Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 3-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
1
Ciało liczb zespolonych
Oznaczmy C=R×R. Elementami zbioru C są pary liczb rzeczywistych. Równość par rozumiemy w naturalny sposób
2 2 1 1 2 1 2
1, ) ( , )
(a a = b b ⇔a =b ∧a =b . Zdefiniujemy dodawanie i mnożenie par następująco:
) ,
( ) , ( ) ,
(a1 a2 + b1 b2 = a1+b1 a2 +b2 ) ,
( ) , ( ) ,
(a1 a2 ⋅ b1 b2 = a1b1 −a2b2 a1b2 +a2b1 Można łatwo sprawdzić (ćwiczenia), że (C,+,⋅) jest ciałem przemiennym.
Elementem neutralnym dodawania (czyli zerem) jest element (para) (0,0). Elementem przeciwnym do )
,
(a1 a2 jest element (−a1,−a2).
Elementem neutralnym mnożenia (jedynką) jest para (1,0). Natomiast elementem odwrotnym do
elementu (a1,a2)≠(0,0) jest
+
−
= +
−
22 12
2 22
12 1 2 1
1, ) ,
( a a
a a
a a a
a .
Rzeczywiście poszukując elementu odwrotnego (oznaczmy go (x,y)) do (a1,a2)≠(0,0) musimy rozwiązać równanie
) 0 , 1 ( ) , ,
( ) , ( ) ,
(a1 a2 ⋅ x y = a1x−a2y a1y+a2 x = , co jest równoważne układowi
= +
=
−
0 1
1 2
2 1
y a x a
y a x
a , którego rozwiązaniem jest 2
2 2 1
2 2
2 2 1
1 ,
a a y a a a x a
+
= −
= + .
Liczba zespolona z to para liczb rzeczywistych z =(a,b). Pierwszy element pary nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczmy a=Re z , natomiast drugi element pary nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczmy a=Im z.
Widać, że
(a,0)+(b,0)=(a+b,0) (a,0)⋅(b,0)=(ab,0)
czyli liczby zespolone postaci (a,0) można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi. Formalnie zbiór }~ {( ,0);
R a a
R= ∈ z powyżej zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia par jest ciałem izomorficznym z ciałem liczb rzeczywistych (R,+,⋅). Izomorfizm ustanawia odwzorowanie h(a,0)=a.
Przyjmując zasadę utożsamiania struktur izomorficznych możemy powiedzieć, że ciało liczb rzeczywistych (R,+,⋅) jest podciałem ciała liczb zespolonych (C,+,⋅).
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 3-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
2 i=(0,1).
Zauważmy że
i2=(0,1)(0,1)=(-1,0) ,
czyli i=(0,1) jest pierwiastkiem algebraicznym z liczby –1 (spełnia równanie z2+1=0).
Podobnie liczba -i=(0,-1) jest pierwiastkiem algebraicznym z liczby –1.
Fakt (postać algebraiczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci
z = a + i b ; a,b∈R
Powyższą postać nazywamy postacią dwumienną. Jest ona wygodna, gdyż działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci dwumiennej wykonujemy tak jak na dwumianach (wielomianach) pamiętając tylko, że i2=-1 i nie musimy pamiętać wzoru definiującego mnożenie oraz dzielenie (mnożenie przez element odwrotny)
Przykład.
(1+2i) (3-i)=3-i+6i-2i2=5+5i
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Liczbę zespoloną z = (a,b) = a + i b interpretujemy jaki punkt na płaszczyźnie. Punkty te potrafimy dodawać i odejmować tak jak wektory na płaszczyźnie. Potrafimy je także mnożyć i dzielić a takich działań nie znamy dla wektorów
Def. Modułem liczby zespolonej z = (a,b) = a + i b nazywamy liczbę rzeczywistą |z| = a2 +b2 . Uwaga . Jedyną liczbą zespoloną o module równym 0 jest liczba (0,0)
Tw. |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| (ćwiczenia)
Def. Liczbę zespoloną z=(a,−b)=a−ibnazywamy liczbą sprzężoną do liczby z = (a,b) = a + i b .
