Probabilistische stabiliteitsanalyse: Rapport 'model en filosofie'

B B 84.09 f

i Probabilistische . stabiliteitsanalyse

rapport 'Model en filosofie'

laboratorium voor grondmechanica delft

stichting waterbouwkundig laboratorium

postbus 69, 2600 AB delft stieltjesweg 2, delft telefoon 015-569223 telex: 38234 soll nl postglro: 234342

bank: mees en hope nv delft rek.nr. 25.92.35.911 (giro: 6400)

LABORATORIUM VOOR GRONDMECHANICA DELFT

PROBABILISTISCHE STABILITEITSANALYSE (model en filosofie)

Rapport C0-251433/6

i.o.v.

CENTRUM ONDERZOEK WATERKERINGEN

november 1983 herzien oktober 1984

E.O.F. Cal Ie U.J. Heijnen

pagina

INLEIDING 1 I. WERKWIJZE EN FILOSOFIE BIJ EEN 3

DETERMINISTISCHE ANALYSE 1.1 Algemene werkwijze 1.2 Het berekeningsmodel

1.3 Het stabiliteitscriterium

II. DE FILOSOFIE VAN EEN PROBABILISTISCHE AANPAK 5 VOOR STABILITEITSANALYSES

11.1 Doel van een probabilistische analyse 11.2 Fundamentele uitgangspunten van een

probabilistisch model 11.3 De faalkans

III. UITWERKING VAN HET PROBABILISTISCH REKENMODEL 10 111.1 Uitwerking stochastische modellering

van grondeigenschappen

111.2 Implementatie van de lamellenmethode van Bishop

111.3 De kans op het voorkomen van een potentieel instabiel gebied

111.4 De kans op en werkelijke instabiliteit 111.5 Imperfectie van het rekenmodel

111.6 Serie-effecten

IV. FAALKANSSCHATTING VOOR OPVOLGENDE FASEN IN DE 23 LEVENSDUUR VAN EEN TALUD

IV.1 Inleiding, a priori en a posteriori faalkansen

IV.2 De a posteriori faalkansschatting

V. INVLOED VAN INTENSITEIT VAN HET GRONDONDERZOEK 27 V.l Inleiding

V.2 Berekening van een faalkans van een talud, gegeven een meting

VI. HET COMPUTERPROGRAMMA PROSTAB 31 VII. SAMENVATTING EN CONCLUSIES 36 REFERENTIES 38 LIJST VAN SYMBOLEN 39 APPENDIX A

INLEIDING

=sss=ssss

Sinds de oprichting in 1979 worden door de werkgroep 10 van de Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen (TAW) activi-teiten ontplooid om een zogenaamde probabilistische methodiek voor het ontwerpen van waterkeringen te ontwikkelen. Dit met het doel om te komen tot een maatstaf voor de beoordeling van de veiligheid van waterkeringen op basis van een risico-analyse van alle betrok-ken factoren.

De traditionele methodiek voor (rivier- en zee-)dijken bevat één ontwerpkriterium dat op basis van risico-analyse is vastgesteld. Bij het vaststellen van de kruinhoogte gaat men uit van de hoog-waterstand die naar verwachting een keer per 1250 jaar wordt

overschreden (rapport Commissie Rivierdijken, 1977). Bij zeedijken wordt een overschrijdingsfrequentie van eens in de 4000 jaar

aangehouden (Deltanorm). De veiligheid tegen het optreden van andere mechanismen die het disfunctioneren van de waterkering kunnen bevorderen, waaronder stabiliteitsverlies, wordt getoetst aan traditioneel gehanteerde en op grond van ervaring vastgestelde veiligheidsfactoren. In welke mate de kans op het optreden van deze mechanismen bij kan dragen aan de totale faalkans van de waterkering (dit is de kans op disfunctioneren), wordt door deze toetsing niet duidelijk gemaakt. Temeer daar waar de mogelijkheden voor het versterken van waterkeringen beperkt worden, uit finan-ciële of bijvoorbeeld landschapskundige overwegingen, zal het niet zonder meer duidelijk zijn dat het aandeel van deze mechanismen klein is in de totale faalkans. Zeker voor die gevallen is een risico-analyse van alle faalmechanismen gewenst.

Voor zo'n totale faalkansanalyse is het noodzakelijk dat reken-modellen beschikbaar zijn waarmee de kansen op het optreden van de afzonderlijke f aalmechanismen kunnen worden berekend. In die zin is de ontwikkeling van een probabilistisch model voor de analyse van stabiliteit van taluds een bijdrage van werkgroep 3 van de TAW aan de ontwikkeling van en probabilistische ontwerpfilosofie.

Los van deze ontwikkelingen was door werkgroep 3 al het probleem onderkend dat dezelfde stabiliteitsfactoren onder verschillende omstandigheden zeer verschillende veiligheidsniveau's kunnen

inhouden, afhankelijk van onder andere de terreinomstandigheden en de intensiteit en kwaliteit van het verrichte grondonderzoek.

Daaruit resulteerde de vraag, op welke wijze men zou kunnen komen tot het vaststellen van onderbouwde richtlijnen voor de in de

praktijk aan te houden stabiliteitsfactoren en procedures voor het bepalen van (veilige) rekenwaarden voor parameters in de glij-cirkelberekeningen. De ontwikkeling van een probabilistisch model voor de beoordeling van stabiliteit van taluds is een eerste stap om te komen tot zulke richtlijnen.

In dit rapport wordt een probabilistisch rekenmodel voor de ana-lyse van stabiliteit van taluds beschreven. Dit model is deels ge-ent op in de literatuur gevonden beschrijvingen van modellen voor

2

-de berekening van -de kans op verlies van stabiliteit bij taluds ( zie o.a. C a m e l 1 1971, Yucetnen Tang & Ang 1976, Alonso 1976, Vanmarcke 1977", Morla Catalan & Cornell 1976 en Cal Ie 1980, 1983).0e nieuwe elementen die hier worden ingebracht betreffen voornamelijk de mogelijkheid on de omvang van eventueel optredende instabiliteiten te schatten en de mogelijkheid om de faalkans te schatten, waarbij rekening gehouden wordt met de overlevingsges-chiedenis van het talud. De kans op het optreden van stabiliteits-verlies is geen fysisch meetbare grootheid. Naarmate meer infor-matie beschikbaar is die vertaald kan worden in probabilistische grootheden, zal de kans op het optreden van stabiliteitsverlies toe of afnemen.

De probabilistische elementen in het hier te beschrijven model betreffen voornamelijk de stochastische modellering van het tiepatroon van de schuifsterkteparameters van de grond. Dit varia-tiepatroon wordt opgevat als een stationair normaal verdeeld

stochastisch proces. De statistische kenmerken die dit proces karakteriseren zijn de gemiddelde waarde van de betreffende para-meter, de standaardafwijking en de auto-correlatiefunctie. Deze grootheden moeten worden ingevoerd bij een berekening. Het is bekend dat de uitkomst van een stabiliteitsanalyse in sterke mate kan worden beinvloed door de waterspanningen (ligging van de

freatische lijn en wateroverspanningen in de diepere grondlagen). Aanvankelijk is daarom geprobeerd om de mogelijke variaties van waterspanningen op analoge wijze in het model mee te nemen als de variaties van de grondsterkte. Later is daarvan echter afgezien omdat deze modellering onbevredigend werd geacht. Ten aanzien van het meenemen van waterspanningsvariaties wordt een andere

procedure voorgesteld.

De ontwikkeling van het model en de filosofie voor een probabilis-tische stabiliteitsanalyse evenals de implementatie ervan in het computerprogramma PROSTAB is uitgevoerd door het Laboratorium voor Grondmechanica te Delft (LGM) in opdracht van het Centrum Onder-zoek Waterkeringen (COW).

C0-251433/6 3

-1.1. Algemene werkwijze

In het onderzoek naar het stabiliteitsgedrag van bestaande of

nieuw te ontwerpen taluds onder kritiek geachte omstandigheden kan men drie fasen onderscheiden. De eerste fase betreft de inven-tarisatie van gegevens die voor de beoordeling van stabiliteit van belang zijn. Daartoe behoort het verzamelen van informatie (indien aanwezig en toegankelijk) over de geologische samenstelling van de ondergrond in het terrein waar de te onderzoeken taludstrekking

zich bevindt. Veelal wordt deze informatie aangevuld met behulp van geofysische onderzoeksmethoden (geo-elektrische verkenning). Met behulp van deze informatie en eventuele visuele inspectie bij bestaande taluds worden de meest kritiek te achten segmenten van de taludstrekking opgespoord. Met behulp van dit resultaat wordt de opzet van verder grondonderzoek (boringen, sonderingen, water-spanningsmeting en andere in situ beproevingen) gemaakt.

De tweede fase van het onderzoek omvat het uitvoeren van het

geplande onderzoek, het selecteren en beproeven van grondmansters en het evalueren van de proefresultaten.

