Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1
1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde dziecko otrzymało prezent?
2. Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzy- mamy karetę?
3. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa otrzymania a) dokładnie siedmiu kart jednego koloru; b) dokładnie sześciu kart jednego koloru.
4. Na bankiecie, przy okrągłym stole siadają losowo Ania, Bartek, Czarek i jeszcze 4 osoby.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania będzie siedzieć między Bartkiem i Czarkiem?
5. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany.
6. Grupa studentów liczy 23 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tej grupie są dwie osoby, które mają urodziny tego samego dnia (zakładamy, że żaden student nie jest uro- dzony w roku przestępnym).
7. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a) ze zwracaniem b) bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego koloru?
8. Na ile sposobów można rozdać n pączków k osobom? Pączki uznajemy za nierozróżnialne.
9. Rzucamy jednocześnie 7 identycznymi kostkami do gry. Ile jest możliwych wyników (nie rozróżniamy kostek)?
10. Losujemy 6 liczb z 49. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych nie będzie dwóch kolejnych liczb?
11. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostkami czy co najmniej raz obu jedynek przy 24 rzutach 2 kostkami?
12. W n rozróżnialnych urnach rozmieszczono losowo n rozróżnialnych kul. Jakie jest praw- dopodobieństwo, ze dokładnie jedna urna zostanie pusta?
13. Mamy n zapałek, każdą z nich dzielimy na dwie części (różnych typów). Następnie części te łączymy losowo w pary (możliwe jest, że w parze znajdą się dwie części tego samego typu).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że te pary połączą się w takich samych kombinacjach jak przed podziałem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że po połączeniu każda z par będzie się składać z dwóch części różnych typów?
14. W kolejce po bilety na mecz stoi n kibiców. Każdy z nich nosi szalik w kolorze A lub B.
Załóżmy (nierealistycznie), ze wszystkie możliwe układy kolorów sa jednakowo prawdo- podobne. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze żadne dwie kolejne osoby nie maja szalików w tym samym kolorze? Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kolejne osoby nie maja szalików w kolorze A?
Rachunek prawdopodobieństwa - seria 2
1. W małym schronisku są 3 pokoje: czteroosobowy, trzyosobowy i dwuosobowy. Dziwnym trafem schronisko jest puste, gdy pojawia się grupa 6 turystów i natychmiast zajmuje miejsca całkowicie losowo. Jaka jest szansa, że jeden pokój pozostanie pusty?
2. Miasto zbudowane jest na planie kwadratu i poszatkowane ulicami biegnącymi ze wscho- du na zachód i z północy na południe, przy czym ulic każdego typu jest po N = 2n+
1. Kierowca jedzie z południowo-zachodniego wierzchołka miasta na kraniec północno- wschodni, wybierając losowo jedna z najkrótszych dróg. Oblicz prawdopodobieństwo, ze kierowca przejedzie przez środek miasta.
3. Z jeziora wyłowiono 200 ryb, oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb, a wśród nich było 8 oznakowanych. Za rozsądną ocenę liczby ryb w jeziorze można uznać liczbę ryb, dla której zrealizowało się zdarzenie o największym prawdopodobieństwie. Jaka to liczba?
4. Pewien chłopiec ma dwie babcie, obie oczekują, że będzie on je regularnie odwiedzał.
Z przystanku przed jego domem odjeżdżają dwa tramwaje, tramwaj A, którym można dojechać do pierwszej babci i tramwaj B, którym można dojechać do drugiej. Chłopiec codziennie wychodzi z domu o losowej godzinie i wsiada w pierwszy tramwaj, który pojawi się na przystanku. Oba tramwaje jeżdżą co godzinę, a jednak okazuje się, że u jednej babci chłopiec bywa dużo częściej niż u drugiej. Jak to wyjaśnić?
5. Z koła o promieniu 1 wylosowano punkt zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on w odległości mniejszej niż 1/2 od środka koła.
Rozwiązać analogiczne zadanie dla kuli.
6. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt?
7. Na nieskończoną szachownicę o boku a rzuca się monetę średnicy 2r < a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) moneta znajdzie się całkowicie we wnętrzu jednego z pól b) przetnie się z co najwyżej jednym bokiem szachownicy?
8. (Igła Buffona) Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a > l. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze igła przetnie krawędź deski?
