• każdy wierzchołek reprezentuje miasto.

Wykład 7

Algorytmy grafowe

Definicje i własności

Reprezentacja

Przeszukiwanie wszerz (Breadth-First Search)

Przeszukiwanie w głąb (Depth-First Search)

Sortowanie topologiczne

Literatura

– Cormen, Leiserson, Rivest, “Wprowadzenie do algorytmów”, rozdział 23

Wiele zjawisk może być opisanych poprzez binarne relacje pomiędzy obiektami:

– Wszelkiego typu mapy drogowe i plany – Odsyłacze w stronach WWW

Graf jest abstrakcyjną strukturą opisującą takie binarne relacje pomiędzy elementami.

Bardzo dużo problemów można sprowadzić do rozwiązywania zadań grafowych: najkrótszej ścieżki, połączenia pomiędzy węzłami,

minimalnego drzewa rozpinającego, etc.

• każdy wierzchołek reprezentuje miasto.

• każda krawędź reprezentuje bezpośrednie połączenie lotnicze pomiędzy miastami.

• pytanie o bezpośrednie połączenie = pytanie czy istnieje krawędź.

• pytanie o połączenie = czy istnieje droga z A do B.

• z połączeniami możemy powiązać koszty (grafy ważone), wtedy

sensowne staje się pytanie o najtańsze połączenie z A do B.

Stacje są

wierzchołkami

Połączenia pomiędzy stacjami są

krawędziami

Najkrótsza droga=

najmniejsza odległość,

najmniejszy czas.

Stacje, do których można dojechać (osiągalne).

wierzchołków, E = {e₁, .. e_m} jest zbiorem krawędzi. Krawędź e_k = (v_i ,v_j) łączy dwa wierzchołki v_i i v_jze zbioru V.

Krawędzie mogą być skierowane lub nie (uporządkowane lub nieuporządkowane): e_ij: v_i— v_j lub e_ij: v_i—> v_j

Graf G nazywamy skończonym jeśli |V| i |E| są skończone.

Przez rozmiar grafu G rozumiemy |G| = |V| + |E|.

Niech V = {1,2,3,4,5,6}

1 2 3

4 5 6

Graf skierowany

1 2 3

4 5 6

Graf nieskierowany

Każdy graf można uważać za graf ważony (dla każdej krawędzi

przypisujemy wagę 1). Jeśli dwa wierzchołki nie są połączone to można je traktować jako połączone z wagą ∞.

1 2 3

4 5 6

4

2

8

1 5

Koszt ścieżki: suma

kosztów poszczególnych krawędzi

( ) ∑ ( )

=

=

i

i

i

v

v c p

c

1

1

,

6

W grafie skierowanym krawędzie są skierowane tj. e = (u,v) zaczyna się w u i kończy w v (v jest połączone z u).

Dopuszczalne jest połączenie wierzchołka z samym sobą e = (u,u)

Stopień wchodzący (indegree) d_in(v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wchodzących do v. Odpowiednio stopień wychodzący

(outdegree) d_out(v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wychodzących z v. Σd_in(v_i) = Σd_out(v_i)

Ścieżka z u do v w grafie G = (V,E) o długości k jest sekwencją

wierzchołków <u = v₀,v₁,…, v_k = v> taką że dla i =1,…,k para (v_i–1,v_i) należy do E.

Grafy nieskierowane nie mogą mieć połączeń wierzchołka z samym sobą

Połączenie jest relacją symetryczną: jeśli e = (u,v) to u jest sąsiadem v oraz v jest sąsiadem u.

Stopień wierzchołka d(v) jest ilością jego sąsiadów - Σd(v_i) = 2|E|.

Określenie ścieżki w grafie – tak samo jak dla grafu skierowanego.

Cyklem nazywamy ścieżkę, która rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku.

Grafem spójnym nazywamy nieskierowany graf dla którego istnieje ścieżka pomiędzy dwoma dowolnymi wierzchołkami (każdy wierzchołek jest

osiągalny, z każdego innego wierzchołka).

Grafem silnie spójnym nazywamy graf skierowany, dla którego dla każdych dwóch wierzchołków u i v istnieje droga z u do v oraz z v do u.