De derde fase bestaat uit het selecteren van de segmenten waarvoor een stabiliteitsanalyse wordt uitgevoerd. Uit de beschikbare

proefresultaten warden de voor deze segmenten relevante grond-parameters en maatgevende belasting, waaronder het patroon van water(over)spanningen, vastgesteld. Vervolgens worden de feite-lijke stabiliteitsberekeningen uitgevoerd. Aan de hand van de uitkomsten van deze berekeningen wordt de beoordeling van het talud gemaakt.

1.2. Het berekeningsmodel

Het berekeningsmodel is meestal een (glijvlak of) glijcirkel-analyse. Er is discussie mogelijk over de al dan niet zwakke

grondslagen van deze methodiek (Verruyt, 1780), feit blijft echter dat in de praktijk vrijwel uitsluitend glijcirkelanalyses worden toegepast en dat deze ook redelijk betrouwbaar worden geacht. Er zijn verschillende berekeningsmethoden ontwikkeld (Craig,1974), waarvan de lamellen methode van Bishop wel de meest bekende is. in dit verslag zullen we met een glijcirkelanalyse steeds deze lamel-lenmethode bedoelen. De uitkomst van een glijcirkelanalyse is een stabiliteitsfactor, ook wel evenwichtsfactor of veiligheidsfactor genoemd. Ruwweg is dit de voor de meest ongunstige cirkel geldende verhouding tussen het maximaal mobiliseerbare weerstand tegen

afschuiven en het moment dat afschuiven teweeg zou kunnen brengen.

4

-Het (verwaohte) stabiliteitsgedrag wordt met behulp van de stabi-1iteitsfactor vastgesteld. Theoretisch zou bij een stabiliteits-factor gelijk aan of iets groter dan 1.0 het optreden van in-stabiliteiten vrijwel uitgesloten kunnen worden geacht. In de praktijk worden hogere factoren geëist. Daar zijn verschillende redenen voor te bedenken, bijvoorbeeld dat het rekenmodel in meerdere opzichten niet perfect is. De belangrijkste reden is

echter dat in de taludstrekking zwakkere plaatsen kunnen voorkomen dan men op op basis van het grondonderzoek zou veronderstellen. Immers, de eigenschappen van de grond kunnen sterk varieren en verkenning van deze eigenschappen gebeurt door puntmetingen

(boren, sonderen e . d . ) . In het algemeen wordt voor dijken en kaden een stabiliteitskriterium aangehouden van 1.3 a 1.4 indien de

grondsterkteparameters worden geschat op basis van celproeven. Dit kriterium is ervaringsgewijs vastgesteld. Een cijfermatige onder-bouwing is echter moeilijk traceerbaar. Waarschijnlijk mede hier-door is in het verleden discussie ontstaan over deze keuze. Hoewel hiervoor geen vaste regels blijken te bestaan, wordt in de prak-tijk enige differentiatie van het stabiliteitskriterium toegepast, afhankelijk van de te verwachten omvang van de schade bij het

C0-251433/6 5

-II. DE FILOSOFIE VAN EEN PROBABILISTISCHE AANPAK VOOR

3S333333333333333333S3333333==33S3===S3=333S333S3

STABILITEITSANALYSES

11.1. Doel van een probabilistische analyse

In het voorgaande hoofdstuk is aangeduid dat immer aanwezige natuurlijke variabiliteit van de grondslag en de daaruit voort-vloeiende onzekerheid ontrent de werkelijke weerstand tegen af-glijden de belangrijkste overweging is on enige veiligheid in te bouwen in het ts hanteren kriterium voor de stabiliteitsfactor. Tegen onzekerheden ten aanzien van de belastingen die afschuiven teweeg kunnen brengen dekt men zich in door in de analyse uit te gaan van geloofwaardig extreem ongunstige belastingsituaties

(inclusief waterspanningspatronen). Het primaire doel van een

probabilistische analyse is het vertalen van natuurlijke spreiding en onzekerheid van sterkte en belasting in een faalkans van het talud. Dit is de kans dat bezwijken volgens tenminste één van de potentiële glijvlakken plaatsvindt. Een hiervan afgeleid doel is om met behulp van deze faalkansanalyse te komen tot rationele onderbouwing van veilige kriteria voor de beoordeling van de stabiliteit. In dit rapport zullen we ons beperken tot de faal-kansanalyse. De afgeleide doelstelling zal in een later rapport aan bod komen.

11.2. Fundamentele uitgangspunten van een probabilistisch model Een probabilistisch rekenmodel voor stabiliteitsonderzoek berust op twee fundamentele aannamen. De eerste heeft betrekking op het model waarmee de natuurlijke variaties van grond beschreven kunnen worden. De tweede aanname betreft de vorm van de mechanismes die

leiden tot bezwijken van een talud.

Voor de beschrijving van variaties van de grondeigenschappen gaan we ervan uit dat de grond laagsgewijs is opgebouwd. De grondeigen-schappen kunnen per laag fundamenteel verschillen, maar ook binnen een laag kunnen aanzienlijke variaties voorkomen. Er wordt aan-genomen dat de grondlagen elk voor zich statistisch homogeen zijn

(Vanmarcke, 1977'). Dat wil zeggen dat de grondeigenschappen

binnen een laag van punt tot punt kunnen verschillen, maar dat het fluctuatiepatroon in grote lijnen overal binnen de laag hetzelfde is. Dit maakt het mogelijk de variaties van grondeigenschappen binnen een laag globaal te beschrijven met behulp van statistische kenmerken. Deze statistische kenmerken zijn de gemiddelde waarde en de standaardafwijking van een parameter en de standaardafwijk-ing van het verschil tussen de parameterwaarden op twee plaatsen binnen de laag, als functie van de afstand tussen die twee

plaatsen. Een variatiepatroon wordt opgevat als een realisatie van een stationair en ergodisch stochastisch proces (zie appendix A> . Zo'n proces wordt gekenmerkt door een kansdichtheidfunctie en een autocorrelatiefunctie of een variogram. Als kansdichtheids-functie wordt de normale of Gaussische verdeling gekozen. In dat

6

-geval wordt de kansdichtheidsfunctie volledig gespecificeerd door de gemiddelde waarde en de standaardafwijking van de parameter. Evenals in het geval van een deterministische stabiliteitsanalyse wordt in een probabilistische analyse uitgegaan van cirkelvormige glijvlakken als potentiële faalmechanismen. Werkelijk optredende instabiliteiten hebben in beginsel een eindige lengte. Oe effecten hiervan, met name de bijdragen van de eindvlakken aan de weerstand tegen afschuiven, moeten meegenomen in de evenwichtsbeschouwingen. II.3. De faalkans

De uitkomst van een probabilistische glijvlakberekening kunnen we, evenals bij een deterministische analyse, weergeven in termen van een stabiliteitsfactor. Deze factor heeft betrekking op een

cylindervormige bezwijkvorm met een eindige lengte, die gesitueerd is op een loakatie ergens in de strekking van het talud. In tegen-stelling tot bij een deterministische analyse is de probabilis-tische stabilitietsfactor een stochasprobabilis-tische variabele en uit de analyse volgen alleen de statistische kenmerken van deze vari-abele. Deze variabele noteren we als Fc<x,B), waarbij x de lokatie

in de langsrichting van het talud representeert van het midden van een bezwijkvorm, die gespecificeerd wordt door de glijcirkel C en de cylinderlengte B (figuur II.1). De faalkans van het talud is gelijk aan de kans dat op tenminste één plaats in de langsrichting van het talud een potentiële bezwijkvorm bestaat, waarvan de

stabiliteitsfactor kleiner dan 1.0 is. Deze kans noteren we als:

PCf3 PC F_(x,BXl 1 (II.1)

Figuur II.1: Definitie van een bezwijkvorm.