9. Rozdano 52 karty czterem graczom, po 13 każdemu. Jaka jest szansa, że a) każdy ma asa, b) każdy ma jakiegoś pika, c) każdy ma jakąś figurę?
10. Do 5 pustych wagonów metra wsiadło (losowo) 9 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żaden wagon nie będzie pusty.
11. Roztargniona sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych ko- pertach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 3
1. (Paradoks Simpsona) Populacja miasta A składa się w 20% z Krakowiaków i w 80% z Górali zaś populacja miasta B w 80% z Górali i w 20% z Krakowiaków. 10% Krakowia- ków i 30% Górali zamieszkałych w mieście A ma rude włosy. Z kolei w mieście B rude włosy posiada 20% Krakowiaków i 40% Górali. W którym mieście jest większy odsetek mieszkańców z rudymi włosami?
2. Gracz dostał 13 kart z 52, obejrzał 8 z nich i stwierdził, że nie ma asa. Jaka jest szansa, że w ogóle nie ma asa ?
3. Wybrano losowo małżeństwo z dwojgiem dzieci i okazało się, że a) ich starsze dziecko to chłopiec b) mają syna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że mają dwóch synów?
4. Wybrano losowo rodzinę z dwojgiem dzieci i okazało się, że jedno z dzieci ma na drugie imię Franek. Jaka jest szansa, że drugie dziecko jest chłopcem (nie wykluczamy, że też ma na drugie imię Franek)?
5. W teleturnieju gracz ma do wyboru trzy koperty, dwie puste, jedną z nagrodą pieniężną.
Gdy dokona wyboru, prowadzący otwiera jedną z odrzuconych kopert i pokazuje, że jest pusta. Gracz może w tym momencie zatrzymać wybraną wcześniej kopertę lub zmienić wybór i wziąć pozostałą z odrzuconych wcześniej kopert. Która strategia jest lepsza?
6. Na loterii jest 10 losów wygrywających, 100 przegrywających i 1000 uprawniających do kolejnego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania?
7. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, w drugiej urnie są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeśli wypadnie mniej niż 5 oczek, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie z drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?
8. (Schemat urnowy Polya) W urnie mamy b kul białych i c czarnych. Powtarzamy n razy następującą operację: losujemy kulę z urny, następnie wkładamy ją z powrotem, dokładając dodatkowo jeszcze a kul tego samego koloru.
• Wykazać, że prawdopodobieństwo wylosowania za n-tym razem kuli białej wynosi
b b+c.
9. Wśród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3.
W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna?
10. Test na chorobę X daje wynik pozytywny u wszystkich chorych oraz fałszywy wynik pozytywny u 1% zdrowych. Wiadomo, że na chorobę X cierpi 10% populacji. U pacjenta test dał wynik pozytywny, jakie jest prawdopodobieństwo, że pacjent jest chory?
11. Król Artur urządza turniej rycerski, w którym rycerze spotykają się systemem turniejo- wym. Obaj uczestnicy każdego pojedynku mają równe szanse na zwycięstwo. Wśród 2n uczestników jest dwóch braci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spotkają się w pojedyn- ku?
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 4
1. Losujemy kartę z talii kart 5 kart. Czy zdarzenia A i B są niezależne, gdzie a) A – wylosowanie asa, B – wylosowanie karty czerwonej,
b) A – wyciągnięcie karty mniejszej niż 10, B – wyciągnięcie pika, c) A – wyciągnięcie pika, B – wyciągnięcie czarnego asa.
2. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać a) z mistrzem, z kolegą klubowym, z mistrzem b) z kolegą, z mistrzem, z kolegą. Który wariant jest dla niego korzystniejszy przy założeniu niezależności wyników poszczególnych gier?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu równym p?
4. Dwaj gracze rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucą tę samą liczbę orłów?
5. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w ciągu n prób Bernouliego?
6. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Jaka jest szansa otrzymania większej liczby orłów niż reszek?
7. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko, w drugim będzie k zapałek, dla k = 1, . . . , m, gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku (zakładamy, że w chwili początkowej oba pudełka są pełne)?
8. Bolek i Lolek grają w szachy do momentu gdy jeden z nich wygra dwie partie pod rząd.
Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wygra Lolek, jeśli prawdopodobieństwo wygrania przez niego pojedynczej partii wynosi p? Zakładamy, że wyniki poszczególnych partii są nieza- leżne.