Graf G’= (V’,E’) jest pod-grafem G = (V,E), jeśli G’ ⊆⊆⊆⊆ G jeśli V’ ⊆⊆⊆⊆ V oraz E’ ⊆⊆⊆⊆ E.

– Graf dla którego E| = |V| nazywamy kliką (każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią).

W każdym spójnym grafie jest co najmniej |E| ≥≥≥≥ |V|–1 krawędzi.

– Dowód: przez indukcje dla |V|.

Graf planarny (graf płaski) – graf, który da się narysować na płaszczyźnie tak, by łuki obrazujące krawędzie grafu nie przecinały się. Dla grafu planarnego mamy |E| = O(|V|). Dwa minimalne grafy, które nie są planarne, to K₅ i K_3,3. Twierdzenie Kuratowskiego (1930) mówi, że graf skończony jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K₅ ani z grafem K_3,3.

Ścieżkę nazywamy prostą jeżeli żaden wierzchołek nie występuje w niej więcej niż raz

• Składa się z różnych wierzchołków

Ścieżkę nazywamy cyklem wtedy i tylko wtedy jeśli v

= v

.

• Rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku!

W ścieżkach zawierających cykl jako podścieżkę wierzchołki mogą

pojawiać się kilkakrotnie.

1. {a,c,f,e} → ścieżka prosta, L = 3 2. {a,b,d,c,f,e} → ścieżka prosta, L = 5 3. {a,c,d,b,d,c,f,e} → ścieżka zawiera

cykl {d,b,d}

4. {a,c,d,b,a} → cykl, L = 4

5. {a,c,f,e,b,d,c,a} → cykl, L = 7

Drzewo jest to spójny graf, który nie zawiera cykli.

Drzewo ma |E| =|V|–1 krawędzi.

Następujące 3 własności są równoważne:

1. G jest drzewem.

2. G nie ma cykli; dodanie nowej krawędzi buduje cykl.

3. G jest spójny; po usunięciu dowolnego węzła przestaje taki być.

Podobnie można podąć definicje drzewa skierowanego.

jego sąsiadów w grafie. Rozmiar takiej reprezentacji to: ΘΘΘ(|V|+|E|).Θ 2. Macierz sąsiedztwa: macierz |V| ×|V|, w której krawędź e = (u,v)

jest reprezentowana przez niezerowe wejście (u,v). Rozmiar takiej reprezentacji to : ΘΘΘ(|V|Θ ²).

Lista sąsiedztwa jest wygodniejsza dla dla „rzadkich” grafów.

Macierz sąsiedztwa jest wygodniejsza dla dla „gęstych” grafów.

1 2 3

4 5 6

V L _i

1 2 3 4 5 6

nul l

6

3

5 2

1 5

2 1

V = {1,2,3,4,5,6}

E = {(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}

1 2 3

4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1

1 1

1 1

1

1

1

Dla grafów nieskierowanych, A = A



lista sąsiedztwa



bardziej zwarta niż macierz sąsiedztwa (dobra dla rzadkich grafów)



stwierdzenie czy istnieje krawędź zajmuje więcej czasu



macierz sąsiedztwa



zawsze wymaga Θ(n

) pamięci



często „marnujemy” dużo pamięci



szybko możemy odnaleźć informację o krawędzi

2

4

3

5 1

7

6 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

9 7 3 2 8

8 4 1

5 4 1

3 2

6 3

7 5

6 1

9 2 0

8 1

Lista sąsiedztwa

0 1 0 0 0 0 0 0 1 9 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 8 1

0 0 0 1 0 0 0 0 1 7 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 6 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 4 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 3 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0

Θ Θ Θ Θ(E) Θ

Θ Θ Θ(E) Θ

ΘΘ Θ(V²) Odnalezienie wszystkich krawędzi

ΘΘ ΘΘ(E) ΘΘ

ΘΘ(E) ΘΘ

ΘΘ(V) Odnajdowanie krawędzi

kończących się wv

Θ Θ ΘΘ(E) Θ

ΘΘ

Θ(V + E) Θ

ΘΘ Θ(V²) pamięć

Θ Θ ΘΘ(E) Ο

Ο

ΟΟ(outdegree[u]) Θ

Θ ΘΘ(V) Odnajdowanie krawędzi

rozpoczynających się w u

Ο Ο Ο Ο(E) Ο

Ο Ο

Ο(outdegree[u]) Θ

Θ Θ Θ(1) Sprawdzenie istnienia połączenia

(u, v)

Lista krawędzi Lista sąsiedztwa

Macierz sąsiedztwa

– Najbardziej popularne są dwa algorytmy:

• Breadth-First Search (BFS) – przeszukiwanie wszerz

 Odnajduje drogi (najkrótsze drogi) w grafach nieskierowanych.