Nemen we de aandrijvende en tegenwerkende momenten die op een potentiële bezwijkvormen werken in beschouwing, dan volgt een

C0-251433/6 7

-voorwaarde voor het optreden van een instabiliteit volgens die bezwijkvorm:

ƒ Mr(x)dx + 2 Me < ƒ M°(x) dx (II.2) B B

In deze ongelijkheid is M het lokale aandrijvende moment dat hoort bij de beschouwde glijcirkel, M het maximaal raobiliseerbare tegenwerkende moment door wrijving langs de glijcirkel en Me het

mobi1iseerbare tegenwerkende moment door wrijving langs de eind-vlakken van de bezwijkvorm. Uit (II.2) volgt dat een noodzakelijke voorwaarde voor het optreden van instabiliteit is dat er een

gebiedje in de x-richting bestaat waar lokale aandrijvende moment het lokaal mobiliseerbare moment overschrijdt. In dat gebiedje is de stabiliteitsfactor (in klassieke zin, dus zonder de eindvlak-bijdragen) kleiner dan 1.0. Zo'n gebied zullen we een potentieel instabiel gebied noemen. Als een werkelijke instabiliteit op-treedt, dan is de afmeting (B) hiervan bij benadering gelijk aan de lengte van dit gebiedje. Of een werkelijke instabiliteit

optreedt hangt af van de eindvlakbijdragen aan het tegenwerkende moment. Om dit aan te tonen beschouwen we een potentieel instabiel gebied (figuur II.2) en de mogelijkheid dat een instabiliteit

optreedt waarvan de afmeting kleiner is dan de afmeting van dit gebied (figuur II.2a). Het deel van het potentieel instabiele gebied buiten de instabiliteit zou dus stabiel zijn. Op dit deel

o r werken de lokale aandrijvende en tegenwerkende momenten M en M , terwijl op het grensvlak tussen dit deel en de instabiliteit het aandrijvend (interactie-) moment M en op het andere grensvlak het

e' e' e

tegenwerkende (interactie-) moment M werkt (M <M ) . 0e voor-waarde voor stabiliteit van dit gebiedje is:

ƒ M°(x)dx + Me < J Mr(x)dx + Me' (II.3) B B

o r

Aan deze voorwaarde kan niet voldaan worden omdat M (x)>li (x). We concluderen dus dat als een instabiliteit optreedt, dat dan de afmeting hiervan niet kleiner is dan de afmeting van het potenti-eel instabiele gebied. Vervolgens beschouwen we de mogelijkheid dat de instabiliteit zich buiten het potentieel instabiele gebied uitstrekt (figuur II.2b). Evenwichtsbeschouwing op het deel van de instabiliteit buiten het potentieel instabiele gebied leert dat voldaan moet zijn aan de voorwaarde:

(Mr(x) - M°(x))dx + Me (II.4)

ƒ

B

Ook dit is niet mogelijk, zodat we moeten concluderen dat de lengte van een werkelijk optredende instabiliteit bij benadering gelijk moet zijn aan de lengte van het potentieel instabiele

8

-gebied. In deze studie zal worden verondersteld dat het aandrij-vend moment evenals de eindsectiebijdragen aan het tegenwerkende moment niet of nauwelijks varieren in de lengterichting van het talud. De stabiliteitsfactor, rekening houdend met de bijdragen van de eindvlakken, kunnen we schrijven als:

Fc<x,B) Fc<x) 2Me/CB.M°> (II.5)

waarin F_(x) de gemiddelde stabiliteitsfactor in het potentieel instabiele gebied geassocieerd met glijcirkel C is. De kans op het optreden van een instabiliteit kunnen we schrijven als:

PCfl = P C Fc< x , B X l Fc(x)<13 (II.6)

Evenals de stabiliteitsfactor voor een bezwijkvorm F-(x,B) is ook de stabiliteitsfactor in klassieke zin, F_(x), een stochastische variabele. Gaan we ervan uit dat de eindvlakbijdragen aan het tegenwerkende moment kunnen worden opgevat als deterministische grootheden, dan zijn de statistische grootheden die de variaties beschrijven, namelijk de standaardafwijking en de autocorrelatie, voor beide factoren gelijk. Verder zijn de variaties sterk gecor-releerd. Alleen de de verwachtingswaarden van de beide factoren

zijn verschillend (zie vergelijking II.5). Om de faalkansanalyse te kunnen uitvoeren is het dus nodig om de statistische kenmerken van het proces F_(x) te bepalen en de kans dat deze factor ergens binnen de te onderzoeken taludstrekking kleiner dan 1.0 wordt. Het volgende hoofdstuk zal grotendeels hieraan gewijd zijn.

Foo

Stabiel iintt-ab . ttabieL

m^rr::.

• 4 - *

Ji

f f *

Figuur II.2: Potentieel instabiele gebieden en potentiële bezwijkvormen

C0-251433/6 9

-Een belangrijke uitbreiding van dit probabilistisch model is gebaseerd op de volgende overweging. Stel dat we de faalkans

hebben berekend voor twee belastingtoestanden die op kunnen treden tijdens de levensduur van het talud. Veronderstel verder dat de bijbehorende kritieke bezwijkvormen (dit zijn de bezwijkvormen die de grootste kans op optreden hebben) voor beide toestanden on-geveer gelijk zijn. Als tijdens de levensduur van het talud een van de onderzochte belastingtoestanden werkelijk optreedt en wordt daarbij geconstateerd dat het talud stabiel blijft, dan kan op grond van deze informatie de faalkans voor de andere belastingtoe-stand worden bijgesteld (gereduceerd). De mate van reductie is afhankelijk van de mate van avereekomst tussen de bezwijkvormen

(uitgedrukt in correlatie tussen de stabiliteitsfactoren) en de verhouding tussen de vooraf berekende faalkansen. Bij sterke correlatie is de bijgestelde faalkans bij benadering gelijk aan voorafbepaalde faalkans verminderd met de vooraf bepaalde faalkans voor de overleefde belastingtoestand. Bij zwakke correlatie is de reductie nihil. Door toepassen van deze procedure voor reductie van faalkansen, steeds als een kritiek geachte belastingtoestand is overleefd, groeit het vertrouwen dat het talud ook een nog niet voorgekomen ongunstiger belastingtoestand zal overleven. De

over-leefde belastingtoestanden warden als het ware als proef belastin-gen opgevat. In hoofdstuk IV zal deze procedure nader worden

uitgewerkt.

Een volgend aspect dat bij de beoordeling van stabiliteit van een talud een rol speelt is de intensiteit waarmee grondonderzoek verricht is. Normaal gesproken wordt grondonderzoek uitgevoerd in op regelmatige afstand liggende raaien dwars op de lengterichting van het talud. Intuitief voelen we aan dat de kans op het ontdek-ken van een zwak segment groter wordt naarmate de afstand tussen de raaien afneemt. Bij kleine-afstanden is dus de onzekerheid over het al dan niet optreden van instabiliteiten kleiner dan bij grote afstanden. In het hypothetische geval dat het talud punt voor punt onderzocht is, zou een deterministische uitspraak kunhen volgen over het al dan niet optreden van instabiliteiten bij een bepaalde belastingtoestand. De faalkans is dan nul of één. In hoofdstuk zal een aanzet worden gegeven tot een formele procedure om na te gaan in hoever de faalkans wordt beinvloed door de dichtheid van het meetnet.

10 -

III-III.1. Uitwerking stochastische modellering van grondeigenschappen In principe konen alle grondparameters die ten aanzien van de

stabiliteit van het talud van belang zijn in aanmerking voor sto-chastische modellering. Deze parameters zijn de gedraineerde

schuifsterkteparameters c' en tg«p' in het geval van een analyse op basis van effectieve spanningen, het volumegewicht Y e n de

door-latendheid van de grond (in verband net ontwikkeling van parie-waterdrukken). Daarnaast zou ook spreiding in de geometrische in-deling van de verschillende grondlagen evenals de eventuele ex-terne belasting in aanmerking komen voor stochastische

model-lering.

Alonso (1976) vond dat de variatie van het aandrijvend moment, als gevolg van reëel geschatte variaties van het volumegewicht en de geometrie van de laagindeling betrekkelijk gering is ten opzichte van variaties van het mobiliseerbaar tegenwerkend moment. Om deze reden zullen we in dit rapport uitsluitend de variaties van het tegenwerkend beschouwen. Deze variaties komen hoofdzakelijk voor rekening van variaties van de schuifsterkteparameters en van variaties van de poriewaterdrukken. Vooral de laatste domineren het probleem. Deze variaties zijn minder gemakkelijk te modelleren dan de variaties in de schuifsterkteparameters. Bovendien zijn poriewaterdrukken tijdsafhankelijk en werken ze sterk niet lineair door in de analyse. Om deze redenen willen we de behandeling van variaties van de poriewaterdruk scheiden van de behandeling van variaties van de schuifsterkteparameters. We beperken ons derhalve tot het onderzoek van de invloed van variaties van schuifsterkte-parameters. De invloed van poriewaterdrukvariaties kan in een faalkansanalyse worden meegenomen door de faalkansen, behorende bij elk van de mogelijke variatiepatronen van de waterspanning, te vermeningvuldigen met de kans dat zo'n patroon voorkomt en te

sommeren. Een bovengrens van de faalkans van het talud wordt overigens verkregen door de analyse te baseren op de slechtst reëel denkbare toestand van de pariewaterdrukken. Op deze punten zullen we hier niet nader ingaan.

