pracowników nie ma dochodów

A

dochód pracownika

ograniczony z góry stały ograniczony z dołu

0 0 2 ,

2 ,















T T N N

0 L

,

0 ,

1 0

 



 







 





 

E T S

NA E

E

S NA

E

B L  E⁰

(14)

Lenkowska&Kotowski

Termodynamika cen

Relacje między strumieniem dóbr, ceną, liczbą kontraktów i temperaturą rynku V(t) – wielkość dóbr, E(t) – ilość wydanych pieniędzy

Stan stacjonarny

V(t)=V=const , E(t)=E=const S(E,V)=S(E)+S(V)

Ciśnienie cena marginalna

V T S

P 

 

(15)

Termodynamika cen

Model dyskretny

nE0

E 

 

E N n

E S

T 



 

1  

V N V

V S T

P 



 

Rynek

pieniądz +towar

mV0

V 

prawdopodobne stany rynku - zbiór wszystkich kontraktów prawdopodobne stany rynku - zbiór wszystkich kontraktów

(16)

Lenkowska&Kotowski

Rynek o stałej temperaturze

Transformacja Legendre’a (T,N)=const

swobodny przepływ pieniędzy

strumień dóbr V1 V2

równowaga rynku

^{F = F}min



^E,^V

 

^{T ,}^V



TS E F  

N

V T

P F _,



 



 ₁  ₂

2

1

V F V

F PdV

V



 

(17)

Termodynamika nie-ekstensywna

Entropia Tsallisa

Entropia systemów złożonych nie jest funkcją addytywną dla q ≠ 1

II q I q II

q I

q II

I

q S S - (q - )S S

S ^   1



 



 

 



i q i

q p

S q 1

1

1 i

i

i p

p

S₁ ^ ^



log

q=1

(18)

Lenkowska&Kotowski

Maszyna cieplna

Pytanie: czy można wyciągnąć pieniądze z rynku wykorzystując termodynamikę?

Energię z układu fizycznego można uzyskać tylko wtedy, gdy pojawia się gradient

temperatury.

 ^ ^ ^ ^

 TdS T

₁

( S

₂

S

₁

) T

₂

( S

₂

S

₁

)

A

(19)

Maszyna cieplna

P – ciśnienie ~ cena T – ilość dóbr

Izotermy P=P(S,T₀) dla różnych T₀

(20)

Maszyna cieplna

Odpowiedź jest trywialna: oczywiście tak!

Najprostszy przykład: kupować tanio gdy towaru dużo i sprzedawać drogo, gdy towaru mało.

Gdy temperatury rynków są równe, to zysk wynosi V(P2-P1) – transformacja różnicy ciśnień otrzymanej przez

ogrzewanie w energię mechaniczną.

Gdy takich operacji dużo – wielkość dóbr na rynku 1 spada a ceny rosną, a na rynku 2 ilość dóbr wzrasta, a ceny spadają.

(21)

Maszyna cieplna

Załóżmy że możemy regulować temperaturę:

•Gdy chcemy ochłodzić rynek – kupujemy dobra

•Gdy chcemy ogrzać rynek – sprzedajemy dobra Zysk: V(P2-P1) ,

tu V – ilość dóbr kupionych w temperaturze T₁ i sprzedanych w temperaturze T₂,ale

V N P₁  T¹

V N P₂  T²



 



 



 



  

 







 







 

 1 V

2 1

2

1 V

T V T

V V N

V V

N T V

N D T

więc zysk z takiej operacji wynosi

(22)

Lenkowska&Kotowski

Liniowe fenomenologiczne równania termodynamiki

• Każdy przepływ jest funkcją wszystkich bodźców w układzie

przy czym kształt f jest tym bardziej skomplikowany im bardziej turbulentny jest przebieg procesu

• W liniowej termodynamice Onsagera procesów nieodwracalnych dla bardzo małych bodźców przyjmuje się, że ta zależność jest liniowa

gdzie współczynniki fenomenologiczne

• Teoria ta sprawdza się w opisie przewodzenia energii, prądu elektrycznego, pędu, dyfuzji, …

f m

X X

X f

J_m  ( ₁, ₂,, _f ), 1,2,,

f m

X L J

f n

n mn

m , 1,2, ,

1

 

 



f ,

, m,n

L_mn  const 12 ,

Lenkowska&Kotowski 22 Termodynamika systemów ekonomicznych 2008-11-06

(23)

•Postulat Onsagera (1931): Dla jednorodnie liniowo niezależnych bodźców i jednorodnie liniowo niezależnych przepływów macierz współczynników

fenomenologicznych jest symetryczna (czwarta zasada termodynamiki?) -nowy fundamentalny postulat

Przykład: siła wywierana na poruszający się ładunek elektryczny przez pole magnetyczne B

•Postulat Casimira-Onsagera:

Jeżeli bodźce są parzystymi funkcjami argumentów, to należą do wielkości typu α, a jeśli nieparzystymi, to typu β. Dla wielkości typu α: ,

f n

m L

L_mn  _nm, , 1,2,, )

( )

(B  _nm B

mn L

L

nm n

m

mn L

L   



_i  1

1

 

(24)

Lenkowska&Kotowski

Literatura

[1] R. Milewski, E. Kwiatkowski, Podstawy ekonomii, PWN, 2005

[2] K. Gumiński, Termodynamika procesów nieodwracalnych, PWN, 1983 [3] K. Zalewski, Wykłady z mechaniki i termodynamiki dla chemików, PWN,

1982

[4] V. Sergeev, The thermodynamic approach to market, arXiv:0803.3432v1

2008-11-06 Lenkowska&Kotowski

Termodynamika systemów ekonomicznych