 Odnajduje połączone wierzchołki.

• Depth-First Search (DFS) – przeszukiwanie w głąb

 Odnajduje drogi w grafach nieskierowanych..

 Odnajduje połączone wierzchołki.

 Przeprowadza topologiczne sortowanie w grafach skierowanych (liniowe uporządkowanie wierzchołków, w którym jeśli istnieje krawędź skierowana prowadząca od wierzchołka x do y, to x znajdzie się przed wierzchołkiem y. Innymi słowy, każdy wierzchołek poprzedza wszystkie te wierzchołki, do których prowadzą wychodzące od niego krawędzie).

Mając dany dowolny wierzchołek s, BFS odwiedza wierzchołki w porządku rosnącym (względem odległości od s). W każdym kroku, BFS odwiedza wszystkie osiągalne wierzchołki o stałej odległości. W taki sposób, BFS odkrywa wszystkie drogi od s do innych wierzchołków.

Co oznacza termin “odległość”? Ilość krawędzi w ścieżce od s.

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

s= 1

Wierzchołki odległe o1?

2, 3, 7, 9

1

1 1

1 2

2

s

Przykład

Wierzchołki odległe o 2?

8, 6, 5, 4

Wierzchołki odległe o 3?

// flag[ ]: visited table

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

Lista sąsiedztwa

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Visited Table (T/F)

F F F F F F F F F F

Q = { }

Inicjalizacja tablicy (wszystko false)

Inicjalizacja kolejki Q (pusta)

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

F F F F F

Q = { 2 }

Oznaczamy 2 jako odwiedzone

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

F T F F F T F T T F

Q = {2} → Q = { 8, 1, 4 }

Oznacz sąsiadów 1, 4, 8

jako odwiedzonych

Dequeue 2.

Umieść wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów 2 w kolejce

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T F F F

Q = { 8, 1, 4 } → Q = { 1, 4, 0, 9 }

Oznacz

nowo-odwiedzonych 0, 9

Dequeue 8.

- umieść wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów 8 w kolejce

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F F T T T T T

Q = { 1, 4, 0, 9 } → Q = { 4, 0, 9, 3, 7 }

Oznacz

nowo-odwiedzonych 3, 7

Dequeue 1.

- dodaj do kolejki nieodwiedzonych sąsiadów1.

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T F F

Q = { 4, 0, 9, 3, 7 } → Q = { 0, 9, 3, 7 } Dequeue 4.

- 4 nie posiada nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F F T T T T T

Q = { 0, 9, 3, 7 } → Q = { 9, 3, 7 } Dequeue 0.

- 0 nie ma nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T F F

Q = { 9, 3, 7 } → Q = { 3, 7 } Dequeue 9.

- 9 nie ma nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F T T T T T T

Q = { 3, 7 } → Q = { 7, 5 } Dequeue 3.

- dodajemy 5 do kolejki.

Neighbors

Oznaczamy 5

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T T T

Q = { 7, 5 } → Q = { 5, 6 } Dequeue 7.

- dodajemy 6 do kolejki

Neighbors

Oznaczamy 6

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

Q = Q = Q =

Q = { 5, 6} → Q = Q = Q = Q = { 6 } Dequeue 5.

- nie ma nieodwiedzonych sąsiadów 5

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T T T T

Q = { 6 } → Q = { } Dequeue 6.

- brak nieodwiedzonych sąsiadów 6

Neighbors

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

Q = { }

STOP!!! Q jest pusta!!!

Co osiągnęliśmy?

Wszystkie wierzchołki zostały odwiedzone.

Istnieje droga od wierzchołka 2 Do wszystkich pozostałych w grafie

Każdy wierzchołek trafia do Q (enqueued i dequeued)

co najwyżej raz.