We willen dus, kort samengevat, een probabilistisch rekenmodel ontwikkelen waarin alleen de schuifsterkteparameters worden op-gevat als ruimtelijk grillig variërende grootheden. Voor zover de variaties van poriewaterdrukken en eventueel externe belasting van belang zijn voor de faalkansanalyse, moeten deze op een andere manier in de rekenprocedure worden betrokken, bijvoorbeeld met behulp directe integratie of via majorering van de faalkans. Van de onderscheiden grondlagen wordt aangenomen dat ze "statis-tisch homogeen" zijn (Vanmarcke, 1977'). Dat wil zeggen dat de statistische grootheden die het variatiepatroon van de schuif-sterkte beschrijven binnen elk van de grondlagen constant zijn.

C0-251433/6 11

-Een realisatie van de schuifsterkteparameters in een punt x. binnen de beschouwde grondlaag wordt beschreven als:

s()O = M<s) + rs<x.) ffCs) (III.1)

De letter s kan staan voor c' of tg«p' , p() en <r() staan voor de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de betreffende parameter en r (x.) is een stochastisch proces met verwachtings-waarde gelijk nul en standaardafwijking gelijk 1.0. De autocor-relatiefunctie van dit proces is van de vorm:

T^/d^ - TjJ/d

) (III.2)

waarin T de verticale afstand en T. de horizontale afstand is v h

tussen de punten x. en I U binnen de grondlaag, d. en d zijn de zogenaamde autocorrelatieafstanden in horizontale en verticale richting. De correlatie tussen natuurlijke variaties van de schuifsterkteparaaeters in de verschillende wordt nul gesteld evenals de kruiscorrelatie tussen natuurlijke variaties van

verschillende parameters, zowel voor punten die binnen dezelfde of in verschil-lende grondlagen liggen.

Een schatting van de verwachtingswaarde u(s> zou verkregen kunnen worden door het uitvoeren van laboratoriumproeven op monsters uit boringen. De gemiddelde waarde van de steekproef die uit n mons-ters bestaat is:

i - n iïl 3i ( I I I'3 )

en de verwachtingswaarde hiervan is u(s>. De variantie van de gemiddelde waarde isi

<r(i) - EC(s-)i(s))23 = jj ff2Cs) (III.4)

Omdat de verwachtingswaarde u(s) in vergelijking (III.1) in het algemeen niet bekend is zullen we deze grootheid opvatten als een stoohastiche variabele reet verwachtingswaarde s en standaardaf-wijking <r(s). Vergelijking (III.1) kan derhalve geschreven worden als:

s(x.) » s + v cr(s) + r (x.) <r(s) (III.5) waarin v een stochastische variabele is met verwachtingswaarde gelijk nul en standaardafwijking gelijk 1.0. De tweede term van het rechterlid van vergelijking (III.5) staat voor een toevallige fout in de schatting van de verwachtingswaarde. Deze fout is

12

-overigens gelijk voor elk punt x. binnen de beschouwde grondlaag. Het is niet ondenkbaar dat bij de sarapling en beproevingsprocedu-res toevallige en systematische fouten worden gemaakt. De invloed hiervan kan in principe gemakkelijk in de analyse worden meege-nomen door toevoeging van van een extra termen aan het rechterlid van vergelijking (III.5):

s(x.) • i + ji(f) + vg(ff2(s)+<r2(f ) )1 / 2 + rg(x)<r(s) (III.6)

waarin ji(f) de verwachte systematische onderschatting van de be-treffende parameter in de proef is en <r(f) de standaardafwijking van de toevallige fout in de proef. Er is overigens niet zo erg veel bekend over de precieze grootte van deze fouten. Wel wordt op grand van enige beschikbare ervaringskennis vrij algeneen aange-nomen dat deze fouten klein zijn ten opzichte van de natuurlijke variaties die men in afzettingen aantreft. Overigens is voor zeer homogene afzettingen een betrouwbaarheidsanalyse op basis van natuurlijke variaties minder interessant.

Alle correlaties tussen schattingen van de gemiddelde waarden en de natuurlijke variaties worden gelijk nul gesteld.

Kruiscorre-laties tussen de processen r , en r. , worden ook gelijk nul gesteld, terwijl enige (negatieve) correlatie tussen schattingen van de verwachtingswaarden van c' en tg<p' wordt toegelaten:

P < v

c"

t

p<> * °

'

III.2. Implementatie van de lamellenmethode van Bishop

Het grensevenwicht in de lamellenmethode van Bishop kan als volgt worden geformuleerd!

M°(x) - Mr( x ) , (III.8)

waarin M (x) het moment is dat afschuiving van de grond langs een glijcirkel teweeg brengt (aandrijvend moment) en M (x) het mament dat afschuiving verhindert (tegenwerkend moment), beide als func-tie van de coördinaat in de lengterichting van het talud. Het

tegenwerkende moment kan worden genoteerd als de som van bijdragen van de lamel-onderkanten (zie ook Craig 1974 en figuur III.1):

r q r

C0-251433/6 13

-waarin q het aantal lamellen is, M. de bijdrage van de j-de larael en F.(x) de stabiliteitsfactor van de cirkel (nummer i) die onder-zocht wordt.

z HJ

- Z <*

*

"*

Figuur III.1: Lamellen-analyse volgens Bishop

Voeren we voor de schuifsterkteparameters het stochastische model volgens vergelijking (III.5) in, dan kunnen we de stochastische variaties van F.(x) als gevolg van stochastische variaties van de schuifsterkte in eerste orde berekenen als volgt: .

-1

(III.10)

waarin x de lokatie in de langsrichting van het talud aanduidt en x_=(x,y.,z.) waarbij y. en z. de coördinaten van het midden van de

« J u J ü

onderkant van de j-de lamel zijn.

Oe partiële afgeleiden zijn genomen voor de verwachtingswaarden van de grondsterkteparameters, conform een eerste orde tweede moment benadering (Benjamin & Cornell, 1970). Oe waarde van de stochastische variatie OF is nul. De verwachtings-waarde van de stabiliteitsfactor, u(F.), vinden we door de

lamellen-analyse volgens Bishop uit te voeren tegen de gemiddelde waarden van de grondparameters. De variantie vinden we door

verwachtingswaarde van dit kwadraat genomen wordt. Na enig uitwerken vinden we een uitdrukking van de vorm:

<y2(F.) » <K-, + K , + K r — , + K. , + K-,r—,>

1 q vMr , c' c' tg.p' tg«p' c'tgtp'

(III.11) waarin de K..'s de bijdragen aan de variantie van de stabiliteits-factor voorstellen die afkomstig zijn van de verschillende bronnen van onzekerheid en ruimtelijke variatie. Bijvoorbeeld, de uitdruk-king voor de bijdrage die voortkomt uit de onzekerheid van de

schatting van de verwachtingswaarde van de schuifsterkteparameter c' is:

K

E<

De correlatie p in (III.12) is gelijk 1.0 indien de lamellen j en 1 in dezelfde grondlaag liggen en gelijk nul indien ze in ver-schillende grondlagen liggen. De uitdrukkingen voor de andere bij-dragen in vergelijking (III.11) zijn analoog. K , staat voor de bijdrage door ruimtelijke spreiding van c', K r — , staat voor de

tg,p

bijdrage door onzekerheid van de schatting van de verwachtings-waarde van tg$', K. , voor de bijdrage door ruimtelijke spreiding

tg<p

van tg^' en K - , r — , voor de bijdrage afkomstig van de veronder-o tg<p

stelde correlatie tussen de schattingen van de verwachtingswaarden van de parameters. Voor wat betreft de bijdragen die voortkomen uit ruimtelijke variatie wordt de correlatie tussen de schuif-sterkteparameters ter plaatse van de lamellen berekend met behulp van de autocorrelatiefunctie (III.2). De in te voeren afstand in deze functie is de afstand in een plat vlak (loodrecht op de leng-as van het talud) tussen de middens van de onderkanten van de

laraellen j en 1. Merk op dat zowel de verwachtingswaarde als de variantie van de stabiliteitsfactor onafhankelijk zijn van de

lokatie (x) in de langsrichting van het talud, omdat de verwach-tingswaarden van de grondparameters onafhankelijk zijn van x. De autocovariantie van de stabiliteitsfactor, als functie van de afstand tussen twee locaties in x richting, wordt berekend met formules die analoog zijn aan (III.11) en (III.12). Het linkerlid in (III.11) wordt vervangen door cov(F.(x),F.(x+Ax)). Bij de

bijdragen aan de covariantie die komen van de ruimtelijke sprei-ding van de schuifsterkteparameters worden de betreffende correla-ties berekend op basis van de afstanden tussen de middens van de lamelonderkanten, rekening houdend met een afstand Ax in de

langs-C0-251433/6 15

-richting van het talud. Merk op dat de covariantiefunctie uit-sluitend afhangt van Ax en niet van de locatie x zelf. De auto-correlatiefunctie van de stabiliteitsfactor is per definitie:

PF F (Ax) - oov(F.(x) ,Fi(x+Ax))/<r2(Fi) (III.13)

Verder kunnen kruiscovariantie en kruiscorrelatie tussen stabili-teitsf actoren, die betrekking hebben op verschillende glijcirkels, worden berekend net behulp van fornules die alweer analoog zijn aan (III.11) en (III.12) en waarbij betreffende lamelinformatie betrekking heeft op de in het geding zijnde verschillende cirkels. De kruiscovariantie en kruiscorrelatie geven we als volgt aan:

cov(F.(x),F (x+Ax)) en p_ _ (Ax)

1 m Fi 'F»

De relatie tussen beide is:

pe e (Ax) • cov(F.(x),F (x+Ax))/ (<r(F.)ff(F )) (III. r , , r in i n

l n

Als i=ro dan gaan de formules voor de kruiscovariantie en de kruis-correlatie over in de formules voor autocovariantie en autocorre-latie.