Łatwo pokazać, że prawdziwe są następujące związki
• (z)=z
• z1 +z2 =z1 +z2
• z1⋅z2 =z1⋅z2
• z⋅z=| z|2
Ostatnia własność sprzężenia jest szczególnie użyteczna przy dzieleniu liczb zespolonych.
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 3-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
3 Przykład.
i i i
i i i i
i
5 7 5 4
5 7 4 ) 2 1 )(
2 1 (
) 2 1 )(
3 2 ( 2 1
3
2 =− − =− −
− +
−
= − +
−
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Każda liczbę zespoloną różną od (0,0) można zapisać w postaci
+ +
= +
+
= +
= | | 2 2 2 2
|
|
|
| |
|
b a i b b a z a z i b z z a ib a
z .
Ponieważ 1
2 2 2 2
2
2 =
+ +
+ a b
b b
a
a możemy oznaczyć
2
cos 2
b a
a
= +
ϕ i
2
sin 2
b a
b
= +
ϕ .
Def. Postać z=|z|
(
cosϕ+isinϕ)
nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z = (a,b)= a + i b . Kąt ϕ nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczmy ϕ =Arg z . Argument jest wyznaczony z dokładnością do wielokrotności kąta 2π.
Argument ϕ ∈(-π, π] nazywamy argumentem głównym i oznaczmy ϕ =arg z. Argument główny jest wyznaczony jednoznacznie. Liczbie (0,0) nie przypisujemy argumentu. Jest ona jednoznacznie wyznaczona przez swój moduł.
Przykład. Zapisać w postaci trygonometrycznej z=2−2 3i. Odp. z=4
(
cos(−π3)+isin(−π3))
Interpretacja geometryczna mnożenia i dzielenia liczb zespolonych
Przedstawmy liczby w postaci trygonometrycznej(
1 1)
1
1 |z | cosϕ isinϕ
z = + (ϕ1=Arg z1)
(
2 2)
2
2 |z | cosϕ isinϕ
z = + (ϕ2 =Arg z2)
Korzystając z wzorów trygonometrycznych otrzymujemy
(
cos sin)
| |(
cos sin)
| || |(
cos( ) sin( ))
|
| 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
2
1z = z ϕ +i ϕ z ϕ +i ϕ = z z ϕ +ϕ +i ϕ +ϕ
z
( )
( ) (
cos( ) sin( ))
|
|
|
| sin cos
|
|
sin cos
|
|
2 1 2
1 2
1 2 2
2
1 1
1 2
1 ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ = − + −
+
= + i
z z i
z
i z
z z
Wobec tego
|z1 z2|=|z1| |z2| Arg(z1 z2)= Arg(z1)+ Arg(z1),
2 1 2 1
z z z
z = Arg Arg( 1) Arg( 2)
2
1 z z
z
z = −
.
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 3-- dr Adam Ćmiel , cmiel@agh.edu.pl
4
Jako szczególny przypadek otrzymujemy (dowód indukcyjny) wzór deMoivre’a
(
cosϕ+isinϕ) (
n = cosnϕ+isinnϕ)
Przykład. Obliczyć (−1+i)8 =
[
2(
cos34π +isin34π) ]8= 28(
cos244π +isin244π)
=16.
Pierwiastki naturalnego stopnia z liczb zespolonych
Dana jest liczba z = a + i b .
Pytanie: Czy istnieje liczba zespolona w taka że wn=z ?
Jeśli taka liczba w istnieje , to nazwiemy ją pierwiastkiem (algebraicznym) n-tego stopnia z liczby z.
Tw. Dla dowolnej liczby zespolonej z≠(0,0) istnieje dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia z tej liczby.
Dowód. Zapiszmy liczby z i w w postaci trygonometrycznej
(
cosϕ sinϕ)
|
|z i
z= + ; w=|w|
(
cosα +isinα)
. Z równości z = wn dostajemy(
cosϕ+ sinϕ)
=|
|z i |w|n
(
cosnα +isinnα)
a stąd |z|=|w|n ; cosϕ=cosnα ; sinϕ=sinnα.
Wobec tego|w|=n|z| ,
n kπ
α =ϕ+2 k=0,..,n-1
Przykład .
= + =
= ; 1,...,5
sin 3 cos 3
61 k k
k i
zk π π
(interpretacja graficzna -wierzchołki sześciokąta foremnego)