Każda iteracja zajmuje czas proporcjonalny do deg(v) + 1 ( “+1” ze względu na dequeue).

O(n + m)

W grafie o m krawędziach suma stopni wierzchołków wynosi?

Stąd całkowity czas działania (pętla while):

Suma wszystkich iteracji w pętli while!

O( Σ

(deg(v) + 1) ) = O(2m+n) = O(n+m)

Σ

deg(v) = 2m

Odnalezienie sąsiadów v wymaga przejrzenia wszystkich elementów w wierszu. Zajmuje to czas O(n).

Sumując to dla wszystkich iteracji dostajemy O(n²).

O(n ² )

Dostajemy stąd, że, BFS w tej wersji ma

złożoność O(n²) niezależnie od ilości krawędzi m.

Dla listy sąsiedztwa mieliśmy O(n+m);

Jeśli m=O(n²), (graf gęsty) to dostajemy O(n+m)=O(n²).

BFS pokazuje jedynie czy istnieje połączenie ze źródła s do pozostałych wierzchołków v.

– Nie odnajduje ścieżki!

– Potrzebujemy modyfikacji algorytmu odnajdującej ścieżki

Jak to zrobić?

– Nie wiemy które wierzchołki leżą na ścieżce dopóki nie dojdziemy do v!

– Ale, dla pary {w,v}, wiemy czy w był odwiedzony z v.

– Efektywne rozwiązanie:

• Wykorzystać dodatkową tablicę pred[0..n-1] do zapamiętywania poprzedników dla każdego wierzchołka.

• Pred[w] = v oznacza, że w został odwiedzony z v.

inicjujemy pred[v]

Oznaczamy skąd

przyszliśmy.

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Visited Table (T/F)

F F F F F F F F F F

Q = { }

- - - - - - - - - -

Pred

2

4

3

5 1

7

6

source

9 8 7 6 5

F F F F F

Q =

- - - - -

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

F T F F F T F T T F

Q =

Q =

Oznaczamy że przyszliśmy z 2.

Neighbors

- 2 - - - 2 - - 2 -

Pred

Dequeue 2

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T F F F

Q =

Q =

Oznaczamy, że przyszliśmy z 8.

Dequeue 8.

Neighbors

8 2 - - -

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F F T T T T T

Q =

Q =

Przyszliśmy z 1

Dequeue 1.

Neighbors

8 2 1 - - 2 1 - 2 8

Pred

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T F F

Q =

Q =

- 4 nie ma nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors

8 2 1 - -

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F F T T T T T

Q =

Q =

- 0 nie ma nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors

8 2 1 - - 2 1 - 2 8

Pred

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T F F

Q =

Q =

- 9 nie ma nieodwiedzonych sąsiadów!

Neighbors ⁸

2 1 - -

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T F T T T T T T

Q =

Q =

Neighbors

8 2 1 - 3 2 1 - 2 8

Pred

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T T T

Q =

Q =

Neighbors

8 2 1 7 3

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

Q =

Q =

Neighbors

8 2 1 7 3 2 1 - 2 8

Pred

2

4

3

5 1

7

6

source 9

9 8 7 6 5

T T T T T

Q =

Q =

Neighbors

8 2 1 7 3

Pred

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

Q =

STOP!!! Q jest pusta!!!

Tablicę Pred można teraz

wykorzystać do pokazania ścieżek!

8 2 1 7 3 2 1 - 2 8

Pred

8 2 1 7 3 2 1 -

9 8 7 6 5 4 3 2

Np:

Path(0) →2,8,0 Path(6) →2,1,7,6 Path(1) →2,1

Algorytm rekursywny

Ścieżki odnalezione przez BFS można przedstawić w postaci drzewa z korzeniem (nazywa się je BFS tree), gdzie początkowy wierzchołek jest korzeniem.

BFS tree dla wierzchołka s=2.

DFS może pokazać informacje o grafie które trudno uzyskać przy BFS.

– Np. czy w grafie istnieją cykle?

Algorytm DFS odwiedza sąsiadów korzystając z rekurencji.