III.3. Dé kans O P het voorkomen van een potentieel instabiel gebied

Met behulp van verwachtingswaarde en standaardafwijking kunnen we de kans berekenen dat de stabiliteitsfaotor, welke betrekking heeft op een geselecteerde glijcirkel, voor een bepaalde locatie x kleiner dan 1.0 is. Daartoe noet aan de stabiliteitsfactor een

o

kansverdelingsfunotie worden toegekend. De statistische kenmerken van deze verdelingsfunctie moeten overeenstemmen net de statis-tische kennerken van de stabiliteitsfactor. De aanname dat de verdelingen van de schuifsterkteparameters bij benadering normaal verdeeld zijn en de overweging dat in de stabiliteitsfactor de schuifsterkte in over de glijcirkel gesommeerde vorn voorkomt, rechtvaardigt de veronderstelling dat de stabiliteitsfactor bij benadering normaal verdeeld is. De kans dat de stabiliteitsfactor voor een bepaalde lokatie x kleiner dan 1.0 is luidt dan:

PCF.(x X I . 0 3 = <PM(-0.) (III.15)

1 O N I

waarin £ de betrouwbaarheidsindex is, die als volgt is gedefini-eerd :

16

-en *«() de standaardnormale (Gaussische) kansverdeling is: «

r exp(-g /2) ._

J — V 2 a d ? (III.17)

-co V 2»

Merk op dat de kans (III.15) gelijk is voor elke locatie. De kans dat binnen de taludstrekking net lengte L de stabiliteitsfactor tenminste éénmaal kleiner dan 1.0 is zal in het algemeen groter zijn. Deze kans is gelijk aan de kans dat op x=0 de stabi1iteits-factor of kleiner dan 1.0 is, of groter dan 1.0 terwijl voor 0<x<L deze factor beneden 1.0 daalt. In formule vorm:

PCF.(x)<l in (0,L)3 = P C F ^ O X l

of Fi(0)>l én Fi<x)*l in (0,L)3

(III.IS) Indien de lengte van de taludstrekking voldoende groot is kan men

rwijs veronderstellen dat de gebeu in (0,L)" onafhankelijk zijn, duss

g g

redelijkerwijs veronderstellen dat de gebeurtenissen "F.(O)>1" en

PCF.(x)<l in (O,L)D =

PCFi(0)>13 PCFi(x)*l in

(III.19) De kansen dat F.(0X1 of dat F.(0)>l kunnen worden berekend met behulp van (III.IS). De kans dat de stabiliteitsfactor de drempel-waarde 1.0 doorsnijdt is bij benadering (zie Papaulis, 1965 of Klaver e.a., 1978)t

PCFi(x)*l in (0,L)3 - |- exp(-^T) V-p£ p (0) (III.20)

waarbij de dubbele accent tweede orde differentiatie naar x voor-stelt. De kans (III.18) noemen we de kans op het voorkomen van een potentieel instabiel gebied. De uitdrukking (III.19) geldt voor kleine onderschrijdingskansen. Voor grotere onderschrijdingskansen kunnen we een iets ingewikkelder uidrukking gebruiken, die in

essentie dezelfde informatie bevat (Klaver e.a., 1978). In figuur III.2 wordt de relatie tussen de kans op een potentieel instabiel gebied, de lengte van de taludstrekking en de betrouwbaarheids-index grafisch weergegeven.

C0-251433/6 17

-«*•

Figuur III.2: De kans op een potentieel instabiel gebied als functie van betrouwbaarheidsindex en (genorma-liseerde) lengte van de taludstrekking

De verwachtingswaarde van de lengte van een gebied waar de stabi-liteitsfactor kleiner dan 1.0 kan als volgt worden bepaald. De verwachtingswaarde van de totale lengte binnen een taludstrekking net lengte L, waarvoor geldt dat de responsie F.(x) beneden de waarde 1.0 ligt is:

totaal

- L

De verwachtingswaarde van het aantal doorsnijdingen F.(x)ll in een taludstrekking met lengte L wordt gegeven door vergelijking

(III.20). De verwachtingswaarde voor een potentieel instabiel gebied is het quotiënt van de totale verwachte lengte en het ver-wachte aantal doorsnijdingen:

2n (III.22)

18

-Figuur III.3: Verwachte (genormaliseerde) lengte van een potentieel instabiel gebied als functie van de betrouwbaarheldsindex

Deze verwachtingswaarde kunnen we opvatten als de

verwachtingswaarde van eventueel optredende instabiliteiten,

III. De kans O P een werkelijke instabiliteit

De kans op een werkelijke instabiliteit wordt gegeven door ver-gelijking (II.6). De conditionele kans in het rechterlid van deze vergelijking wordt bepaald op basis van de in de vorige paragraaf gevonden verwachte lengte van een instabiel gebied en de veron-derstelling dat tf* «indsectiebijdragen aan het tegenwerkende moment bij aftwltuivcn <Me) deterministische grootheden zijn:

PCF.(x,B.Xl 1 1 F.(x)<l]l N ^i (III.23) waarin: . = p. + 2n /(B.n air.) (III.24)

Daarmee is de kans op het optreden van een bezwijkvorm ergens bin-nen de taludstrekking volledig bepaald.

C0-251433/6 19

-li

o 1 1 9 * 3 *

Figuur III. Wi PCFj.(x ,B)<1 IFi (x)<l] als functie van pj. en

III.5. Imperfectie van het rekenmodel

In de vorige paragrafen is impliciet de veronderstelling gemaakt dat door het gehanteerde model van Bishop het al dan niet

voor-komen van instabiel gedrag perfect wordt voorspeld. Zou daarover twijfel bestaan dan kan, in navolging van Morla Catalan & Cornell

(1979) een al dan niet stochastische model imperfectieterm worden ingevoerd. De kans op het optreden van de onderzochte bezwijkvorm is dant

PCf3 PCFi<x,B) 1+qD (III.25)

waarin q de imperfectieterm is. Hiermee kan zowel "systematische" als "toevallige" imperfectie van het Bishopmodel in rekening

worden gebracht. In het algemeen wordt bij probabilistische stabi-liteitsanalyses die we in de literatuur aantreffen aangenomen dat de modelimperfecties ondergeschikt zijn aan de natuurlijke varia-ties van de grondeigenschappen. We zullen deze aanname hier volgen en verder afzien van het gebruik van een modelimperfectieterm. In het ontwikkelde computerprogramma PROSTAB (zie hoofdstuk V) be-staat wel de mogelijkheid tot het invoeren van een term die sys-tematische imperfectie in rekening brengt.

III.5 Serie-effecten

De verzameling van alle potentiële cylindervormige glijvlakken is een serie-systeem. Het talud faalt als tenminste één van de

poten 20 poten

-tiele bezwijkvormen in werkelijkheid optreedt. De faalkans is der-halve in principe groter dan elk van de met de potentiële bezwijk-vormen geassocieerde faal kansen.

Er zijn twee serie-effecten, namelijk de seriewerking in de langs-richting van bezwijkvormen die gebaseerd zijn op dezelfde glij-cirkel en de seriewerking in het doorsnedevlak van het talud van bezwijkvorraen die gebaseerd zijn op verschillende glijcirkels. De seriewerking in de langsriohting van het talud is verdisconteerd in de faalkansformulering volgens vergelijking (III.19). We beper-ken ons hier derhalve tot de andere seriewerking.

Voor elke keuze van de glijcirkel kan de bijbehorende kans op het optreden van een cy1indervormige bezwijkvorm worden berekend. De faalkans voor het serie-systeero van cylindervormige bezwijkvormen dat gebaseerd is op de verzameling van alle mogelijke glijcirkels ligt ergens tussen de grootste van al die afzonderlijke kansen en de som ervan, afhankelijk van de onderlinge correlatie tussen deze faalmechanismen. Alleen voor zeer speciale gevallen, namelijke waarbij de onderlinge correlatie gelijk nul of gelijk één is, kan de seriefaalkans worden bepaald. In andere gevallen en dan alleen wanneer het aantal faalmechanismen eindig is, kan praktisch alleen een onder- en bovengrens vande seriefaalkans worden bepaald (zie Ditlevsen,1979).