9. W sytuacji z poprzedniego zadania, przyjmijmy, że prawdopodobieństwo, że Bolek wygra pierwszą partię wynosi 1/2, ale począwszy od drugiej partii, prawdopodobieństwo wygra- nej Bolka zależy od tego, czy wygrał poprzednią partię. Jeśli dopiero co odniósł sukces, czuje się pewnie i wygrywa z prawdopodobieństwem 3/4, jeśli poprzednia partia zakoń- czyła się jego przegraną, zżera go trema i wygrywa z mniejszym prawdopodobieństwem, równym 1/3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Bolek wygra całą rozgrywkę?
10. Rzucamy monetą aż do otrzymania pierwszego orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wydarzy się to w parzystym rzucie, jeżeli prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w poje- dynczym rzucie wynosi p, zaś rzuty są niezależne?
11. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek sześciennych, suma oczek 2 wypadnie przed sumą oczek 4?
12. Wyznaczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że wśród 365 wybranych losowo osób z rocznika 1991, dokładnie 5 urodziło się 23 lub 24 kwietnia. Zakładamy, że wszystkie dni urodzin są równo prawdopodobne.
13. Prawdopodobieństwo, że nowy zegarek jest wadliwy wynosi 1/1000. Jakie jest w przybli- żeniu prawdopodobieństwo, że w partii 1000 zegarków będą co najmniej 3 zepsute?
14. W mieście ginie 7 samochodów tygodniowo. Jakie jest w przybliżeniu prawdopodobień- stwo, że jutro będzie dzień bez kradzieży przy założeniu stałej intensywności działania złodziei?
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 5
1. Owad składa k jaj z prawdopodobieństwem k!1λke−k zaś z każdego jaja potomek wyklu- wa się z prawdopodobieństwem p. Jakie jest prawdopodobieństwo, że owad będzie miał dokładnie l potomków?
2. Wyznaczyć dystrybuantę rozkładów a) dwupunktowego pδa+ (1 − p)δb, gdzie a < b, b) geometrycznego z parametrem p, c) jednostajnego na odcinku (a, b).
3. Sprawdzić, że funkcja g(x) = 12e−|x| jest gęstością prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dys- trybuantę odpowiadającego jej rozkładu.
4. Udowodnić, że funkcja g : R → R, dana wzorem g(x) = √12πe−t2/2 jest gęstością prawdo- podobieństwa.
5. Losujemy punkt z okręgu o promieniu 1 i środku w punkcie (0, 0). Niech (X, Y ) ozna- czają współrzędne wylosowanego punktu. Znaleźć dystrybuantę i gęstość (jeśli istnieje) zmiennej X.
6. Rozwiązać poprzednie zadanie, jeśli punkt (X, Y ) losujemy nie z okręgu, a z koła o pro- mieniu 1 i środku w punkcie (0, 0).
7. Zmienna X ma rozkład jednostajny na odcinku (0, 1). Znaleźć rozkład zmiennej Y =
− ln X.
8. Udowodnić, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci, tzn. jeśli X ∼ Exp(λ), to P(X t + h|X h) = P(X t) dla t, h > 0.
9. Sformułować i wykazać własność braku pamięci dla rozkładu geometrycznego.
10. Losujemy punkt P z kuli o środku O i promieniu 1. Niech X będzie odległością między punktami O i P . Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.
11. Zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości (o ile istnieją) dla a) Y = eX, b) Y = X2.
12. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć rozkład zmiennych a) Y = 1/(X + 1), b) Y = (X + 1)2, c) Y =√
X.
13. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (−π/2, π). Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = sin x.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 6
1. Zmienna X ma rozkład
P(X = 1) = P(X = −1) = 1/4, P(X = 0) = 1/2.
Wyznaczyć wartości oczekiwane zmiennych sin(πX), 2X, X(X − 1).
2. Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje rozkładów a) Bernoullego z parametrami n, p,
b) geometrycznego z parametrem p.
c) Poissona z parametrem λ.