– Kiedykolwiek odwiedzamy v z u, rekursywnie odwiedzamy wszystkich nieodwiedzonych do tej pory sąsiadów v. Potem powracamy do u...

– Zauważmy: możliwe jest, że w2 nie był odwiedzony kiedy rekursywnie odwiedzaliśmy w1, ale zostanie odwiedzony w czasie kiedy powrócimy z wywołania rekursywnego.

u v

w1 w2

w3

oznaczamy wszystkie

nieodwiedzone wierzchołki

Oznaczamy węzeł jako odwiedzony.

Dla wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów wywołaj rekursywnie RDFS(w) Można podobnie jak poprzednio oznaczać

Ścieżki przy pomocy pred[ ].

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Visited Table (T/F)

F F F F F F F F F F

- - - - - - - - - -

Pred

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

F F F F F

Oznaczamy 2 Jako odwiedzone

- - - - -

Pred

RDFS( 2 )

teraz wywołujemy RDFS(8)

2

4

3

5 1

7

6 9

8

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

F T F F F F F T F F

8 - odwiedzone Pred[8] oznaczone

- 2 - - - - - - - -

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

2 już odwiedzone, wywołujemy RDFS(0)

Rekursywne wywołanie

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

F T F F F

Oznaczamy 0 jako odwiedzone i Pred[0]

- 2 - - -

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

RDFS(0) -> brak nieodwiedzonych sąsiadów, powrót do RDFS(8)

Rekursywne wywołanie

2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

F T F F F F F T F T

- 2 - - - - - - - 8

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

teraz odwiedzamy 9 -> RDFS(9)

Rekursywne wywołanie

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

T T F F F

Ozn. 9 i Pred[9]

8 2 - - -

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

RDFS(9)

-> odwiedzamy 1, RDFS(1)

Rekursywne wywołanie

2

4

3

5 1

7

6 9

8

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T F F F F F T T T

Oznaczamy 1 i Pred[1]

8 2 - - - - - - 9 8

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

odwiedzamy RDFS(3)

Rekursywne wywołanie

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

T T F F F

Oznaczamy 3 i Pred[3]

8 2 - - -

Pred

RDFS( 2 ) RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3)

Rekursywne wywołanie

RDFS( 2 ) RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3)

RDFS(4)  STOP wszyscy sąsiedzi 4 są już odwiedzeni wracamy do RDFS(3)

2

4

3

5 1

7

6 9

8

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T F F F T T T T T

Oznaczamy 4 i Pred[4]

8 2 - - - 3 1 - 9 8

Pred

Rekursywne wywołanie

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

T T F F F

8 2 - - -

Pred RDFS( 2 )

RDFS(8) RDFS(9)

RDFS(1)

RDFS(3)

odwiedzamy 5 -> RDFS(5) Powrót do 3

Rekursywne wywołanie

2

4

3

5 1

7

6 9

8

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T F F T T T T T T

8 2 - - 3 3 1 - 9 8

Pred RDFS( 2 )

RDFS(8) RDFS(9)

RDFS(1)

RDFS(3) RDFS(5)

3 już odwiedzone, wracamy do 6 -> RDFS(6)

Oznaczamy 5 i Pred[5]

Rekursywne wywołanie

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5

T T F T T

8 2 - 5 3

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3) RDFS(5)

RDFS(6)

Oznaczamy 6 i Pred[6]

Rekursywne wywołanie

2

4

3

5 1

7

6 9

8

source

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

8 2 6 5 3 3 1 - 9 8

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3) RDFS(5)

RDFS(6)

Oznaczamy 7 i Pred[7]

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5

T T T T T

8 2 6 5 3

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3) RDFS(5)

RDFS(6) -> Stop 4

3

5 1

7

6

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

8 2 6 5 3 3 1 - 9 8

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3)

RDFS(5) -> Stop 2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5

T T T T T

8 2 6 5 3

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) RDFS(1)

RDFS(3) -> Stop 4

3

5 1

7

6

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

8 2 6 5 3 3 1 - 9 8

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9)

RDFS(1) -> Stop 2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5

T T T T T

8 2 6 5 3

RDFS( 2 ) Pred RDFS(8)

RDFS(9) -> Stop 4

3

5 1

7

6

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

T T T T T T T T T T

8 2 6 5 3 3 1 - 9 8

RDFS( 2 ) Pred

RDFS(8) -> Stop 2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

Rekursywne wywołanie

9 8 7 6 5

T T T T T

8 2 6 5 3

RDFS( 2 ) -> Stop Pred

Rekurencyjne wywołania zakończone

4

3

5 1

7

6

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Visited Table (T/F)

T T T T T T T T T T

8 2 6 5 3 3 1 - 9 8

Pred

Np.