De verzameling van potentiële glijcirkels is in feite een niet aftelbare continue verzameling. Echter, dicht bij elkaar gelegen glijcirkels leveren sterk gecorreleerde bezwijkvormen, welke voor wat betreft de serie-werking als één mechanisme kunnen worden opgevat. We mogen daarom de continue verzameling representeren door een eindige discrete verzameling, zoals te doen gebruikelijk

is bij een conventionele stabiliteitsanalyse. Omdat het aantal glijcirkels in zo'n verzameling in het algemeen toch nog erg groot is, zal het meenemen van de gehele verzameling bij de berekening van de «eri«-fAAlkftns op praktische bezwaren stuiten. De

hoeveelheid r«fc«nuvrk die nodig is om de onderlinge correlatie tussen de glijcirkels te bepalen zou onacceptabel zijn. We moeten daarom overgaan tot een drastische beperking van het aantal

cirkels dat wordt meegenomen in de analyse van de seriewerking. De volgende procedure voor het bepalen van de serie-faalkans wordt voorgesteld. Beschouw een systeem van bezwijkvormen dat gebaseerd is op twee glijoirkels, zeg C. en C_. De bij die cirkels behorende stochastische functies voor de stabiliteitsfactoren noemen we

F.(x) en F.(x). De afzondelijke kansen op het optreden van de be-zwi jkvormen die geassocieerd zijn met deze cirkels kunnen worden bepaald met behulp van de voorgaande theorie. Indien de stochas-tische functies zwak gecorreleerd zijn dan is de serie-faalkans gelijk aan de som van beide afzonderlijke faalkansen, indien ze sterk gecorreleerd zijn dan is de serie-faalkans gelijk aan de grootste van beide afzonderlijke faalkansen. Van een substantiële seriewerking is derhalve pas sprake indien de kruiscorrelatie tussen beide stochastische functies zwak is én indien de kleinste van beide faalkansen niet klein is ten opzichte van de grootste.

C0-251433/6 21

-De kruiscorrelatie tussen de stochastische functies is in het al-gemeen sterk indien de projecties van de glijcirkels op een dwars-doorsnedevlak van het talud "dicht" bij elkaar liggen en wordt zwakker naarmate de afstand tussen de projecties groter wordt. Met behulp van de in paragraaf III.2 aangegeven methode kan de cor-relatie tussen F.(x) en F_(x) worden berekend, als functie van de autocorrelatie-afvalfuncties van de schuifsterkte-eigenschappen. Voor de verzameling van een groot aantal glijcirkels kan een

analoge redenering worden opgezet. De serie-faalkans van dit sys-teem is minimaal gelijk aan de faalkans voor de met de kritieke glijcirkel geassocieerde bezwijkvormen. De kritieke glijcirkel is de glijcirkel met de grootste geassocieerde faalkans. De bijdrage aan de serie-faalkans die komt van de op één na kritieke glijcir-kel is substantiavl indien de bijbehorende faalkans niet klein is ten opzichte van de faalkans die behoort bij de kritieke glijcir-kel en indien de correlatie tussen beide glijcirglijcir-kels zwak is. Is hieraan voldaan dan wordt de seriefaalkans verhoogd met deze bij-drage, anders wordt deze cirkel verder buiten beschouwing gelaten. Vervolgens wordt de op twee na kritieke glijcirkel beschouwde Is de grootte van de hiermee geassocieerde faalkans niet klein ten opzichte van de serie-faalkans tot nu toe en is er zwakke cor-relatie tussen deze cirkel en alle cirkels die hieraan hebben bij-gedragen, dan wordt deze faalkans opgeteld bij de seriefaalkans. Zoniet, dan wordt deze cirkel verder buiten beschouwing gelaten. Deze redenering wordt doorgezet tot alle glijcirkels zijn be-schouwd. Het eerste criterium om een glijcirkel in de seriebe-schouwing niet mee te nemen, het vergelijken van de elementaire faalkansen is rekentechniscn betrekkelijk eenvoudig. Pas als de cirkel in potentie voldoende zou kunnen bijdragen wordt het rekentechnisch gecompliceerde criterium van de onderlinge correlatie gehanteerd.

Bij uitgevoerde berekeningen van de serie-faalkans is gebleken dat het aantal glijcirkels dat overblijft na deze procedure betrek-kelijk gering is (1 a 5, afhanbetrek-kelijk van de grondlaagopbouw onder het talud). De serie-faalkans was overigens niet groter dan twee a drie keer de faalkans die behoorde bij de kritieke cirkels. We concluderen daarom dat het beschouwen van uitsluitend de kritieke cirkel een aardige orde van grootte indicatie geeft van de (serie)

faalkans van een talud. In verreweg de meeste literatuur wordt aan de hier genoemde seriewerking weinig aandacht geschonken, naar het zich laat aanzien terecht.

Morla Catalan & Cornell (1976) hebben dit serie-effect op een wat andere wijze dan hier onderzocht. Zij concluderen dat voor rela-tief grote oorrelatie-afstanden, d.= 100 m. en dy= 3 m., het

serie-effect verwaarloosbaar is, en dat voor kleine correlatie-afstanden, d = 10 m. en d = 0.5 m., het serie-effect groot is. Deze parameterwaarden in onze studie waren d = 15-45 m. en d = 3 ra. De resultaten uit beide studies spreken elkaar niet tegen,

22

-hoewel de vergelijking moeilijk is omdat de grondprofielen in beide studies nogal verschilde.

C0-251433/6 23

-IV.

IV.1. Inleiding, a priori en a posteriori faalkansen

De faalkansbeschouwing tot nu toe is uitsluitend gebaseerd geweest op statistische informatie over variaties van de schuifsterkte in de grond. Bij elke belastingtoestand, waaronder we in dit verband ook een verdeling van waterspanningen zullen verstaan, kan de kans op het optreden van en instabiliteit worden berekend. Deze faal-kansen zullen we a priori faalfaal-kansen noemen. Stel dat tijdens de levensduur van de grondconstructie een van de beschouwde belas-tingtoestanden in werkelijkheid optreedt. We kunnen dan consta-teren of het talud in werkelijkheid al dan niet bezwijkt. Stel dat het talud niet bezwijkt. Op basis van deze constatering zijn we er dan zeker van dat het talud ook niet zal bezwijken als dezelfde belastingtoestand later nog een keer optreedt. De faalkans,

behorende bij die belastingtoestand, is na deze constatering der-halve gelijk nul geworden. Deze nieuwe schatting van de faalkans noemen we de a posteriori faalkans. De a posteriori faalkansschat-ting in dit voorbeeld is natuurlijk nogal triviaal. Interessanter

is het om de faalkansschatting aan te passen voor bijvoorbeeld de ontwerpbelastingtoestand, gegeven dat een mildere belastingtoe-stand overleefd wordt. In de praktijk zal het vertrouwen dat de ontwerpbelasting overleefd wordt toenemen, naarmate belastingen worden overleefd die steeds meer de ontwerpbelasting benaderen. In dit hoofdstuk willen we een rationele onderbouwing van dit proces geven met behulp van een probabilistische aanpak.

IV.2. De a posteriori faalkansschattinq

We beschouwen twee mogelijke belastingtoestanden voor een talud, die we kortweg aanduiden met fase 1 en fase 2. Voor beide fasen kunnen we de kritieke bezwijkvormen en de a priori faalkansen en alle daarmee samenhangende grootheden bepalen. In het volgende zullen we via een index 1 of 2 bij de grootheden aanduiden om

welke fase het gaat. Veronderstel nu dat fase i wordt gerealiseerd en dat het talud hierbij niet bezwijkt. We zijn dan geinteresseerd in de faalkans voor fase 2, gegeven deze constatering, dus:

PCf2lft3 (IV.1)

waarbij een overstreepte gebeurtenis de ontkenning van ervan aan-duidt. Met behulp van het theorema voor de totale waarschijnlijk-heid vinden we:

PCf 1 - PCf Af ]

I f T =s ^ * ( I V . 2 )

C0-251433/6 24

-liet het symbool "A" wordt de doorsnede van gebeurtenissen aan geduid (logische é n ) . Gemakkelijk is in te zien dati

0 < PCf2lft3 < PCf23 (IV.3)

indien de betreffende stabiliteitsfactoren niet negatief zijn ge-correleerd. In vergelijking (IV.2) is alleen de kans op de door-snede f.Af_ onbekend. We veronderstellen dat we te maken hebben met kleine kansen op instabiliteiten. Dit rechtvaardigt de veron-derstelling dat als er instabiliteit optreedt in een fase, dat dit dan beperkt blijft tot één locatie. Voor verschillende belastingen zouden de locaties verschillend kunnen zijn. Voor de doorsnede van gebeurtenissen f.Af_ onderscheiden we twee mogelijkheden, namelijk dat de locaties van de instabiliteiten samenvallen, of dat ze ver uit elkaar liggen. In het eerste geval is de correlatie tussen de stabiliteitsfactoren F.(x) en F-(x), beide ter plaatse van de in-stabiliteit, nagenoeg gelijk aan de kruiscorrelatie (III.14) voor Ax»O. In het tweede geval is de kruiscorrelatie voldoende klein om de stabiliteitsfactoren als ongecorreleerd te beschouwen. In het volgende zullen we het gebied waar F.(x)<l aanduiden met x.

