–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
12. Elementy rachunku prawdopodobieństwa
12.1. Kombinatoryka Permutacje bez powtórzeń
Niech A = {a
1, . . . , a
n}. Permutacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A (lub permutacją bez powtórzeń n różnych elementów) nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym każdy element zbioru A występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich możliwych permutacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wynosi:
P
n= n!
Wariacje bez powtórzeń
Niech A = {a
1, . . . , a
n}. Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k różnych elementów zbioru A (k ¬ n) nazywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wyraża się wzorem:
V
nk= n!
(n − k)! = n(n − 1) · · · (n − k + 1) Wariacje z powtórzeniami
Niech A = {a
1, . . . , a
n}. Każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru A (k ¬ n) nazywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru wyraża się wzorem:
W
nk= n
kKombinacje
Niech A = {a
1, . . . , a
n}. Każdy k-elementowy (k ¬ n) podzbiór zbioru A nazywamy k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji n-elementowego zbioru wyraża się równością:
C
nk=
(n
k
)= n!
k!(n − k)!
Trójkąt Pascala
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
(0
0
) (1
0
) (1
1
) (2
0
) (2
1
) (2
2
) (3
0
) (3
1
) (3
2
) (3
3
) (4
0
) (4
1
) (4
2
) (4
3
) (4
4
) (5
0
) (5
1
) (5
2
) (5
3
) (5
4
) (5
5
) (6
0
) (6
1
) (6
2
) (6
3
) (6
4
) (6
5
) (6
6
) (7
0
) (7
1
) (7
2
) (7
3
) (7
4
) (7
5
) (7
6
) (7
7
)
Dwumian Newtona
(a + b)
n=
∑n k=0
(
n k
)a
kb
n−k(a − b)
n=
∑n k=0
( −1)
k (n
k
)a
kb
n−k12.2. Przestrzeń zdarzeń elementarnych i σ-ciało zdarzeń
Niech A będzie doświadczeniem (eksperymentem lub obserwacją). Doświadczenie A nazywamy lo- sowym, jeżeli – pomimo sprecyzowania warunków, w których jest ono realizowane – nie jesteśmy w stanie przewidzieć jego wyniku. W każdym doświadczeniu losowym możemy wyróżnić najprostsze, nierozkładalne zdarzenia (wyniki doświadczenia). Zdarzenia te nazywamy elementarnymi. Zdarzenie elementarne w rachunku prawdopodobieństwa jest pojęciem pierwotnym. Zdarzenia elementarne mają następujące własności:
— dane zdarzenie elementarne może zajść lub nie zajść;
— jedno ze zdarzeń elementarnych na pewno zajdzie;
— zajście jednego zdarzenia elementarnego wyklucza zajście innego zdarzenia (w tym samym do- świadczeniu).
Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór odpowiadających mu zdarzeń elementarnych, który nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω. Przestrzeń Ω może być zbiorem skończonym, przeliczalnym albo nieprzeliczalnym.
Przykład 12.1. Dla rzutu monetą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {O, R}, dla rzutu kostką do gry Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
W zagadnieniach praktycznych najczęściej interesujące są nie pojedyncze zdarzenia elementarne roz- patrywanego doświadczenia A, lecz ich zbiory, czyli podzbiory przestrzeni Ω. Każdy taki podzbiór, gdy przestrzeń Ω jest skończona albo przeliczalna, nazywamy zdarzeniem losowym. Gdy przestrzeń Ω jest nieprzeliczalna, wtedy z różnych względów nie każdy jej podzbiór przyjmuje się jako zdarzenie losowe. Spośród wszystkich jej podzbiorów wyróżnia się pewną klasę Σ podzbiorów zwaną σ-ciałem zdarzeń i tylko elementy tej klasy nazywamy zdarzeniami losowymi.
Definicja 12.2. σ-ciałem zdarzeń przestrzeni Ω nazywamy klasę (rodzinę) Σ jej podzbiorów spełnia- jącą następujące warunki:
1) Ω ∈ Σ, ∅ ∈ Ω;
2) A ∈ Σ ⇒ Ω\A ∈ Σ;
3) A
1, A
2, . . . , A
n, . . . ∈ Σ ⇒
∞∪n=1
A
n∈ Σ.
W przypadku, gdy przestrzeń Ω jest skończona lub przeliczalna, wówczas Σ = P(Ω), gdzie P(Ω) = {A : A ∈ Ω}.
Przykład 12.3. Dla rzutu monetą Σ =
{∅, {O}, {R}, Ω
}. Dla rzutu symetryczną kostką do gry
Σ =
{∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {1, 4, 6}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {2, 4, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, Ω
}.