Path(0) ->2 8 0

Path(6) ->2 8 9 1 3 5 6 Path(7) ->2 8 9 1 3 5 6 7 2

4

3

5 1

7

6 9

8 0

source

Odzwierciedla on strukturę wywołań rekurencyjnych.

-

kiedy odwiedzamy sąsiada w wierzchołka v, dodajemy w jako dziecko v.

-

kiedy DFS powraca z wierzchołka v,

powracamy do rodzica v.

(z zastosowaniem list sąsiedztwa)

Nigdy nie odwiedzamy wierzchołka więcej niż raz.

Musimy zatem sprawdzić wszystkie wierzchołki grafu.

– Wiemy, że Σ_{vertex v} degree(v) = 2m, gdzie m jest ilością krawędzi.

Dla każdego z wierzchołków zabiera to czas proporcjonalny do deg(v) + 1.

Stąd czas wykonania DFS jest proporcjonalny do sumy ilości wierzchołków i krawędzi (tak jak dla BFS).

– O(n + m) gdzie n – ilość wierzchołków, m – ilość krawędzi.

Inny zapis:

– O(|v|+|e|) |v| = ilość wierzchołków (n)

|e| = ilość krawędzi (m)

D

E

A

C

F B

G

K

H L

N

M

O R

P Q

s

Jak stwierdzić czy dwa wierzchołki są połączone?

Czy A jest połączone z F?

Czy A jest połączone z L?

G =

Graf nazywamy spójnym jeśli dla każdej pary wierzchołków istnieje droga łącząca je.

Jak można stwierdzić czy graf jest spójny?

– Wykorzystać BFS lub DFS (wybierając dowolnie jakiś wierzchołek jako początek).

– Jeśli odwiedziliśmy wszystkie wierzchołki to graf jest spójny.

– Czas takiej procedury? O(n + m)

niespójny spójny

Spójną składową grafu jest maksymalny spójny podgraf tego grafu.

Zbiór spójnych składowych jest jednoznaczny dla każdego grafu.

Przykład: poniższy graf można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy 3 spójnych podgrafów: C1, C2 i C3.

Odnajdujemy wszystkie wierzchołki połączone z

“v” => tworzą jedną spójną składową

Zwykły DFS

dla każdego z podgrafów (i=1,2,…):

Stąd dla całego grafu:

) ( n _i m _i O +

∑

∑

∑ ^{+ = + = +}

i

i i

i i

i

i

m O n m O n m

n

O ( ) ( ) ( )

Dopuszczalne jest połączenie wierzchołka z samym sobą e = (u,u)

Stopień wchodzący (in-degree) d_in(v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wchodzących do v. Odpowiednio stopień wychodzący (out-

degree) d_out(v) dla wierzchołka v jest ilością krawędzi wychodzących z v.

Σd_in(v_i) = Σd_out(v_i)

Ścieżka z u do v w grafie G = (V,E) o długości k jest sekwencją

wierzchołków <u = v₀,v₁,…, v_k = v> taką że dla i =1,…,k para (v_i–1,v_i) należy do E.

Można korzystać zarówno z macierzy sąsiedztwa, jak i z list sąsiedztwa.

z

do

Cykl skierowany jest skierowaną ścieżką o tożsamym początku i końcu.

Graf skierowany jest acykliczny jeśli nie zawiera cykli skierowanych.

W wypadku grafów skierowanych nie można po prostu mówić o stopniu wierzchołka deg(v)

Zamiast tego będziemy mówić o ilości krawędzi „wchodzących” Indegree(v) oraz „wychodzących” z wierzchołka Outdegree(v)

Każdej krawędź arc(u,v) będzie liczona 2 razy: jako outdegree dla u oraz indegree dla v.

vertex vertex

indegree( ) outdegree( )

v v

v = v = m

∑ ∑

Obliczanie Indegree

– Rozpoczynamy od indegree[v]=0 dla każdego wierzchołka v.