(i=1,2), als de representanten van deze gebieden. Het al dan niet globaal samenvallen van deze gebieden geven we aan met x =x- en

Ml**2* W e k u n n e n d a n schrijven:

PCf1Af2D - PCf1Af2Ax1*x23 + P C ftA f ^ x ^ x ^ (IV.4)

en we beschouwen de termen van het rechterlid ieder afzonderlijk. Geven we de lengte van de instabiele gebieden aan met B. en B2,

dan kunnen we deze termen schrijven als: PCf.Af.A <*1**2>:J =

PCF,(x,B„)<lAF_(x)<lAF. (x,B„ X1AF. (xXIA <*l**2>:i

. . . . (IV.5)

P C F - ( x , B _ X l A F , ( x , B X I I F _ ( x X l A F . ( x X I A <X1 * ' *

^C ^C A X A A 4k O

* P C Fo( x X l A <'*lï'*2>IF(, ( x ) < 1 3 • P C F . ( x X l D

C0-251433/6 25

-waarin i»2 en j=l als P C F2< x X 1 3 > P C F1( x X 1 3 en i=l en j=2 anders.

De reden voor dit onderscheid volgt later. De gebeurtenis " F C x X l " is hier een verkorte notatie voor "F(x)<l in (0,L>". De eerste term van (IV.6) kunnen we schrijven als een quotiënt van binormale

kansverdelingen, dat we aangeven met S(p):

S(p) = , (_fl -o o ) (IV.7)

waarin fN( , ,p> de standaard binormale kansverdeling is met

correlatie coëfficiënt p. Hiervoor wordt de kruiscorrelatie tussen de stabiliteitsfactoren in de potentieel instabiele gebieden

genomen. Voor de tweede term in (IV.6) beschouwen we het geval PCF2(x)<l]>PCF1(xXi:. Voor het andere geval gaat de afleiding

analoog. De kans dat een potentieel instabiel gebied optreedt in fase 2, gegeven dat in fase 1 zo'n gebied optreedt en dat

bovendien deze gebieden globaal samenvallen is:

PCF,(x)<lAx.=x,IF,(x)<l] = " * M * - Q ,M (IV.8)

2 1 2 1 ?N<~P|»6OfP> 211

De kans op zo'n gebeurtenis waarbij de gebieden niet samenvallen kan worden geschreven als:

(x)

(IV.9) Vervolgens wordt gesteld dat het gegeven dat de stabiliteitsfao-tor in fase 1 groter is dan 1.0 nagenoeg geen invloed heeft op de kans dat de stabiliteitsfactor in fase 2 beneden die grens daalt. Oit omdat verondersteld is dat de kans op een potentieel instabiel gebied in fase 2 groter is dan in fase 1. We zien nu waarom dit onderscheid gemaakt is. Zou de kans op een potentieel instabiel gebied in fase 1 groter zijn dan in fase 2, dan moeten in de ver-gelijkingen (IV.8) en (IV.9) de indices 1 en 2 worden omgewisseld. We kunnen derhalve schrijven:

P C F2( x X l A x1* x2I F1( x X 1 3 • < 1 - Q2| 1> PCF2(x>*i i n L'3

. . . . ( I V . 1 0 )

waarin L' de totale lengte van de taludstrekking met uitzondering van de verwaohte lengte van een potentieel instabiel gebied in fase 1. In het algemeen zal L' bij benadering gelijk zijn aan L. Samenvattend kunnen we de kans (IV.4) noteren als:

26

-S(0)(l-Q2|l)PCF2(x)il3>PCFl(x)<13 (IV.11)

indien de kans op een potentieel instabiel gebied in fase 2 groter is dan in fase 1 en:

<S(p)Q1 | 2 + S<O)(l-Q1|2)PCF1Cx)#13>PCF2(x)<13 (IV.12)

indien die kans in fase 1 groter is dan in fase 2. In (IV.12 ) is:

«₁₁₂

Met behulp van (IV.2) en (IV.11) of (IV.12) kan de a posteriori faalkans in fase 2 , gegeven dat fase 1 wordt overleefd, worden bepaald.

Het computerprogramma PROSTAB is uitgerust met een procedure waar-mee de a posteriori faalkansen, die behoren bij een bepaalde glij-cirkel en een bepaalde belasting, te berekenen, aangenomen dat een andere belasting wordt overleefd. Daarbij wordt ervan uitgegaan dat bij de overleefde belasting geen enkele cirkel een werkelijk optredende instabiliteit voortbrengt. Uit de verzameling cirkels kunnen we dan die kiezen welke de maximale faalkansreductie op-levert. Het is (nog) niet mogelijk gebleken een procedure te be-denken waarbij in de berekening van de a postsriori faalkans het gegeven wordt meegenomen dat al Ie cirkels de voorgaande belasting hebben overleefd.

Voor een demonstratie van de effecten van een a posteriori faal-kansberekening wordt verwezen naar de literatuur (Calle 1985).

C0-251433/6 27

-V.l. Inleiding

Het grondonderzoek is er in eerste instantie op gericht om de zwakke plekken in een taludstrekking zo goed mogelijk op te

sporen. We veronderstellen dat grondonderzoek voor de controle op stabiliteit van een langgerekte taludstrekking (statistisch homo-gene) taludstrekking plaatsvindt in raaien dwars op de taludstrek-king. Intuitief voelen we aan dat de kans op ontdekking groter wordt naarmate de afstand tussen de raaien kleiner wordt. Omge-keerd kunnen we de volgende redenering opzetten. Stel dat de af-stand tussen de raaien gelijk is. Stel vervolgens dat we door onderzoek in een raai de stabiliteitsfactor van zo'n raai exact zouden kunnen vaststellen. Me noemen de gevonden rij stabiliteits-factoren <F(x )>. Stel dat de minimale stabiliteitsfactar uit die

P

rij groter is dan een bepaalde waarde, zeg F , met F >1. We zullen aantonen dat de kans dat zich ergens tussen de onderzochte raaien een gebied bevindt waar de stabiliteitsfactor kleiner dan 1.0 is kleiner wordt naarmate Fc groter is en naarmate de afstand tussen

de raaien kleiner is. Een intensiever grondonderzoek leidt dus theoretisch tot een grotere zekerheid met betrekking tot het te verwachten stabiliteitsgedrag. In die hoofdstuk zullen we proberen deze stelling kwalitatief en enigszins kwantitatief te

onder-bouwen, hoewel nog geen voor de praktijk pasklare formules kunnen worden gegeven.

V.2. Berekening van de faalkans van een talud, gegeven een meting In hoofdstuk III is de faalxans van een talud afgeleid als het product van een conditionele kans en de kans op het optreden van een potentieel instabiel gebied. In deze paragraaf zullen we aantonen dat we op grond van een gunstig uitvallende meting de kans op het optreden van een potentieel instabiel gebied kunnen reduceren. Oeze reductie leidt dus automatisch tot reductie van de faalkans van het beschouwde talud. We beschouwen hier verder

derhalve uitsluitend de reductie van de kans op een potentieel in-stabiel gebied.

Stel dat een rij van stabiliteitsfactoren <F(x )> is gemeten in raaien dwars op de lengteas van het talud. De onderlinge afstand tussen opvolgende raaien is steeds gelijk. Deze afstand geven we aan met D. De gevonden minimale stabiliteitsfactor geven we aan

c c

met F , veronderstel F >1, dus:

min F(x ) » F° > 1 (V.l) P

28

-Verder nemen we aan dat F(x) een stochastische functie is, nor-maal verdeeld net verwachtingswaarde ix(F) , standaardafwijking a(F) en autocorrelatie-afvalfunctie p_(h). We zijn nu geïnteres-seerd in de kans dat F(x> ergens in de onderzochte strekking kleiner is dan 1.0, gegeven de meting. Oeze kans noteren we als:

PCF(xXllm3 <V.2) waarbij "m" de symbolische aanduiding is voor de meting met eigen schap (V.l). Met behulp van de definitie van conditionele kansen kunnen we (V.2) schrijven als:

PCF(x)<llm3 - P<mlF(x)<13 PCF<x)<13/PCm3 (V.3) - <l-PCÏIF(xX13) PCF(xX13/(l-PCm3) (V.4) waarbij met "m" de gebeurtenis "min F(x X F " wordt aangegeven. Uit het gegeven F ( x X l in (V.4) volgt dat één en hier veronder-stellen we precies één gebiedje met lengte B. bestaat waar de stabiliteitsfactor kleiner dan 1.0 is. De verwachtingswaarde voor de lengte van dit gebied kunnen we overigens berekenen met

(III.22). Dit gebied moet onderdeel zijn van een groter gebied met lengte B waarin F C x X F is. Ook de verwachtingswaarde van B kan met behulp van (III.22) worden berekend, wanneer daarin voor 0 wordt ingevuld:

We onderscheiden twee mogelijkheden voor de gebeurtenis dat de minimale gevonden stabilitaitsfaotor bij de meting kleiner dan F is, gegeven dat e»n potentieel instabiel gebied optreedt, dus de gebeurtenis "mlF(x)<l", namelijk:

1.Tenminste één x valt binnen het gebied met lengte B . De kans op deze mogelijkheid geven we aan met Pe.