Na zdarzeniach wykonuje się analogiczne działania jak na zbiorach. Zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, natomiast zbiór ∅ zdarzeniem niemożliwym. Niech A, B ∈ Σ, wówczas:
A ∪ B = {ω ∈ Σ : ω ∈ A ∨ ω ∈ B} nazywamy alternatywą (sumą) zdarzeń A, B;
A ∩ B = {ω ∈ Σ : ω ∈ A ∧ ω ∈ B} nazywamy koniunkcją (iloczynem) zdarzeń A, B;
A \ B = {ω ∈ Σ : ω ∈ A ∧ ω /∈ B} nazywamy różnicą zdarzeń A, B;
A = Ω \ A lub A
′= Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A;
Jeżeli A ⊂ B, to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B.
12.3. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Przypuśćmy, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa n (n < ∞). Jeżeli wszystkie zda- rzenia elementarne są jednakowo możliwe, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli:
P (A) = k n ,
gdzie k – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa odznacza się szczególną prostotą i jest intuicyjnie zrozumia- ła. Pomimo tych zalet nie może ona służyć do obliczania prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia losowego. Wadami tej definicji są:
— błąd idem per idem – w definicji użyte jest słowo definiowane; mówiąc o zdarzeniach jednakowo możliwych mamy na myśli zdarzenia jednakowo prawdopodobne;
— przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A muszą być zbiorami skończonymi, co nie zawsze ma miejsce w praktyce;
— przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń elementarnych muszą być znane.
12.4. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa
Załóżmy, że przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = [a, b], a interesujące nas zdarzenie polega na losowym wyborze punktu ze zbioru [c, d] ∈ Ω. Losowość wyboru oznacza, że wybory punktów z różnych części odcinka Ω są jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczymy wówczas ze wzoru:
P (A) = d − c b − a .
Ogólnie możemy stwierdzić, że jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem o znanej mierze (długości, polu, objętości), to prawdopodobieństwa losowego wyboru punktu ze zbioru A ∈ Ω jest ilorazem miar:
P (A) = m(A) m(Ω) .
Prawdopodobieństwo określone przez powyższy wzór nazywamy prawdopodobieństwem geometrycz-
nym.
12.5. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω przestrzeń zdarzeń elementarnych, Σ σ-algebra zdarzeń na Ω.
Funkcję P : Σ → R
+nazywamy funkcją prawdopodobieństwa, jeśli spełnia następujące warunki:
1) P (Ω) = 1;
2) Jeżeli A
1, A
2, . . . , A
n, . . . ∈ Σ, A
i∩ A
j= ∅ dla dowolnych i, j ∈ N (i ̸= j), to:
P
(∞∪
n=1
A
n)
=
∑∞ n=1
P (A
n).
Własności prawdopodobieństwa:
1. P ( ∅) = 0;
2. A, B ∈ Σ, A ⊂ B ⇒ P (A) ¬ P (B);
3. A, B ∈ Σ, A ⊂ B ⇒ P (B \ A) = P (B) − P (A);
4. P (A) + P (A ) = 1;
5. A, B ∈ Σ, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Definicja 12.4. Trójkę (Ω, Σ, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
12.6. Schemat Bernoulliego
Wykonujemy n niezależnych doświadczeń, czyli takich, że przebieg każdego z nich nie zależy od prze- biegu innych i od kolejności, w jakiej doświadczenia te wykonujemy. Przy każdym z tych doświadczeń możemy uzyskać wynik pomyślny, czyli sukces, albo wynik niepomyślny, czyli porażkę. Niech prawdo- podobieństwo sukcesu dla każdego z tych doświadczeń będzie równe p, a prawdopodobieństwo porażki q = 1 −p. Wówczas prawdopodobieństwo, że w liczbie n niezależnych doświadczeń otrzymamy k sukcesów wyraża się wzorem:
P
n(k) =
(n
k
)p
kq
n−k.
Wzór ten nazywamy wzorem Bernoulliego, a opisany powyżej schemat schematem Bernoulliego.
12.7. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.
Definicja 12.5. Jeśli B ∈ Σ, P (B) > 0, to prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem B dowolnego zdarzenia A ∈ Σ nazywamy liczbę P (A|B) określoną następującą równością:
P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) . Definicja 12.6. Mówimy, że zdarzenia A, B ∈ Σ są niezależne, gdy
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
12.8. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
Twierdzenie 12.7 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeżeli (Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną oraz A
1, . . . , A
n∈ Σ spełniają warunki:
(a) P (A
i) > 0 dla dowolnego i = 1, . . . , n,
(b) A
i∩ A
j= ∅ dla dowolnych i, j = 1, . . . , n, i ̸= j, (c)
∪n i=1
A
i= Ω,
to dla każdego B ∈ Σ zachodzi równość:
P (B) =
∑n i=1
P (B |A
i)P (A
i).
Twierdzenie 12.8 (wzór Bayesa). Jeżeli B jest dowolnym zdarzeniem o prawdopodobieństwie do- datnim, tzn. P (B) > 0, zdarzenia A
1, . . . , A
nzaś spełniają warunki (a) − (c) z twierdzenia 12.7, to dla dowolnego k = 1, . . . , n zachodzi równość:
P (A
k|B) = P (B|A
k)P (A
k)
P (B) = P (B|A
k)P (A
k)
∑n i=1