– Przeglądamy listy adj[v] dla każdego v.

• Dla każdego odnalezionego wierzchołka: indegree[w]++;

• Czas wykonania: O(n+m).

0

1

2

3

4

5 6

7

8

9

Indeg(2)? 2 Indeg(8)? 2 Outdeg(0)? 3 Ilość krawędzi?

m = 13

outdegree? 13

indegree? 13

zależnych.

– Tj. takich że każde następne może rozpocząć się dopiero po zakończeniu innego.

Zależności takie mogą być modelowane poprzez krawędzie skierowane (arc).

arc (i,j) oznacza, że zadanie j nie może rozpocząć się przed zakończeniem zadania i.

Oczywiście, żeby praca się zakończyła taki graf nie może być cykliczny.

i j

liniowe uporządkowanie wierzchołków, w którym jeśli istnieje krawędź skierowana prowadząca od wierzchołka x do y, to x znajdzie się przed wierzchołkiem y. Innymi słowy, każdy wierzchołek poprzedza wszystkie te wierzchołki, do których prowadzą wychodzące od niego krawędzie.

Wierzchołki w każdym grafie acyklicznym skierowanym można posortować topologicznie na jeden lub więcej sposobów.

0

1 2

3

4 5

6

7

8

9

np. 0 6 1 4 3 2 7 5 8 9

Algorytm:

1. Jeśli indegree dla wierzchołka wynosi zero można od niego zacząć (wypisujemy).

2. Jeśli wierzchołek i został wypisany to krawędzie wychodzące z niego nie są już potrzebne – możemy usunąć wszystkie krawędzie wychodzące z i oraz samo i.

3. Po usunięciu z grafu wierzchołka i pozostaje on acykliczny i można rozumowanie powtórzyć.

Znajdujemy punkt startowy

redukujemy indegree(w)

Wkładamy nowy start do kolejki Q

0

1 2

3

4 5

6

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3

2 7 5

8 5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3 2

2 2 1 1 2 1 1 2

Q = { 0 }

OUTPUT:

0

0

1 2

3

4 5

6

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

6 1 4

7 5

8 5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 1 1 2 1 1 2 1 0

Dequeue 0 Q = { }

-> usuwamy krawędzie z 0 uaktualniamy indegree sąsiadów (6, 1, 4)

OUTPUT:

0

-1 -1

-1

0

1 2

4 5

7

8

9

9 8 7 6 5 4

3 ₈

5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3

2 2 1 0 2 0 1

Q = { 6, 1, 4 }

Wkładamy do kolejki wszystkie nowe punkty startowe

OUTPUT: 0

1 2 3

4 5

6

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

6 1 4

7 5

8 5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 1 0 2 0 1 2 0 0

Dequeue 6 Q = { 1, 4 } usuwamy krawędzie..

uaktualniamy indegree sąsiadów (3, 2)

OUTPUT: 0 6

-1 -1

1 2

4 5

7

8

9

9 8 7 6 5 4

3 ₈

5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3

2 2 1 0 2 0 0

Q = { 1, 4, 3 }

Enqueue 3

OUTPUT: 0 6

1 2 3

4 5

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

6 1 4

7 5

8 5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 1 0 2 0 0 1 0 0

Dequeue 1 Q = { 4, 3 }

OUTPUT: 0 6 1

-1

2

4 5

7

8

9

9 8 7 6 5 4

3 ₈

5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3

2 2 1 0 2 0 0

Dequeue 1 Q = { 4, 3, 2 } Enqueue 2

OUTPUT: 0 6 1

2 3

4 5

7

8

9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

6 1 4

7 5

8 5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2 2 1 0 2 0 0 0 0 0

Dequeue 4 Q = { 3, 2 }

OUTPUT: 0 6 1 4

-1

2

5 7

8

9

9 8 7 6 5 4

3 ₈

5

3 2

8

9 9

9 8 7 6 5 4 3

2 2 1 0 1 0 0

Dequeue 3 Q = { 2 }

OUTPUT: 0 6 1 4 3

-1