2.Geen enkele van de x valt binnen dit gebied. Deze kans is derhalve gelijk aan (1-Pe).

In het eerste geval is het zeker dat min F(x X F . In het tweede P

geval is de kans dat min F(x X FC onafhankelijk van het gegeven

dat een gebied bestaat waarin F(x)<l. We kunnen dus schrijven: PCmlF(x)<13 » Pe + (1-Pe) PCm3 (V.6)

• C0-251433/6 " 29 -Substitutie van CV.6) in (V.4) levert:

PCF<xXllm3 • (i-Pe) PCF<x><13 (V.7) We zien dat als gevolg van een gunstig uitvallende meting de kans op een potentieel instabiel gebied en daarmee ook de faalkans wordt gereduceerd.

Oe kans dat tenminste één van de meetraaien binnen een gebied met lengte B valt wordt groter naarmate de afstand D tussen de meet-raaien kleiner is en naarmate F en daarmee B groter zijns

c Pe - r5 indien » <D u c en (V.8) Pe - 1 indien B >D c

De lengte B is overigens een stochastische grootheid waarvan we vooralsnog alleen maar een verwaohtingswaarde kunnen bepalen. Indien we aan deze lengte een stoohastische verdeling toekennen dan wordt de kans Pe:

Pe = l S i P<?> d? + J p<?> d? <V.9)

ü o D

waarin p<?> de kansdichtheidsfunctie van B is. Zolang we niet c

weten hoe de werkelijke kansdiohtheidsverdeling is kunnen we alleen maar een aantal modellen proberen:

1. B is uniform verdeeld: c

)

2. B is negatief exponentieel verdeeld: c

30

-als ? > 0.

Dan vinden we:

Pe

Voor biede gevallen vinden we dat Pe naar 1.0 nadert als D naar nul nadert en dat dus volgens vergelijking <V.7> de kans op een potentieel instabiel gebied naar nul gaat. In figuur (V.2) is de faalkansreductiefactor <1-Pe) als functie van de verhouding tussen de lengte van het gebied waar F<x)<F° en de raaiafstand

weer-gegeven voor de twee aangenomen kansdichtheidsverdelingen. Tevens is de reductiefactor ingetekend als we veronderstellen dat de

lengte van het gebied BQ als deterministische grootheid kan worden opgevat. De werkelijke faalkansreductie kan alleen worden bepaald als de werkelijke kansdichtheidsverdeling bekend is. In ieder geval is hier een methode aangegeven die het in beginsel mogelijk maakt om het rendement van grondonderzoek kwantitatief te beoor-delen.

negatief exp. vcr<t««l«l

C0-2S1433/6 31 -VI. HET COMPUTERPROGRAMMA PROSTAE

3==:=B=3s=x33B333s=c:3a3=an=:

Op basis van de gepresenteerde theorie in voorgaande hoofdstukken is het computerprogramma PROSTAB ontwikkeld voor het uitvoeren van een probabilistische stabiliteitsanalyse van een talud. In het programma worden cirkelvormige glijvlakanalyses uitgevoerd volgens de lamellenmethode van Bishop. De schuifsterkteparameters van de grond worden ingevoerd in termen van statistische kenmerken, te weten gemiddelde waarde, de standaardafwijking van zowel de varia-tie van de parameter in het terrein als van de schatting van de gemiddelde waarde en de autocorrelatieafstanden. Alle overige pro-bleemvariabelen worden ingevoerd als deterministische grootheden. Hieronder vallen onder andere de water(over)spanningen, externe belastingen, eigengewioht van de grond en de grondlaagindeling. De faciliteiten in het programma ten behoeve de probleemdefinitie zijn vergelijkbaar met de faciliteiten die worden aangetroffen bij programmatuur voor deterministische stabiliteitsanalyses. Daartoe behoren onder andere de mogelijkheid tot het opgeven van stuks-gewijs lineair verlopende grondlaagscheidingen (in een richting dwars op de lengterichting van het talud), freatische lijn en

wateroverspanningen. Het aantal te definiëren grondlaagscheidingen is beperkt tot maximaal 20. De te onderzoeken glijcirkels dienen te worden gespecificeerd. Het programma beschikt niet over een procedure waarmee het zoeken naar de kritieke glijcirkel wordt geautomatiseerd.

In tegenstelling tot de bekende programmatuur voor determinis-tische analyses kunnen in PROSTAB verschillende belastingfasen worden ingevoerd (maximaal 3 ) . In opvolgende fasen kunnen

grond-lagen worden toegevoegd of weggelaten, een ander waterspannings-patroon worden gedefinieerd of een ander stelsel van externe

be-lasting worden opgegeven. Het programma beschikt over restart faciliteiten om achteraf detail-informatie over een bepaalde oirkel te laten berekenen of een tekening te laten maken en om a posteriori faalkansberekeningen uit te laten voeren.

De globale werking van het programma is als volgt: 1. "clean start" berekeningen:

Op basis van de ingevoerde geometrie, grondparameters en belastingen wordt per fase voor elk van de gespecificeerde glijcirkels een analyse uitgevoerd. Per fase wordt een tabel uitgevoerd, waarin voor elke glijcirkel de berekende resultaten worden weergegeven. Dit zijn onder andere het aandrijvende

moment, verwachtingswaarde en standaardafwijking van het

maximaal mobiliseerbare tegenwerkende moment, de verwachtings-waarde van de stabiliteitsfactor, de betrouwbaarheidsindex, percentages die aangeven hoe de variantie van het tegenwerkende moment is opgerbouwd en de autocorrelatieparameter van de

32

-Vervolgens wordt voor elke fase de kritieke glijcirkel geselec-teerd (dit is de glijcirkel met kleinste betrouwbaarheids-index). Voor elk van de fasen wordt de kans op een potentieel instabiel gebied bepaald, geassocieerd met de kritieke glijcir-kel. De verwachte lengte van deze gebieden wordt bepaald en de kans op een werkelijke instabiliteit, waarbij de eindvlakbij-dragen aan het tegenwerkende moment worden meegenomen in de analyse.

De berekeningsresultaten worden weggeschreven op een dumpfile, in afwachting van een of meer restartberekeningen.

2. "restart" berekeningen

Er zij twee restartfaciliteiten. Bij de eerste kan een gede-tailleerde uitvoer van de lamellenanalyse per opgegeven glij-cirkel worden opgevraagd (incl. plot). De tweede restart

faciliteitmaakt het mogelijk on a posteriori faalkansen voor opgegeven glijcirkels te laten berekenen. Per run kunnen meer-dere glijcirkels en fasen worden opgegeven waarvoor de faal-kansen moeten worden berekend.

In figuur VI.1 is een globaal stroomschema van het programma weer-gegeven.

C0-251433/6 33

-START

f CLEAN

START

LE£S 3OB IDENTIFICATIE

AAMTAL TE BE.«eK6W£M FA5E.M VQQ»? ELk£

FA46--S-£0H£TRtE (

• ST AM &A k f? Q A F W

s?£CTF1CA,Tie VAN TE OMD6R-&UJC1RKELS

Pot voo» ei ten

MoMENT FAKTOB.

HoHtMT

P R I M T VAN

INVOt»

34 -O o C -O-OQW F-LWP Z o E - K : KRITIEKE (= CIRKEL HET -. VfAMS VAN l M S T A e . I t . n E X T PRÏMT VAN B£«£K£WH>J R€SUCTATEN

C0-2S1433/6 35

-j I o» posterieri |a«.lkan-j

Ltes: C 5 A PoJTEHJosr VAAJ HCT I M poe WOOM k . i . . . W^^.^

LEES •. R13 SLI3CHJ.Ke.L- E* FAS6.NUMMERS

DO& V O O *

Co«R6LAT\É

SLI

EN

A POSTE K J o « X KAMS Of» OPTKEbEN VAN

SE.ASiOCrE.ER0 MET

CX«K61-PAS6 £ SEt-H M6T CIRKEL

•s-roP

PRIMT VAN