3. Zmienna X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2π]. Znaleźć wartość oczekiwaną zmien- nej Y = f (X), jeśli
a) f (x) = sin x, b) f (x) = cos2x.
c) f (x) = − ln x d)
f (x) =
x2 dla x ∈ [0, π/2]
sin x dla x ∈ (π/2, 3π/2]
1 dla x ∈ (3π/2, 2π]
4. Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje rozkładów a) jednostajnego na odcinku [a, b],
b) wykładniczego z parametrem λ,
c) symetrycznego wykładniczego, tzn. rozkładu o gęstości f (x) = 12exp(−|x|).
5. Rzucamy n razy monetą o prawdopodobieństwie wyrzucenia orła równym p. Niech X oznacza różnicę między liczbą wyrzuconych orłów i reszek. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
6. Z talii 52 kart losujemy 6. Niech X oznacza liczbę pików wśród wylosowanych kart. Wy- znaczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
7. Roztrzepana sekretarka umieściła n listów w n uprzednio zaadresowanych kopertach.
Niech X oznacza liczbę listów, które trafiły do właściwych kopert. Znaleźć wartość ocze- kiwaną i wariancję X.
8. Urna zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy bez zwracania n kul (n ¬ N ) i definiujemy zmienną losową X jako liczbę wylosowanych kul białych. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X.
9. Rzucamy kostką aż do momentu wyrzucenia wszystkich możliwych wyników. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby rzutów.
10. Losujemy punkt z koła o promieniu 1. Niech R oznacza odległość wylosowanego punktu od środka koła. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję R.
11. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (0, 1). Dla k ∈ N znaleźć EXk.
12. Niech X będzie zmienną losową. Dla jakiej wartości t funkcja f (t) = E(X − t)2 przyjmuje wartość najmniejszą?
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 7
1. Rzucamy dwa razy monetą. Niech X = 1 jeśli w pierwszym rzucie wypadł orzeł i X = 0 w przeciwnym wypadku. Niech Y będzie łączną liczbą orłów w obu rzutach. Znaleźć rozkład łączny (X, Y ) oraz rozkłady brzegowe.
2. Niech (X, Y ) ma gęstość
f (x, y) =
( 1 dla 0 < x < 1, 0 < y < 2x 0 w p.p.
Wyznaczyć P(X > 12, Y > 1) oraz rozkłady brzegowe.
3. Niech (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) =
( 8xy dla x, y > 0, x2+ y2 ¬ 1 0 w p.p.
Obliczyć EX i EXY2.
4. Bolek, Lolek rzucają symetryczną monetą, każdy z nich wykonuje serię rzutów do momen- tu wyrzucenia orła. Niech TB(odp. TL) oznacza numer rzutu w którym Bolek (odp. Lolek) wyrzucił po raz pierwszy orła. Znaleźć rozkład zmiennej X = min(TB, TL). Obliczyć EX.
5. Zmienna dwuwymiarowa X = (X1, X2) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierz- chołkach (0, 0), (1, 0), (0, 1). Wyznaczyć średnią i macierz kowariancji wektora X oraz współczynnik korelacji między zmiennymi X1 i X2.
6. W grupie n monet jest k fałszywych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem p > 1/2. Losujemy monetę, a następnie rzucamy nią dwukrotnie. Niech Xi = 1 jeśli w i-tym rzucie wypadł orzeł i Xi = 0 w przeciwnym wypadku. Czy zmienne X1, X2 są niezależne?
7. Czy zmienne X, Y są niezależne, jeżeli wektor(X, Y ) ma rozkład jednostajny na a) kole o środku (0, 0) i promieniu 1 b) kwadracie o wierzchołkach w punktach (±1, ±1)?
8. Podać przykład trzech zmiennych losowych, niezależnych parami, ale nie łącznie.
9. Podać przykład nieskorelowanych zmiennych losowych, które nie są niezależne.
10. Niech Xi, i = 1, . . . , n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odp. Exp(λi).
Wyznaczyć rozkład zmiennej Y = min(X1, . . . , Xn)
11. Dysponujemy dwoma wynikami pomiarów pewnej wielkości fizycznej. Błędy poszczegól- nych pomiarów to zmienne losowe X1, X2 o średniej 0 i wariancjach odpowiednio σ21, σ22. Jako ostateczny wynik chcielibyśmy przyjąć średnią ważoną z wyników poszczególnych pomiarów. Jakie wagi przyjąć by błąd średniokwadratowy (czyli wariancja ostatecznego wyniku) był jak najmniejszy? Zakładamy, że pomiary są niezależne.
